1. Одинаковые маленькие металлические шарики, несущие одноименные заряды 15 и 60 нКл, находятся на расстоянии 2 м друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их нужно развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

Так как шарики одинаковые, то после соприкосновения они будут иметь одинаковые заряды q ’ 1 = q ’ 2 = q ’. По закону сохранения заряда

q 1 + q 2 = 2q’.

2. Заряженные шарики, находящиеся на расстоянии 2 м друг от друга, отталкиваются с силой 1 Н. Общий заряд шариков 50 мкКл. Как распределен заряд между шариками?

Суммарный заряд шариков равен q = q 1 + q 2 .

q 1 = 38 мкКл, q 2 = 12 мкКл. При вычислении корней системы уравнений получается, что q 1 = 12 мкКл, q 2 = 38 мкКл.

3. Два маленьких одинаковых по размеру заряженных шарика, находящиеся на расстоянии 2 м, притягиваются с силой 27 мН. После того, как шарики приведены в соприкосновение и затем разнесены на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой 9 мН. Определите первоначальные заряды шариков.

Так как шарики одинаковые, то после соприкосновения их заряды будут одинаковыми по модулю. Т.к. шарики до соприкосновения притягивались, то имели разноименные заряды; после соприкосновения отталкиваются, следовательно, заряды одноименные. Потому в законе сохранения заряда:

q 1 – q 2 = 2q’ .

q = 4 мкКл

1) q 2 = 6 мкКл2) q 2 = - 2 мкКл

q 1 = - 6 мкКл q 1 = 2 мкКл

Т.о. q 1 = ± 6 мкКл, q 2 = -+ 2 мкКл
При решении задач на применение закона Кулона используются законы статики, изученные в механике (вспомните их). Методы решения задач остаются теми же, что и в механике, но добавляется еще одна сила - кулоновская. При этом надо иметь в виду, что направление кулоновской силы зависит от знаков зарядов взаимодействующих тел.
Кроме того, в ряде задач используется закон сохранения заряда и тот факт, что минимальная порция электрического заряда равна по модулю элементарному заряду е = 1,6 Ю-19 Кл.
Задача 1
Сколько электронов содержится в капле воды массой т = 5 1(Г5 кг?
Решение. Число молекул, содержащихся в капле воды, равно:
М А»
где М - молярная масса воды, равная 1,8 1(Г2 кг/моль, a Na - постоянная Авогадро, равная 6,02 1023 моль-1. Одна молекула воды содержит га = 10 электронов. Следовательно, число электронов в капле воды равно:
nN = п ^N, ~ 1,7 1022.
М А
Задача 2 Ti
В воздухе на нити висит шарик объемом У=2*106м3и плотностью р = 9 103 кг/м3. Заряд шарика q = 2 Ю-7 Кл. На какое расстояние снизу надо поднести к нему маленький шарик с таким же по модулю, но противоположным по знаку зарядом, чтобы сила натяжения нити возросла вдвое? Рассмотрите два случая: а) шарики взаимодействуют в воздухе; б) вся система погружена в керосин (плотность керосина рк = 800 кг/м3, ди-электрическая проницаемость в = 2,1).
Решение, а) В воздухе на первый шарик до поднесения второго действует сила натяжения нити 711 mS
и сила тяжести mg (рис. 1.9). Рис. 1.9
Так как шарик находится в равновесии, то Т1 = mg. После того как к первому шарику поднесли снизу второй заряженный шарик (рис. 1.10), на первый шарик стали действовать три силы: сила натяжения нити Т2, сила тяжести mg и куло-
новская сила Fv
Так как и теперь шарик находится в равновесии, то Т 2 + mg + F1 = 0.
В проекциях на вертикально направленную ось У это равенство запишется так:
T2-mg-F1 = 0.
Согласно условию Т2 = 2Т1 = 2mg. Следовательно,
2mg - mg - F1 = 0.
Отсюда
F1 = mg.
2 2 2 По закону Кулона F1 = k^, поэтому k^ = mg, или k^ = pVg.
ri ri ri
Отсюда
Гі = к?ІА== 4,4 10-2 M = 4,4 см.
б) Когда вся система погружена в керосин, на первый шарик действуют четыре силы: сила натяжения нити Т2, сила Yk
Yi - ¦IF. 2
" mg
Fl mg О
O"-Z - Рис. 1.10
Рис. 1.11 тяжести mg, кулоновская сила F2 и архимедова сила F (рис. 1.11).
Из условия равновесия имеем:
T2 + mg+ F2 + Fh = О,
или в проекциях на ось У: (1.6.1)
T2-mg-F2 + Fa = 0. Здесь Т2 = 2mg = 2рVg; F2 = k-^ ; F& = pПодставляя
er,
эти выражения в равенство (1.6.1), получим:
Го = \д\ \ „ k =0,03 м = Зсм.
2 "*"*JeVg(p - рк)
Задача 3
Два одинаковых шарика, несущих равные заряды, подве- шеньГна нитях равной длины к одной точке. Шарики опускают в керосин. Чему равна плотность р материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине одинаков? Плотность керосина рк = 0,8 г/см3, его диэлектрическая проницаемость є = 2.
Решение. Когда система находится в воздухе, то на каждый шарик действуют три силы (рис. 1.12, а): сила тяжести mg, сила натяжения нити Т1 и кулоновская сила F1 (на рисунке изображены силы, действующие на один из шариков).

mg
Рис. 1.13
mg
mg
б)
б) Так как шарики находятся в равновесии, то сумма сил равна нулю:
mg + Fl + Тl => 0.
Это означает, что при сложении сил векторы образуют пря-моугольный треугольник (рис. 1.12, б). Из этого треугольника имеем:
F1 = mgtg а.
При погружении в керосин появляется еще архимедова сила Fa, а сила натяжения нити Т2 и кулоновская сила F2 умень-шаются по модулю (рис. 1.13, а). Шарики находятся в равновесии, значит,
mg + Fa + F2 + T2 = 0.
Отсюда следует, что при сложении сил они образуют замкнутую фигуру (рис. 1.13, б). Из рисунка видно, что
F2 = (mg - F&)tg а.
Отношение модулей сил F^ и F2 есть диэлектрическая про-ницаемость среды:
Fi mg
тг = Є, или --=г = Є.
F2 ms - Fa
Подставляя в это выражение значения массы т = pF и ар-химедовой силы F = pyVg, получим:
pVg
е.
РVg - рKVg
Отсюда
ЄРк, с, 3 р= -j- ~ 1,6 г/см.
Можно решить эту задачу, проецируя векторные равенства на оси координат. Решение получается более громоздким.
Задача 4
В вершинах квадрата расположены одинаковые заряды q. Какой заряд q0 надо поместить в центре квадрата, чтобы сис-тема находилась в равновесии?

Рис. 1.14
о
Решение. Искомый заряд qQ должен притягивать заряды q, расположенные в вершинах квадрата, компенсируя их взаимное отталкивание. Поэтому знаки зарядов qQ и q противоположны. При любом значении заряда q0 он будет находиться в равновесии, так как расположен в центре симметрии квадрата, и силы, действующие на него со стороны зарядов, расположенных в вершинах квадрата, компенсируются.
Заряды, расположенные в вершинах квадрата, будут находиться в рав-новесии, когда суммы действующих на них сил равны нулю. Рассмотрим, например, условие равновесия заряда, располо-женного в точке D (рис. 1.14). На этот заряд действуют силы
отталкивания F1, F2 и F3 со стороны зарядов, расположенных
->
в вершинах В, С и К, и сила F4 притяжения к заряду qQ. Сле-довательно,
В проекциях на ось X это равенство примет вид: .Fj + FgCos а - F4cos а = 0,
(1.6.2)
где а = 45°, a cos а = ^ .
Для нахождения модулей сил необходимо знать расстояния между зарядами. Обозначим длину стороны BD квадрата через а, тогда
KD = аЛ,АВ =
Подставляя эти силы в уравнение (1.6.2), получим:
Найдем модули сил, используя закон Кулона и считая, что система зарядов находится в вакууме (е = 1):
Отсюда находим:
, і \q\{2j2 + 1)
= 4
Учитывая, что заряды g и qQ должны иметь противоположные знаки, получим:
q(2j2 + 1) % 4
Задача 5
Тонкое проволочное кольцо радиусом R несет электриче-ский заряд q. В центре кольца расположен одноименный с q заряд Q, причем Q » q. Определите силу, растягивающую коль-цо.
Решение. 1-й способ. Так как Q q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длиной АI = RAa (рис. 1.15, а).
Со стороны заряда Q на него действует сила F = k , где
R
Силы натяжения Т уравновешивают силу F (рис. 1.15, б). Из условия равновесия, учитывая, что Да мало, имеем:
F = 2Tsin-^ = ТАа.
Отсюда

(1.8.3) А 9Д(Х
и Aq= ^- , получим:
о
Подставляя в (1.8.3) значения k =
т Qg
Q D2"
8я епД

Рис. 1.16
2-й способ. На каждый элемент кольца длиной Alt (рис. 1.16) действует элементарная сила
QAqt
AF. = k- 2 . 1 R
aAi QqAii
Так как Ад. = , то AF. = k ~ .
1 2nR 1 2 nRZ
Геометрическая сумма элементарных сил, действующих на полукольцо, уравновешивается возникающими силами натя-жения кольца (см. рис. 1.16):
?АF, = 2Т = 0.
Или в проекциях на ось У:
? AF - 2Т = 0.
Отсюда
l^iy
Т=-Чг~.
Следовательно,
Т =

Из рисунка видно, что
Axl QqAx,.

ал,-
AF. = AF.cos а = AF.--1 іу і і AL
Так как ^Axt = 2R, то
Упражнение 1
Два заряженных шарика малых размеров с одинаковыми отрицательными зарядами расположены в вакууме на расстоянии г = 3 см друг от друга и отталкиваются с силой F = 2 10~5 Н. Найдите число избыточных электронов N на одном шарике.
С какой силой взаимодействовали бы две капли воды на расстоянии 10 км, если бы удалось передать одной из капель 2% всех электронов, содержащихся в другой капле массой 5 10~5 кг?
Два одинаковых маленьких шарика, имеющие заряды +20 СГСЭ? и -14 СГСЭ?, приведены в соприкосновение и раздвинуты на 2 см. Найдите силу взаимодействия шариков.
Одинаковые металлические одноименно заряженные шарики находятся на расстоянии г. Отношение зарядов шариков равно п. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их надо развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?
Электрон движется вокруг протона по круговой орбите. Определите период Т обращения электрона, считая радиус
орбиты равным г=5 10 11 м. Масса электрона те = = 9,1 Ю-31 кг.
Вокруг точечного заряда Q = 5 СГСЭ^ равномерно движется по окружности под действием кулоновской силы ма-ленький отрицательно заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если радиус окружности г = 2 см, а угловая скорость вращения со = = 5 рад/с?
Два одинаковых шарика массой т = 0,5г подвешены в вакууме на нитях длиной L = 0,3 м к одной точке. После получения шариками одинаковых зарядов они разошлись на расстояние г = ОД м. Найдите заряд q каждого шарика.
На шелковой нити подвешен маленький шарик массой 0,1 г. Шарику сообщен заряд 50 СГСЭ^. Как близко надо поднести к нему снизу одноименный равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое? Заряды находятся в вакууме.
Два невесомых одинаково заряженных шарика подвешены в воздухе на тонких непроводящих стержнях длиной 1 = 100 см. Один из стержней закреплен в верикальном положении, а другой, массой т = 5 10_3 кг, - свободен. Определите, при каком значении зарядов этот стержень отклонится на угол а = 6° (g ~ 10 м/с2).
Три одинаковых отрицательных заряда q = -9 Ю-9 Кл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q надо поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?
Три одинаковых заряда q = 20 СГСЭ^ помещены в вершинах равностороннего треугольника. Сила, действующая на каждый заряд, по модулю равна F = 0,01 Н. Определите длину а стороны треугольника.
На расстоянии г = 3 м друг от друга расположены два точечных заряда q1 = -9 СГСЭ? и q2 = -36 СГСЭ^. После того как в некоторой точке поместили заряд Q, все три заряда оказались в равновесии. Найдите заряд Q и расстояние х между зарядами q1 и Q.
Четыре одинаковых положительных точечных заряда 5=10 СГСЭ9 закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 10 см. Найдите силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.

Три небольших заряженных одноименным электрическим зарядом шарика находятся в равновесии на двух одинаковым образом наклоненных к горизонту гладких непроводящих плоскостях, располагаясь в вершинах равностороннего треугольника (рис. 1.17). Заряд шариков 1 и 2 один и тот же и вдвое превосходит заряд шарика 3. Найдите отношение масс второго и третьего шариков.
Три одинаковых маленьких шарика массой т = 0,1 г каждый подвешены в одной точке на шелковых нитях длиной I = 20 см. Какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составляла с вертикалью угол а = 30°?

Два шарика с зарядами 0,8 и 0,5 мкКл находятся на расстоянии 0,4 м. До какого расстояния их можно сблизить, если совершить работу 27 мДж?

Задача №6.3.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(Q=0,8\) мкКл, \(q=0,5\) мкКл, \(R=0,4\) м, \(A=27\) мДж, \(r-?\)

Решение задачи:

Для того, чтобы сблизить два одноимённо заряженных шарика, необходимо совершить некоторой внешней силой положительную работу \(A\), поскольку потенциальная энергия системы из двух зарядов возрастёт (ведь она обратно пропорциональна расстоянию между зарядами, это видно далее из формулы). То есть запишем:

Здесь \(W_2\) — потенциальная энергия взаимодействия зарядов, когда их сблизят до искомого расстояния \(r\), \(W_1\) — начальная потенциальная энергия взаимодействия зарядов, когда они находятся на расстоянии \(R\). Значения этих потенциальных энергий можно найти из следующих формул:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{kQq}}{R} \hfill \\
{W_2} = \frac{{kQq}}{r} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сразу отметим, то здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности (в законе Кулона), равный 9·10 9 Н·м 2 /Кл 2 .

Осталось только решить это уравнение с одним неизвестным.

\[\frac{{kQq}}{r} = A + \frac{{kQq}}{R}\]

\[\frac{{kQq}}{r} = \frac{{AR + kQq}}{R}\]

Задача решена в общем виде. Подставим численные значения в формулу, чтобы найти численный ответ.

Ответ: 0,1 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

6. В вершинах и в центре правильного треугольника со стороной 5 см расположены положительные одинаковые заряды 0,5 мКл каждый. Какая сила действует на отрицательный заряд 0,7 мКл, находящийся на продолжении высоты, на расстоянии 7 см от вершины?

7. В вершинах шестиугольника помещены положительные одинаковые заряды 10 нКл каждый. Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

8. Шарик массой m = 4 г, несущий заряд Q 1 = 278 нКл, подвешен в воздухе на невесомой нерастяжимой непроводящей нити. При приближении к нему заряда Q 2 противоположного знака нить отклонилась на угол a = 45° от вертикального направления (рис. 2). Найти модуль заряда Q 2, если расстояние r = 6 см.

9. В модели атома Бора – Резерфорда электроны движутся по круговым орбитам вокруг положительно заряженного ядра. Определить скорость u и ускорение а электрона в атоме водорода , если радиус боровской орбиты r = 52,9 пм.

10. Два шарика массой m = 0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной http://pandia.ru/text/80/320/images/image281.png" width="53 height=21" height="21"> см друг от друга. В какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд Q 1, чтобы он находился в равновесии?

16. Расстояние между свободными зарядами Q 1 = 150 нКл и Q 2 = 720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей
через заряды, в которой нужно поместить третий заряд Q 3 так, чтобы
система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак заряда.

17. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q 1 = 10 нКл и Q 2 = - 20 нКл, находящимися на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить напряженность E поля в точке, удаленной от первого заряда на r 1 = 30 см и от второго на r 2 = 50 см.

18. Расстояние между двумя положительными точечными зарядами Q = 9Q и Q 2 = Q равно d = 8 см. На каком расстоянии r от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?

19. Тонкий стержень длиной см равномерно заряжен. Линейная плотность заряда t = 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 20 см от ближайшего его конца находится точечный
заряд Q = 100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

20. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t = 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 20 см от его конца находится точечный заряд Q = 100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

21. Два разноименно заряженных шарика находятся в масле на расстоянии r 1 = 5 см. Определить диэлектрическую проницаемость масла, если эти шарики взаимодействуют с такой же силой в воздухе на расстоянии r 2 = 11,2 см.

22. В центре правильного треугольника, в вершинах которого находится по заряду Q = 3,43×10 – 8 Кл, помещен отрицательный заряд. Найдите величину этого заряда Q , если данная система находится в равновесии.

23. Бесконечная вертикальная плоскость заряжена с поверхностной плотностью s = 1,0×10 – 5 Кл/м2. К плоскости на шелковой нити подвешен шарик массой m = 0,5 г. Определить заряд шарика q , если нить составляет угол a = 60° с плоскостью.

24. Два точечных заряда, равные Q 1 = -1,0×10 – 8 Кл и
Q 2 = 4,0×10 – 8 Кл, расположены на расстоянии r = 0,2 друг от друга в
вакууме . Определить напряженность поля в точке посередине между зарядами, а также установить, на каком расстоянии L от положительного заряда напряженность поля равна нулю.

25. Положительно заряженный шарик массой m = 0,18 г и плотностью вещества r1 = 1,28×104 кг/м3 находится во взвешенном состоянии в жидком диэлектрике плотностью r2 = 0,9×103 кг/м3. В диэлектрике имеется однородное электрическое поле напряженностью E = 45 кВ/м, направленное вертикально вверх. Найдите заряд шарика.

26. Электрон, летящий из бесконечности со скоростью u = 106 м/с, остановился на расстоянии L = 0,8м от поверхности отрицательно заряженного металлического шара радиусом R = 4,0 см. Определить потенциал шара. Заряд и масса электрона e = - 1,6×10 – 19 Кл, m = 9,1×10 – 31 кг.

27. Шарик, заряженный до потенциала j = 792 В имеет поверхностную плотность заряда s = 330 нКл/м2. Найти радиус шарика.

28. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор со скоростью u = 2,0×107 м/с, направленной параллельно его пластинам, расстояние между которыми d = 2,0 см. Найти отклонение электрона, вызванное полем конденсатора, если к пластинам приложена разность потенциалов Dj = 200 В, а длина пластин L = 5 м. Удельный заряд электрона e / m = 1,76×1011 Кл/кг.

29. Два плоских воздушных конденсатора емкостью C 1 = 2,0 мкФ и C 2 = 1,0 мкФ соединены параллельно, заряжены до разности потенциалов Dj0 = 600 В и отключены от источника ЭДС. Затем расстояние между
обкладками конденсатора C 1 увеличили в n = 2 раз. Определить установившееся напряжение U .

30. Конденсатор емкостью 6 мкФ последовательно соединен с конденсатором неизвестной емкости и они подключены к источнику постоянного напряжения 12 В. Определить емкость второго конденсатора и напряжения на каждом конденсаторе, если заряд батареи 24 мкКл.