Ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x=a\,\! и x=b\,\! , где a\,\! и b\,\! - пределы интегрирования (см. рисунок).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у представления в и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определенного интеграла по . Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный случай

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i),

где n\,\! - число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки x_i\,\! называются узлами метода, числа w_i\,\! - весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответсвенно методы , и (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка \left\,\! . Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответсвующие модификации носят названия методов средних прямоугольников , левых прямоугольников и правых прямоугольников . Формула для приближенного вычисления значения определенного интеграла методом прямоугольников имеет вид

I \approx f(x) (b-a) ,

где x=\frac{\left(a+b\right)}{2} , a\,\! или b\,\! , соответсвенно.

Метод трапеций

Если через концы отрезка интегрирования провести прямую, получим метод трапеций . Из геометрических соображений легко получить

I \approx \frac{f(a)+f(b)}{2} (b-a) .

Метод парабол

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

I \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right) .

Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для любого численного метода.

Приведенные выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется .

Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий (1, 1 и 3, соответственно). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции f(x)\,\! , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

I \approx \frac{b-a}{2}\left(f\left(\frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \right)+f\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \right) \right) .

В общем случае, используя n\,\! точек, можно получить метод с порядком точности 2n-1\,\! . Значения узлов метода Гаусса по n\,\! точкам являются корнями полинома Лежандра степени n\,\! .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет легкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеливается в разы при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

I \approx \sum_{i=1}^{n} a_i\, f(x_i) + \sum_{i=1}^{n+1} b_i\, f(y_i) ,

где x_i\,\! - узлы метода Гаусса по n\,\! точкам, а 3n+2\,\! параметров a_i\,\! , b_i\,\! , y_i\,\! подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен 3n+1\,\! .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^{1.5} ,

где I_G\,\! - значение интеграла, оценненое методом Гаусса по n\,\! точкам. Библиотеки [

численное интегрирование формула программирование

Введение

1. Методы численного интегрирования

2. Квадратурные формулы

3. Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Библиографический список

Введение

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

. (1)

Если функция непрерывна на отрезке [a , b ] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

.

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f (x ) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f (x i ) = y i в некоторых узлах x i Î[a , b ]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P (x ), проходящий через полученные точки (x i , y i ), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

.

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

, (2) - узлы интерполирования, A i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (х ),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R , характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.

1. Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки

в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора

мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6) (5) (6)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок на 6 равных отрезков: h=

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

=1

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

2. Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной

. Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а , х 1 = a + h , ..., x n = b отметим ординаты y 0 , y 1 ,…, y n кривой f (x ), т.е. вычислим у i = f (x i ), x i = a+ ih = x i -1 + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y i , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:
. (3)

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (4)

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

. (5)

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной

. На каждом отрезке [x i , x i+2 ] подынтегральную функцию f (х ) заменим параболой, проходящей через точки (x i , y i ), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i +2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона: . (7)

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n . При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.

3. Автоматический выбор шага интегрирования

В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R , различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h , чтобы выполнялось неравенство R (h ) £e. На практике используют автоматический выбор значения h , обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I (n ), разбивая интервал интегрирования на п участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I (2n ). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие.

Численное интегрирование

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

3. Формулы прямоугольников

4. Формула трапеций

5. Формула Симпсона

6. Квадратурные формулы Гаусса

7. Метод Монте-Карло

1. Постановка задачи численного интегрирования

Требуется вычислить определённый интеграл вида , причём функция может быть задана как в виде формулы, так и в виде таблицы.

· Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

,
где - коэффициенты Котеса.
Эти формулы дают на одном участке интегрирования различные представления для различного числа n отрезков разбиения.

· Формулы прямоугольников

Пусть требуется вычислить интеграл .
Если отрезок интегрирования достаточно велик, то нужно разбить его на более мелкие отрезки равной длины , где n - число отрезков, и заменяя на каждом из отрезков криволинейную трапецию прямоугольником, вычислить площади этих прямоугольников. Затем полученные площади нужно сложить, эта сумма и будет принята за приближённое значение искомого интеграла.
Что касается построения прямоугольников, то их можно строить по-разному: можно проводить перпендикуляр до пересечения с кривой f (x) из правого конца каждого отрезка (Рис. 1), можно - из левого конца (Рис. 2)

Рис. 1

Рис. 2

В зависимости от этого формулы для вычисления несколько различны и носят название формулы прямоугольников с правыми или левыми ординатами соотвественно:

(формула "правых" прямоугольников)

(формула "левых" прямоугольников)
Существует ещё формула "средних" прямоугольников: , для которой построение прямоугольников осуществляется через середины каждого из отрезков разбиения:

· Формула трапеций

· Формула Симпсона

Заменяя на каждом отрезке разбиения часть кривой y = f (x) на параболическую кривую, вычисляя площади получившихся фигур и суммируя их, получим формулу Симпсона:

·

· Квадратурные формулы Гаусса

Традиционно при получении квадратурных формул Гаусса в исходном интеграле выполняется замена переменной, переводящая интеграл по отрезку в интеграл по отрезку [-1; 1]:

.
Тогда .
Будем использовать линейную интерполяцию подынтегральной функции.
Если вместо отрезка [-1; 1] взять в качестве узлов интерполяции подвижные узлы t1, t2, то нужно выбрать эти значения так, чтобы площадь трапеции, ограниченнной сверху прямой, проходящей через точки A1 (t1, φ(t1)) и A2 (t2, φ(t2)) была равной интегралу от любого многочлена некоторой наивысшей степени.
Полагая, что это многочлен третьей степени, вычислим t1, t2, которые получаются равными и , отличаясь лишь нумерацией значений.
Далее разбивая отрезок интегрирования на n частей, применяя к каждому из них описанную выше идею, можно получить формулу Гаусса:

Численное интегрирование

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура ) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница . Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный случай

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где - число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа - весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников , трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса . Метод назван в честь Роджера Котса . Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом . После взятия интеграла можно написать

где числа называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле ( - шаг сетки; - число узлов сетки, а индекс узлов ). Слагаемое - погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции.

Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (n=0), формулы трапеций (n=1), формула Симпсона (n=2), формула Ньютона (n=3) и т. д.

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм - интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция - положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на равных частей, то имеем

Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге .

Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (1 - методы правых и левых прямоугольников, 2 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 2-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя точек, можно получить метод с порядком точности . Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где - узлы метода Гаусса по точкам, а параметров , , подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу :

,

где - приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по точкам. Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам. Библиотека использует метод Гаусса-Кронрода по 15 точкам.

Метод Чебышева

Интегрирование при бесконечных пределах

Для интегрирования по бесконечным пределам нужно ввести неравномерную сетку, шаги которой нарастают при стремлении к бесконечности, либо можно сделать такую замену переменных в интеграле, после которой пределы будут конечны. Аналогичным образом можно поступить, если функция особая на концах отрезка интегрирования

Методы Монте-Карло

Рисунок 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Методы Рунге-Кутты

Метод сплайнов

Многомерный случай

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на интерполяционных многочленах . Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло . Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход - разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло .

Литература

1. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.