Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

В соответствии с (8.2) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным ).

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует; поэтому поток вектора электрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они распределятся по поверхности проводника с некоторой плотностью о.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности.

На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Представим себе небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника (рис. 24.1). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит и D, равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность поля Е направлена по нормали к поверхности. Поэтому для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра а для внешнего основания (внешнее основание предполагается расположенным очень близко к поверхности проводника). Следовательно, поток смещения через рассматриваемую поверхность равен , где D - величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд ( - плотность заряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, получим: Отсюда следует, что напряженность поля вблизи поверхности проводника равна

где - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник (ср. с формулой (14.6), полученной для случая )

Рассмотрим поле, создаваемое изображенным на рис. 24.2 заряженным проводником. На больших расстояниях от проводника эквипотенциальные поверхности имеют характерную для точечного заряда форму сферы (на рисунке из-за недостатка места сферическая поверхность изображена на небольшом расстоянии от проводника; пунктиром показаны линии напряженности поля). По мере приближения к проводнику эквипотенциальные поверхности становятся все более сходными с поверхностью проводника, которая является эквипотенциальной. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, значит, и напряженность поля здесь больше. Отсюда следует, что плотность зарядов на выступах особенно велика (см. (24.3)). К такому же выводу можно прийти, учтя, что из-за взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже (см. рис. 24.3). Соответственно напряженность поля и плотность зарядов в этих местах будут меньше. Вообще, плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности - она растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность зарядов на остриях. Поэтому напряженность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что возникает ионизация молекул газа, окружающего проводник.

Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Поэтому такое явление называют истечением заряда с острия.

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

§1 Распределение заряда в проводнике.

Связь между напряженностью поля у поверхности проводника и поверхностной плотностью заряда

Следовательно, поверхность проводника при равновесии зарядов является эквипотенциальной.

При равновесии зарядов ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они распределены по поверхности проводника с некоторой плотностью σ.

Рассмотрим замкнутую поверхность в форме цилиндра, образующие которого перпендикулярны поверхности проводника. На поверхности проводника расположены свободные заряды с поверхностной плотностью σ.

Т.к. внутри проводника зарядов нет, то поток через поверхность цилиндра внутри проводника равен нулю. Поток через верхнюю часть цилиндра вне проводника по теореме Гаусса равен

т.е. вектор электрического смещения равен поверхностной плотности свободных зарядов проводника или

2. При внесении незаряженного проводника во внешнее электростатическое поле свободные заряды начнут перемещаться: положительные - по полю, отрицательные - против поля. Тогда с одной стороны проводника будут накапливаться положительные, а с другой отрицательные заряды. Эти заряды называются ИНДУЦИРОВАННЫМИ . Процесс перераспределения зарядов будет происходить до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярны его поверхности. Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения, т.е. являются поверхностной плотностью смещенных зарядов и т.к. то поэтому назвали вектором электрического смещения.

§2 Электроемкость проводников.

Конденсаторы

1. УЕДИНЕННЫМ называется проводник, удаленный от других проводников, тел, зарядов. Потенциал такого проводника прямо пропорционален заряду на нем

Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными Q 1 = Q 2 приобретает различные потенциалы φ 1 ¹ φ 2 из-за различной формы, размеров и окружающей проводник среды (ε). Поэтому для уединенного проводника справедлива формула

где - емкость уединенного проводника . Емкость уединенного проводника равна отношению заряда q , сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на 1 Вольт.

В системе SI емкость измеряется в Фарадах

Емкость шара

Рассчитаем емкость плоского конденсатора с площадью пластин S , поверхностной плотностью заряда σ, диэлектрической проницаемостью ε диэлектрика между пластинами, расстоянием между пластинами d . Напряженность поля равна

Используя связь Δφ и Е , находим

Емкость плоского конденсатора.

Для цилиндрического конденсатора:

Для сферического конденсатора

Т.к. при некоторых значениях напряжения в диэлектрике наступает пробой (электрический разряд через слой диэлектрика), то для конденсаторов существует пробивное напряжение. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

1. Емкость при параллельном и последовательном соединении конденсаторов

а) параллельное соединение

По закону сохранения заряда

б) последовательное соединение

По закону сохранения заряда

§3 Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Электростатическое поле является потенциальным. Силы, действующие между зарядами - консервативные силы. Система неподвижных точечных зарядов должна обладать потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию двух неподвижных точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.

Потенциальная энергия заряда q 2 в поле, создаваемом

зарядом q 1 , равна

Аналогично, потенциальная энергия заряда q 1 в поле, создаваемом зарядом q 2 , равна

Видно, что W 1 = W 2 , тогда обозначив потенциальную энергию системы зарядов q 1 и q 2 через W , можно записать

Если допустить обратное, то появятся электрические силы, пропорциональные напряженности электрического поля, которые вызовут движение зарядов такое, которое приведет к новому равновесному распределению зарядов. В соответствии с (3.1.36) условие (3.3.1) означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным (φ = const). Кроме того, отсутствие электрического поля внутри проводника, согласно теореме Гаусса, приводит и к отсутствию электрических зарядов внутри проводника.

1. Напряженность электрического поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

В этом случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Действительно, представим себе воображаемую поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Ее уравнение имеет вид:

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменится (dφ = 0). Следовательно, согласно (3.1.33), касательная к поверхности составляющая вектора равна нулю. Отсюда следует, что вектор в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Поскольку внутри проводника зарядов быть не может, любой избыточный заряд должен разместиться на поверхности проводника. Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном распределении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределится на полом проводнике точно так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут, что вытекает из того обстоятельства, что согласно закону Кулона, одноименные элементарные заряды, образующие заряд q, взаимно отталкиваются и стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направлении вектора Е, отрицательные - в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами (Рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1. Изменение электрического поля при внесении незаряженного проводника

Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Следовательно, накопление зарядов у концов проводника приводит к ослаблению в нем поля. Перераспределение зарядов происходит до тех пор, пока не будут выполнены условия () и (). Следовательно, незаряженный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности - они заканчиваются на отрицательных и вновь начинаются на положительных зарядах на поверхности проводника.

Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основано действие электростатической защиты: когда какой-либо прибор хотят защитить от внешних электрических полей, его помещают в проводящий экран.

3.3.2. Электроемкость

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Если проводнику, уже имеющему заряд q, сообщить еще заряд той же величины, то и этот заряд должен распределиться аналогично первому, т.е. так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Это справедливо при условии, что увеличение заряда не вызывает изменений в распределении зарядов на окружающих телах.

Потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду, поскольку увеличение в некоторое количество раз заряда приводит и к увеличению в то же число раз напряженности поля в окружающем проводник пространстве. Следовательно, так же возрастет работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника - потенциал. Поэтому для уединенного проводника должно выполняться соотношение:

Коэффициент пропорциональности называется электроемкостью (кратко - емкостью) проводника. Из (3.3.4) следует, что:

Это означает, что для данного уединенного проводника отношение его заряда к потенциалу есть величина постоянная и равная электроемкости. Последняя численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.

Найдем потенциал заряженного шара радиуса R. Используя (3.1.40), можно получить потенциал шара, проинтегрировав (3.1.22) от R до ∞:

Тогда с помощью (3.3.5) получим:

Если учесть, что величина электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью уменьшается в ε раз, то имеем для сферы:

Следовательно, емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, равна:

т.е. увеличилась в ε раз по сравнению со случаем, когда шар находится в вакууме или окружен воздухом.

За единицу емкости в системе СИ принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему зарядя в 1 Кл. Эта единица называется фарадой (1 Ф). Связь единиц системы СИ и СГСЭ имеет вид:

Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиуса 9·10 9 м, т.е. в 1500 раз большим, чем радиус Земли. Следовательно, 1 Ф - очень большая величина. Поэтому на практике применяют - мкФ или пФ.

3.3.3. Конденсаторы

Уединенные проводники обладают относительно малой емкостью. Шар размерами, равными Земле, мог бы иметь емкость всего 700 мкФ. В электро - и радиотехнике есть необходимость в устройствах, которые обладали бы способностью при относительно небольшом потенциале накапливать значительную величину заряда. В основу таких устройств - конденсаторов положен тот факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел.

Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Эти проводники называют обкладками. Форма и расположение обкладок должны быть такими, чтобы внешние тела не оказывали влияние на конденсатор, т.е. поле, создаваемое зарядами конденсатора, должно быть сосредоточено внутри обкладок. Этому условию удовлетворяют плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрической индукции начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, свободные заряды, сосредоточенные на разных обкладках, будут иметь одну и ту же величину, но противоположный знак. Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда одной из обкладок к разности потенциалов на обкладках:

Величина емкости определяется геометрическими размерами конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей зазор между обкладками. Емкость не зависит от того, из какого проводящего материала сделаны обкладки.

Найдем формулу емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, заряд на ней q и между пластинами находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то напряженность поля в такой системе имеет значение:

Согласно (3.1.33), разность потенциалов имеет вид:

тогда для емкости плоского конденсатора получаем формулу:

Отсюда следует, чтобы получить возможно большую емкость, нужно взять наибольшую площадь обкладок, расположить их на минимальном расстоянии друг от друга и поместить в зазоре между ними диэлектрик с высоким значением диэлектрической проницаемости ε.

Помимо емкости, каждый тип конденсаторов характеризуется предельной разностью потенциалов (напряжением) U макс = φ 1 - φ 2 , которые можно прилагать к обкладкам, не опасаясь его пробоя. При превышении этого значения между обкладками возникает искра, которая разрушает диэлектрик и выводит из строя конденсатор.

Используя несколько конденсаторов, можно изменять емкость такой системы, используя различные способы их соединения. Наиболее важные - параллельное и последовательное соединения.

При параллельном соединении (Рис. 3.3.2) одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал φ 1 , а другая - φ 2 .

Рис. 3.3.2. Параллельное соединение конденсаторов

На каждой из двух систем соединенных обкладок накапливается суммарный заряд:

Из (3.3.14) легко получить емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов:

Емкости в этом случае складываются. Предельное напряжение равно наименьшему из U макс конденсаторов, включенных в батарею.

На Рис. 3.3.3. показано последовательное соединение конденсаторов.

Рис. 3.3.3. Последовательное соединение конденсаторов

Вторая обкладка первого конденсатора образует с первой обкладкой второго конденсатора единый проводник. То же самое справедливо для второй обкладки второго конденсатора и первой обкладки третьего конденсатора и т.д. Следовательно, для всех так соединенных конденсаторов характерна одинаковая величина заряда q на обкладках. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторов имеет величину.

В электрическое поле \(~\vec E_0\) на свободные электроны действуют электрические силы, под действием которых электроны приходят в движение. Если электрическое поле не слишком велико, то электроны не могут покинуть объем металла и скапливаются на одной стороне проводника, с другой стороны проводника образуется недостаток электронов, поэтому положительный заряд ионов решетки оказывается нескомпенсированным (рис. 225). Таким образом, на поверхности проводника появляются электрические заряды, при этом суммарный заряд проводника остается, конечно, неизменным.

Явление возникновения электрических зарядов на проводнике под воздействием электрического поля называется электростатической индукцией, а возникшие заряды – индуцированными .

Появившиеся индуцированные заряды создают собственное индуцированное электрическое поле \(~\vec E"\), которое направлено в сторону, противоположную внешнему полю (рис. 226). Конечно, эти заряды создают поле как внутри проводника, так и вне его. Суммарное поле \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E"\) отличается от внешнего поля.

Рассмотренные особенности поведение проводников достаточно легко проиллюстрировать экспериментально.

Мы уже упоминали, что стрелка электроскопа отклоняется даже в том случае, когда заряженное тело не прикасается к его стержню (рис. 227). Это явление легко объясняется явлением электростатической индукции. Для увеличения эффекта, на стержень электроскопа следует насадить сферическую насадку. Поднесем к металлической сфере заряженную стеклянную палочку, заряд которой положительный. Под действием электрического поля зарядов палочки произойдет перераспределение зарядов на сферической насадке, стержне и стрелке. Отрицательно заряженные электроны под действием электрического поля будут приближаться к палочке, поэтому сфера приобретет отрицательный заряд, равный ему положительный заряд распределится между стержнем и стрелкой. Суммарный заряд электроскопа останется равным нулю. Вследствие электрического отталкивания между положительными зарядами стержня и стрелки, последняя отклонится.

Зарядим электроскоп, прикоснувшись к нему заряженной стеклянной палочкой. Если теперь к насадке поднести незаряженное проводящее тело (например, просто свою руку), не касаясь насадки, отклонение стрелки электроскопа уменьшится (рис. 228). Это явление объясняется следующим образом: под действием положительного заряда электроскопа на руке индуцируются заряды противоположного знака, которые притянут положительные заряды стрелки и стержня к насадке, то есть между ними произойдет перераспределение зарядов, в результате чего заряд стрелки и стержня уменьшится.

Электростатической индукцией объясняется и притяжение незаряженного тела к заряженному. Если заряженную стеклянную палочку поднести к небольшому проводящему телу (например, кусочку фольги), то в этом теле произойдет перераспределение зарядов: ближняя к палочке часть зарядится отрицательно, дальняя положительно (рис. 229). Следовательно, тело приобретет дипольный момент. Так как электрическое поле, создаваемое зарядом палочки не является однородным, а убывает с расстоянием, то на кусочек фольги будет действовать сила притяжения, поэтому незаряженное тело втягивается в область более сильного поля.

Подчеркнем, одним из необходимых условий притяжения незаряженного тела к заряженному является неоднородность электрического поля – если поместить проводящее тело в однородное электрическое поле (рис. 230), то индуцированные заряды возникнут, но суммарная сила, действующая на них, будет равна нулю!

Задание для самостоятельной работы.

1. Что произойдет с отклонением стрелки заряженного электроскопа, если к его насадке поднести другое заряженное тело (не касаясь насадки)?

Некоторые важнейшие свойства электрического поля, и распределения зарядов на проводниках можно получить, рассматривая только условия равновесия электрических зарядов. Условия равновесия не изменятся, если проводнику сообщить избыточный заряд, который также перераспределится по поверхности проводника, и также будет создавать электрическое поле. Далее, мы рассмотрим условия равновесия зарядов на проводнике и электрического поля, независимо от того, какими зарядами это поле создается – изначально находящимися на проводнике, индуцированными, или внешними; тем более, что нет принципиальной возможности разделить и различить эти поля, так как единственной реальностью является суммарное электрическое поле.

1. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю \(~\vec E = \vec 0\). Можно предположить, что заряды, возникающие на поверхности проводника, образуются крайне незначительной долей общего количества свободных электронов, поэтому внутри проводника всегда имеется значительное число свободных электронов. Если внутри проводника существует отличное от нуля электрическое поле, то под его действием свободные электроны будут продолжать перемещаться, в стационарном же состоянии равновесия такое движение прекращается. Следовательно, в состоянии равновесия поле индуцированных зарядов \(~\vec E"\) полностью компенсирует внешнее поле \(~\vec E_0\) . В некоторых пособиях утверждается, что проводники «не пропускают» электрическое поле. Данное высказывание не совсем корректно – проводник создает собственное поле, которое компенсирует внешнее, породившее его поле.

   

   Проверим высказанное предположение о малости числа электронов, образующих индуцированные заряды. Пусть медная пластинка помещена в однородное электрическое поле перпендикулярно его силовым линиям (рис. 231). Под действием внешнего электрического поля на гранях пластинки возникнут индуцированные электрические заряды, поверхностную плотность которых обозначим σ . Эти заряды породят электрическое поле, напряженность которого равна \(~E" = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . В состоянии равновесия это поле полностью компенсирует внешнее поле \(~\vec E_0\) , поэтому \(E" = E_0\) , а поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью внешнего поля соотношением \(\sigma = \varepsilon_0 E_0\) . Число электронов, приходящихся на единицу площади поверхности (поверхностная концентрация), равно \(~n_{pov} = \frac{\sigma}{e} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{e}\) , где e - заряд электрона. Для численной оценки примем, что напряженность внешнего поля равна E 0 = 1·10 5 В/м = 1·10 3 В/см (что в тысячу раз превышает напряженность электрического поля Земли). Тогда поверхностная концентрация электронов равна \(~n_{pov} = \frac{\varepsilon_0 E_0}{e} = \frac{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot 10^5}{1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 6 \cdot 10^{12} m^{-2} = 6 \cdot 10^{10} cm^{-2}\) . На первый взгляд достаточно много, но сравним с общим числом электронов в единице объема. Для расчета концентрации электронов примем, что каждый атом меди отдает один электрон в электронное облако. Число атомов меди (следовательно, и число свободных электронов) в единице объема рассчитаем следующим образом: масса единицы объема равна плотности меди ρ = 9 г/см 3 ; число молей вещества в единице объема равно \(~\nu = \frac{m}{M} = \frac{\rho}{M}\) , где M ≈ 65 г/моль - молярная масса меди; концентрация атомов (и свободных электронов) \(~n_{ob} = \nu N_A = \frac{\rho}{M} N_A \approx 8 \cdot 10^{22} cm^{-3}\) . Если принять толщину пластинки h = 1 см, то доля электронов, которые оказались на поверхности, оказывается равной \(~\eta = \frac{n_{pov}}{n_{ob} h} \approx 10^{-12}\) , что действительно крайне мало (одна десятимиллиардная доля процента). Напомним, такая доля электронов создает индуцированные заряды, если к медной пластинке толщиной в один сантиметр приложить напряжение в тысячу вольт! Поэтому с высокой степенью точности можно считать, что появление индуцированных зарядов не изменяет объемную концентрацию свободных электронов.

2. Все точки проводника имеют одинаковые потенциалы . Это утверждение является прямым следствием связи между разностью потенциалов и напряженностью поля \(~\Delta \varphi = - \vec E \cdot \Delta \vec l\) . Если напряженность поля внутри проводника равна нулю, то разность потенциалов также равна нулю, поэтому потенциалы всех точек проводника одинаковы. Также можно привести еще одно равноценное доказательство: если между двумя точками проводника существует разность потенциалов, то между ними будет течь электрический ток, то есть равновесия не будет.
3. В состоянии равновесия все заряды располагаются только на поверхности проводника, объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю .

   

   Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Допустим, что в некоторой части проводника существует заряженная область. Окружим эту область замкнутой поверхностью S (рис. 232). Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность отличен от нуля и пропорционален заряду, находящемуся внутри поверхности. Следовательно, в точках этой поверхности напряженность электрического поля отлична от нуля. Но мы доказали, что в состоянии равновесия внутри проводника электрическое поле отсутствует, мы пришли к противоречию, поэтому внутри проводника электрические заряды отсутствуют. Реально, если каким то образом внутрь проводника поместить избыточный электрический заряд, то под действием сил отталкивания этот заряд «разбежится» на поверхность проводника. Строго говоря, электрические заряды существуют в очень тонком слое вблизи поверхности, толщина которого измеряется несколькими атомными слоями, поэтому практически можно говорить о поверхностном заряде, пренебрегая толщиной заряженного слоя.

4. У поверхности проводника вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно поверхности проводника .

   

   Опять воспользуемся доказательством методом от противного – предположим, что в некоторой точке поверхности проводника вектор напряженности электрического поля \(~\vec E\) направлен под некоторым углом к поверхности проводника (рис. 233). Разложим это вектор на две составляющих: нормальную \(~\vec E_n\), перпендикулярную поверхности, и тангенциальную \(~\vec E_{\tau}\) - направленную по касательной к поверхности. Аналогично можно провести и разложения вектора силы, действующей на электроны. Нормальная составляющая этой электрической силы уравновешивается силой, действующей на электрон со стороны кристаллической решетки. Под действием же тангенциальной составляющей электроны придут в движение вдоль поверхности, но …нас интересует состояние равновесия, поэтому в состоянии равновесия тангенциальная составляющая электрического поля отсутствует. Если в какой-то момент времени тангенциальная составляющая поля отлична от нуля, то под ее действием начнется движение электрических зарядов, которое будет продолжаться до тех пор, пока не установится такое распределение зарядов, при котором вектор поля будет перпендикулярен поверхности во всех ее точках.

5. Напряженность электрического поля у поверхности проводника связана с поверхностной плотностью зарядов соотношением \(~E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . Итак, мы установили, что внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю, а у поверхности вектор напряженности перпендикулярен поверхности проводника. Кроме того, электрические заряды локализованы на поверхности проводника. Эти факты позволяют с помощью теоремы Гаусса установить связь между напряженностью поля и поверхностной плотностью заряда.

   

   Выделим на поверхности проводника малую площадку, площадью ΔS , поверхностную плотность заряда на ней обозначим σ , и будем считать ее постоянной в пределах выбранной малой площадки (рис. 234). Окружим эту площадку замкнутой поверхностью, состоящей из двух частей: первая Ω 1 расположена над поверхностью и непосредственно примыкает к выбранной площадке ΔS , вторая Ω 2 находится под поверхностью, внутри проводника. Поток вектора напряженности через поверхность Ω 2 равен нулю, так как внутри проводника поля отсутствует Ф E2 = 0; поток вектора напряженности через поверхность Ω 1 равен произведению напряженности поля на площадь площадки Ф E1 = E ΔS , так как на этой поверхности вектор напряженности направлен вдоль нормали. Так как Ω 1 и Ω 2 образуют замкнутую поверхность, то суммарный поток через нее равен заряду, находящемуся внутри поверхности q = σ ΔS , деленному на электрическую постоянную ε 0 \[~\Phi_{E1} + \Phi_{E2} = \frac{q}{\varepsilon_0}\] . Подставив выражения для потоков и заряда \(~E \Delta S + 0 = \frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}\) , получим искомое соотношение \(~E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . (1) К сожалению, эта формула только устанавливает связь между напряженностью поля и плотностью заряда, хотя обе величины остаются неизвестными.

Следует отметить, что электрическое поле E , входящее в формулу (1) создается не только зарядами, находящимися на выбранной площадке ΔS , но и всеми остальными зарядами на проводнике и вне его (рис. 235). Представим это поле в виде суммы полей \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E_1\) , где \(~\vec E_0\) напряженность поля, создаваемого зарядами на площадке σ 0 ; \(~\vec E_1\) - напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами σ 1 . Рассмотрим теперь эти поля непосредственно под площадкой ΔS внутри проводника. Напряженность поля \(~\vec E"_0\) зарядов σ 0 будет направлена в противоположную сторону, так как рассматривается точка с противоположной стороны площадки. А напряженность поля остальных зарядов остается неизменной, так как мы выбираем две точки в непосредственной близости друг от друга. Теперь, внимание, так как внутри проводника поле отсутствует, то \(~\vec E_1 - \vec E_0 = \vec 0\) , поэтому модули напряженности этих полей равны и определяются формулой \(~E_0 = E_1 = \frac{E}{2} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) . С помощью полученного соотношения можно вычислить силу, действующую на выбранную площадку поверхности, как произведение заряда площадки \(~q = \sigma \Delta S = \varepsilon_0 E \Delta S\) на напряженность поля E 1 , создаваемого всеми зарядами кроме, заряда на самой площадке \(~F = q E_1 = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta S\). Сила, действующая на единицу площади поверхности проводника со стороны электрического поля (то есть давление поля) вычисляется по формуле

\(~P = \frac{F}{\Delta S} = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\) .

Удивитесь (и попытайтесь его осмыслить) полученному результату: давление электростатического поля на поверхность проводника равно плотности энергии электрического поля!

ЛЕКЦИЯ №5,6

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. По этой причине для рав­новесия зарядов на проводнике крайне важно выполнение следующих условий:

В соответствии с это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным (φ = const).

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к по­верхности:

Е = Е n . (1.47)

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

В случае если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия рав­новесия. Представим себе произвольную замкнутую по­верхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри провод­ника отсутствует; в связи с этим поток вектора электрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно тео­реме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности также бу­дет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов – ­всœе они распределяются по поверхности проводника с неко­торой плотностью σ.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, из­быточный заряд распределяется на полом проводнике также, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточ­ные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Вне проводника в непосредственной близости к нему на­пряженность поля Е направлена по нор­мали н поверхности. По этой причине для вы­ступающей наружу боковой поверхности цилиндра D n =0, а для внешнего основания D n =D (внешнее основа­ние предполагается расположенным очень близко к поверх­ности проводника). Следовательно, поток смещения че­рез рассматриваемую поверхность равен DdS, где D – смещение в непосредственной близости н поверхно­сти проводника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд σdS (σ - плотность заряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, получим: DdS = σdS, т. е. D = σ. Отсюда следует, что напряжен­ность поля вблизи поверхности проводника равна

где ε - диэлектрическая проницаемость среды, окружаю­щей проводник.

более сходными с поверхностью проводника, которая является эквипотенци­альной. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, значит, и напряженность поля здесь больше. Следовательно, плотность зарядов на выступах особенно велика (см. (1.48)). К такому же выводу можно прийти, учтя, что из-за взаимного отталкива­ния заряды стремятся расположиться как мож­но дальше друг от друга.

Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже (рис. 23). Соответственно напряженность поля и плотность зарядов в этих местах будут меньше. Вообще, плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверх­ности - она растет с увеличением положительной кри­визны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицатель­ной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плот­ность зарядов на остриях. По этой причине напряженность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что воз­никает ионизация молекул газа, окружающего проводник. Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, увлекая с собой ней­тральные молекулы газа. В результате возникает ощу­тимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. в связи с этим такое явление называют истечением заряда с острия.