На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

Тема: Четырехугольники

Урок: Многоугольники

В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах - многоугольниках .

С частным случаем многоугольников мы уже знакомы - это треугольник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Треугольник

В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.

Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник

Определение. Многоугольник - фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Определение. Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Определение. Периметр многоугольника - сумма длин сторон многоугольника.

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .

Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.

Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.

Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.

Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).

Где - количество его углов (сторон).

Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.

Рис. 4. Выпуклый n-угольник

Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника - , то сумма внутренних углов n-угольника:

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

Рис. 5.

Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем:

Что и требовалось доказать.

Доказано.

По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов - и т.д.

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).

Где - количество его углов (сторон), а , …, - внешние углы.

Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.

Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами

Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:

В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .

Доказано.

Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнее задание

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, называется многоугольником.

Отрезки этой ломаной линии называются сторонами многоугольника. АВ, ВС, CD, DE, ЕА (рис. 1) - стороны многоугольника ABCDE. Сумма всех сторон многоугольника называется его периметром .

Многоугольник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от любой своей стороны, неограниченно продолженной за обе вершины.

Многоугольник MNPKO (рис. 1) не будет выпуклым, так как он расположен не по одну сторону прямой КР.

Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Углы, составленные двумя соседними сторонами многоугольника, называются его внутренними углами, а вершины их - вершинами многоугольника .

Отрезок прямой, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю многоугольника.

АС, AD - диагонали многоугольника (рис. 2).

Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются внешними углами многоугольника (рис. 3).

В зависимости от числа углов (сторон) многоугольник называется треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д.

Два многоугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Вписанные и описанные многоугольники

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность, а окружность - описанной около многоугольника (рис).

Если все стороны многоугольника являются касательными к окружности, то многоугольник называется описанным около окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник (рис).

Подобие многоугольников

Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны.

Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое число сторон (углов).

Сходственными называются стороны подобных многоугольников, соединяющие вершины соответственно равных углов (рис).

Так, например, чтобы многоугольник ABCDE был подобен многоугольнику A’B’C’D’E’, необходимо, чтобы: ∠A = ∠A’ ∠B = ∠B’ ∠С = ∠С’ ∠D = ∠D’ ∠Е = ∠Е’ и, кроме того, AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’ .

Отношение периметров подобных многоугольников

Сначала рассмотрим свойство ряда равных отношений. Пусть имеем, например, отношения: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Найдем сумму предыдущих членов этих отношений, затем - сумму их последующих членов и найдём отношение полученных сумм, получим:

$$ \frac{2 + 4 + 6 + 8}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{20}{10} = 2 $$

То же самое мы получим, если возьмём ряд каких-нибудь других отношений, например: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Найдем сумму предыдущих членов этих отношений и сумму последующих, а затем найдём отношение этих сумм, получим:

$$ \frac{2 + 4 + 5 + 8 + 10}{3 + 6 + 9 + 12 + 15} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} $$

В том и другом случае сумма предыдущих членов ряда равных отношений относится к сумме последующих членов этого же ряда, как предыдущий член любого из этих отношений относится к своему последующему.

Мы вывели это свойство, рассмотрев ряд числовых примеров. Оно может быть выведено строго и в общем виде.

Теперь рассмотрим отношение периметров подобных многоугольников.

Пусть многоугольник ABCDE подобен многоугольнику A’B’C’D’E’ (рис).

Из подобия этих многоугольников следует, что

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

На основании выведенного нами свойства ряда равных отношений можем написать:

Сумма предыдущих членов взятых нами отношений представляет собой периметр первого многоугольника (Р), а сумма последующих членов этих отношений представляет собой периметр второго многоугольника (Р’), значит, P / P’ = AB / A’B’ .

Следовательно, периметры подобных многоугольников относятся как их сходственные стороны.

Отношение площадей подобных многоугольников

Пусть ABCDE и A’B’C’D’E’ - подобные многоугольники (рис).

Известно, что ΔAВС ~ ΔA’В’С’ ΔACD ~ ΔA’C’D’ и ΔADE ~ ΔA’D’E’.

Кроме того,

;

Так как вторые отношения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то

Используя свойство ряда равных отношений получим:

Или

где S и S’ - площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S’ = (AВ / A’В’) 2

Площадь произвольного многоугольника

Пусть требуется вычислить площадь произвольного четырёхугольника АВDС (рис).

Проведём в нём диагональ, например АD. Получим два треугольника АВD и АСD, площади которых вычислять умеем. Затем находим сумму площадей этих треугольников. Полученная сумма и будет выражать площадь данного четырёхугольника.

Если нужно вычислить площадь пятиугольника, то поступаем таким же образом: из одной какой-нибудь вершины проводим диагонали. Получим три треугольника, площади которых можем вычислить. Значит, можем найти и площадь данного пятиугольника. Так же поступаем при вычислении площади любого многоугольника.

Площадь проекции многоугольника

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис.).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть ΔАВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон ΔАВС параллельна плоскости р ;

б) ни одна из сторон ΔАВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально ΔАВС на р 1 и на р (рис.); получим ΔАВС 1 и ΔА’В’С’ .

По свойству проекции имеем ΔАВС 1 (cong) ΔА’В’С’, и поэтому

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Проведем ⊥ и отрезок D 1 C 1 . Тогда ⊥ , a \(\overbrace{CD_1C_1}\) = φ есть величина угла между плоскостью ΔАВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

и, следовательно, S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину ΔАВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).

Спроектируем ΔАВС на плоскости р 1 и р (рис.); пусть его проекциями будут соответственно ΔАВ 1 С 1 и ΔА’В’С’.

Пусть (ВС) ∩ p 1 = D. Тогда

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Другие материалы

На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

Тема: Четырехугольники

Урок: Многоугольники

В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах - многоугольниках .

С частным случаем многоугольников мы уже знакомы - это треугольник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Треугольник

В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.

Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник

Определение. Многоугольник - фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Определение. Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Определение. Периметр многоугольника - сумма длин сторон многоугольника.

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .

Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.

Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3.

Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.

Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).

Где - количество его углов (сторон).

Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.

Рис. 4. Выпуклый n-угольник

Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника - , то сумма внутренних углов n-угольника:

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

Рис. 5.

Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем:

Что и требовалось доказать.

Доказано.

По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов - и т.д.

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n -угольника).

Где - количество его углов (сторон), а , …, - внешние углы.

Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.

Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами

Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:

В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .

Доказано.

Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнее задание

Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.

Определение 1

Многоугольник

— это фигура, составленная из отрезков

так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Определение 2

Многоугольником называется простая замкнутая .

Точки

называются вершинами многоугольника , отрезки

— сторонами многоугольника .

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .

Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .

Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.

Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.

Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .

Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.

Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали

(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).

Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.

Следовательно, n — угольник имеет

диагонали.

Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Виды многоугольников:

Четырехугольники

Четырехугольники , соответственно, состоят из 4-х сторон и углов.

Стороны и углы, расположенные напротив друг друга, называются противоположными .

Диагонали делят выпуклые четырехугольники на треугольники (см. на рисунке).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° (по формуле: (4-2)*180°).

Параллелограммы

Параллелограмм - это выпуклый четырехугольник с противоположными параллельными сторонами (на рис. под номером 1).

Противоположные стороны и углы в параллелограмме всегда равны.

А диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Трапеции

Трапеция - это тоже четырехугольник, и в трапеции параллельны только две стороны, которые называются основаниями . Другие стороны - это боковые стороны .

Трапеция на рисунке под номером 2 и 7.

Как и в треугольнике:

Если боковые стороны равны, то трапеция - равнобедренная ;

Если один из углов прямой, то трапеция - прямоугольная.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

Ромб

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Помимо свойств параллелограмма, ромбы имеют своё особое свойство - диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят углы ромба пополам .

На рисунке ромб под номером 5.

Прямоугольники

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого каждый угол прямой (см. на рис. под номером 8).

Помимо свойств параллелограмма, прямоугольники имеют своё особое свойство - диагонали прямоугольника равны .

Квадраты

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (№4).

Обладает свойствами прямоугольника и ромба (так как все стороны равны).