Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида A B , где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 · 3 4 · (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 · 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

• При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: a d ± c d = a ± c d , значения a , c и d ≠ 0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
• При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом a b ± c d = a · p ± c · r s , где значения a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 являются действительными числами, а b · p = d · r = s . Когда p = d и r = b , тогда a b ± c d = a · d ± c · d b · d .
• При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим a b · c d = a · c b · d , где a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 выступают в роли действительных чисел.
• При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: a b: c d = a b · d c .

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

• дробная черта означает знак деления;
• деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
• применение свойства действий с действительными числами;
• применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 8 2 , 7 и 1 2 , 7 , то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8 + 1 2 , 7 . После выполнения сложения получаем дробь вида 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Значит, 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Ответ: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Пример 2

Произведем вычитание из 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 дроби вида 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 2 3 5 + 1 и 1 2 .

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2 · 3 5 + 1 . Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2 , а ко второй 3 5 + 1 . После перемножения дроби приводятся к виду 4 2 · 3 5 + 1 . Общее приведение 1 2 будет иметь вид 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 · 2 2 · 3 5 + 1 + 1 · 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = = 4 2 · 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1

Ответ: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 1 6 · 2 1 5 и 1 4 · 2 3 5 , когда их произведение будет равно 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 . Тогда в качестве общего знаменателя берем 12 · 2 3 5 .

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2 + 1 6 и 2 · 5 3 · 2 + 1 .

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2 + 1 6 · 2 · 5 3 · 2 + 1 2 + 1 · 2 · 5 6 · 3 · 2 + 1 . Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10 .

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10

После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 · 9 3 10 · 2 + 1 = 5 · 2 10 · 2 + 1 = 3 2 · 2 + 1 = = 3 · 2 - 1 2 · 2 + 1 · 2 - 1 = 3 · 2 - 1 2 · 2 2 - 1 2 = 3 · 2 - 1 2

Ответ: 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 · 2 - 1 2

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1 , тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 1 6 · 7 4 - 1 · 3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 3 1 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 .

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье, применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A , C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство A D ± C D = A ± C D равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда А, С, D должны принимать соответственные значения a 0 , c 0 и d 0 . Подстановка вида A D ± C D приводит разность вида a 0 d 0 ± c 0 d 0 , где по правилу сложения получаем формулу вида a 0 ± c 0 d 0 . Если подставить выражение A ± C D , тогда получаем ту же дробь вида a 0 ± c 0 d 0 . Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A ± C D и A D ± C D считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида A D ± C D = A ± C D .

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x 2 3 · x 1 3 + 1 и x 1 3 + 1 2 или 1 2 · sin 2 α и sin a · cos a . Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Пример 6

Вычислить: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Решение

1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, что x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​ l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x · (l g x + 2)
   Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (l g x + 2) 2 из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
   l g 2 x + 4 + 2 · l g x x · (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x · (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Заданные дроби вида x - 1 x - 1 + x x + 1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) · x + 1 = 1 x + 1

Значит, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

1 + x x + 1 = 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x - 1 . Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = = x - 1 x - 1 + x · x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Ответ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x , 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 , 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) - sin x x 5 · ln (x + 1) · (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x

Решение

1. Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3 · x 7 + 2 · 2 , тогда к первой дроби x 7 + 2 · 2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 3 · x 7 + 2 · 2 + 3 · 1 3 · x 7 + 2 · 2 = = x · x 7 + 2 · 2 + 3 3 · x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2
2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Отсюда x 4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln (x + 1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4)
3. Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2 . Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x - x · cos x + x 2 .

После чего получаем, что

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = = 1 cos x - x · cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x · cos x + x 2 + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2

Ответ:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2 , 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 и 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x .

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = = x - 2 · x · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x 2 , тогда получим выражение вида

3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x)

Ответ: x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = 3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 и разделить на 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x , тогда это можно записать таким образом, как

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , после чего заменить произведением вида x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида A C r справедливо равенство A C r = A r C r . Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1 - x cos x и 1 c o s x , но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

При подстановке выражения в исходное получаем, что 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x . При умножении дробей имеем: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x . Произведя все подстановки, получим 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x · x

Ответ: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Инструкция

Сначала вспомните что дробь – это всего лишь условная запись деления одного числа на другое. В от сложения и умножения, при делении двух целых чисел не всегда получается целое число. Вот и называть эти два «делящихся» числа . То число, которое делят, числителем, а то, на которое делят - знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной черты «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Если числитель дроби больше ее знаменателя, то такую «неправильную» дробь обычно записывают в виде «смешанной» дроби. Чтобы получить из неправильной дроби смешанную, просто разделите числитель на знаменатель и запишите полученное частное. После чего поместите остаток от деления в числитель дроби и запишите эту дробь справа от частного (знаменатель не трогайте). Например, 7/3 = 2⅓.

Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, просто сложите их числители (знаменатели не трогайте). Например, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Аналогично производите и вычитание двух дробей (числители при этом вычитаются). Например, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, умножьте числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби – на знаменатель первой. В итоге у вас получится сумма двух дробей с одинаковыми знаменателями, сложение которых описано в предыдущем пункте.

Например, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.

Если знаменатели дробей имеют общие делители, то есть делятся на одно и то же число, выберите в качестве общего знаменателя наименьшее число, делящееся на первый и второй знаменатель одновременно. Так, например, если первый знаменатель равен 6, а второй 8, то в качестве общего знаменателя возьмите не их произведение (48), а число 24, которое делится как на 6, так и на 8. Числители дробей при этом умножаются на частное от деления общего знаменателя на знаменатель каждой дроби. Например, для знаменателя 6 таким числом будет 4 – (24/6), а для знаменателя 8 – 3 (24/8). Более наглядно этот процесс виден на конкретном примере:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Вычитание дробей с разными знаменателями производится совершенно аналогично.

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b - c b = a - c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 - 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 - 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - 1 11 12 .

Краткая запись всего решения - 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 - 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 - 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 - 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 - 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 - 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 - 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Завершим расчеты: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В 5 классе средней школы вводится представление дроби. Дробь – это число, состоящее из целого числа долей единиц. Обычные дроби записываются в виде ±m/n, число m называют числителем дроби, число n – его знаменателем. Если модуль знаменателя огромнее модуля числителя, скажем 3/4, то дробь именуется верной, в отвратном случае – неправильной. Дробь может содержать целую часть, скажем 5 * (2/3).К дробям дозволено использовать разные арифметические операции.

Инструкция

1. Приведение к всеобщему знаменателю.Пускай даны дроби a/b и c/d.- В первую очередь находится число НОК(наименьшее всеобщее кратное) для знаменателей дробей.- Числитель и знаменатель первой дроби умножается на НОК/b- Числитель и знаменатель 2-й дроби умножается на НОК/dПример приведён на рисунке.Для сопоставления дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, после этого сравнить числители. Скажем, 3/4 < 4/5, см. рисунок.

2. Сложение и вычитание дробей.Для нахождения суммы 2-х обычных дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, позже чего сложить числители, оставив знаменатель без изменений. Пример сложения дробей 1/2 и 1/3 приведён на рисунке.Разность дробей находится аналогичным образом, позже нахождения всеобщего знаменателя, числители дробей вычитаются, см. пример на рисунке.

3. Умножение и деление дробей.При умножении обычных дробей, числители и знаменатели перемножаются между собой.Для того, дабы поделить две дроби, нужно получить дробь обратную 2-й дроби, т.е. поменять его числитель и знаменатель местами, позже чего произвести умножение полученных дробей.

Модуль представляет собой безусловную величину выражения. Для обозначения модуля используют прямые скобки. Арестанты в них значения считаются взятыми по модулю. Решение модуля состоит в раскрытии модульных скобок по определенным правилам и нахождении множества значений выражения. В большинстве случаев модуль раскрывается таким образом, что подмодульное выражение получает ряд позитивных и негативных значений с том числе и нулевое значение. Исходя из данных свойств модуля, составляются и решаются дальше уравнения и неравенства начального выражения.

Инструкция

1. Запишите начальное уравнение с модулем. Для его решения раскройте модуль. Разглядите всякое подмодульное выражение. Определите, при каком значении входящих в него незнакомых величин выражение в модульных скобках обращается в нуль.

2. Для этого приравняйте подмодульное выражение к нулю и обнаружьте решение получившегося уравнения. Запишите обнаруженные значения. Таким же образом определите значения незнакомой переменной для всего модуля в заданном уравнении.

3. Разглядите случаи существования переменных, когда они хороши от нуля. Для этого запишите систему неравенств для всех модулей начального уравнения. Неравенства обязаны охватывать все допустимые значения переменной на числовой прямой.

4. Нарисуйте числовую прямую и отложите на ней полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.

5. В начальном уравнении надобно раскрыть модульные скобки, меняя знак выражения так, дабы значения переменной соответствовали отображенным на числовой прямой. Решите полученное уравнение. Обнаруженное значение переменной проверьте на лимитация, заданное модулем. Если решение удовлетворяет условию, значит оно правдиво. Не удовлетворяющие ограничениям корни обязаны отбрасываться.

6. Аналогичным образом раскрывайте модули начального выражения с учетом знака и высчитывайте корни получаемого уравнения. Запишите все полученные корни, удовлетворяющие неравенствам ограничения.

Дробные числа разрешают выражать в различном виде точное значение величины. С дробями дозволено исполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Дабы обучиться решать дроби , нужно помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, всеобщего знаменателя. Некоторые арифметические действия позже выполнения требуют сокращения дробной части итога.

Вам понадобится

• – калькулятор

Инструкция

1. Наблюдательно посмотрите на данные числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, изредка комфортнее сначала исполнить действия с десятичными, а после этого перевести их в неверный вид. Можете перевести дроби в такой вид первоначально, записав значение позже запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, поделив числа выше и ниже черты на один делитель. Дроби, в которых выдается целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к итогу числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Дабы выделить целую часть из изначально неправильной дроби , нужно поделить числитель на знаменатель. Целый итог записать слева от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью допустимо выполнение действий отдельно вначале для целой, а после этого для дробной частей. Скажем, сумма 1 2/3 и 2 ? может быть вычислена двумя методами:- Переведение дробей в неверный вид:- 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:- 1 2/3 + 2 ? = (1+2) + (2/3 + ?) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

2. Для неправильных дробей с различными значениями под чертой обнаружьте всеобщий знаменатель. Скажем, для 5/9 и 7/12 всеобщим знаменателем будет 36. Для этого числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4 (получится 28/36), а 2-й – на 3 (получится 15/36). Сейчас можете исполнить нужные расчёты.

3. Если вы собираетесь вычислять сумму либо разность дробей, для начала запишите обнаруженный всеобщий знаменатель под черту. Исполните нужные действия между числителями, а итог запишите над чертой новой дроби . Таким образом, новым числителем станет разность либо сумма числителей изначальных дробей.

4. Для расчёта произведения дробей перемножьте числители дробей и запишите итог на место числителя итоговой дроби . То же самое проделайте для знаменателей. При делении одной дроби на иную запишите одну дробь, а после этого умножьте её числитель на знаменатель 2-й. При этом знаменатель первой дроби умножается соответственно на числитель 2-й. При этом происходит оригинальный переворот 2-й дроби (делителя). Итоговая дробь будет состоять из итогов умножения числителей и знаменателей обеих дробей. Нетрудно обучиться решать дроби , записанные в условии в виде «четырёхэтажной» дроби . Если черта разделяет две дроби , перепишите их через разграничитель «:» и продолжите обыкновенное деление.

5. Для приобретения финального итога полученную дробь сократите, поделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее допустимое в данном случае. При этом выше и ниже черты обязаны быть целые числа.

Обратите внимание!
Не исполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, дабы при умножении на него числителя и знаменателя всякой дроби в итоге знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, либо знаменатель, дроби. Скажем, полтора килограмма риса в виде дроби запишется дальнейшим образом: 1 ? кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для комфорта вычислений такую дробь неизменно дозволено записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для облегчения дозволено сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере допустимо деление на 2. В итоге получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь исполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Если вы пишете курсовую работу либо составляете какой-нибудь иной документ, содержащий расчетную часть, то вам никуда не деться от дробных выражений, которые также надобно напечатать. Как это сделать, разглядим дальше.

Инструкция

1. Кликните один раз по пункту меню «Вставка», после этого выберите пункт «Символ». Это один из самых примитивных методов вставки дроби в текст. Заключается он в дальнейшем. В комплекте готовых символов есть дроби . Их число, как водится, невелико, но если вам в тексте необходимо написать?, а не 1/2, то для вас сходственный вариант будетсамым оптимальным. Помимо того, число символов дробей может зависеть и от шрифта. Скажем, для шрифта Times New Roman дробей немножко поменьше, чем для того же Arial. Варьируйте шрифтами, дабы обнаружить самый наилучший вариант, если дело касается примитивных выражений.

2. Кликните по пункту меню «Вставка» и выберите подпункт «Объект». Перед вами появится окно с перечнем допустимых объектов для вставки. Выберите среди них Microsoft Equation 3.0. Это приложение поможет вам печатать дроби . Причем не только дроби , но и трудные математические выражения, содержащие разные тригонометрические функции и прочие элементы. Двукратно кликните по этому объекту левой кнопкой мышки. Перед вами появится окно, содержащее много символов.

3. Дабы напечатать дробь, выберите символ изображающий дробь с пустым числителем и знаменателем. Кликните по нему один раз левой кнопкой мыши. Появится дополнительное меню, уточняющее схему самой дроби . Может быть несколько ее вариантов. Выберите особенно для вас подходящий и кликните по нему один раз левой кнопкой мыши.

4. Введите в числителе и знаменателе дроби все необходимые данные. Это будет протекать теснее непринужденно на листе документа. Дробь будет вставлена отдельным объектом, тот, что в случае необходимости дозволено переместить в всякое место документа. Вы можете напечатать многоэтажные дроби . Для этого разместите в числитель либо знаменатель (как вам надобно) еще одну дробь, которую дозволено предпочесть в окне того же приложения.

Видео по теме

Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают всякие числовые либо буквенные выражения. Нередко числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют массивный вид, но действия с такими дробями следует делать по тем же правилам, что и действия с обычными, где числитель и знаменатель - целые правильные числа.

Инструкция

1. Если даны смешанные дроби , переведите их в неправильные (дробь, в которой числитель огромнее знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

2. Если нужно перевести десятичную дробь в неправильную, то представьте ее как деление числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит позже запятой. Скажем, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 – как 361/100. Оперировать с неправильными дробями нередко легче, чем со смешанными либо десятичными.

3. Если дроби имеют идентичные знаменатели, а вам нужно их сложить, то примитивно сложите числители; знаменатели остаются без изменений.

4. При необходимости произвести вычитание дробей с идентичными знаменателями из числителя первой дроби вычтите числитель 2-й дроби. Знаменатели при этом также не меняются.

5. Если нужно сложить дроби либо вычесть одну дробь из иной, а они имеют различные знаменатели, приведите дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте число, которое будет наименьшим всеобщим кратным (НОК) обоим знаменателям либо нескольким, если дробей огромнее 2-х. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

6. Позже знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к всякому слагаемому добавочные множители - то число, на которое нужно домножить и числитель, и знаменатель, дабы получить НОК. Ступенчато умножайте числители на добавочные множители, сберегая знак сложения либо вычитания.

7. Посчитайте итог, сократите его при необходимости либо выделите целую часть. Для примера – нужно сложить? и?. НОК для обеих дробей - 12. Тогда добавочный множитель к первой дроби - 4, ко 2-й - 3. Итого: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Если дан пример на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель итога) и знаменатели (получится знаменатель итога). В этом случае к всеобщему знаменателю их приводить не нужно.

9. Дабы поделить дробь на дробь, нужно опрокинуть вторую дробь «вверх ногами» и перемножить дроби. То есть а/b: с/d = a/b · d/c.

10. Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Скажем, переносите всеобщий множитель за скобку либо раскладывайте по формулам сокращённого умножения, дабы после этого дозволено было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД – минимальный всеобщий делитель.

Обратите внимание!
Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Скажем, невозможно сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма либо разность - 3a±4b.

Видео по теме

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.