ஒரு அறிவியலாக கணிதம் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியம் தொடர்பாக எழுந்தது: தரையில் அளவீடுகள், வழிசெலுத்தல் போன்றவை. இதன் விளைவாக, கணிதம் எண் கணிதம் மற்றும் அதன் இலக்காக எண்ணின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைப் பெற வேண்டும். பயன்பாட்டு சிக்கல்களின் எண்ணியல் தீர்வு எப்போதும் கணிதவியலாளர்களுக்கு ஆர்வமாக உள்ளது. கடந்த காலத்தின் மிகப்பெரிய பிரதிநிதிகள் தங்கள் ஆய்வுகளில் இயற்கை நிகழ்வுகளின் ஆய்வுகளை இணைத்து, அவற்றின் கணித விளக்கத்தைப் பெறுகின்றனர், அதாவது. அவரது கணித மாதிரி மற்றும் அவரது ஆராய்ச்சி. சிக்கலான மாதிரிகளின் பகுப்பாய்விற்கு, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சிறப்பு, பொதுவாக எண் முறைகளை உருவாக்க வேண்டும். இந்த முறைகளில் சிலவற்றின் பெயர்கள் அவர்கள் காலத்தின் மிகப்பெரிய விஞ்ஞானிகளால் உருவாக்கப்பட்டவை என்பதைக் குறிக்கிறது. இவை நியூட்டன், யூலர், லோபசெவ்ஸ்கி, காஸ், செபிஷேவ், ஹெர்மைட் ஆகியோரின் முறைகள்.

தற்போதைய நேரம் கணிதத்தின் பயன்பாடுகளின் கூர்மையான விரிவாக்கத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது பெரும்பாலும் கணினி தொழில்நுட்பத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் வளர்ச்சியுடன் தொடர்புடையது. 40 ஆண்டுகளுக்கும் குறைவான காலத்தில் கணினிகள் தோன்றியதன் விளைவாக, செயல்பாட்டின் வேகம் ஒரு வினாடிக்கு 0.1 செயல்பாடுகளில் இருந்து கைமுறையாக எண்ணுவதன் மூலம் நவீன கணினிகளில் வினாடிக்கு 10 செயல்பாடுகளாக அதிகரித்துள்ளது.

நவீன கணினிகளின் சர்வவல்லமை பற்றிய பரவலான கருத்து, கணிதவியலாளர்கள் சிக்கல்களின் எண்ணியல் தீர்வுடன் தொடர்புடைய அனைத்து சிக்கல்களிலிருந்தும் விடுபட்டுவிட்டார்கள் என்ற எண்ணத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான புதிய முறைகளின் வளர்ச்சி இனி அவ்வளவு குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லை. உண்மையில், நிலைமை வேறுபட்டது, ஏனெனில் பரிணாம வளர்ச்சியின் தேவைகள், ஒரு விதியாக, அதன் திறன்களின் விளிம்பில் இருக்கும் அறிவியல் பணிகளுக்கு முன் அமைக்கப்பட்டன. கணிதத்தின் பயன்பாட்டின் விரிவாக்கம் அறிவியலின் பல்வேறு கிளைகளின் கணிதமயமாக்கலுக்கு வழிவகுத்தது: வேதியியல், பொருளாதாரம், உயிரியல், புவியியல், புவியியல், உளவியல், மருத்துவம், தொழில்நுட்பம் போன்றவை.

அறிவியலின் கணிதமயமாக்கலுக்கான விருப்பத்திற்கு ஆரம்பத்தில் வழிவகுத்த இரண்டு சூழ்நிலைகள் உள்ளன:

முதலாவதாக, கணித முறைகளின் பயன்பாடு மட்டுமே பொருள் உலகின் ஒன்று அல்லது மற்றொரு நிகழ்வின் ஆய்வுக்கு ஒரு அளவு தன்மையை வழங்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது;

இரண்டாவதாக, இது முக்கிய விஷயம், கணித சிந்தனை முறை மட்டுமே ஒரு பொருளை உருவாக்குகிறது. இந்த ஆராய்ச்சி முறை ஒரு கணக்கீட்டு பரிசோதனை என்று அழைக்கப்படுகிறது - ஆய்வு முற்றிலும் புறநிலை ஆகும்.

சமீபத்தில், அறிவு கணிதமயமாக்கலின் செயல்முறைகளில் வலுவான தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் மற்றொரு காரணி தோன்றியது. இது கணினி தொழில்நுட்பத்தின் விரைவான வளர்ச்சியாகும். பொதுவாக அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்க கணினிகளின் பயன்பாடு முற்றிலும் அவற்றின் கணிதமயமாக்கலை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

கணித மாதிரிகள்.

சிக்கலான சிக்கல்களை ஆய்வு செய்வதற்கான நவீன தொழில்நுட்பம், பொதுவாக கணினியின் உதவியுடன், ஆய்வு செய்யப்படும் சிக்கலின் கணித மாதிரிகளின் கட்டுமானம் மற்றும் பகுப்பாய்வை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வழக்கமாக, ஒரு கணக்கீட்டு சோதனை, நாம் ஏற்கனவே பார்த்தபடி, பல நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது: சிக்கலை அமைத்தல், ஒரு கணித மாதிரியை உருவாக்குதல் (பிரச்சினையின் கணித உருவாக்கம்), ஒரு எண் முறையை உருவாக்குதல், ஒரு எண் முறையை செயல்படுத்துவதற்கான வழிமுறையை உருவாக்குதல், உருவாக்குதல் ஒரு நிரல், ஒரு நிரலை பிழைத்திருத்துதல், கணக்கீடுகளைச் செய்தல், முடிவுகளை பகுப்பாய்வு செய்தல்.

எனவே, எந்தவொரு அறிவியல் அல்லது பொறியியல் சிக்கலையும் தீர்க்க கணினிகளின் பயன்பாடு தவிர்க்க முடியாமல் ஒரு உண்மையான செயல்முறை அல்லது நிகழ்விலிருந்து அதன் கணித மாதிரிக்கு மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது. எனவே, அறிவியல் ஆராய்ச்சி மற்றும் பொறியியல் நடைமுறையில் மாதிரிகளைப் பயன்படுத்துவது கணித மாதிரியாக்கத்தின் கலை.

ஒரு மாதிரி பொதுவாக குறிப்பிடப்பட்ட அல்லது பொருள் ரீதியாக உணரப்பட்ட அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்வின் முக்கிய மிக முக்கியமான அம்சங்களை மீண்டும் உருவாக்குகிறது.

கணித மாதிரிக்கான முக்கிய தேவைகள், பரிசீலனையில் உள்ள நிகழ்வின் போதுமான தன்மை ஆகும், அதாவது. இது நிகழ்வின் சிறப்பியல்பு அம்சங்களை போதுமான அளவு பிரதிபலிக்க வேண்டும். அதே நேரத்தில், இது ஒப்பீட்டு எளிமை மற்றும் ஆராய்ச்சி அணுகல் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

கணித மாதிரியானது, ஆய்வின் கீழ் நிகழ்வின் நிலைமைகள் மற்றும் சில கணித கட்டுமானங்களில் அதன் முடிவுகளுக்கு இடையே உள்ள சார்புநிலையை பிரதிபலிக்கிறது. பெரும்பாலும், பின்வரும் கணிதக் கருத்துக்கள் அத்தகைய கட்டுமானங்களாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: செயல்பாடு, செயல்பாட்டு, ஆபரேட்டர், எண் சமன்பாடு, சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு, பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு.

கணித மாதிரிகளை வெவ்வேறு அளவுகோல்களின்படி வகைப்படுத்தலாம்: நிலையான மற்றும் மாறும், செறிவூட்டப்பட்ட மற்றும் விநியோகிக்கப்படுகிறது; உறுதியான மற்றும் நிகழ்தகவு.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலைக் கவனியுங்கள்

சமன்பாட்டின் வேர்கள் (1) என்பது x இன் மதிப்புகள் ஆகும், அவை மாற்றும் போது அதை அடையாளமாக மாற்றும். எளிமையான சமன்பாடுகளுக்கு மட்டுமே சூத்திரங்கள் வடிவில் தீர்வு காண முடியும், அதாவது. பகுப்பாய்வு வடிவம். தோராயமான முறைகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் அவசியம், அவற்றில் மிகவும் பரவலானது, கணினிகளின் வருகையுடன், எண் முறைகள்.

தோராயமான முறைகள் மூலம் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையை இரண்டு நிலைகளாகப் பிரிக்கலாம். முதலில், வேர்களின் இருப்பிடம் ஆய்வு செய்யப்பட்டு அவற்றின் பிரிப்பு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் வேர் அல்லது x 0 மூலத்திற்கு ஆரம்ப தோராயமான ஒரு பகுதி உள்ளது. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய வழி f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் படிப்பதாகும். பொதுவான வழக்கில், அதைத் தீர்க்க, கணித பகுப்பாய்வின் அனைத்து வழிகளிலும் ஈடுபடுவது அவசியம்.

சமன்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலத்தின் (1) கண்டறியப்பட்ட இடைவெளியில் இருப்பது போல்சானோ நிபந்தனையிலிருந்து பின்வருமாறு:

f(a)*f(b)<0 (2)

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்றும் கருதப்படுகிறது. இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை பற்றிய கேள்விக்கு இந்த நிபந்தனை பதிலளிக்கவில்லை. செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் தேவை அதன் மோனோடோனிசிட்டியின் தேவையுடன் கூடுதலாக இருந்தால், இது முதல் வழித்தோன்றலின் அடையாள-நிலைத்தன்மையிலிருந்து பின்பற்றப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் ஒரு தனித்துவமான வேர் இருப்பதை உறுதிப்படுத்தலாம்.

வேர்களை உள்ளூர்மயமாக்கும் போது, ​​இந்த வகை சமன்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்வதும் முக்கியம். எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணித சமன்பாடுகளின் சில பண்புகளை நினைவுகூருங்கள்:

உண்மையான குணகங்கள் எங்கே.

• a) பட்டம் n இன் சமன்பாடு n வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான இரண்டும் இருக்கலாம். சிக்கலான வேர்கள் சிக்கலான இணை ஜோடிகளை உருவாக்குகின்றன, எனவே, சமன்பாடு அத்தகைய வேர்களின் சம எண்ணிக்கையைக் கொண்டுள்ளது. n இன் ஒற்றைப்படை மதிப்புக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு உண்மையான ரூட் உள்ளது.
• ஆ) நேர்மறை உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை, குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள மாறி குறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சமன்பாடு (3) இல் x ஐ -x உடன் மாற்றுவது எதிர்மறை வேர்களின் எண்ணிக்கையை அதே வழியில் மதிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

சமன்பாடு (1) தீர்க்கும் இரண்டாம் கட்டத்தில், பெறப்பட்ட ஆரம்ப தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு மறுசெயல்முறை கட்டமைக்கப்படுகிறது, இது சில முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ரூட்டின் மதிப்பைச் செம்மைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது. மறுசெயல்முறையானது ஆரம்ப தோராயத்தின் தொடர்ச்சியான சுத்திகரிப்பு ஆகும். அத்தகைய ஒவ்வொரு படியும் ஒரு மறு செய்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மறு செய்கை செயல்முறையின் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகளின் வரிசை காணப்படுகிறது. இந்த வரிசையானது n வளரும்போது x மூலத்தின் உண்மையான மதிப்பை அணுகினால், மறுசெயல்முறை ஒன்றிணைகிறது. பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், ஒரு மறுசெயல்முறையானது குறைந்தபட்சம் ஆர்டர் m க்கு ஒன்றிணைவதாகக் கூறப்படுகிறது:

С>0 என்பது சில மாறிலி. m=1 எனில், ஒருவர் முதல்-வரிசை ஒருங்கிணைப்பைப் பற்றி பேசுகிறார்; m=2 - இருபடி பற்றி, m=3 - கனசதுர ஒருங்கிணைப்பு பற்றி.

கொடுக்கப்பட்ட அனுமதிக்கப்பட்ட பிழைக்கு, முழுமையான அல்லது ஒப்பீட்டு விலகலுக்கான அளவுகோல்கள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மறுசெயல் சுழற்சிகள் முடிவடையும்:

அல்லது எஞ்சியவற்றின் சிறுமை:

இந்த வேலை நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் பற்றிய ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க பல்வேறு முறைகள் உள்ளன, அவற்றில் சில கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

• 1)மறு செய்கை முறை. ஒரு நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டை மறு செய்கை மூலம் தீர்க்கும் போது, ​​x=f(x) வடிவத்தில் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். வாதத்தின் ஆரம்ப மதிப்பு x 0 மற்றும் துல்லியம் e கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. தீர்வு x 1 இன் முதல் தோராயமானது x 1 \u003d f (x 0), இரண்டாவது - x 2 \u003d f (x 1) , முதலியன பொது வழக்கில், i+1 தோராயமானது xi+1 =f(xi) சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது. |f(xi)|>e வரை இந்த நடைமுறையை மீண்டும் செய்கிறோம். மறு செய்கை முறை |f"(x)| ஒன்றிணைவதற்கான நிபந்தனை
• 2)நியூட்டனின் முறை. நியூட்டன் முறையின் மூலம் நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​வாதத்தின் ஆரம்ப மதிப்பு x 0 மற்றும் துல்லியம் e ஆகியவை அமைக்கப்படும். பின்னர், புள்ளியில் (x 0, F (x 0)) நாம் வரைபடத்தை F (x) க்கு ஒரு தொடுகோடு வரைகிறோம். ) மற்றும் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் x 1 உடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளியை தீர்மானிக்கவும். புள்ளியில் (x 1, F (x 1)) நாம் மீண்டும் ஒரு தொடுகோட்டை உருவாக்குகிறோம், விரும்பிய தீர்வு x 2 போன்றவற்றின் அடுத்த தோராயத்தைக் கண்டறியவும். |F(xi)| வரை இந்த நடைமுறையை மீண்டும் செய்கிறோம் > e. அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் கூடிய தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளியை (i + 1) தீர்மானிக்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

டேன்ஜென்ட் முறை F(x 0) F""(x)>0, முதலியவற்றிற்கான ஒருமுக நிலை.

3). இருவகை முறை.தீர்வு நுட்பம் சூத்திரத்தின் படி ஆரம்ப நிச்சயமற்ற இடைவெளியின் படிப்படியான பிரிவுக்கு பாதியாக குறைக்கப்படுகிறது.

C முதல் \u003d a to + in to / 2.

இதன் விளைவாக வரும் இரண்டு பிரிவுகளிலிருந்து தேவையான ஒன்றைத் தேர்வுசெய்ய, அதன் விளைவாக வரும் பிரிவுகளின் முனைகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிந்து, செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தை மாற்றும் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது நிபந்தனை f ( a k) * f (k இல்)<0.

தற்போதைய நிச்சயமற்ற இடைவெளியின் நீளம் குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக இருக்கும் வரை பிரிவைப் பிரிக்கும் செயல்முறை மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அதாவது k - a k இல்< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). நாண் முறை. முறையின் யோசனை என்னவென்றால், y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வளைவின் முனைகளை சுருங்கும் பிரிவில் ஒரு நாண் கட்டப்பட்டுள்ளது, மற்றும் புள்ளி c, abscissa அச்சுடன் நாண் வெட்டும் , ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாகக் கருதப்படுகிறது

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

அடுத்த தோராயமானது இடைவெளியில் அல்லது a,b,c புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அறிகுறிகளைப் பொறுத்து தேடப்படுகிறது

x* O என்றால் f(c) H f(a) > 0 ;

x* O என்றால் f(c) x f(b)< 0 .

f "(x) க்கு அடையாளத்தை மாற்றவில்லை என்றால், c \u003d x 1 ஐக் குறிக்கும் மற்றும் a அல்லது b ஐ ஆரம்ப தோராயமாகக் கருதினால், நிலையான வலது அல்லது இடது புள்ளியுடன் நாண் முறையின் செயல்பாட்டு சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), with f "(x) H f "(x)< 0 .

நாண் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு நேரியல் ஆகும்

இயற்கணித மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள். ரூட் உள்ளூர்மயமாக்கல் முறைகள்.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மிகவும் பொதுவான வடிவம்:

f(x)=0 (2.1)

செயல்பாடு எங்கே f(x)வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியில் [a, b] வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்கிறது.

வரையறை 2.1. ஒரு செயல்பாட்டை தலைகீழாக மாற்றும் எந்த எண் f(x)பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்பாட்டின் வேர் (2.1) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2.2. ஒரு எண் செயல்பாட்டுடன் சேர்ந்து இருந்தால், k-th பெருக்கத்தின் ரூட் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(x)(k-1)-வது வரிசையை உள்ளடக்கிய அதன் வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

வரையறை 2.3. ஒற்றை வேர் ஒரு எளிய வேர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு மாறியுடன் கூடிய நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள் இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை எனப் பிரிக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 2.4 . F(x) சார்பு இயற்கணிதமாக இருந்தால் சமன்பாடு (2.1) இயற்கணிதம் எனப்படும்.

இயற்கணித மாற்றங்களின் மூலம், எந்த இயற்கணித சமன்பாட்டிலிருந்தும், ஒரு சமன்பாட்டை நியமன வடிவத்தில் பெறலாம்:

சமன்பாட்டின் உண்மையான குணகங்கள் எங்கே, x என்பது தெரியவில்லை.

ஒவ்வொரு இயற்கணிதச் சமன்பாடும் குறைந்தபட்சம் ஒரு உண்மையான அல்லது இரண்டு சிக்கலான இணைந்த வேர்களைக் கொண்டிருப்பது இயற்கணிதத்திலிருந்து அறியப்படுகிறது.

வரையறை 2.5. F(x) சார்பு இயற்கணிதமாக இல்லாவிட்டால் சமன்பாடு (2.1) ஆழ்நிலை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது (2.1) என்பதன் பொருள்:

• 1. சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.
• 2. சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கவும்.
• 3. கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.

நடைமுறையில் சந்திக்கும் சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் பகுப்பாய்வு முறைகளால் தீர்க்கப்பட முடியாது. அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க எண் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எண் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

• 1) துறைஅல்லது உள்ளூர்மயமாக்கல்ரூட், அதாவது. ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும் இடைவெளியை அமைத்தல்:
• 2) தெளிவுபடுத்துதல்தொடர்ச்சியான தோராய முறையின் மூலம் ரூட் மதிப்புகள்.

ரூட் உள்ளூர்மயமாக்கல் முறைகள். ரூட் பிரிப்பு அல்காரிதத்தின் கோட்பாட்டு அடிப்படையானது தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் இடைநிலை மதிப்புகளில் உள்ள Cauchy தேற்றம் ஆகும்.

தேற்றம் 2.1. y \u003d f (x) செயல்பாடு [a, b] மற்றும் f (a) \u003d A, f (b) \u003d B ஆகியவற்றில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், A மற்றும் Bக்கு இடையில் இருக்கும் எந்தப் புள்ளிக்கும் C உள்ளது என்று ஒரு புள்ளி.

விளைவு. y \u003d f (x) செயல்பாடு [a, b] பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்து அதன் முனைகளில் வெவ்வேறு குறிகளின் மதிப்புகளை எடுத்தால், இந்த பிரிவில் f (x) \ சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாவது இருக்கும். u003d 0.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் தொடர்ச்சியின் டொமைன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பிரிவாக இருக்கட்டும் [a,b]. பிரிவை பிரிக்கவும் nபாகங்கள்:,

புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை வரிசையாகக் கணக்கிடுவதன் மூலம், நிபந்தனை திருப்திகரமாக இருக்கும் அத்தகைய பிரிவுகளைக் காண்கிறோம்:

அந்த. , அல்லது, . இந்த பிரிவுகளில் குறைந்தது ஒரு ரூட் இருக்கும்.

தேற்றம் 2.2. y \u003d f (x) செயல்பாடு [a; b), f (a) f (b) பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால்<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

வேர்களை பிரிக்க, நீங்கள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தையும் பயன்படுத்தலாம் மணிக்கு= f (எக்ஸ்).சமன்பாட்டின் வேர்கள் (2.1) அந்த மதிப்புகள் எக்ஸ்,இதில் y=f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் x அச்சைக் கடக்கிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவது, குறைந்த துல்லியத்துடன் கூட, பொதுவாக சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பிடத்தைப் பற்றிய ஒரு யோசனையை அளிக்கிறது (2.1). y \u003d f (x) செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவது சிரமத்தை ஏற்படுத்தினால், அசல் சமன்பாடு (2.1) படிவமாக மாற்றப்பட வேண்டும். c1(x)= c2(x)அதனால் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மணிக்கு= c1(x)மற்றும் மணிக்கு= c2(x)மிகவும் எளிமையாக இருந்தன. இந்த வரைபடங்களின் வெட்டுப்புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும் (2.1).

உதாரணம் 1 x 2 -2cosx=0 சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பிரிக்கவும்.

தீர்வு. வேர்களைப் பிரிப்பதற்கான இரண்டு வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

• அ) வரைகலை வழி. சமன்பாட்டை x 2 =2cosx வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் மற்றும் அதே ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y=x 2 மற்றும் y=2cosx செயல்பாடுகளின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 5). இந்த வரைபடங்கள் இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், சமன்பாடு (-/2; 0) மற்றும் (0; /2) இடைவெளிகளில் தோற்றம் குறித்து சமச்சீராக அமைந்துள்ள இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
• b) பகுப்பாய்வு முறை. விடுங்கள் f(x)= x 2 -2cosx. ஏனெனில் f(x)சமமான செயல்பாடாகும், x இன் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளை மட்டும் கருத்தில் கொண்டால் போதுமானது. சமத்துவமின்மை 2cosx2 காரணமாக

வழித்தோன்றல் f"(x)=2(x+sinx). இடைவெளியில் (0; /2) f"(x)>0 , எனவே, f(x)இங்கே ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது மற்றும் அதன் வரைபடம் அச்சைக் கடக்க முடியும் எக்ஸ்ஒரு புள்ளிக்கு மேல் இல்லை. அதை கவனி f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. இதன் பொருள் சமன்பாடு இடைவெளியில் (0; /2) ஒரு நேர்மறை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. செயல்பாடு சமமாக இருப்பதால், சமன்பாடு நேர்மறை ஒன்றிற்கு சமச்சீரான எதிர்மறை மூலத்தையும் கொண்டுள்ளது. இப்போது ரூட்டின் சுத்திகரிப்புக்கு செல்லலாம். ஒருங்கிணைந்த ரூட் சுத்திகரிப்பு முறையைப் பயன்படுத்த, நீங்கள் அதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும் f ""(x) on (0; /2) குறியைப் பாதுகாக்கிறது, மேலும் தொடுகோடு முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு ரூட்டின் ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். இது நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: f(x)f ""(x)>0. ஏனெனில் f ""(x)=2(1+cosx) இல் நேர்மறையாக இருக்கும், பிறகு /2 தொடுகோடு முறையில் ரூட்டின் ஆரம்ப தோராயமாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். எனவே, ஒருவர் வைக்கலாம் எக்ஸ்=/21,570796, எக்ஸ் 1 =0 (அல்காரிதம் வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்). எங்கள் விஷயத்தில், நாண் முறையானது ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பை ஒரு பாதகத்துடன் கொடுக்கும், மற்றும் தொடுகோடு முறை - அதிகப்படியானது.

ரூட் செம்மைப்படுத்தலின் ஒரு மறுசெயல் படியைக் கவனியுங்கள். மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள் f(0), f(/2), f"(/2). புதிய மதிப்புகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ்சூத்திரங்கள் மூலம் முறையே கண்டுபிடிக்கவும்:

|x-x 1 |=0.387680.4>10 -4 =.

குறிப்பிட்ட துல்லியம் அடையப்படவில்லை, மேலும் கணக்கீடுகள் தொடர வேண்டும்.

மறு செய்கை எண்	எக்ஸ் 1		f(x 1 )			|x- x 1 |

எனவே, தேவையான துல்லியத்துடன் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு மூன்று மறு செய்கைகளின் விளைவாக கண்டறியப்பட்டது மற்றும் தோராயமாக 1.0217 க்கு சமமாக உள்ளது.

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் சமச்சீர் காரணமாக f(x)இரண்டாவது மூலத்தின் மதிப்பு தோராயமாக -1.0217 க்கு சமம்.

வேர் தெளிவுபடுத்தல்.

சிக்கலை உருவாக்குதல் . சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர் (2.1) பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. பிரிவு [a; b], இது சமன்பாட்டின் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்தப் பிரிவின் எந்தப் புள்ளியையும் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். இந்த தோராயத்தின் பிழை நீளத்தை விட அதிகமாக இல்லை [அ; b].இதன் விளைவாக, கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் பிரிவைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது [a; b] (பி - அ<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей ரூட் சுத்திகரிப்பு.

எண் முறைகளின் விளக்கம். எண் முறைகள் சில சிக்கல்களுக்குத் தீர்வு காண்பதை சாத்தியமாக்குகின்றன, பெறப்பட்ட முடிவுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட பிழையுடன் கணக்கிடப்படும் என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்வது, எனவே, பல எண் முறைகளுக்கு, "துல்லிய நிலை" என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்து கொள்வது அவசியம். ஒத்திருக்கும்.

இது சம்பந்தமாக, வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் (3.1)

குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது, ஏனெனில் ஒரு கன சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள் மிகவும் சிக்கலானவை. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிவது அவசியமானால், எடுத்துக்காட்டாக, 5, எண் முறைகளின் உதவியின்றி ஒருவர் செய்ய முடியாது, குறிப்பாக அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவையின் நிகழ்தகவு இயற்கையான (அல்லது முழு எண் அல்லது துல்லியமான வேர்களைக் கொண்ட) "குறுகிய" பகுதியளவு) மிகவும் சிறியது, மேலும் 4 ஐ விட அதிகமான பட்டத்தின் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள் எதுவும் இல்லை. நடைமுறையில், மேலும் அனைத்து செயல்பாடுகளும் குறைக்கப்படும் வேர்களை தெளிவுபடுத்துதல், அதன் இடைவெளிகள் தோராயமாக முன்கூட்டியே அறியப்படுகின்றன. இந்த "தோராயமான" வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிதான வழி வரைகலை முறைகளைப் பயன்படுத்துவதாகும்.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிய, பல எண் முறைகள் உள்ளன: மறு செய்கை முறை, நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறை, அரைப் பிரிவு முறை, செகண்ட் முறை.

பிரித்தல் முறை("ஒரு பகுதியை பாதியாகப் பிரிக்கும் முறை" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) சுழல்நிலையானது, அதாவது. பெறப்பட்ட முடிவுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, மீண்டும் மீண்டும் செய்ய வழங்குகிறது.

அரை பிரிவு முறையின் சாராம்சம் பின்வருமாறு:

• - செயல்பாடு F(x) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
• - அனுமதிக்கப்பட்ட பிழை Q தீர்மானிக்கப்படுகிறது;
• - சில இடைவெளி [ a , b ] வரையறுக்கப்படுகிறது, இதில் சரியாக சமன்பாட்டின் தீர்வு உள்ளது.

1) ஆய E இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம், பிரிவின் நடுப்பகுதியை எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதாவது.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) F(a), F(b), F(E) இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, பின்வரும் சரிபார்ப்பைச் செய்யவும்: F(E)>Q எனில், ரூட் குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன் காணப்படும். F(E) என்றால்
• 3) புள்ளி 1 க்குச் செல்லவும்.

எளிமையான மறு செய்கைகளின் முறை (தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் முறை). சமன்பாட்டை (2.1) சமமான சமன்பாட்டுடன் மாற்றுகிறோம்

x=(x) (3.3)

பல்வேறு வழிகளில் செய்ய முடியும், எடுத்துக்காட்டாக

x=x+cf(x), c0. (3.4)

சமன்பாட்டின் மூலத்தின் சில ஆரம்ப தோராயம் (3.3) தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது என்று வைத்துக்கொள்வோம். சூத்திரங்கள் மூலம் ஒரு எண் வரிசையை வரையறுக்கிறோம்

எக்ஸ் n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)

அத்தகைய வரிசை மீண்டும் மீண்டும் அழைக்கப்படுகிறது.

x 0 மற்றும் அனைத்து அடுத்தடுத்த தோராயங்கள் x n , nN உள்ள பிரிவில் இருந்தால், செயல்பாடு (x) தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல் "(x) மற்றும் |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

இந்த சமத்துவமின்மையிலிருந்து, குறிப்பாக, எளிமையான மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் q இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது: சிறிய q, வேகமாக ஒன்றிணைதல்.

எனவே, நடைமுறையில், எளிய மறு செய்கையின் மூலம் வேர்களைக் கண்டறியும் போது, ​​சமன்பாட்டை (2.1) வடிவத்தில் (3.3) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது விரும்பத்தக்கது, அந்த வகையில் மூலத்தின் அருகில் உள்ள வழித்தோன்றல் "(x) சாத்தியமாகும். முழுமையான மதிப்பில் சிறியது. இதற்கு, சூத்திரத்தில் உள்ள அளவுரு c சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது (3.4).

நியூட்டனின் முறை (தொடுகோடு முறை). போதுமான நல்ல ஆரம்ப தோராயம் அறியப்பட்டால், அதற்கு பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது:

நியூட்டனின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடலாம்

ஆரம்ப தோராயமாக, நீங்கள் இடைவெளியின் எல்லைகளைப் பயன்படுத்தலாம், மேலும்:

அன்று என்றால்.

இந்த முறையின் ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும், பிரித்தல் மற்றும் மறு செய்கை முறைகளை விட கணக்கீடுகளின் அளவு அதிகமாக உள்ளது, ஏனெனில் செயல்பாட்டின் மதிப்பை மட்டுமல்ல, அதன் வழித்தோன்றலையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம். இருப்பினும், நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் மிகவும் அதிகமாக உள்ளது.

தேற்றம். சமன்பாட்டின் மூலமாக இருக்கட்டும், அதாவது. , மற்றும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது. ஆரம்ப தோராயமானது இந்த சுற்றுப்புறத்திற்கு சொந்தமானது என்றால், நியூட்டனின் முறைக்கு மதிப்புகளின் வரிசை ஒன்று சேரும் வகையில் மூலத்தின் அக்கம் உள்ளது. மூலத்தின் தோராயமான பிழையை சூத்திரத்தால் மதிப்பிடலாம்:

பிரிவில் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மாடுலஸின் மிகப்பெரிய மதிப்பு எங்கே, இது பிரிவில் முதல் வழித்தோன்றலின் மாடுலஸின் மிகச்சிறிய மதிப்பு.

நிறுத்த விதி:

நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறை (ஒருங்கிணைந்தது). இந்த முறை ஒரு செயல்பாட்டின் திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்குவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் அதன் குறுக்குவெட்டு இடைவெளிகளை தீர்மானித்தல், பின்னர் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு கட்டமைக்கப்பட்ட நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த இடைவெளியை "அமுக்குதல்".

நாண்களின் முறை (குறைபாட்டுடன் வேரின் மதிப்பைக் கொடுக்கிறது) மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறை (அதிகப்படியாக) ஆகியவையும் தனித்தனியாக உள்ளன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், ஒருங்கிணைந்த முறையின் நன்மை கருதப்படும் பிரிவின் "இரு பக்க சுருக்கத்தில்" உள்ளது.

பின்வரும் வழக்கைக் கவனியுங்கள்:

• - செயல்பாடு F(x) கொடுக்கப்பட்டு அதன் வரைபடம் கட்டப்பட்டது;
• - அனுமதிக்கப்பட்ட பிழை Q தீர்மானிக்கப்படுகிறது
• - வரைபடத்தின் அடிப்படையில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் abscissa அச்சை வெட்டும் ஒரு பிரிவு வரையறுக்கப்படுகிறது, எனவே, இந்த பிரிவில் பரிசீலனையில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் உள்ளது (நாங்கள் அதை A ஆல் குறிக்கிறோம்)

மேலும் அல்காரிதம் பின்வரும் செயல்களுக்கு குறைக்கப்படுகிறது:

• 1) F(b) புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு உருவாக்குகிறோம்
• 2) சூத்திரத்தின்படி (3.9) அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் தொடுகோட்டின் குறுக்குவெட்டின் x-ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்டு அதை b "ஆல் குறிக்கிறோம்.
• 3) F(a) மற்றும் F(b) புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு நாண் அமைக்கிறோம்.
• 4) சூத்திரம் (2) இன் படி abscissa அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளியைக் கணக்கிட்டு அதை a" ஆல் குறிக்கிறோம்.

எனவே, நாம் ஒரு புதிய பகுதியைப் பெறுகிறோம், இது (ஒரு நாண் மற்றும் ஒரு தொடுகோடு வரையறைகளின்படி) இன்னும் A சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

இப்போது நாம் பிரிவை ஒரு புதிய பிரிவாக எடுத்து 1-4 படிகளை மீண்டும் எஃப்(பி)-எஃப்(அ) தொடக்கத்தில் உட்பொதிக்கப்பட்ட பிழை Q ஐ விட குறைவாக மாறும் வரை மீண்டும் செய்கிறோம். இதற்குப் பிறகு எண்கணித சராசரியை எடுக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. F விரும்பிய தீர்வாக (a) மற்றும் F(b).

இவ்வாறு, நாண் (தொடுகோடு) வேரின் மதிப்பை அதிகமாகக் கொடுத்தால், இந்த வேர் புதிய வலது எல்லையாகவும், குறைபாடு இருந்தால், இடதுபுறமாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும். இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், சரியான வேர் நாண் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கும் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் தொடுகோடுக்கும் இடையில் உள்ளது.

நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறை பற்றிய குறிப்புகள்.சிக்கலின் தீர்வுக்கு F(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய வேண்டியிருப்பதால், நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறை நிரல் மட்டத்தில் செயல்படுத்துவது மிகவும் கடினம். ஒரு பொதுவான வடிவத்தில் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான விதிகள் ஒரு கணினியைப் புரிந்துகொள்வதற்கு மிகவும் சிக்கலானவை; பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு பட்டத்திற்கும் வழித்தோன்றலை நேரடியாகக் குறிப்பிடும்போது, ​​கணினி நினைவகம் தீவிரமாக ஏற்றப்படுகிறது, இது வேலையை வெகுவாகக் குறைக்கிறது, மேலும் செயல்பாட்டை அமைப்பது மற்றும் அதன்படி, நிரல் குறியீட்டில் நேரடியாக அதன் வழித்தோன்றல் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. இருப்பினும், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, ரூட்டிற்கான இடைவெளியின் ஒருங்கிணைப்பு மிக விரைவாக நிகழ்கிறது, குறிப்பாக நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் முறையானது பிளவுபடுத்தும் முறையுடன் இணைந்தால், ஏனெனில் புதிய பிரிவின் நடுப்பகுதி பெரும்பாலும் முற்றிலும் திருப்திகரமான தீர்வை அளிக்கிறது.

செகண்ட் முறை. நியூட்டனின் முறையிலிருந்து செகண்ட் முறையைப் பெறலாம், அதன் வழித்தோன்றலை தோராயமான வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் - வேறுபாடு சூத்திரம்:

ஃபார்முலா (3.8) இரண்டு முந்தைய தோராயமான u ஐப் பயன்படுத்துகிறது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப மதிப்பிற்கு, அடுத்த தோராயத்தைக் கணக்கிடுவது அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, நியூட்டன் முறையின் மூலம், ஃபார்முலாவின் வழித்தோன்றலை தோராயமாக மாற்றுவது.

செகண்ட் முறையின் அல்காரிதம்:

1) ஆரம்ப மதிப்பு மற்றும் பிழை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. கணக்கிடு

2) க்கு n= 1,2, ..... நிபந்தனை திருப்தி அடையும் போது, ​​சூத்திரம் (3.8) மூலம் கணக்கிடுவோம்.

சிக்கலை உருவாக்குதல்

வேர் பிரித்தல்

வேர் சுத்திகரிப்பு

1.2.3.2. மறு செய்கை முறை

1.2.3.4. நாண் முறை

சிக்கலை உருவாக்குதல்

இயற்கணித சமன்பாடுகள்

( 1.2.1-1)

ஆழ்நிலை சமன்பாடு

(1.2.1-2)

வேர்கள் மீண்டும் மீண்டும் சுத்திகரிப்பு.

வேர்களைப் பிரிக்கும் கட்டத்தில், சமன்பாட்டின் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்ட குறுகிய சாத்தியமான பிரிவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது.

ரூட் சுத்திகரிப்பு படியானது, கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், ரூட்டிற்கான அடுத்தடுத்த தோராயங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான மறுசெயல் முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., இதில் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த தோராயமும் x n + 1 முந்தைய x n அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது. ஒவ்வொரு படியும் ஒரு மறு செய்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. x 0 , x 1 , ..., x n , … என n ® ¥ வரிசையானது ரூட்டின் மதிப்புக்கு சமமான வரம்பைக் கொண்டிருந்தால், மறுசெயல் செயல்முறை ஒன்றிணைவதாகக் கூறப்படுகிறது.

வேர்களை பிரிக்க மற்றும் செம்மைப்படுத்த பல்வேறு வழிகள் உள்ளன, அதை நாம் கீழே விவாதிப்போம்.

வேர் பிரித்தல்

இந்தச் சமன்பாட்டிற்கு இந்தப் பிரிவில் வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை என்றால், f(x)=0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலமானது பிரிவில் பிரிக்கப்பட்டதாக (உள்ளூர்மயமாக்கப்பட்டதாக) கருதப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பிரிக்க, f(x) செயல்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பை மிகவும் குறுகிய பிரிவுகளாகப் பிரிக்க வேண்டியது அவசியம், ஒவ்வொன்றும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. உள்ளது வரைகலைமற்றும் பகுப்பாய்வுரூட் பிரிப்பு முறைகள்.

வேர் சுத்திகரிப்பு

பிரிவால் பிரிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலத்தை துல்லியத்துடன் செம்மைப்படுத்தும் பணி, சமத்துவமின்மைக்கான மூலத்தின் அத்தகைய தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிவதாகும். . சமன்பாட்டில் ஒன்று இல்லை, ஆனால் பல வேர்கள் இருந்தால், ஒவ்வொரு பிரிக்கப்பட்ட ரூட்டிற்கும் சுத்திகரிப்பு நிலை மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

அரை பிரிவு முறை

f(x)=0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலத்தை பிரிவின் மீது பிரிக்கலாம், அதாவது, இந்த பிரிவில் ஒற்றை வேர் உள்ளது, மேலும் இந்த பிரிவில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.

பிளவுபடுத்தும் முறையானது f(a i).f(b i) போன்ற உள்ளமை பிரிவுகளின் வரிசையைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது , …,,...< 0 , i=1,2,...,n, மற்றும் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவின் நீளமும் முந்தையதை விட பாதி நீளம்:

மூலத்தின் அறியப்படாத மதிப்பைச் சுற்றியுள்ள பிரிவின் தொடர்ச்சியான குறுகலானது சில படிகளில் செயல்படுத்துவதை உறுதி செய்கிறது nஏற்றத்தாழ்வுகள் |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம், எடுத்துக்காட்டாக, அதன் நடுப்புள்ளி

பிஸ்கேஷன் முறையில், மறு செய்கை முதல் மறு செய்கை வரை, ஆரம்பப் பிரிவின் நீளம் தொடர்ந்து பாதியாகக் குறைக்கப்படுகிறது (படம் 1.2.3-1). எனவே, n வது கட்டத்தில், முடிவின் பிழையின் பின்வரும் மதிப்பீடு செல்லுபடியாகும்:

( 1.2.3-1)

மூலத்தின் சரியான மதிப்பு எங்கே, x n n என்பது n வது படியில் உள்ள ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு.

விளைந்த பிழை மதிப்பீட்டை கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ஒப்பிட்டு, தேவையான படிகளின் எண்ணிக்கையை நாம் மதிப்பிடலாம்:

(1.2.3-2)

மதிப்பு குறைவதை சூத்திரத்தில் இருந்து பார்க்கலாம் இ(துல்லியத்தின் அதிகரிப்பு) கணக்கீடுகளின் அளவு குறிப்பிடத்தக்க அதிகரிப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே, நடைமுறையில், அரை-பிரிவு முறையானது வேரின் ஒப்பீட்டளவில் கடினமான கண்டறிதலுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் அதன் மேலும் சுத்திகரிப்பு மற்ற, மிகவும் திறமையான முறைகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. .

அரிசி. 1.2.3-2. பிளவு முறை அல்காரிதம் திட்டம்

பிளவு வழிமுறையின் திட்டம் படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 1.2.3-2. மேலே உள்ள வழிமுறையானது f(x) சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் ஒரு மென்பொருள் தொகுதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று கருதுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.2.3-1. x 3 +x-1=0 சமன்பாட்டின் மூலத்தை =0.1 துல்லியத்துடன் குறிப்பிடவும், இது பிரிவில் உள்ளமைக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவுகள் அட்டவணை 1.2.3-3 ஐப் பயன்படுத்தி வசதியாக வழங்கப்படுகின்றன.

அட்டவணை 1.2.3-3

கே	அ	பி	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	ஒரு கே	பி கே
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

நான்காவது மறு செய்கைக்குப் பிறகு, பிரிவின் நீளம் |b 4 -a 4 | = |0.688-0.625| = 0.063 மதிப்பை விடக் குறைவாகிவிட்டது இ, எனவே, ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பிற்கு, இந்த பிரிவின் நடுப்பகுதியின் மதிப்பை நீங்கள் எடுக்கலாம்: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0.656 .

x = 0.656 புள்ளியில் f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பு f(0.656) = -0.062 .

மறு செய்கை முறை

மறு செய்கை முறையானது f(x)=0 சமன்பாட்டை x=j(x) சமமான சமன்பாட்டுடன் மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது. சமன்பாட்டின் வேர் பிரிவில் பிரிக்கப்பட்டிருந்தால், ஆரம்ப தோராயமான x 0 н அடிப்படையில்,நீங்கள் ரூட்டிற்கான தோராயங்களின் வரிசையைப் பெறலாம்

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

இதில் j(x) சார்பு ஒரு மறுசெயல் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எளிய மறு செய்கை முறைக்கான ஒருங்கிணைப்பு நிலை பின்வரும் தேற்றத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வேரை விடுங்கள்எக்ஸ்* சமன்பாடுகள் x=j(x) ஒரு பிரிவில் பிரிக்கப்பட்டதுமற்றும் விதியின்படி தோராயமான வரிசையை உருவாக்கியது x n \u003d j (x n -1) . வரிசையின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் இருந்தால் x n =j(x n -1) н மற்றும் அத்தகைய உள்ளது q(0 அனைவருக்கும் என்று x ஓ நிகழ்த்தப்பட்டது|j'(x)| = கே<1, பின்னர் இந்த வரிசை ஒருமுகமானது மற்றும் வரிசையின் வரம்பு ரூட்டின் மதிப்பாகும்எக்ஸ்* , அதாவது மறு செய்கை செயல்முறை ஆரம்ப தோராயத்தைப் பொருட்படுத்தாமல் சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒன்றிணைகிறது.

இவ்வாறு, மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பின் நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால், x n +1 = j(x n என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n ,... ), வேரின் சரியான மதிப்புடன் இணைகிறது:

xnக்கான j(x)n நிபந்தனையின் அர்த்தம், x 1 , x 2 , …, x n ,… ஆகிய அனைத்து தோராயங்களும் மறுசெயல் சூத்திரத்தால் பெறப்பட்ட ரூட் பிரிக்கப்பட்ட பிரிவைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

மறு செய்கை முறையின் பிழையை மதிப்பிட, நிபந்தனை

ஒரு எண்ணுக்கு கேமிகப்பெரிய மதிப்பை |j"(x)| எடுக்க முடியும் , மற்றும் மறு செய்கைகளின் செயல்முறை சமத்துவமின்மை வரை தொடர வேண்டும்

(1.2.3-5)

நடைமுறையில், ஒரு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிழை மதிப்பீட்டு சூத்திரம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, 0 என்றால்

|x n -1 - x n | £

x n +1 = j(x n) என்ற மறுசெயல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, f(x)=0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலத்தின் மதிப்பை எந்த அளவு துல்லியத்துடன் பெற முடியும். .

மறு செய்கை முறையின் வடிவியல் விளக்கம். X0Y விமானத்தில், y=x மற்றும் y=j(x ஆகிய செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை வரைகிறோம். ). x=j(x) சமன்பாட்டின் மூலமானது y = j(x செயல்பாட்டின் வரைபடங்களின் வெட்டுப்புள்ளியின் abscissa ஆகும். ) மற்றும் நேரடி y=x. சில ஆரம்ப தோராயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் x 0 н . வளைவில் y \u003d j (x) இது A 0 \u003d j (x 0) புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது. அடுத்த தோராயத்தைக் கண்டறிய, புள்ளி A 0 வழியாக நேராக கிடைமட்டக் கோட்டை வரையவும், y \u003d x (புள்ளி B 1) நேர்கோட்டுடன் வெட்டும் இடத்திற்குச் சென்று, வளைவுடன் (புள்ளி A 1) குறுக்குவெட்டுக்கு செங்குத்தாகக் குறைக்கவும், அதாவது, x 1 \u003d j (x 0) . இதேபோல் கட்டுமானத்தைத் தொடர்ந்தால், எங்களிடம் உடைந்த கோடு A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ... உள்ளது, இதற்காக புள்ளிகளின் பொதுவான அப்சிசாஸ்கள் அடுத்தடுத்த தோராயமான x 1, x 2, . .., x n ("ஏணி") X* என்ற மூலத்திற்கு. அத்திப்பழத்திலிருந்து. 1.2.3-3a செயல்முறை சமன்பாட்டின் மூலத்துடன் ஒன்றிணைவதைக் காணலாம்.

y = j(x) (படம் 1.2.6b) வளைவின் மற்றொரு வடிவத்தை இப்போது கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், உடைந்த வரி A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... "சுழல்" வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைப்பு காணப்படுகிறது.

முதல் வழக்கில் வழித்தோன்றல் நிபந்தனை 0 ஐ திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>- ஒன்று. எனவே, |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

இப்போது |j'(x) |> 1. படம். 1.2.3-4a, j'(x)>1, மற்றும் படம். 1.2.3-4b - எப்போது j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

மறு செய்கை செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பை மேம்படுத்துவதற்கான வழிகள். சமன்பாடு f(x) இலிருந்து x=j(x) க்கு மாறுவதில் j(x) செயல்பாட்டைக் குறிக்க இரண்டு விருப்பங்களைக் கவனியுங்கள்.

1. மூலத்தின் சுற்றுப்புறங்களில் j(x) சார்பு வேறுபட்டதாகவும் ஒரே மாதிரியாகவும் இருக்கட்டும், மேலும் k £ 1 (அதாவது, செயல்முறை வேறுபடும்) k £ |j‘(x)| x=j(x) சமன்பாட்டை அதன் சமமான x=Y(x) மூலம் மாற்றுவோம் ) , எங்கே Y(x) = 1/j(x)(தலைகீழ் செயல்பாட்டிற்கு செல்லலாம்). பிறகு

அதாவது q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. நாம் j(x) செயல்பாட்டை j(x) = x - lf(x) எனக் குறிப்பிடுகிறோம், இங்கு l என்பது குணகம் , சமமாக இல்லை

பூஜ்யம். செயல்முறை ஒன்றிணைவதற்கு, அது அவசியம்
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), m 1 மற்றும் M 1 ஆகியவை f'(x) இன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகள் (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) хн, அதாவது. 0£ மீ 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. பிறகு

மற்றும் செயல்முறை ஒன்றிணைக்கும், சுழல்நிலை சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது

f¢(x) என்றால்< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

அளவுரு λ விதியின் மூலம் தீர்மானிக்கப்படலாம்:

என்றால் , பின்னர் , மற்றும் என்றால் , பின்னர் , எங்கே .

மறு செய்கை முறையின் வழிமுறையின் திட்டம் படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 1.2.3-5.

அசல் சமன்பாடு f(x)=0 மறு செய்கைகளுக்கு வசதியான வடிவமாக மாற்றப்பட்டுள்ளது: அசல் சமன்பாட்டின் இடது பக்கமானது f(x) மற்றும் அல்காரிதத்தில் உள்ள fi(x) மறுசெயல்பாடு ஆகியவை தனி மென்பொருள் தொகுதிகளாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன.

அரிசி. 1.2.3-5. மறு செய்கை முறை அல்காரிதம் வரைபடம்

எடுத்துக்காட்டு 1.2.3-2. 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலத்தை 0.1 துல்லியத்துடன் செம்மைப்படுத்தவும், இது பிரிவில் உள்ளமைக்கப்பட்டுள்ளது.

மறு செய்கைகளுக்கு வசதியான படிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் கொண்டு வருகிறோம்:

எனவே, சமன்பாட்டின் மூலத்தின் தோராயமான மதிப்பிற்கு, நாம் x 3 = 3.6892 மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம், இது கணக்கீடுகளின் தேவையான துல்லியத்தை வழங்குகிறது. இந்த கட்டத்தில் f(x 3)=0.0027.

நாண் முறை

நாண் முறையின் வடிவியல் விளக்கம்பின்வருமாறு
(படம்.1.2.3-8).

A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் ஒரு நேர்கோடு பிரிவை வரைவோம். அடுத்த தோராயமான x 1 என்பது 0x அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளியின் abscissa ஆகும். நேர்கோட்டுப் பிரிவின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

y = 0 ஐ வைத்து x = x 1 மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் (மற்றொரு தோராயம்):

ரூட் - x 2 க்கு அடுத்த தோராயத்தைப் பெற கணக்கீடு செயல்முறையை மீண்டும் செய்கிறோம் :

எங்கள் விஷயத்தில் (படம் 1.2.11) மற்றும் நாண் முறையின் கணக்கீட்டு சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்

புள்ளி b ஒரு நிலையான புள்ளியாக எடுத்துக் கொள்ளும்போது இந்த சூத்திரம் செல்லுபடியாகும், மேலும் புள்ளி a ஆரம்ப தோராயமாக செயல்படுகிறது.

மற்றொரு வழக்கைக் கவனியுங்கள் (படம் 1.2.3-9), எப்போது .

இந்த வழக்குக்கான நேர்கோட்டு சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

y = 0 இல் அடுத்த தோராயமான x 1

பின்னர் இந்த வழக்கிற்கான நாண்களின் முறைக்கான சுழல்நிலை சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது

நாண்களின் முறையின் நிலையான புள்ளிக்கு, f (x) ∙ f¢¢ (x)>0 நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் பிரிவின் முடிவு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, புள்ளி a நிலையான புள்ளியாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் , பின்னர் x 0 = b ஆரம்ப தோராயமாக செயல்படுகிறது, மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

நாண்களின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி f(x)=0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கணக்கிடுவதை உறுதிசெய்யும் போதுமான நிபந்தனைகள், தொடுகோடு முறை (நியூட்டனின் முறை) போலவே இருக்கும், ஆனால் ஆரம்ப தோராயத்திற்குப் பதிலாக, ஒரு நிலையான புள்ளி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. நாண் முறை என்பது நியூட்டனின் முறையின் மாற்றமாகும். வித்தியாசம் என்னவென்றால், நியூட்டன் முறையின் அடுத்த தோராயமானது 0X அச்சுடன் தொடுகோடு வெட்டும் புள்ளியாகும், மற்றும் நாண்களின் முறையில் - 0X அச்சுடன் நாண் வெட்டும் புள்ளி - தோராயங்கள் வேருக்கு ஒன்றிணைகின்றன. வெவ்வேறு பக்கங்கள்.

நாண் முறையின் பிழையின் மதிப்பீடு வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

(1.2.3-15)

நாண்களின் முறை மூலம் மறு செய்கை செயல்முறையின் முடிவு நிலை

(1.2.3-16)

எம் 1 என்றால்<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ இ.

எடுத்துக்காட்டு 1.2.3-4. சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் குறிப்பிடவும் e x - 3x = 0, 10 -4 துல்லியத்துடன் ஒரு பிரிவில் பிரிக்கப்பட்டது.

ஒருங்கிணைப்பு நிலையைச் சரிபார்ப்போம்:

எனவே, a=0 ஒரு நிலையான புள்ளியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் f (0) \u003d 1> 0 மற்றும் f (0) * f "(0)> 0 என்பதால் x 0 \u003d 1 ஐ ஆரம்ப தோராயமாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். .

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட கணக்கீட்டு முடிவுகள்
1.2.3-14 அட்டவணை 1.2.3-4 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளது.

அட்டவணை 1.2.3-4

அரிசி. 1.2.3-10. நாண் முறை அல்காரிதம் திட்டம்

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடு ஆகும்

1) இயற்கணிதம் அல்லது ஆழ்நிலை சமன்பாடு

2) இயற்கணித சமன்பாடு

3) முக்கோணவியல் சமன்பாடு

4) ஆழ்நிலை சமன்பாடு

தலைப்பு 1.2. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

சிக்கலை உருவாக்குதல்

வேர் பிரித்தல்

1.2.2.1. வேர்களின் கிராஃபிக் பிரிப்பு

1.2.2.2. வேர்களின் பகுப்பாய்வுக் கிளை

வேர் சுத்திகரிப்பு

1.2.3.1. அரை பிரிவு முறை

1.2.3.2. மறு செய்கை முறை

1.2.3.3. நியூட்டனின் முறை (தொடு முறை)

1.2.3.4. நாண் முறை

1.2.3.5. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளின் ஒப்பீடு

1.2.4. "நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்" என்ற தலைப்பில் பணிகளைச் சோதிக்கவும்

சிக்கலை உருவாக்குதல்

கணிதப் பகுப்பாய்வின் மிக முக்கியமான மற்றும் மிகவும் பொதுவான பிரச்சனைகளில் ஒன்று, அறியப்படாத ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிப்பதில் உள்ள சிக்கல் ஆகும், இது பொதுவான வடிவத்தில் f(x) = 0 என குறிப்பிடப்படலாம். f(செயல்பாட்டின் வடிவத்தைப் பொறுத்து) x), இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. இயற்கணித சமன்பாடுகள்சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இதில் f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்பு nவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

இயற்கணிதம் அல்லாத எந்த சமன்பாடும் அழைக்கப்படுகிறது ஆழ்நிலை சமன்பாடு. அத்தகைய சமன்பாடுகளில் f(x) சார்பு குறைந்தது பின்வரும் செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும்: அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல் அல்லது தலைகீழ் முக்கோணவியல்.

சமன்பாட்டின் தீர்வு f (x) \u003d 0 என்பது வேர்களின் தொகுப்பாகும், அதாவது, சமன்பாடு ஒரு அடையாளமாக மாறும் சுயாதீன மாறியின் அத்தகைய மதிப்புகள். இருப்பினும், வேர்களின் சரியான மதிப்புகள் சில வகையான சமன்பாடுகளுக்கு பகுப்பாய்வு ரீதியாக மட்டுமே காணப்படுகின்றன. குறிப்பாக, இயற்கணித சமன்பாட்டின் தீர்வை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்கள் நான்காவது பட்டத்திற்கு மேல் இல்லாத சமன்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பெற முடியும். ஆழ்நிலை சமன்பாடுகளின் சரியான தீர்வைப் பெறுவதற்கான வாய்ப்புகள் குறைவாகவே உள்ளன. வேர்களின் சரியான மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் எப்போதும் சரியாக இருக்காது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, சமன்பாட்டின் குணகங்கள் தோராயமான எண்களாக இருந்தால், வேர்களின் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளின் துல்லியம் நிச்சயமாக அசல் தரவின் துல்லியத்தை மீற முடியாது. இந்த சூழ்நிலைகள் சமன்பாட்டின் வேர்களை வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் (தோராயமான வேர்கள்) கண்டுபிடிக்கும் சாத்தியத்தை பரிசீலிக்க நம்மை கட்டாயப்படுத்துகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் (> 0) சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல் தீர்க்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது, தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடினால், ரூட்டின் சரியான மதிப்பிலிருந்து மதிப்பு e ஐ விட அதிகமாக வேறுபடுகிறது.

(1.2.1-2)

சமன்பாட்டின் தோராயமான மூலத்தைக் கண்டறியும் செயல்முறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) வேர்களை பிரித்தல் (வேர்களின் உள்ளூர்மயமாக்கல்);

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட அறியப்படாத செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகள் நேரியல் அல்லாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டாக, y=ax+b என்பது நேரியல் சமன்பாடு, x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 என்பது நேரியல் அல்லாதது (பொதுவாக F(x)=0 என எழுதப்படும்).

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட பல நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் ஒரே நேரத்தில் தீர்வு ஆகும்.

பல முறைகள் உள்ளன நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமற்றும் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள், அவை பொதுவாக 3 குழுக்களாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன: எண், வரைகலை மற்றும் பகுப்பாய்வு. சமன்பாடுகளின் தீர்வின் சரியான மதிப்புகளை தீர்மானிக்க பகுப்பாய்வு முறைகள் சாத்தியமாக்குகின்றன. வரைகலை முறைகள் மிகக் குறைவான துல்லியமானவை, ஆனால் அவை சிக்கலான சமன்பாடுகளில் மிகவும் தோராயமான மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கின்றன, எதிர்காலத்தில் நீங்கள் சமன்பாடுகளுக்கு மிகவும் துல்லியமான தீர்வுகளைக் கண்டறியத் தொடங்கலாம். நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் எண்ணியல் தீர்வு இரண்டு நிலைகளைக் கடந்து செல்வதை உள்ளடக்கியது: வேரைப் பிரித்தல் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்திற்கு அதன் சுத்திகரிப்பு.
வேர்களைப் பிரிப்பது பல்வேறு வழிகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது: வரைபட ரீதியாக, பல்வேறு சிறப்பு கணினி நிரல்களைப் பயன்படுத்துதல் போன்றவை.

ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன் வேர்களை சுத்திகரிப்பதற்கான பல முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் எண்ணியல் தீர்வுக்கான முறைகள்

அரை பிரிவு முறை.

அரைப் பிரிவு முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், இடைவெளியை பாதியாகப் பிரித்து (с=(a+b)/2) மற்றும் ரூட் இல்லாத இடைவெளியின் பகுதியை நிராகரிக்க வேண்டும், அதாவது. நிபந்தனை F(a)xF(b)

வரைபடம். 1. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் அரைப் பிரிவு முறையைப் பயன்படுத்துதல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

பிரிவை 2 பகுதிகளாகப் பிரிப்போம்: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5.
தயாரிப்பு F(a)*F(x)>0 எனில், a பிரிவின் ஆரம்பம் x (a=x) க்கு மாற்றப்படும், இல்லையெனில், பிரிவின் முடிவு x (b=x) புள்ளிக்கு மாற்றப்படும். ) இதன் விளைவாக வரும் பகுதியை மீண்டும் பாதியாகப் பிரிக்கிறோம். அனைத்து கணக்கீடுகளும் கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

படம்.2. கணக்கீடு முடிவு அட்டவணை

கணக்கீடுகளின் விளைவாக, தேவையான துல்லியத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, x=-0.946 க்கு சமமான மதிப்பைப் பெறுகிறோம்.

நாண் முறை.

நாண் முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ஒரு பிரிவு குறிப்பிடப்படுகிறது, அதில் குறிப்பிட்ட துல்லியத்துடன் ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது e. ஒரு கோடு (நாண்) a மற்றும் b பிரிவில் உள்ள புள்ளிகள் மூலம் வரையப்படுகிறது, அவை ஆய (x(F(a); y(F(b))) அடுத்ததாக, abscissa அச்சுடன் இந்த கோட்டின் வெட்டும் புள்ளிகள் (புள்ளி z) தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
F(a)xF(z) என்றால்

படம்.3. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் நாண்களின் முறையைப் பயன்படுத்துதல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். e க்குள் x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்

பொதுவாக, சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

பிரிவின் முனைகளில் F(x) மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்:

F(-1) = - 0.2>0;

இரண்டாவது வழித்தோன்றல் F''(x) = 6x-0.4 ஐ வரையறுப்போம்.

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4

பிரிவின் முனைகளில், F(-1)F''(-1)>0 என்ற நிலை காணப்படுகிறது, எனவே, சமன்பாட்டின் மூலத்தைத் தீர்மானிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

அனைத்து கணக்கீடுகளும் கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

படம்.4. கணக்கீடு முடிவு அட்டவணை

கணக்கீடுகளின் விளைவாக, தேவையான துல்லியத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, x=-0.946 க்கு சமமான மதிப்பைப் பெறுகிறோம்.

தொடு முறை (நியூட்டன்)

இந்த முறை வரைபடத்திற்கு தொடுகோடுகளின் கட்டுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அவை இடைவெளியின் முனைகளில் ஒன்றில் வரையப்படுகின்றன. X-அச்சு (z1) உடன் வெட்டும் இடத்தில், ஒரு புதிய தொடுகோடு கட்டப்பட்டுள்ளது. பெறப்பட்ட மதிப்பை விரும்பிய துல்லிய அளவுரு e (F(zi) உடன் ஒப்பிடும் வரை இந்த செயல்முறை தொடர்கிறது.

படம்.5. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் தொடுகோடுகளின் (நியூட்டன்) முறையைப் பயன்படுத்துதல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். e க்குள் x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்

பொதுவாக, சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களை வரையறுப்போம்: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
நிபந்தனை F(-1)F''(-1)>0 பூர்த்தியானது, எனவே கணக்கீடுகள் சூத்திரத்தின்படி செய்யப்படுகின்றன:

எங்கே x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

அனைத்து கணக்கீடுகளும் கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

படம்.6. கணக்கீடு முடிவு அட்டவணை

கணக்கீடுகளின் விளைவாக, தேவையான துல்லியத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, x=-0.946 க்கு சமமான மதிப்பைப் பெறுகிறோம்.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலைக் கவனியுங்கள்

சமன்பாட்டின் வேர்கள் (1) என்பது x இன் மதிப்புகள் ஆகும், அவை மாற்றும் போது அதை அடையாளமாக மாற்றும். எளிமையான சமன்பாடுகளுக்கு மட்டுமே சூத்திரங்கள் வடிவில் தீர்வு காண முடியும், அதாவது. பகுப்பாய்வு வடிவம். தோராயமான முறைகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் அவசியம், அவற்றில் மிகவும் பரவலானது, கணினிகளின் வருகையுடன், எண் முறைகள்.

தோராயமான முறைகள் மூலம் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையை இரண்டு நிலைகளாகப் பிரிக்கலாம். முதலில், வேர்களின் இருப்பிடம் ஆய்வு செய்யப்பட்டு அவற்றின் பிரிப்பு மேற்கொள்ளப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் வேர் அல்லது x 0 மூலத்திற்கு ஆரம்ப தோராயமான ஒரு பகுதி உள்ளது. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய வழி f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் படிப்பதாகும். பொதுவான வழக்கில், அதைத் தீர்க்க, கணித பகுப்பாய்வின் அனைத்து வழிகளிலும் ஈடுபடுவது அவசியம்.

சமன்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலத்தின் (1) கண்டறியப்பட்ட இடைவெளியில் இருப்பது போல்சானோ நிபந்தனையிலிருந்து பின்வருமாறு:

f(a)*f(b)<0 (2)

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்றும் கருதப்படுகிறது. இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கை பற்றிய கேள்விக்கு இந்த நிபந்தனை பதிலளிக்கவில்லை. செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் தேவை அதன் மோனோடோனிசிட்டியின் தேவையுடன் கூடுதலாக இருந்தால், இது முதல் வழித்தோன்றலின் அடையாள-நிலைத்தன்மையிலிருந்து பின்பற்றப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் ஒரு தனித்துவமான வேர் இருப்பதை உறுதிப்படுத்தலாம்.

வேர்களை உள்ளூர்மயமாக்கும் போது, ​​இந்த வகை சமன்பாட்டின் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்வதும் முக்கியம். எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணித சமன்பாடுகளின் சில பண்புகளை நினைவுகூருங்கள்:

உண்மையான குணகங்கள் எங்கே.

• a) பட்டம் n இன் சமன்பாடு n வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் உண்மையான மற்றும் சிக்கலான இரண்டும் இருக்கலாம். சிக்கலான வேர்கள் சிக்கலான இணை ஜோடிகளை உருவாக்குகின்றன, எனவே, சமன்பாடு அத்தகைய வேர்களின் சம எண்ணிக்கையைக் கொண்டுள்ளது. n இன் ஒற்றைப்படை மதிப்புக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு உண்மையான ரூட் உள்ளது.
• ஆ) நேர்மறை உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை, குணகங்களின் வரிசையில் உள்ள மாறி குறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சமன்பாடு (3) இல் x ஐ -x உடன் மாற்றுவது எதிர்மறை வேர்களின் எண்ணிக்கையை அதே வழியில் மதிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கிறது. மறு செய்கை நியூட்டன் டைகோடமி அல்லாத நேரியல்

சமன்பாடு (1) தீர்க்கும் இரண்டாம் கட்டத்தில், பெறப்பட்ட ஆரம்ப தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு மறுசெயல்முறை கட்டமைக்கப்படுகிறது, இது சில முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ரூட்டின் மதிப்பைச் செம்மைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது. மறுசெயல்முறையானது ஆரம்ப தோராயத்தின் தொடர்ச்சியான சுத்திகரிப்பு ஆகும். அத்தகைய ஒவ்வொரு படியும் ஒரு மறு செய்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மறு செய்கை செயல்முறையின் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகளின் வரிசை காணப்படுகிறது. இந்த வரிசையானது n வளரும்போது x மூலத்தின் உண்மையான மதிப்பை அணுகினால், மறுசெயல்முறை ஒன்றிணைகிறது. பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், ஒரு மறுசெயல்முறையானது குறைந்தபட்சம் ஆர்டர் m க்கு ஒன்றிணைவதாகக் கூறப்படுகிறது:

С>0 என்பது சில மாறிலி. m=1 எனில், ஒருவர் முதல்-வரிசை ஒருங்கிணைப்பைப் பற்றி பேசுகிறார்; m=2 - இருபடி பற்றி, m=3 - கனசதுர ஒருங்கிணைப்பு பற்றி.

கொடுக்கப்பட்ட அனுமதிக்கப்பட்ட பிழைக்கு, முழுமையான அல்லது ஒப்பீட்டு விலகலுக்கான அளவுகோல்கள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், மறுசெயல் சுழற்சிகள் முடிவடையும்:

அல்லது எஞ்சியவற்றின் சிறுமை:

இந்த வேலை நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் பற்றிய ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது.

துறை: ASOIiU

ஆய்வக வேலை

தலைப்பில்: ஒரு நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிதல். நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

மாஸ்கோ, 2008

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிதல்

1. பிரச்சனையின் அறிக்கை

அதன் பல வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கொடுக்கலாம். சமன்பாட்டின் அனைத்து அல்லது சில உண்மையான வேர்களைக் கண்டறிவது அவசியம்

இந்த பணி பல துணை பணிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. முதலில், வேர்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், அவற்றின் தன்மை மற்றும் இருப்பிடத்தை ஆராய வேண்டும். இரண்டாவதாக, வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். மூன்றாவதாக, அவர்களிடமிருந்து எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள வேர்களைத் தேர்ந்தெடுத்து, தேவையான துல்லியத்துடன் அவற்றைக் கணக்கிடுங்கள் இ. முதல் மற்றும் இரண்டாவது பணிகள், ஒரு விதியாக, பகுப்பாய்வு அல்லது வரைகலை முறைகள் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன. சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்கள் (1) மட்டுமே தேடப்படும் போது, ​​​​செயல்பாடு மதிப்புகளின் அட்டவணையை தொகுக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். அட்டவணையின் இரண்டு அண்டை முனைகளில் செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால், இந்த முனைகளுக்கு இடையில் சமன்பாட்டின் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான வேர்கள் (குறைந்தது ஒன்று) இருக்கும். இந்த முனைகள் நெருக்கமாக இருந்தால், பெரும்பாலும் அவற்றுக்கிடையே ஒரே ஒரு வேர் மட்டுமே இருக்கும்.

வேர்களின் கண்டறியப்பட்ட தோராயமான மதிப்புகள் பல்வேறு செயல்பாட்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தி சுத்திகரிக்கப்படலாம். மூன்று முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 1) இருவேறு முறை (அல்லது பிரிவை பாதியாகப் பிரித்தல்); 2) எளிய மறு செய்கை முறை; மற்றும் 3) நியூட்டனின் முறை.

2. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

2.1 ஒரு பகுதியை பாதியாகப் பிரிக்கும் முறை

நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிவதற்கான எளிய முறை (1) அரைப் பிரிவு முறையாகும்.

பிரிவில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும். பிரிவின் முனைகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்டிருந்தால், அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான வேர்கள் உள்ளன என்று அர்த்தம். நிச்சயமாக, ஒரே ஒரு ரூட் இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு மறு செய்கையிலும் பிரிவின் நீளத்தை பாதியாகக் குறைப்பதே முறையின் சாராம்சம். பிரிவின் நடுப்பகுதியைக் காண்கிறோம் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்) செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டு, செயல்பாடு அதன் அடையாளத்தை மாற்றும் பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். புதிய பகுதியை மீண்டும் பாதியாக பிரிக்கவும். பிரிவின் நீளம் ரூட் e ஐ கணக்கிடுவதில் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட பிழைக்கு சமமாக இருக்கும் வரை இந்த செயல்முறையை நாங்கள் தொடர்கிறோம். சூத்திரம் (3) இன் படி பல தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் கட்டுமானம் படம் 1 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

எனவே, டிகோடமி முறையின் அல்காரிதம்:

1. தூரம் மற்றும் பிழையை அமைக்கவும் இ.

2. f(a) மற்றும் f(b) ஆகிய இரண்டும் ஒரே அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால், மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமற்றது என்ற செய்தியை வெளியிட்டு நிறுத்தவும்.

வரைபடம். 1. f(x)=0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு பகுதியை பாதியாகப் பிரிக்கும் முறை.

3. இல்லையெனில் c=(a+b)/2 என்று கணக்கிடவும்

4. f(a) மற்றும் f(c) ஆகியவை வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்டிருந்தால், b=c, இல்லையெனில் a=c என்று போடவும்.

5. புதிய பிரிவின் நீளம் என்றால், c=(a+b)/2 மூலத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டு நிறுத்துங்கள், இல்லையெனில் படி 3க்குச் செல்லவும்.

N படிகளில் பிரிவின் நீளம் 2 N மடங்கு குறைக்கப்படுவதால், ரூட் e ஐக் கண்டுபிடிப்பதில் கொடுக்கப்பட்ட பிழை மறு செய்கைகளில் அடையப்படும்.

காணக்கூடியது போல, ஒன்றிணைக்கும் விகிதம் குறைவாக உள்ளது, ஆனால் முறையின் நன்மைகள் மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறையின் எளிமை மற்றும் நிபந்தனையற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை அடங்கும். பிரிவில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ரூட் (ஆனால் ஒற்றைப்படை எண்) இருந்தால், ஒன்று எப்போதும் காணப்படும்.

கருத்து. ரூட் இருக்கும் இடைவெளியைத் தீர்மானிக்க, பகுப்பாய்வு மதிப்பீடுகள் அல்லது வரைகலை தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்துவதன் அடிப்படையில் செயல்பாட்டின் கூடுதல் பகுப்பாய்வு தேவைப்படுகிறது. செயல்பாடு அடையாளத்தை மாற்றும் நிபந்தனையை சந்திக்கும் வரை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தேடலை ஒழுங்கமைக்க முடியும்

2.2 எளிய மறு செய்கை முறை

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​அசல் நேரியல் சமன்பாடு (1) வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்பட வேண்டும்

இந்த சமன்பாட்டின் மூலத்தை C * ஆகக் குறிப்போம். மூலத்தின் ஆரம்ப தோராயத்தை அறியட்டும். இந்த மதிப்பை சமன்பாட்டின் (2) வலது பக்கத்தில் மாற்றினால், புதிய தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்

முதலியன (n+1)-படிக்கு, பின்வரும் தோராயத்தைப் பெறுகிறோம்

(3)

எனவே, சூத்திரம் (3) படி, நாம் ஒரு வரிசையைப் பெறுகிறோம் С 0 , С 1 ,…,С n +1 , இது n®¥ இல் С * மூலத்தை நோக்கி செல்கிறது. இரண்டு தொடர்ச்சியான மறு செய்கைகளின் முடிவுகள் நெருக்கமாக இருந்தால், அதாவது, நிபந்தனையுடன் செயல்படும் செயல்முறை நிறுத்தப்படும்

(4)

n®¥க்கான எண் வரிசையின் (C n ) நிலை மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் விகிதத்தைப் படிப்போம். ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தின் வரையறையை நினைவுகூருங்கள். ஒரு வரிசை (C n ) வரம்புக்கு மாறுகிறது С * ஆனது n®¥ க்கு, நிபந்தனையின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது

இது ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர் (n+1)-வது மறு செய்கையின் படி e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) இல் உள்ள பிழையை குறிப்பிடலாம். ஒரு தொடராக

e n+1 »C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

எனவே, நிபந்தனையின் கீழ் அதைப் பெறுகிறோம்

çg¢(C *) ç<1(6)

வரிசை (3) ஒரு நேரியல் வேகம் a=1 உடன் ரூட்டுடன் ஒன்றிணைக்கும். நிபந்தனை (6) என்பது எளிய மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிபந்தனையாகும். வெளிப்படையாக, முறையின் வெற்றியானது செயல்பாடு எவ்வளவு சிறப்பாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது என்பதைப் பொறுத்தது.

எடுத்துக்காட்டாக, வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, அதாவது, x \u003d a 2 வடிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் வைக்கலாம்

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

அதைக் காட்டுவது எளிது

½g 1" (C)½=1,

½g 2" (C)½<1.

எனவே, முதல் செயல்முறை (7a) ஒன்றிணைவதில்லை, இரண்டாவது (7b) எந்த ஆரம்ப தோராயமான C 0 >0 க்கும் ஒன்றிணைகிறது.

அரிசி. 2. x=g(x) வடிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மறு செய்கைகளின் முறையின் வரைகலை விளக்கம்.

சூத்திரம் (3) மூலம் பல தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் கட்டுமானம்

С 0 , С 1 , …, С n = C *

படம் 2 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

2.3 நியூட்டனின் முறை

இலக்கியத்தில், இந்த முறை பெரும்பாலும் தொடு முறை என்றும், நேரியல் முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஆரம்ப தோராயமான С 0 ஐ நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம். ரூட் С * இன் உண்மையான மதிப்பிலிருந்து С 0 விலகல் சிறியது என்று வைத்துக்கொள்வோம், பின்னர், f(C *) ஐ டெய்லர் தொடராக С 0 புள்ளியில் விரிவுபடுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

f¢(C 0) ¹ 0 என்றால், (8) இல் DC =C-C 0 இல் உள்ள நேரியல் சொற்களுக்கு நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். f(C *)=0 என்பதை கருத்தில் கொண்டு, (9) இலிருந்து ரூட்டிற்கான பின்வரும் தோராயத்தைக் காணலாம்

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

அல்லது (n+1)வது தோராயத்திற்கு

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢(C n) (9)

மறுசெயல்முறையை நிறுத்த, இரண்டு நிபந்தனைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய ஆய்வு முந்தைய வழக்கைப் போலவே மேற்கொள்ளப்படுகிறது. நிபந்தனையின் கீழ் சுயாதீனமாக அதைப் பெறுங்கள்

½f""(C)/2f"(C)½<1.

நியூட்டனின் முறை ஒரு இருபடி குவிப்பு விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது ().

அரிசி. 3. f(x)=0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான நியூட்டனின் முறையின் வரைகலை விளக்கம்.

சூத்திரம் (9) மூலம் பல தொடர்ச்சியான தோராயங்களின் கட்டுமானம்

С 0 , С 1 , …, С n = C *

படம் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

1. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(x)

f(x)=0 என்ற சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை, அவற்றின் இருப்பிடம் மற்றும் தோராயமான மதிப்புகளை (வரைபடத்தை உருவாக்கவும் அல்லது மதிப்புகளின் அட்டவணையை அச்சிடவும்) தீர்மானிக்கவும்.

· கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களில் ஒன்றை (ஏதேனும்) e=0.5*10 -3 என்ற துல்லியத்துடன் கணக்கிடவும்.

கணக்கீடுகளுக்கு, பிரிவை பாதியாகப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தவும் (மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும்), பின்னர் நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி அதே மூலத்தைக் கண்டறியவும் (மறு செய்கை படிகளின் எண்ணிக்கையையும் தீர்மானித்தல்).

உங்கள் முடிவுகளை ஒப்பிடுக.

பணி விருப்பங்கள்

1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0.1x 2 +0.3x –0.6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0.5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2.9x 3 +0.1x 2 + 5.8x - 4.2=0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

1. சிக்கலை உருவாக்குதல்

n நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க இது தேவையாக இருக்கட்டும்:

(1)

தீர்வு முறைக்கு நேரடி முறைகள் எதுவும் இல்லை (1). சில சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே இந்த அமைப்பை நேரடியாக தீர்க்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை, சில சமயங்களில் ஒரு அறியப்படாத மாறியை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவது சாத்தியமாகும், மேலும் அறியப்படாத ஒன்றைப் பொறுத்து ஒரு நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கலைக் குறைக்கலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (1) திசையன் வடிவத்தில் சுருக்கமாக எழுதப்படலாம்:

. (2)

சமன்பாடு (2) டொமைனில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம். சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பை நிறுவவும், இந்த வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் இது தேவைப்படுகிறது. வேர்களைக் கண்டறிய, மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் முறைகள் வழக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் ஆரம்ப தோராயத்தின் தேர்வு அடிப்படை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. ஆரம்ப தோராயமானது சில நேரங்களில் உடல்ரீதியான பரிசீலனைகளிலிருந்து அறியப்படுகிறது. இரண்டு தெரியாதவர்களின் விஷயத்தில், ஆரம்ப தோராயத்தை வரைபடமாக காணலாம்: வளைவுகளை f 1 (x 1 , x 2)=0 மற்றும் f 2 (x 1 , x 2)=0 (x 1 , x 2) ) மற்றும் அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளுக்கு (அத்துடன் சிக்கலான வேர்களுக்கு), ஆரம்ப தோராயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க திருப்திகரமான வழிகள் இல்லை.

சமன்பாடுகள் (1), (2) - எளிய மறு செய்கை முறை மற்றும் நியூட்டனின் முறை ஆகியவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான இரண்டு முக்கிய செயல்பாட்டு முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

2. நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

2.1 எளிய மறு செய்கை முறை

படிவத்தில் அமைப்பு (1) ஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்

(3)

அல்லது திசையன் வடிவத்தில்:

(4)

எளிய மறு செய்கை முறையின் அல்காரிதம் பின்வருமாறு. சில பூஜ்ஜிய தோராயத்தை நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம்

அடுத்த தோராயமானது சூத்திரங்களால் கண்டறியப்படுகிறது:

அல்லது இன்னும் விரிவாக:

(5)

இரண்டு தொடர்ச்சியான மறு செய்கைகளில் அறியப்படாத அனைத்து மாற்றங்களும் சிறியதாக மாறும் வரை மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை (5) தொடர்கிறது, அதாவது.

நடைமுறையில், கடைசி நிபந்தனைக்கு பதிலாக சமத்துவமின்மை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

(6)

n-பரிமாண வெக்டரின் rms நெறி எங்கே , அதாவது

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ஆரம்ப தோராயத்தின் நல்ல தேர்வால் வெற்றி பெரும்பாலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: இது உண்மையான தீர்வுக்கு போதுமானதாக இருக்க வேண்டும். இல்லையெனில், மறுசெயல் செயல்முறை ஒன்றிணைக்காமல் போகலாம். செயல்முறை ஒன்றிணைந்தால், அதன் ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் நேரியல் ஆகும்.

2.2 நியூட்டனின் முறை

மொழிபெயர்ப்பு இலக்கியத்தில், நியூட்டன்-ராப்சன் முறை என்ற பெயரைக் காணலாம். இந்த முறை எளிமையான மறு செய்கை முறையை விட மிக வேகமாக ஒன்றிணைகிறது.

ரூட்டிற்கான சில தோராயங்களை அறியலாம், அதனால்

பின்னர் அசல் அமைப்பு (2) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் தொடரில் சமன்பாடு (7) விரிவடைந்து, விலகலில் நேரியல் சொற்களுக்கு நம்மைக் கட்டுப்படுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்:

அல்லது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில்:

(8)

அமைப்பு (8) இவ்வாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

(9)

இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பு (9) அதிகரிப்புகளைப் பொறுத்து நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும்.

F 1 , F 2 , ..., F n செயல்பாடுகளின் மதிப்பு மற்றும் (9) இல் அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன

.

அமைப்பின் (9) தீர்மானிப்பவர் ஜேக்கபியன் ஜே:

(10)

சமன்பாடுகள் (9) அமைப்புக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு இருப்பதற்கு, அது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டதாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, காஸ் முறை மூலம் (9) தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பு, ஒரு புதிய தோராயத்தைக் காண்கிறோம்:

.

நாங்கள் நிலையை சரிபார்க்கிறோம் (6). அது திருப்தியடையவில்லை என்றால், ஜேக்கபியன் (10) ஐயும் ஒரு புதிய தோராயத்துடன் கண்டுபிடித்து மீண்டும் (9) தீர்க்கிறோம், இதனால், 2வது தோராயத்தைக் காண்கிறோம், மற்றும் பல.

நிபந்தனை (6) திருப்தி அடைந்தவுடன் மறு செய்கைகள் நிறுத்தப்படும்.

நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியவும். மறுசெயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பை ஆராயுங்கள்.

பணி விருப்பங்கள்

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.