Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Декартова система координат — система координат, включающая в себя тела отсчёта () и 3 взаимно перпендикулярные оси (OX, OY и OZ). В школьном курсе физики и математики чаще всего обходятся двумерным (OX, OY) и одномерным (OX) случаем.

Рис. 1. Пример одномерной декартовой системы координат.

Поставим точку в любое место тетради. Данная точка будет началом отсчёта для нашей декартовой системы координат. На ней проведём линию (для упрощения, горизонтальную), которая будет делиться выбранной точкой примерно пополам. Представим нашу линию как (допишем стрелочку на правом окончании линии) и выставим обозначения: пусть точка называется О , а над стрелкой поставим букву X (рис. 1).

Возьмём точку А на луче OX. Также у нас уже готов единичный отрезок (для ясности, назовём его ). Заметим, что количество единичных отрезков, необходимых, чтобы «добраться» до точки A от начала координат, равно 5. Соответственно, и координата точки А есть 5. Аналогичные умозаключения приведут к тому, что координатой точки B станет -3 (знак «-» выберем из-за обратного оси OX направления на точку B).

Рис. 3. Введение единичного отрезка. Координаты точки.

Рис. 4. Двумерная декартова система координат

Теперь вспомним, что часто движение в задачах происходит в двумерном пространстве. Для описания положения тел в этом случае используется двумерная система координат (XOY). Для задания данной системы координат достаточно взять две перпендикулярные оси (вектора под углом 90 градусов). Единичные отрезки выбираются для нужд задачи (по каждой из осей они могут быть свои) (рис. 4).

Для наглядности, вдоль осей выбраны разные единичные отрезки ( и ). Поставим точку А в любое место плоскости. Опуская перпендикуляры на обе оси, мы находим точки пересечения перпендикуляров с осями. Сами точки пересечения отсекают какое-то количество единичных отрезков по соответствующим осям. Таким образом, мы можем приписать выбранной точке А два числа (в нашем случае, 5 и 3). Данные числа символизируют координаты (а значит, и положение) точки на координатной плоскости. Записывать координаты точки принято в форме (X,Y), т.е., в нашем случае, A(5,3).

Не особо часто, но встречается также трёхмерная декартова система система координат (рис. 5).

Рис. 5. Трёхмерная декартова система координат

Для наглядности, были выбраны три разные по длине единичные отрезки ( , и ). Данная система отличается от предыдущей только лишь введением третьей оси (OZ), перпендикулярной двум выбранным ранее осям. Данная система полностью описывает положение точки в нашем трёхмерном мире (задаёт три параметра тела: длину, ширину и высоту). Для третьей оси также вводят единичный отрезок и работают с ним с той же самой логикой, как и с описанными выше. Задание положения точки в этой системе происходит аналогично предыдущим, только с добавлением третьей координаты A(X,Y,Z).

Общий вывод. Введение декартовой системы координат позволяет математически описать положение и изменение положения точки на плоскости и в пространстве. Усвоив правила построения системы, каждый испытатель может проанализировать решения и выводы других исследователей и предложить своё решение любой задачи в математических формулах, которое будет понятно остальным.

Декартова система координат обновлено: Сентябрь 9, 2017 автором: Иван Иванович

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет»

Кафедра педагогики

реферат

По дисциплине: методика обучения математике

на тему: «Декартовая система координат»

Выполнила:

Викторова О.К.

Проверил:

канд. пед. наук, профессор

Бородина М.В.

Йошкар-Ола

2015

1. Рене Декарт. Биография………………………………………………….3
2. Вклад Декарта в развитие математики как науки…………………….6
3. Возможный метод изучения декартовой системы координат на примере легенды об ее открытии……………………………………………………8
4. Заключение………………………………………………………………15
5. Список используемой литературы……………………………………..16

1. Биография

Рене́ Дека́рт — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.

Декарт происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода де Карт — отсюда впоследствии возникло его латинизированное имя Картезиус и направление в философии — картезианство; и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился 31 марта 1596 года в городе Лаэ, Франция. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Отец Декарта был судьёй в городе Ренн и в Лаэ появлялся редко; воспитанием мальчика занималась бабушка по матери. В детстве Рене отличался хрупким здоровьем и невероятной любознательностью.

Начальное образование Декарт получил в иезуитском колле́же Ла Флеш, где его учителем был Жан Франсуа. В коллеже Декарт познакомился с Мареном Мерсенном (тогда — учеником, позже — священником), будущим координатором научной жизни Франции. Религиозное образование только укрепило в молодом Декарте скептическое отношение к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

В 1612 году Декарт закончил коллеж, некоторое время изучал право в Пуатье, затем уехал в Париж, где несколько лет чередовал рассеянную жизнь с математическими исследованиями. Затем он поступил на военную службу (1617) — сначала в революционной Голландии (в те годы — союзнице Франции), затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). В Голландии в 1618 г. Декарт познакомился с выдающимся физиком и натурфилософом Исааком Бекманом, оказавшим значительное влияние на его формирование как учёного. Несколько лет Декарт провёл в Париже, предаваясь научной работе, где, помимо прочего, открыл принцип виртуальных скоростей, который в то время никто ещё не был готов оценить по достоинству.

Затем — ещё несколько лет участия в войне (осада Ля-Рошели). По возвращении во Францию оказалось, что свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт переезжает в Голландию (1628), где проводит 20 лет в уединённых научных занятиях.

Он ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы (через верного Мерсенна), изучает самые различные науки — от медицины до метеорологии. Наконец, в 1634 году он заканчивает свою первую, программную книгу под названием «Мир» (Le Monde), состоящую из двух частей: «Трактат о свете» и «Трактат о человеке». Но момент для издания был неудачным — годом ранее инквизиция чуть не замучила Галилея. Поэтому Декарт решил при жизни не печатать этот труд. Он писал Мерсенну об осуждении Галилея:

«Это меня так поразило, что я решил сжечь все мои бумаги, по крайней мере никому их не показывать; ибо я не в состоянии был вообразить себе, что он, итальянец, пользовавшийся расположением даже Папы, мог быть осуждён за то, без сомнения, что хотел доказать движение Земли… Признаюсь, если движение Земли есть ложь, то ложь и все основания моей философии, так как они явно ведут к этому же заключению».

Вскоре, однако, одна за другой, появляются другие книги Декарта:

«Рассуждение о методе…» (1637)

«Размышления о первой философии…» (1641)

«Первоначала философии» (1644)

В «Первоначалах философии» сформулированы главные тезисы Декарта:

«Бог сотворил мир и законы природы, а далее Вселенная действует как самостоятельный механизм».

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления».

«Математика — мощный и универсальный метод познания природы, образец для других наук».

Кардинал Ришельё благожелательно отнёсся к трудам Декарта и разрешил их издание во Франции, а вот протестантские богословы Голландии наложили на них проклятие (1642); без поддержки принца Оранского учёному пришлось бы нелегко.

В 1649 году Декарт, измученный многолетней травлей за вольнодумство, поддался уговорам шведской королевы Кристины (с которой много лет активно переписывался) и переехал в Стокгольм. Почти сразу после переезда он серьёзно простудился и вскоре умер. Предположительной причиной смерти явилась пневмония. Существует также гипотеза о его отравлении, поскольку симптомы болезни Декарта были сходны с симптомами, возникающими при остром отравлении мышьяком. Эту гипотезу выдвинул Айки Пиз, немецкий учёный, а затем поддержал Теодор Эберт. Поводом для отравления, по этой версии, послужило опасение католических агентов, что вольнодумство Декарта может помешать их усилиям по обращению королевы Кристины в католичество (это обращение действительно произошло в 1654 году).

К концу жизни Декарта отношение церкви к его учению стало резко враждебным. Вскоре после его смерти основные сочинения Декарта были внесены в пресловутый «Индекс», а Людовик XIV специальным указом запретил преподавание философии Декарта («картезианства») во всех учебных заведениях Франции.

1. Вклад Декарта в развитие математики как науки

В 1637 году вышел в свет главный философско-математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).

В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль).

Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».

Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его.

Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует.

Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с вещественными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней многочлена равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева.

Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём.

Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.

1. Возможный метод изучения декартовой системы координат на примере легенды об ее открытии

Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта.

Однажды Рене Декарт весь день пролежал в кровати, думая о чем-то, а муха жужжала вокруг и не давала ему сосредоточиться. Он стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени математически, чтобы иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И... придумал декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества. Проследим путь открытия системы координат согласно этой легенде в картинках.

Время открытия: 1637 год.

Действующие лица:

Место действия: "кабинет" Рене Декарта.

На рисунке условно показаны три стены кабинета:

стена с дверным проемом

Профильная плоскость

пол - горизонтальная плоскость

стена с оконными проемами

Фронтальная плоскость;

Обратите внимание! Каждые две плоскости пересекаются по прямой

линии.

1. На фронтальную плоскость садится муха

1. Предположим, что

Рене Декарт смотрит на

фронтальную плоскость в

перпендикулярном ей

направлении.

Мы видим, что муха

находится на

фронтальной плоскости.

Но как точно определить

ее положение ?

1. Эврика!

Нужно взять две взаимно перпендикулярные числовые прямые. Точку пересечения прямых обозначим как О - начало системы координат. Одну из прямых назовем ось X, другую - ось Y.

На нашем рисунке расстояние между делениями на числовых прямых

равно единице.

Внимание! Вы можете выбрать начало координат и направление осей

так, как это удобно в конкретной задаче.

1. Определим точное положение "соавтора" - мухи.

Проведем через точку, где находится муха две прямые:

1. Параллельно оси X. Прямая пересекает ось Y в точке с числовым

значением, равным 4. Это значение назовем координатой "у" нашего

1. Параллельно оси Y. Прямая пересекает ось Х в точке с числовым

значением, равным (-2). Это значение назовем координатой "х" нашего объекта.

Принято координаты объекта, обычно точки, записывать в форме (x, y). Для нашей мухи мы можем сказать, что она находится в точке с координатами (-2, 4).

Задача точного определения положения мухи решена!

Новизна идеи состоит в том, что положение точки или объекта на

плоскости определяется с помощью двух пересекающихся осей.

Точно так же можно поступить и для определения положения мухи на

потолке.

Определите положение жука и бабочки на координатной плоскости.

Все эти примеры демонстрируют преимущества координатного способа определения положения мухи, жука и бабочки на плоскости с помощью системы координат Декарта. А как определить координаты тех же насекомых, если они летают, ведь в этом случае они не ползают по поверхности стены или потолка.

Для измерения положения объектов в пространстве в начале 19-го века

была добавлена ось Z, которая направлена перпендикулярно осям X и Y.

На рисунке ось Z направлена вверх.

Представьте себе, что амурский кот сидит на ветке дерева.

Если бы кот упал на горизонтальную плоскость - плоскость XOY, точка

его падения имела координаты (X1, Y1). Кот сидит на высоте Z1 от горизонтальной плоскости. Итак, положение амурского кота в пространстве

можно описать тремя координатами (X1, Y1 Z1), он находится на некоторой

высоте над поверхностью земли.

Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе и

нулевые, это означает, что объект находится на какой-то координатной оси.

Если все три координаты имеют нулевые значения - объект находится в начале системы координат.

Давайте определим координаты различных объектов на следующем

рисунке.

Попугай находится в точке с координатами (0, 0, Z1) .

Бобер слева - (X1 0 0) . Бобер справа - (0 Y1 0) .

Мышь - (X1 Y1 0) . Кот амурский - (X1 Y1 Z1) .

Ответьте на вопрос:

"Куда нужно сесть этому хамелеону?"

1. Заключение

Декартовая система координат подтолкнула науку математику, вывела ее на совершенно новый уровень. Геометрия стала развиваться стремительнее. В данной работе рассмотрена координатная система на уровне 5-6 классов, чтобы дети заинтересовались и главное поняли, каким образом работать с системой координат. Конечно же в дальнейшем изучение декартовой системы координат будет более углубленное. В более старших классах речь пойдет о трехмерном пространстве. О построении объемных фигур и т. д. Изучение декартовой системы координат является одним из самых важных аспектов математики как науки, и каждый учитель должен донести свои знания до каждого ученика так, чтобы эти знания усвоились на всю жизнь.

1. Список используемой литературы

1. Любимов Н.А. Философия Декарта. СПб., 1886
2. Лят-кер Я.А. Декарт. М., 1975
3. Фишер К. Декарт: его жизнь, сочинения и учение. СПб., 1994
4. Мамардашвили М.К. Картезианские размышления. М., 1995
5. Используемые сайты: https://ru.wikipedia.org

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене) .
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.
***
Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P .
Двухмерная система координат
P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
В двухмерной системе координат горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось O X ), вертикальная ось - осью ординат (ось ОY). Положительные направления выбирают на оси O X - вправо, на оси O Y - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.
Трехмерная система координат
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или проекции радиус-вектора (см. РАДИУС-ВЕКТОР) r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
Через произвольную точку пространства O - начало координат - проведены три попарно перпендикулярные прямые: ось O X (ось абсцисс), ось O Y (ось ординат), ось O Z (ось аппликат).
На осях координат могут задаваться единичные вектора i , j , k по осям OX ,OY , OZ соответственно.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая и левая координатные системы. Как правило, пользуются правой системой координат. В правой системе координат положительные направления выбирают следующим образом: по оси O X - на наблюдателя; по оси OY - вправо; по оси OZ - вверх. В правой системе координат кратчайший поворот от оси X к оси Y осуществляется против часовой стрелки; если одновременно с таким поворотом двигаться вдоль положительного направления оси Z , то получится движение по правилу правого винта.
Запись P(a,b,c) означает, что точка Р имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.
Каждая тройка чисел (a,b,c) задает единственную точку Р. Следовательно, прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.
Кроме координатных осей существуют также координатные плоскости. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.
Координатная плоскость X O Y содержит оси O X и O Y , координатная плоскость Y O Z содержит оси O Y и O Z , координатная плоскость X O Z содержит оси O X и O Z .

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое "ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ" в других словарях:

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям одинаковы и оси координат взаимно перпендикулярны. Д. с. к. обозначается буквами x:, у для точки на плоскости или x, у, z для точки в пространстве. (См.… …

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как х и у) перпендикулярны.… … Научно-технический энциклопедический словарь

Прямоугольная, или декартова система координат наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве. Содержание 1 Прямоугольная система координат на плоскости … Википедия

декартова система координат

Прямолинейная система координат (См. Координаты) на плоскости или в пространстве (обычно с одинаковыми масштабами по осям). Сам Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (вообще, косоугольную). Часто… … Большая советская энциклопедия

Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

декартова система - Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система, f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas

СИСТЕМА КООРДИНАТ - совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия

Ортонормированная прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. Д. п. с. к. на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми осями координат, на каждой из к рых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной … Математическая энциклопедия

Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Книги

• Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы. Учебное пособие , Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Книга посвящена систематическому изложению теоретических основ для постановки задач математического моделирования течений жидкостей и газов. Особое внимание уделено вопросам построения…

В пространстве, в которой положение точки может быть определено как её проекции на фиксированные прямые, пересекающиеся в одной точке, называемой началом координат. Эти проекции называются координатами точки, а прямые - осями координат.

В общем случае на плоскости декартова система координат (аффинная система координат) задаётся точкой О (началом координат) и упорядоченной парой приложенных к ней не лежащих на одной прямой векторов е 1 и е 2 (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат данной декартовой системы координат. Первая, определяемая вектором е 1 , называется осью абсцисс (или осью Ох), вторая - осью ординат (или осью Оу). Сама декартова система координат обозначается Ое 1 е 2 или Оху. Декартовыми координатами точки М (рисунок 1) в декартовой системе координат Oe 1 е 2 называется упорядоченная пара чисел (х, у), которые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по базису {е 1 , е 2 }, то есть х и у таковы, что ОМ = хе 1 + уе 2 . Число х, -∞ < x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Если на плоскости введены две декартовы системы координат Oe 1 e 2 и 0’е’ 1 е’ 2 так, что векторы базиса {е’ 1 , е’ 2 } выражены через векторы базиса {e 1 ,е 2 } формулами

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 е 2 , е’ 2 = а 21 e 1 + a 22 e 2

и точка О’ имеет в декартовой системе координат Оe 1 e 2 координаты (х 0 , у 0), то координаты (х, у) точки М в декартовой системе координат Оe 1 e2 и координаты (х’, у’) той же точки в декартовой системе координат О’е 1 е’ 2 связаны соотношениями

х = а 11 х’ + а 21 у’ + х 0 , у = а 12 х’+ а 22 у’+ у 0 .

Декартову систему координат называют прямоугольной, если базис {е 1 , е 2 } ортонормированный, то есть векторы е 1 и е 2 взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные единице (векторы е 1 и е 2 называют в этом случае ортами). В прямоугольной декартовой системе координат координаты х и у точки М суть величины ортогональных проекций точки М на оси Ох и Оу соответственно. В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстояние между точками М 1 (х 1 , у 1) и М 2 (х 2 , у 2) равно √(х 2 -х 1) 2 + (y 2 -y 1) 2

Формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат Оху к другой прямоугольной декартовой системе координат О’х’у’, начало которой О’ декартовой системы координат Оху есть О’(х0, у0), имеют вид

х = х’cosα - у’sinα + х 0 , у = х’sin α + у’cosα + у 0

х = х’cosα + у’sinα + х 0 , у = х’sinα - у’cosα + у 0 .

В первом случае система О’х’у’ образуется поворотом базисных векторов е 1 ; е 2 на угол α и последующим переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 2),

а во втором случае - поворотом базисных векторов е 1 , е 2 на угол α, последующим отражением оси, содержащей вектор е 2 относительно прямой, несущей вектор е 1 , и переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 3).

Иногда используются косоугольные декартовы системы координат, отличающиеся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не является прямым.

Аналогично определяется общая декартова система координат (аффинная система координат) в пространстве: задаётся точка О - начало координат и упорядоченная тройка приложенных к ней не лежащих в одной плоскости векторов е 1 , е 2 , е 3 (базисных векторов). Как и в случае плоскости, определяются оси координат - ось абсцисс (ось Ох), ось ординат (ось Оу) и ось аппликат (ось Оz) (рисунок 4).

Декартова система координат в пространстве обозначается Oe 1 е 2 е 3 (или Oxyz). Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями. Декартова система координат в пространстве называется правой, если поворот от оси Ох к оси Оу совершается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-нибудь точки положительной полуоси Оz, в противоположном случае декартова система координат называется левой. Если базисные векторы е 1 , е 2 , е 3 имеют длины, равные единице, и попарно перпендикулярны, то декартова система координат называется прямоугольной. Положение одной прямоугольной декартовой системы координат в пространстве относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.

Декартова система координат названа по имени Р. Декарта, хотя в его сочинении «Геометрия» (1637) рассматривалась косоугольная система координат, в которой координаты точек могли быть только положительными. В издании 1659-61 годов к «Геометрии» приложена работа голландского математика И. Гудде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат. Пространственную декартову систему координат ввёл французский математик Ф. Лаир (1679). В начале18 века установились обозначения х, у, z для декартовых координат.