Построение графиков тригонометрических функций в 11классе

Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань

Спиридонова Л.В.

• Тригонометрические функции числового аргумента
• y=sin(x)+m и y=cos(x)+m
• Построение графиков функций вида y=sin(x+t) и y=cos(x+t)
• Построение графиков функций вида y=A · sin(x) и y=A · cos(x)
• Примеры

Тригонометрические функции числового аргумента.

y=sin(x)

y=cos(x)

Построение графика функции y = sin x .

Построение графика функции y = sin x .

Построение графика функции y = sin x .

Построение графика функции y = sin x .

Свойства функции у = sin ( x ) .

всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x

• π .

sin (x + 2 π ) = sin(x).

5. Функция непрерывная

Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] .

+

+

+

-

-

-

Построение графика функции y = cos x .

График функции у = cos x получается переносом

графика функции у = sin x влево на π /2.

Свойства функции у = со s ( x ) .

1. Областью определения функции является множество

всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] .

3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)

• Функция периодическая, с главным периодом 2 π .

cos ( х + 2 π ) = cos (х) .

5. Функция непрерывная

Убывает: [ 0 ; π ] .

6. Возрастает: [ π ; 2 π ] .

+

+

+

+

-

-

-

Построение

графиков функций вида

у = sin ( x ) + m

и

у = cos (х) + m.

0 , или вниз, если m ." width="640"

Параллельный перенос графика вдоль оси Оу

График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 ,

или вниз, если m .

0 y m 1 x" width="640"

Преобразование: y= sin ( x ) +m

Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0

m

0 y m 1 x" width="640"

Преобразование: y= cos ( x ) +m

Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0

m

Преобразование: y=sin ( x ) +m

Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0

m

Преобразование: y= cos ( x ) + m

Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0

m

Построение

графиков функций вида

у = sin ( x + t )

и

у = cos ( х + t )

0 и вправо, если t 0." width="640"

Параллельный перенос графика вдоль оси Ох

График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0

и вправо , если t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Преобразование: y = sin(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0

t

0 y 1 x t" width="640"

Преобразование: y= cos(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0

t

Преобразование: y= sin(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0

t

Преобразование: y= cos(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0

t

0

1 и 0 а 1" width="640"

Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1

1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"

Сжатие и растяжение вдоль оси Ох

График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А .

1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"

Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1

пусть а=1,5

1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"

Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1

пусть а=1,5

Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0

пусть а=0,5

Преобразование: y = a·cos ( x ), 0

пусть а=0,5



sin (

y

x

y=sin(x) → y=sin(x- π )

x

sin (

y





y

sin (

x

y

x

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

x

x

x

y

y

sin

y

sin

sin

sin

y

x

y

x

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

y

x

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1







y

y

 

 

 

y

cos

y

cos x + 2

x

cos x + 2

cos x

y

x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

y

x

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y

Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Напомним те основные сведения из тригонометрии, которые необходимы для дальнейшего.

Тригонометрические функции рассматриваются первоначально как функции угла, так как численное значение каждой из них (если только оно имеет смысл) определяется заданием угла. Взаимно-однозначное соответствие между дугами окружности и центральными углами позволяет рассматривать тригонометрические функции как функции дуги. Так, например, аргумент функции sin φ мы имеем возможность по желанию толковать как угол или как дугу. Таким образом, первоначально аргумент тригонометрической функции выступает как геометрический объект - угол или дуга. Однако как в самой математике, так и в ее приложениях возникает потребность рассматривать тригонометрические функции как функции от числового аргумента. Даже в школьной математике не всегда аргумент тригонометрической функции рассматривается как угол. Так, например, гармоническое колебательное движение задается при помощи уравнения: s = A sin at. Здесь аргумент t есть время, а не угол (коэффициент а - число, характеризующее частоту колебания).

Процесс измерения углов (или дуг) ставит в соответствие всякому углу (дуге) в качестве его меры некоторое число. В результате измерения угла (дуги) может получиться любое действительное число, так как мы можем рассматривать направленные углы (дуги) любой величины. Выбрав определенную единицу измерения углов (дуг), можно всякому углу (дуге) поставить в соответствие измеряющее его число, и, обратно, всякому числу поставить в соответствие угол (дугу), измеряющийся данным числом. Это позволяет толковать аргумент тригонометрической функции как число. Рассмотрим какую-нибудь тригонометрическую функцию, например, синус. Пусть х - любое действительное число, этому числу соответствует вполне определенный угол (дуга), измеряющийся числом х, а полученному углу (дуге) соответствует вполне определенное значение синуса, sin x. В конечном итоге получается соответствие между числами: каждому действительному числу х соответствует вполне определенное действительное число y = sin x. Следовательно, sin x можно толковать как функцию числового аргумента . При рассмотрении тригонометрических функций как функций числового аргумента условились в качестве единицы измерения дуг и углов принимать радиан. В силу этого соглашения символы sin x, cos x, tgx и ctg x следует толковать как синус, косинус, тангенс и котангенс угла (дуги), радианная мера которого выражается числом х. Так, например, sin 2 есть синус дуги, измеряющейся двумя радианами * .

* (Заметим, что в некоторых руководствах радианная мера крайне неудачно называется отвлеченной, в отличие от градусной. Между обоими способами измерения нет принципиальной разницы , только лишь выбраны разные единицы измерения. К сожалению, и до сих пор этот вопрос иногда порождает псевдонаучное, вредное "методическое" пустословие. )

Выбор единицы измерения дуг и углов не имеет принципиального значения. Выбор радиана не диктуется необходимостью. Радиан оказывается лишь наиболее удобной единицей, так как в радианном измерении формулы математического анализа, относящиеся к тригонометрическим функциям, принимают наиболее простой вид * .

* (Это упрощение и объясняется тем, что в радианной мере Примем, например, за единицу измерения углов градус. Пусть t и х соответственно градусная и радианная меры данного угла, тогда имеем:

Закон соответствия между значениями аргумента и тригонометрической функции устанавливается не прямым указанием математических операций (формулой), которые надлежит выполнить над аргументом, а геометрически * . Однако, чтобы иметь возможность говорить о функции, необходимо наличие закона соответствия, в силу которого каждому допустимому значению аргумента соответствует определенное значение функции, но не существенно , каким способом этот закон устанавливается.

* (Средствами элементарной математики невозможно построить формулы, выражающие значения тригонометрических функций при помощи алгебраических действий над аргументом. Формулы, известные из высшей математики, выражающие значения тригонометрических функций непосредственно через значение аргумента,

Функции sin х и cos х имеют смысл при любых действительных значениях x, а потому областью их определения является множество всех действительных чисел.

Функция tg x определена для всех действительных значений x, отличных от чисел вида π / 2 + kπ.

Функция ctg x определена для всех действительных значений x, отличных от чисел вида kπ.

Итак, аргумент тригонометрической функции по нашему усмотрению можно толковать как угол, или как дугу, или, наконец, как число. Называя аргумент дугой (или углом), можно подразумевать под ним не саму дугу (или угол), а число, ее измеряющее. Сохраняя геометрическую терминологию, мы позволим себе вместо, например, такой фразы: "синус числа π / 2 " говорить: "синус дуги π / 2 ".

Геометрическая терминология тем удобна, что она напоминает о соответствующих геометрических образах.

Одним из важнейших свойств тригонометрических функций является их периодичность. Функции sin x и cos x имеют период 2π. Это значит, что при любом значении х имеют место равенства:

sin х = sin (x + 2π) = sin (х + 4π) = ... = sin (x + 2kπ);

cos х = cos (х + 2π) = cos (х + 4π) = ... = cos (x + 2kπ),

где k - любое целое число.

Строго говоря, функции sin x и cos x имеют бесконечное множество периодов:

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

число 2тг, являющееся наименьшим положительным периодом, принято называть просто периодом.

Свойство периодичности имеет следующее геометрическое толкование: значение тригонометрических функций sin x и cos х не изменяется, если к дуге х прибавить (или вычесть) целое число окружностей. Если функция sin x или cos x обладает каким-либо свойством при значении аргумента х = а, то она обладает тем же свойством при любом из значений a + 2kπ.

Функции tg x и ctg x также являются периодическими, их периодом (наименьшим положительным) является число π.

При исследовании свойств периодической функции достаточно рассмотреть ее в каком-либо промежутке, по величине равном периоду.

Перечислим основные свойства тригонометрических функций.

1°. Функция sin х на сегменте (I и I отрицательная четверти) возрастает. Значения синуса в концах сегмента, т. е. при х = π / 2 и при х = - π / 2 равны соответственно 1 и -1.

2°. Каково бы ни было действительное число k, по абсолютной величине не большее 1, на сегменте - π / 2 ≤x≤ π / 2 существует единственная дуга х = х 1 , синус которой равен k. Иначе говоря, на сегменте синус имеет при одном единственном значении аргумента х = х 1 произвольное заданное значение, не превосходящее по абсолютной величине 1.

В самом деле, по данному значению синуса можно в I и I отрицательной четвертях тригонометрического круга (радиус тригонометрического круга всегда будем считать равным 1) построить соответствующую дугу. Достаточно отложить на вертикальном диаметре отрезок величиной k (вверх при k>0 и вниз при k

Свойства 1° и 2° обычно объединяют в виде следующего условного утверждения.

На сегменте - π / 2 ≤x≤ π / 2 синус возрастает от -1 до 1.

При помощи аналогичных геометрических рассуждений, или воспользовавшись формулой приведения sin (π - х) = sin x, нетрудно установить, что на сегменте π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (т. е. во II и III четвертях) синус убывает от 1 до -1. Сегменты - π / 2 ≤x≤ π / 2 и π / 2 ≤x≤ 3π / 2 вместе составляют полную окружность, т. е. охватывают полный период синуса. Дальнейшее исследование синуса становится излишним, и мы можем утверждать, что на любом сегменте [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] синус возрастает от -1 до 1, а на любом сегменте [ π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] синус убывает от 1 до -1. График синуса представлен на чертеже 11.

Исследование косинуса проводится аналогично. Основные свойства косинуса таковы:

Функция cos x на сегменте (т. е. в I и II четвертях) убывает от 1 до -1. На сегменте [π, 2π] (т. е. в III и IV четвертях) косинус возрастает от -1 до 1. В силу периодичности косинус убывает от 1 до -1 на сегментах и возрастает от -1 до 1 на сегментах [(2k-1)π, 2kπ] (черт. 12).

Рассмотрим функцию y = tg x в интервале (- π / 2 , π / 2).

Граничные значения ± π / 2 следует исключить, ибо tg (± π / 2) не существует.

1 °. В интервале (- π / 2 , π / 2) функция tg х возрастает.

2°. Каково бы ни было действительное число k, в интервале - - π / 2

В существовании и единственности дуги х 1 легко убедиться из геометрического построения, представленного на чертеже 13.

Итак, в интервале (- π / 2 , π / 2) тангенс возрастает и при единственном значении аргумента имеет произвольное заданное действительное значение. Свойства 1° и 2° кратко формулируют в виде следующего утверждения:

в интервале (- π / 2 , π / 2) тангенс возрастает от -∞ до ∞.

Каково бы ни было заданное (как угодно большое) положительное число N, значения тангенса больше N при всех значениях x, меньших π / 2 и достаточно близких к π / 2 . Символически это утверждение записывается так:

При значениях х, больших - π / 2 и достаточно близких к - π / 2 у значения tg x

* (Нередко пишут tg π / 2 = ∞ и говорят, что значение тангенса π / 2 равно ∞. Это утверждение в курсе элементарной математики может привести лишь к нелепым антинаучным представлениям. Символ ∞ не есть число и не может быть значением функции. Точный смысл, в котором следует употреблять символы ±∞, разъяснен в тексте. )

Дальнейшее исследование тангенса излишне, ибо величина интервала (- π / 2 , π / 2) равна π, т. е. полному периоду тангенса. Следовательно, в любом интервале (- π / 2 + π, π / 2 + π) тангенс возрастает от -∞ до ∞, а в точках x = (2k+1)π / 2 имеет смысла. График тангенса представлен на чертеже 14.

Функция ctg x в интервале (0, π), а также в каждом из интервалов (kπ, (k+1)π) убывает от ∞ до -∞, а в точках х = kπ котангенс не имеет смысла. График котангенса представлен на чертеже 15.

Тригонометрические функции числового аргумента. Свойства и графики тригонометрических функций.

Определение1: Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом.

Данная кривая имеет название – синусоида.

Свойства функции y=sin x

2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1]

3. Четность функции:

y=sin x – нечетная,.

4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.

Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью. Промежуток – периодом функции.

Для функции y=sin x период составляет 2π.

Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число.

Наименьший положительный период Т=2π.

Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.

Определение2: Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом.

Свойства функции y=cos x

1. Область определения функции: D(y)=R

2. Область значения функции: E(y)=[-1;1]

3. Четность функции:

y=cos x –четная.

4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число.

Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π.

Определение 3: Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом.

Свойства функции y=tg x

1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен.

2. Область значения функции: E(y)=R.

3. Четность функции:

y=tg x – нечетная.

4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число.

Функция y=tg x – периодическая с периодом π.

Определение 4: Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом.

Свойства функции y=ctg x

1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен.