Mocninná funkcia, jej vlastnosti a grafy. Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií Vyriešte graf funkcie y x

Vyberieme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vykreslíme hodnoty argumentu na osi x. X a na osi y - hodnoty funkcie y = f(x).

Graf funkcií y = f(x) volá sa množina všetkých bodov, pre ktoré úsečky patria do oblasti funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).

Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií y = 2x + 1 A y \u003d x 2 – 2x.

Prísne vzaté, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac či menej presný náčrt grafu (a aj to spravidla nie celý graf, ale iba jeho časť umiestnenú v poslednej časti roviny). V nasledujúcom texte sa však zvyčajne budeme odvolávať na „graf“ a nie na „náčrt grafu“.

Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do rozsahu funkcie y = f(x) a potom nájsť číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a) by tak mal urobiť. Treba cez bodku s osou x x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou y; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).

Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.

Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z úvahy na obr. 46 je zrejmé, že funkcia y \u003d x 2 – 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 – 2x prijíma na x = 1.

Na vykreslenie funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov je to nemožné, pretože takýchto bodov je nekonečne veľa. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchšia je metóda viacbodového vykresľovania. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje vybrané hodnoty funkcie.

Tabuľka vyzerá takto:

Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).

Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti správanie grafu medzi označenými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi zachytenými krajnými bodmi zostáva neznáme.

Príklad 1. Na vykreslenie funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:

Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.

Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 znázornená bodkovanou čiarou). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.

Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu

Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané vyššie uvedenou tabuľkou. Graf tejto funkcie však vôbec nie je rovný (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia y = x + l + sinx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.

Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda viacbodového vykresľovania nespoľahlivá. Preto na vykreslenie danej funkcie spravidla postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej je možné zostrojiť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od nastavených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.

Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu zvážime neskôr a teraz rozoberieme niektoré bežne používané metódy vykresľovania grafov.

Graf funkcie y = |f(x)|.

Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definíciou absolútnej hodnoty čísla možno písať

To znamená, že graf funkcie y=|f(x)| možno získať z grafu, funkcií y = f(x) takto: všetky body grafu funkcie y = f(x), ktorého ordináty nie sú záporné, by mali zostať nezmenené; ďalej, namiesto bodov grafu funkcie y = f(x), ktoré majú záporné súradnice, by sa mali zostrojiť zodpovedajúce body grafu funkcie y = -f(x)(t.j. časť funkčného grafu
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).

Príklad 2 Nakreslite funkciu y = |x|.

Zoberieme graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu kedy X< 0 (ležiace pod osou X) sa symetricky odráža okolo osi X. Výsledkom je, že dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).

Príklad 3. Nakreslite funkciu y = |x 2 - 2x|.

Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. Na intervale (0; 2) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu symetricky odráža vzhľadom na os x. Obrázok 51 zobrazuje graf funkcie y \u003d |x 2 -2x | na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x

Graf funkcie y = f(x) + g(x)

Zvážte problém vykreslenia funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené grafy funkcií y = f(x) A y = g(x).

Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(х)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných domén, funkcií f(x) a g(x).

Nechajte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2) patria medzi funkčné grafy y = f(x) A y = g(x), t.j 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a ľubovoľný bod grafu funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). A y = g(x) nahradením každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy y 1 \u003d g (x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body. X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) A y = g(x).

Tento spôsob vykresľovania funkčného grafu y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) A y = g(x)

Príklad 4. Na obrázku je metódou pridávania grafov zostrojený graf funkcie
y = x + sinx.

Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx predpokladali sme to f(x) = x, A g(x) = sinx. Na vytvorenie funkčného grafu vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx spočítame vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.

Zostavte funkciu

Dávame do pozornosti službu na vykresľovanie funkčných grafov online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete zadať manuálne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno grafu, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.

Výhody online grafov

Vizuálne zobrazenie predstavených funkcií
Vytváranie veľmi zložitých grafov
Vykresľovanie implicitne definovaných grafov (napr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
Možnosť ukladať grafy a získať na ne odkaz, ktorý bude dostupný pre každého na internete
Ovládanie mierky, farba čiary
Schopnosť vykresľovať grafy podľa bodov, použitie konštánt
Konštrukcia viacerých grafov funkcií súčasne
Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))

S nami je jednoduché vytvárať online grafy rôznej zložitosti. Stavba je hotová okamžite. Služba je žiadaná na nájdenie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov na ich ďalší prenos do dokumentu Word ako ilustrácie pri riešení problémov, na analýzu behaviorálnych vlastností grafov funkcií. Najlepší prehliadač na prácu s grafmi na tejto stránke webu je Google Chrome. Pri použití iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.

Jednou z najznámejších exponenciálnych funkcií v matematike je exponent. Je to Eulerovo číslo zvýšené na špecifikovanú mocninu. V Exceli existuje samostatný operátor, ktorý vám to umožňuje vypočítať. Pozrime sa, ako sa to dá využiť v praxi.

Exponent je Eulerovo číslo umocnené na danú mocninu. Samotné Eulerovo číslo je približne 2,718281828. Niekedy sa nazýva aj Napierovo číslo. Funkcia exponent vyzerá takto:

kde e je Eulerovo číslo a n je exponent.

Na výpočet tohto ukazovateľa v Exceli sa používa samostatný operátor - EXP. Okrem toho je možné túto funkciu zobraziť ako graf. O práci s týmito nástrojmi si povieme ďalej.

Metóda 1: výpočet exponentu ručným zadaním funkcie

EXP(číslo)

To znamená, že tento vzorec obsahuje iba jeden argument. Predstavuje len mieru, o ktorú musíte zvýšiť Eulerovo číslo. Tento argument môže byť buď vo forme číselnej hodnoty, alebo vo forme odkazu na bunku obsahujúcu ukazovateľ stupňa.

Metóda 2: Použitie Sprievodcu funkciou

Hoci je syntax na výpočet exponentu mimoriadne jednoduchá, niektorí používatelia ju radšej používajú Sprievodca funkciou. Pozrime sa, ako sa to robí na príklade.

Ak sa ako argument použije odkaz na bunku, ktorá obsahuje exponent, musíte do poľa umiestniť kurzor "číslo" a jednoducho vyberte túto bunku na hárku. Jeho súradnice sa okamžite zobrazia v poli. Potom, ak chcete vypočítať výsledok, kliknite na tlačidlo OK.

Metóda 3: vykreslenie grafu

Okrem toho je v programe Excel možnosť zostaviť graf na základe výsledkov získaných v dôsledku výpočtu exponentu. Na vytvorenie grafu na hárku už musia byť vypočítané hodnoty exponentu rôznych stupňov. Môžete ich vypočítať pomocou jednej z vyššie opísaných metód.

Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:

Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa hľadá podľa vzorca:

Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:

Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premennej X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.

Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva doména platných hodnôt alebo ODZ, ktorú ste už dlho vedeli nájsť.

Funkčný rozsah sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označené E(pri).

Funkcia stúpa na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.

Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Tiež často potreba nájsť intervaly konštantného znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Graf párnej funkcie je vždy symetrický okolo osi y operačného zosilňovača.

Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.

Súčet koreňov párnych a nepárnych funkcií (priesečníkov osi x x) je vždy rovný nule, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň X.

Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv všeobecné funkcie a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:

Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre prípad k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratickej funkcie (Parabola)

Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpajú všetky možné typy parabol):

kde:

ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):

Y vrcholy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcového trinomu:

Grafy iných funkcií

výkonová funkcia

Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:

Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:

V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf môže mať dve základné možnosti:

Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverznej úmernosti znázornené na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.

exponenciálna funkcia so základňou A zavolajte funkciu danú vzorcom:

a graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):

logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:

Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Graf funkcií r = |X| nasledovne:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcií

Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:

Kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrických funkcií. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:

Graf funkcií r= cos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:

Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

späť
Vpred

Ako sa úspešne pripraviť na CT z fyziky a matematiky?

Pre úspešnú prípravu na CT z fyziky a matematiky musia byť okrem iného splnené tri kritické podmienky:

Preštudujte si všetky témy a vyplňte všetky testy a úlohy uvedené v študijných materiáloch na tejto stránke. K tomu nepotrebujete vôbec nič, a to: venovať sa každý deň tri až štyri hodiny príprave na CT z fyziky a matematiky, štúdiu teórie a riešeniu úloh. Faktom je, že DT je skúška, pri ktorej nestačí vedieť len fyziku či matematiku, ale treba vedieť rýchlo a bez neúspechov vyriešiť veľké množstvo problémov na rôzne témy a rôznej zložitosti. To posledné sa dá naučiť len riešením tisícok problémov.
Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.
Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na CT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť si správne naplánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár. , bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a úloh, ani svoje vlastné meno. Taktiež je počas RT dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa nepripravenému človeku na DT môže zdať veľmi nezvyčajný.

Úspešné, usilovné a zodpovedné plnenie týchto troch bodov, ako aj zodpovedné štúdium záverečných tréningových testov vám umožní ukázať na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej e-mailom (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Najprv sa pokúste nájsť rozsah funkcie:

Zvládli ste to? Porovnajme odpovede:

Dobre? Výborne!

Teraz sa pokúsime nájsť rozsah funkcie:

Nájdené? Porovnaj:

Súhlasilo to? Výborne!

Opäť pracujme s grafmi, len teraz je to trochu náročnejšie – nájsť aj definičný obor funkcie aj rozsah funkcie.

Ako nájsť doménu aj rozsah funkcie (pokročilé)

Tu je to, čo sa stalo:

S grafikou si myslím, že si na to prišiel. Teraz sa pokúsme nájsť doménu funkcie podľa vzorcov (ak neviete, ako to urobiť, prečítajte si časť o):

Zvládli ste to? Kontrola odpovede:

, pretože koreňový výraz musí byť väčší alebo rovný nule.
, pretože nie je možné deliť nulou a radikálny výraz nemôže byť záporný.
, keďže, respektíve pre všetkých.
pretože nulou sa deliť nedá.

Stále však máme ešte jeden moment, ktorý nie je vyriešený...

Dovoľte mi zopakovať definíciu a zamerať sa na ňu:

Všimli ste si? Slovo „iba“ je veľmi, veľmi dôležitým prvkom našej definície. Pokúsim sa vám to vysvetliť na prstoch.

Povedzme, že máme funkciu danú priamkou. . Kedy túto hodnotu dosadíme do nášho „pravidla“ a získame ju. Jedna hodnota zodpovedá jednej hodnote. Môžeme dokonca vytvoriť tabuľku rôznych hodnôt a vykresliť danú funkciu, aby sme to overili.

„Pozri! - poviete, - "" sa stretne dvakrát!" Takže možno parabola nie je funkcia? Nie, je!

Skutočnosť, že „“ sa vyskytuje dvakrát, nie je ani zďaleka dôvodom na obviňovanie paraboly z nejednoznačnosti!

Faktom je, že pri výpočte sme dostali jednu hru. A keď počítame s, dostali sme jednu hru. Takže je to tak, parabola je funkcia. Pozri sa na tabuľku:

Mám to? Ak nie, tu je skutočný príklad pre vás, ďaleko od matematiky!

Povedzme, že máme skupinu žiadateľov, ktorí sa stretli pri predkladaní dokumentov, pričom každý z nich v rozhovore povedal, kde žije:

Súhlasíte, je celkom reálne, že v tom istom meste žije niekoľko chlapov, ale je nemožné, aby jeden človek žil vo viacerých mestách súčasne. Toto je ako keby logické znázornenie našej "paraboly" - Niekoľko rôznych x zodpovedá rovnakému y.

Teraz si predstavme príklad, kde závislosť nie je funkciou. Povedzme, že tí istí chlapci povedali, o aké špeciality sa uchádzali:

Tu máme úplne inú situáciu: jedna osoba sa môže ľahko uchádzať o jeden alebo niekoľko smerov. Teda jeden prvok sady sú vložené do korešpondencie viac prvkov súpravy. resp. nie je to funkcia.

Otestujme si svoje znalosti v praxi.

Určte z obrázkov, čo je funkcia a čo nie:

Mám to? A tu je odpovede:

Funkcia je - B,E.
Nie je to funkcia - A, B, D, D.

Pýtate sa prečo? Áno, tu je dôvod:

Vo všetkých obrázkoch okrem IN) A E) je ich niekoľko na jedného!

Som si istý, že teraz môžete jednoducho rozlíšiť funkciu od nefunkcie, povedať, čo je argument a čo je závislá premenná, a tiež určiť rozsah argumentu a rozsah funkcie. Prejdime k ďalšej časti – ako definovať funkciu?

Spôsoby nastavenia funkcie

Čo si myslíte, že slová znamenajú "nastaviť funkciu"? Presne tak, znamená to všetkým vysvetliť, o akú funkciu v tomto prípade ide. Navyše vysvetľujte tak, aby vám každý správne rozumel a grafy funkcií nakreslené ľuďmi podľa vášho vysvetlenia boli rovnaké.

Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu? Najjednoduchší spôsob, ktorý už bol v tomto článku použitý viac ako raz - pomocou vzorca. Napíšeme vzorec a dosadením hodnoty do neho vypočítame hodnotu. A ako si pamätáte, vzorec je zákon, pravidlo, podľa ktorého je nám a inej osobe jasné, ako sa X zmení na Y.

Zvyčajne to robia presne takto - v úlohách vidíme hotové funkcie definované vzorcami, existujú však aj iné spôsoby, ako nastaviť funkciu, na ktorú každý zabudne, a preto je tu otázka „ako inak sa dá funkcia nastaviť?“ mätie. Poďme sa pozrieť na všetko v poriadku a začnime s analytickou metódou.

Analytický spôsob definovania funkcie

Analytická metóda je úlohou funkcie pomocou vzorca. Toto je najuniverzálnejší a najkomplexnejší a jednoznačný spôsob. Ak máte vzorec, potom viete úplne všetko o funkcii - môžete na nej vytvoriť tabuľku hodnôt, môžete zostaviť graf, určiť, kde sa funkcia zvyšuje a kde klesá, vo všeobecnosti ju úplne preskúmajte.

Uvažujme o funkcii. Čo na tom záleží?

"Čo to znamená?" - pýtaš sa. Teraz vysvetlím.

Pripomínam, že v zápise sa výraz v zátvorkách nazýva argument. A tento argument môže byť akýkoľvek výraz, nie nevyhnutne jednoduchý. Podľa toho, bez ohľadu na argument (výraz v zátvorkách), napíšeme ho namiesto toho do výrazu.

V našom príklade to bude vyzerať takto:

Zvážte ďalšiu úlohu súvisiacu s analytickou metódou špecifikácie funkcie, ktorú budete mať na skúške.

Nájdite hodnotu výrazu, at.

Som si istý, že ste sa najprv báli, keď ste videli takýto výraz, ale nie je v tom absolútne nič strašidelné!

Všetko je rovnaké ako v predchádzajúcom príklade: akýkoľvek argument (výraz v zátvorkách), napíšeme ho namiesto toho do výrazu. Napríklad pre funkciu.

Čo treba urobiť v našom príklade? Namiesto toho musíte napísať a namiesto -:

skrátiť výsledný výraz:

To je všetko!

Samostatná práca

Teraz sa pokúste sami nájsť význam nasledujúcich výrazov:

, Ak
, Ak

Zvládli ste to? Porovnajme naše odpovede: Sme zvyknutí, že funkcia má tvar

Aj v našich príkladoch takto definujeme funkciu, ale analyticky je možné definovať funkciu implicitne napr.

Skúste si vytvoriť túto funkciu sami.

Zvládli ste to?

Tu je návod, ako som to postavil.

S akou rovnicou sme skončili?

Správny! Lineárne, čo znamená, že graf bude priamka. Urobme tabuľku, aby sme určili, ktoré body patria do našej čiary:

To je to, o čom sme hovorili... Jeden zodpovedá viacerým.

Skúsme nakresliť, čo sa stalo:

Je to, čo máme, funkciou?

Presne tak, nie! prečo? Skúste na túto otázku odpovedať obrázkom. Čo si dostal?

"Pretože jedna hodnota zodpovedá viacerým hodnotám!"

Aký záver z toho môžeme vyvodiť?

Presne tak, funkcia nemôže byť vždy vyjadrená explicitne a to, čo je „prezlečené“ za funkciu, nie je vždy funkciou!

Tabuľkový spôsob definovania funkcie

Ako už názov napovedá, táto metóda je jednoduchý tanier. Áno áno. Ako ten, ktorý sme už vyrobili. Napríklad:

Tu ste si okamžite všimli vzor - Y je trikrát väčšie ako X. A teraz úloha „veľmi dobre premýšľať“: myslíte si, že funkcia zadaná vo forme tabuľky je ekvivalentná funkcii?

Nehovorme dlho, ale poďme kresliť!

Takže. Nakreslíme funkciu zadanú oboma spôsobmi:

Vidíš ten rozdiel? Nejde o označené body! Pozrieť sa na to bližšie:

Videli ste to teraz? Keď funkciu nastavíme tabuľkovým spôsobom, do grafu premietneme len tie body, ktoré máme v tabuľke a priamka (ako v našom prípade) prechádza len nimi. Keď definujeme funkciu analytickým spôsobom, môžeme vziať ľubovoľné body a naša funkcia nie je na ne obmedzená. Tu je taká funkcia. Pamätajte!

Grafický spôsob zostavenia funkcie

Nemenej pohodlný je aj grafický spôsob konštrukcie funkcie. Nakreslíme našu funkciu a ďalší záujemca môže nájsť to, čomu sa rovná y pri určitom x atď. Medzi najbežnejšie patria grafické a analytické metódy.

Tu si však musíte pamätať, o čom sme hovorili na úplnom začiatku - nie každá „krivka“ nakreslená v súradnicovom systéme je funkcia! Spomenul si? Pre každý prípad tu skopírujem definíciu funkcie:

Ľudia spravidla pomenujú presne tie tri spôsoby špecifikácie funkcie, ktoré sme analyzovali - analytický (pomocou vzorca), tabuľkový a grafický, pričom úplne zabúdame, že funkciu možno opísať slovne. Páči sa ti to? Áno, veľmi jednoduché!

Slovný popis funkcie

Ako opísať funkciu slovne? Vezmime si náš nedávny príklad – . Túto funkciu možno opísať ako "každá skutočná hodnota x zodpovedá jej trojitej hodnote." To je všetko. Nič zložité. Samozrejme, budete namietať - "existujú také zložité funkcie, že je jednoducho nemožné nastaviť verbálne!" Áno, nejaké sú, ale sú funkcie, ktoré je jednoduchšie opísať slovne, ako nastaviť pomocou vzorca. Napríklad: "každá prirodzená hodnota x zodpovedá rozdielu medzi číslicami, z ktorých pozostáva, pričom najväčšia číslica v číselnom zápise sa považuje za mínus." Teraz zvážte, ako je náš slovný popis funkcie implementovaný v praxi:

Najväčšia číslica v danom čísle -, respektíve - sa zníži, potom:

Hlavné typy funkcií

Teraz prejdime k tomu najzaujímavejšiemu - zvážime hlavné typy funkcií, s ktorými ste pracovali / pracujete a budete pracovať v priebehu školskej a ústavnej matematiky, to znamená, že ich takpovediac spoznáme a stručne ich opíšeme. Prečítajte si viac o každej funkcii v príslušnej časti.

Lineárna funkcia

Funkcia tvaru, kde sú reálne čísla.

Graf tejto funkcie je priamka, takže konštrukcia lineárnej funkcie sa redukuje na nájdenie súradníc dvoch bodov.

Poloha priamky na rovine súradníc závisí od sklonu.

Rozsah funkcie (aka rozsah argumentov) - .

Rozsah hodnôt je .

kvadratickej funkcie

Funkcia formulára, kde

Grafom funkcie je parabola, keď vetvy paraboly smerujú dole, keď - hore.

Mnohé vlastnosti kvadratickej funkcie závisia od hodnoty diskriminantu. Diskriminant sa vypočíta podľa vzorca

Poloha paraboly v súradnicovej rovine vzhľadom na hodnotu a koeficient je znázornená na obrázku:

doména

Rozsah hodnôt závisí od extrému danej funkcie (vrchol paraboly) a koeficientu (smer vetiev paraboly)

Inverzná úmernosť

Funkcia daná vzorcom, kde

Číslo sa nazýva faktor inverznej úmernosti. V závislosti od hodnoty sú vetvy hyperboly v rôznych štvorcoch:

Doména - .