Практические задачи, связанные с оценкой вероятности наступления события в результате нескольких равноценных попыток могут анализироваться с применением формулы Бернулли или (при большом количестве таких попыток) с применением приближенной формулы Пуассона. Для работы с этим материалом Вам снова потребуется знание ..

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p). Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли :

Вероятность Р n (m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m 0 , а затем уменьшается при изменении m от m 0 до n.

Поэтому m 0 , называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число m 0 , заключено между числами np-q и np+p (или, что то же самое, между числами n(p+1)-1 и n(p+1) ) .Если число np-q - целое число, то наивероятнейших чисел два: np-q и np+p.

Важное замечание. Если np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Пример. Игральная кость бросается 4 раза. При каждом броске нас интересует событие А ={выпала шестерка}.

Решение: Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то

p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6.

Вероятность того, что в 4 независимых испытаниях успех наступит ровно m раз (m < 4), выражается формулой Бернулли:

Посчитаем эти значения и запишем их в таблицу.

Самое вероятное число успехов в нашем случае m 0 =0.

Пример. Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20.

Решение: при n =19 находим

Таким образом, максимальная вероятность достигается для двух значений m 0 , равных 11 и 12. Эта вероятность равна P 19 (11)=P 19 (12)=0,1797. При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения m 0 , т.к.

Не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха m 0 равно 12. Вероятность его появления равна P 20 (12)=0,1797. Совпадение чисел P 20 (12) и P 19 (12) вызвано лишь сочетанием значений n и p и не имеет общего характера.

На практике в случае, когда n велико, а p мало (обычно p < 0,1; npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

Пример 4. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение: будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Обозначим А ={отказ элемента за год}.

P(A)=p=0,002, l=np=1000*0,002=2

П о формуле Пуассона

Обозначим через P 1000 (> 2) вероятность отказа не менее двух элементов за год.
Переходя к противоположному событию, вычислим P 1000 (> 2) как.

времени используют электрическую энергию. Чтобы получить грубое представление об ожидаемой нагрузке представим себе, что в любой момент времени каждому рабочему с одной и той же вероятностью p может потребоваться единица энергии. Если они работают независимо, то вероятность того, что энергия потребуется одновременноk рабочим, будет равнаb (k ;n ,p ). Здесь «испытанием» является проверка факта использования энергии в данный момент j -м рабочим (j = 1,2,...,n ), а «успехом» является положительный результат проверки. Так, если один рабочий потребляет энергию в среднем 12 минут в течение часа40 , следует положитьp = 1260= 0,2. В этом случае вероятность того, что не менее 7 из 10 рабочих

Другими словами, если снабжение рассчитано на 6 единиц энергии, то вероятность перегрузки равна 0.000864. Это означает, что одна перегрузка приходится в среднем на 10.000864≈ 1157 минут, т.е. примерно на 12 часов рабочего времени. Поэтому, если перегрузки наблюдаются чаще, то это должно явиться сигналом для усиленного контроля над производственным циклом.

Следующий пример имеет несколько иной характер. При бросании двух правильных игральных костей, вероятность появления 12 очков равна,

очевидно, 1 6 2 ≈ 0,0278 , т.е. в среднем одно появление за 36 бросаний. Если в

казино за игорным столом в процессе игры эта пропорция существенно нарушается, то это означает либо тот факт, что кости дефектны, и их надо заменить, либо что игра идет нечестно. В любом случае, возникает основание для более тщательного наблюдения за игрой на данном игорном столе.

6.2. Обобщенная схема Бернулли

Предположим, как и выше, что проводится серия из n независимых

40 Эта величина может определяться, например, производственным циклом или технологией производства.

между собой испытаний. Однако в отличие от предыдущего, мы предположим, что результатом каждого испытания может быть одно и только одно из k попарно несовместимых событийA 1 ,A 2 , ...,A k , причем вероятности появления каждого из этих событий в каждом отдельном испытании постоянны и равны соответственно

p 1 ,p 2 , ...,p k ;p j > 0;p 1 + p 2 + ...+ p k = 1.

Найдем вероятность того, что в результате n испытаний событиеA 1 появится

m 1 +m 2 +... +m k =n .

Прежде всего, отметим, что рассужденияпредыдущего пункта приводят нас к выводу о том, что вероятность каждой допустимой комбинации будет

		pm 1	pm 2	P m k . С другой стороны, число допустимых комбинаций равно
		способов, которыми можно n элементов разбить					k групп
m 1 ,m 2 ,...,m k				элементов соответственно. Это число, согласно			теореме 5.5,
		m ! m!... m!
				образом, искомая вероятность того, что			результате

независимых испытаний событие A 1 появится ровноm 1 раз, событиеA 2 – ровноm 2 раза и т.д., событиеA k появится ровноm k раз, будет равна

Pn (m1 , m2

p j> 0;

m j≥ 0;

	M )=				pm 1	pm 2	P m k ;
		m ! m!... m!
	p 1 +p 2 +... +p k

m 1 +m 2 +... +m k =n .

p 1 = 0,4,p 2 = 0,35,p 3 = 0,25 . Какова вероятность того, что в матче из 12 партий у данного шахматиста будет 5 побед, 4 поражения и 3 ничьи?

Решение. Мы в точности находимся в ситуации обобщенной схемы Бернулли с n = 12. Подставляя значения из данных задачи в формулу (6.2),

получим: P 12 (5, 4, 3)= 5!4!3! 12! (0.4)5 (0.35)4 (0.25)3 ≈ 0.067 .

6.3. Некоторые следствия

Возвратимся к классической схеме Бернулли разд. 6.1 и поставим следующую задачу. Пусть целые числа a ,b таковы, что 0≤ a < b ≤ n . Чему равна вероятность того, что в результатеn независимых испытаний Бернулли число «успехов» будет заключено между числамиa иb ? Ответ на этот вопрос дается легко, поскольку допустимые комбинации для различных чисел «успехов» несовместимы. Соответствующая вероятность, очевидно, равна

P n (a , b ) = ∑ C n kp kq n− k=

C n ap aq n− a+ C n a+ 1 p a+ 1 q n− a− 1 + C n a+ 2 p a+ 2 q n− a− 2 + ... + C n bp bq n− b.

Замечание . Для обозначения вероятности числа успехов вn испытаниях Бернулли используются различные обозначения, в зависимости от контекста рассматриваемых задач. Так, черезP n (k < m ) часто обозначается вероятность того,чтоврезультатеn испытанийчислоk успеховбудетменьше ,чемm ;черезP n (m 1 ≤ k < m 2 ) обозначается вероятность того, в результатеn испытаний числоk успехов будетбольше либо равно m 1 , номеньше m 2 ; вместо обозначенияP n (a ,b ) может использоваться обозначениеP n (a ≤ k ≤ b ) и т.п. Как правило, проблем с однозначным пониманием смысла подобных обозначений в контексте той или иной конкретной задачи не возникает.

Наиболее вероятное число успехов. Вычислим теперь значение числа m= m0 , при котором функция b(m; n, p) достигает своего наибольшего значения. В этом случае число m0 называют наиболее вероятным числом

успехов (в n испытаниях).

Напомним, что функция b (m ;n ,p ) определяется как вероятностьm «успехов» вn испытаниях Бернулли с вероятность «успеха»p , и вычисляется

по формуле (6.1).
Рассмотрим величину
	b (m ;n ,p )		(n− m+ 1) p		(n+ 1) p− m
	b (m − 1;n ,p )

где учтено, что q = 1− p . Отсюда видно, что функцияb (m ;n ,p ) возрастает поm приm < (n + 1)p и убывает приm > (n + 1)p . Имея в виду, чтоm 0 должно быть неотрицательным целым числом, получаем, что наиболее вероятное число «успехов»m 0 есть (единственное) неотрицательное целое число, удовлетворяющее неравенству

(n + 1)p − 1< m 0 ≤ (n + 1)p .

Рассмотрим теперь несколько примеров .

1. Задача де Мере . Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобысвероятностьюболее½ ожидатьсуммуочков,равную12,хотябыодин раз?

Решение. Вероятность p «успеха», т. е. выпадения 12 очков, при каждом бросании одинакова и равнаp = 1 36 . Пустьn – искомое число бросаний,k – число «успехов». ТогдаP n (k ≥ 1)= 1− P n (k = 0) . Но

P n (k = 0)= C n 0 p 0 (1− p )n = (35 36 ) n ≈ (0.972)n .

Таким образом, требуемое значение n находится из неравенства

(0.972)n ≤ 0.5 .

Решая это неравенство, получаем: n ≥ 25.

2. Трое стрелков при стрельбе по мишени попадают в нее при одном выстреле с вероятностями 0.2, 0.3 и 0.4 соответственно. Кому из троих стрелять по мишени, определяют с помощью шести подбрасываний монеты,

причем если гербов выпадет больше, чем решек, то стреляет первый стрелок, если гербов выпадет меньше, чем решек, то стреляет второй стрелок, в противном случае – третий стрелок. Стреляющий производит 3 выстрела. Определить вероятность того, что две пули попадут в цель.

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что в мишень попадут две пули. Обозначим черезB 1 ,B 2 ,B 3 – события, состоящие в том, что стреляет первый, второй и третий стрелок соответственно. Так как событияB 1 ,B 2 ,B 3 образуют полную группу событий, то по формуле полной вероятности (2.6) имеем:

P (A )= P (A /B 1 )P (B 1 )+ P (A /B 2 )P (B 2 )+ P (A /B 3 )P (B 3 ) .

Вычислим по отдельности вероятности, входящие в формулу (6.5). Начнем с вероятностей P (B j ) . Поскольку предоставление права стрельбы тому или иному стрелку зависит от результатов последовательности независимых испытаний – шести подбрасываний монеты, то соответствующие вероятности должны вычисляться в соответствии со схемой Бернулли. Именно, пусть «успех» – это выпадение герба; тогда в соответствии с условиями задачи:

P (B 1 )= P 6 (k ≥ 4)= C 6 4 (0.5)6 + C 6 5 (0.5)6 + C 6 6 (0.5)6 = 11 32 ;P (B 2 )= P 6 (k ≤ 2)= C 6 0 (0.5)6 + C 6 1 (0.5)6 + C 6 2 (0.5)6 = 11 32 ;P (B 3 )= P 6 (k = 3)= C 6 3 (0.5)6 = 5 16 .

P (A /B )= b (2; 3, 0,2)		(0,2)2 0,8= 0,096;
P (A /B )= b (2; 3, 0,3)		(0,3)2 0,7= 0,189 ;
P (A /B )= b (2; 3, 0,4)= C 2		(0,4)2 0,6= 0,288.
По формуле полной вероятности (6.5) получаем окончательно
P (A )= 0,188 .
3. Каждый из n = 50		приглашенных приходит на собрание с

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Замечание. Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то события А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Пусть теперь производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие А . Требуется найти вероятность Р n (к) того, что в n опытах событие А наступит ровно к раз (событие В ).

Описанная схема называется схемой независимых испытаний, или схемой Бернулли, по имени швейцарского математика конца XVII и начала XVIII века Якоба Бернулли, изучавшего её.

Найдем вероятность Р n (к) . Событие В можно представить в виде суммы ряда элементарных событий – вариантов события А . Каждый вариант события А можно записать в виде строки длиной n (число опытов), в которой к компонент соответствуют событию А , а остальные n-к компонент событию . Например, один из возможных вариантов есть

(успех и 1,2,…,k -м опытах и неудача в остальных).

Число всех вариантов равно (числу сочетаний из n элементов по к ), а вероятность каждого варианта в виду независимости опытов равна р к q n -к (где q =1-р ). Отсюда вероятность события В будет равна

Формула (1) носит название формулы Бернулли .

Отсюда следует, что вероятность, хотя бы одного появления события А при n независимых испытаниях (опытах) в одинаковых условиях равна

Пример 1 . Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом 3 раза?

Решение . В данном случае событием А считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна . Отсюда

P = .

Для наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех. Если зафиксировать n , то, Р n (к) . есть функция аргумента к , принимающая значения . Выясним, при каком значении к функция Р n (к) принимает наибольшее значение, т.е., какое число успехов к 0 является наиболее вероятным при данном числе опытов n . Оказывается что число к=к 0 можно определить из двойного неравенства.

(3)

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если np+p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение к 0 .Если же np+p – целое число, то имеются два наивероятнейших значения: и .

Пример 2 . Игральную кость бросают 20 раз. Каково наиболее вероятное число выпадений грани «6» ?

Решение. В данном случае n = 20, откуда . Поскольку nр + р не целое число, то наибольшим среди чисел Р 20 (0), Р 20 (1),…, Р 20 (20) будет число Р 20 (3). Следовательно, наиболее вероятное число выпадений грани «6» будет 3. Найдём, чему равна вероятность такого числа выпадений. По формуле Бернулли имеет:

.

Из формулы (3) видно, что одно из двух ближайших к nр целых чисел является наиболее вероятным числом успехов.

Оказывается, число nр допускает и другую интерпретацию. А именно: nр можно рассматривать, в определенном смысле, как среднее число успехов в n опытах . Будем исходить из частотного истолкования вероятности. Назовем (для краткости) n - кратное повторение данного опыта серией. Пусть мы произвели N серий. Пусть в первой серии было получено к 1 успехов, во второй – к 2 , ….., в N -ой –к N . Составим среднее арифметическое этих чисел

. (4)

Равенство (4) - есть среднее число успехов в N сериях. Оказывается, что с увеличением N указанное среднее арифметическое приближается к некоторому постоянному значению, а именно к числу np .

Действительно запишем (4) в виде:

. (5)

Поскольку каждая серия состоит из n опытов, то производя N серий мы осуществляем данный опыт раз.

Написанная дробь (5) со знаменателем Nn есть нечто иное как отношение общего числа успехов в этих опытах к числу всех опытов. С увеличением N (а значит, и Nn ) эта дробь будет приближаться к числу р - вероятности успеха. Следовательно, число (4) будет приближаться к рn , что и требовалось получить.

Пример 3 . Станок штампует изделия. Вероятность р брака одного изделия равна 0,05. Чему равно среднее число бракованных изделий на сотню?

Решение . Искомое число бракованных изделий равно: .

Замечание 1. Можно рассмотреть более общую схему независимых испытаний. Рассмотрим n независимых испытаний (в различных условиях), причём вероятность события А («успеха») в i -ом опыте равна p i , a q i =1-p i – вероятность неуспеха в i -м испытании (i =1,2,…,n ). Тогда можно показать, что вероятность P n (к) того, что событие А появится в этих n опытах ровно к раз, равна коэффициенту при z k в разложении по степеням z функции

Такую схему независимых испытаний называют схемой Пуассона . Схема Пуассона при p i =p превращается в схему Бернулли. Вероятности P n (к) в схеме Пуассона не записываются в компактном виде аналогичной формуле(1). Из (6) , например, следует:

Замечание 2. Схемы Бернулли и Пуассона допускают обобщение на тот случай, когда в результате каждого опыта возможные не два исхода (А или ), а несколько исходов.

Если производится n независимых опытов (схема Бернулли) причём каждый опыт может иметь к исключающих друг друга исходов , с вероятностями , то вероятность того, что в m 1 опытах появится событие А 1 , в m 2 опытах событие А 2 и т.д., в m k опытах событие А к выражается формулой

Если условия опыта различны (схема Пуассона), т.е.

в i- омопыте событие A j имеет вероятность p ji (i =1,2,…,n ; j =1,2,…,k ), то вероятность вычисляется как коэффициент при члене в разложении по степеням функции:

Пример 4. Завод изготавливает изделия, каждое из которых подвергается четырём видам испытаний. Первое испытание изделия проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе с вероятностью 0,95; третье-0,8 и четвертое-0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно:

A- все четыре испытания

B- ровно два испытания (из четырех)

C- не менее двух испытании (из четырех)

Решение. В условиях задачи проводятся четыре независимых опыта (испытания) в различных условиях. Вероятность события. А – испытание прошло благополучно, в каждом опыте разное. Искомые вероятности находим из формулы (6)

Отсюда получаем:

§12. Вероятности P n (к) при больших значениях n . Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.

В приложениях часто возникает необходимость в вычислении вероятностей Р n (к) для весьма больших значений n и k . Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача. На некотором предприятии вероятность брака, равна 0,02. Обследуются 500 изделий готовой продукции. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных.

Рассматривая обследование каждого изделия как отдельный опыт, можно сказать, что производиться 500 независимых опытов, причем в каждом их них событие А (изделие оказалось бракованным) наступает с вероятностью 0,02, тогда по формуле Бернулли получаем

Непосредственный подсчет этого выражения представляется сложным. Ещё большую трудность пришлось бы испытать, если бы мы искали вероятность того, что число бракованных изделий среди 500 окажется в пределах, скажем, от 10 до 20. В этом случае потребовалось бы вычислить сумму , что является более сложным делом.

Задачи подобного рода встречаются в приложениях весьма часто. Поэтому возникает необходимость в отыскании приближённых формул для вероятностей Р n (к) , а также для сумм вида

(1)

при больших n .

1. Приближённые формулы Лапласа. Их используют при больших n (порядка сотен или тысяч), вероятностей p или q не слишком близким к 0 или 1 (порядка сотых долей). Обычно условием применения этих приближений является условие npq >9.

а) Локальная приближённая формула Лапласа . При больших n справедливо равенство.

, (2)

где , а φ (х ) обозначает следующую функцию: .

Заметим, что функция φ(х) табулирована, т.е. для нее составлена таблица её значений.

Вторая приближённая формула Лапласа даёт приближённые значения для величины -вероятности того, что число наступлений события А в n опытах (число «успехов») окажется заключенным между заданными границами к 1 и к 2 .

б) Интегральная приближённая формула Лапласа . При больших n справедливо приближённое равенство

, (3)

где Φ(х) обозначает следующую функцию

. (4)

Функция Φ(х) обладает следующими полезными для вычисления свойствами:

1. Φ(х) – нечётная функция: ,

2. при возрастании х от 0 до ∞ функция Φ(х) растет от 0

до 0,5, причем уже при х = 5 значение функции Φ(х)

отличается от 0,5 меньше чем на (т.е. при функция Ф(x) практически равна 0,5).

Пример 1. Монету бросают 100 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 50 раз?

Решение . Имеем: npq = 100· · = 25>9. Воспользовавшись приближённой формулой (2), получим. . Из таблицы для функции φ(x) найдем, что φ(0) = 0,3989…. Отсюда получаем .

Пример 2 . Доведём до конца решение задачи, приведённой в начале этого параграфа. В ней требовалось найти , а также вероятность P 500 (10≤ к ≤20).

Решение. В данном случае npq = 500·0,02·0,98=9,8. Воспользовавшись приближёнными формулами (2) и (3), получим: ,

Замечание. Если мы осуществляем опыт n раз и k - число наступлений события А при этом, то, вообще говоря, дробь -относительная частота наступления события

А – будет близка к р (вероятности события А ). Однако сколь тесной окажется эта близость, предугадать невозможно.

Интегральная теорема Лапласа позволяет оценить вероятность неравенства при достаточно больших n и значениях р не слишком близких к 0 или 1, т.е. определить вероятность того, что отклонение частоты случайного события от его вероятности р по абсолютной величине не превосходит некоторого . Имеем

Таким образом, получаем

(5)

Вероятность в этом случае называют надёжностью оценки , а сама оценка доверительной оценкой частоты с надёжностью .

На практике надёжность оценки задаётся заранее. Тогда по заданной надёжности можно найти соответствующее значение из уравнения с помощью таблиц функции Лапласа. В этом случае доверительная оценка с заданной надёжностью примет вид р или q к нулю, поэтому, в этом случае используют приближённые формулы Пуассона. При больших n (порядка тысяч, десятков тысяч и больше) и малых р (порядка тысячных долей и меньше) справедливы приближённые равенства. Обычно условием применения этих приближений является условие npq <9.

, (7).

, (8)

где λ =np .

Особенностью формул (7) и (8) является то, что для того, чтобы найти вероятность того или иного числа успехов, вовсе не требуется знать n и р . Всё определяется числом λ=np , которое является (см. §11) средним числом успехов .

Для выражения , рассматриваемого как функция двух переменных к и λ, составлены таблицы значений.

Пример 5 . Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

Решение. Формула Бернулли приведёт к громоздким вычислениям, поэтому воспользуемся формулой Пуассона (7). Здесь к = 5, р =0.004, n = 1000, тогда λ = np = 4.

Отсюда: .

Пример 6 . Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее четырёх опечаток (событие В ).

Решение: Среднее количество опечаток на одну страницу есть . В данном случае следует применить формулу Пуассона. Тогда вероятность p к иметь к опечаток на одной странице будет равна .

Сумма р = p 0 +p 1 +p 2 +p 3 есть вероятность того, что на странице окажется не более трёх опечаток. Пользуясь таблицами (или калькулятором) получаем р = 0,999996 (в данном случае мы пользовались калькулятором, таблицы дадут р =0,9048+0,0905+0,0045+0,0002=1). Вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее четырёх опечаток, равна 1-р =1-0,999996=0,0000004 (таблицы дадут 1-р =1-1=0). Отсюда можно сделать вывод, что событие В практически невозможно.

Ранее в п. 1.4 введены понятия зависимых и независимых событий. С понятием независимых событий связано и имеет широкое применение понятие независимых опытов или испытаний.

Опыты α 1 , α 2 , … , α n называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий. Иначе, если в задаче проводится ряд многократно повторяющихся испытаний α 1 , α 2 , …, α n при неизменном комплексе условий и в каждом испытании некоторые событие А может наступить с некоторой вероятностью p = p (А ) не зависящей от других испытаний, и не наступить с вероятностью p (Ā ), то указанные испытания называются независимыми. Данная схема независимых испытаний носит название схемы Бернулли.

Схема названа в честь Якоба Бернулли – родоначальника семьи выдающихся швейцарских учёных. (Якоб Б., Иоганн Б., Николай Б., Даниил Б. и др.). Якоб Бернулли доказал так называемую теорему Бернулли – важный частный случай закона больших чисел (см. п. 3.11). Указанная теорема относится к рассматриваемой здесь последовательности независимых испытаний.

Примерами независимых испытаний являются: а) многократное (n раз) подбрасывание монеты; б) извлечение (n раз) одинаковых на ощупь шаров из урны с их последующим возвращением; в) любая совокупность независимых испытаний (опытов), в каждом из которых вероятность успешных исходов одинакова, например, серия выстрелов по мишени, выбор n деталей из их совокупности, изучение n анализов горной породы определённого свойства и т.д.

В схеме Бернулли наступление события А с вероятностью p = p (А ) условно называется успехом, а его ненаступление (противоположное событие Ā ) –неудачей. Вероятность неудачи в каждом опыте такого типа равна q = 1 – p .

На практике обычно возникают задачи со сложными событиями, в которых из n опытов, составляющих схему Бернулли, в m опытах (m < n ) событие А наступает (т.е завершается успехом), а в (n – m ) опытах это событие не наступает (завершается неудачей). Пусть P n (k ) – обозначает вероятность того, что при производстве n опытов успех наступает в k опытах (успех реализуется k раз). Ставится следующая задача: пусть в n испыта-ниях, соответствующих схеме Бернулли, k испытаний завершились успехом. Требуется найти вероятность P n (k ) (читается: « P из n испытаний k успешных» ). Данная вероятность рассчитывается по формуле Бернулли, которой соответствует одноименная теорема.

Теорема Бернулли. Если вероятность p наступления события А в каждом из последовательности n испытаний α 1 , α 2 , … , α n постоянна, то вероятность того, что событие А наступит k раз и не наступит n – k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

P n (k ) = С n k p k q n-k , (2.1)

где q = 1- p .

Доказательство. Действительно, пусть события A į и Ā į – появление и непоявление соответственно события А в į -ом испытании α i (i = 1, 2, … , n ). Пусть также В k обозначает событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие А появилось k раз. При n = 3 и k = 2 событие В 2 выражается через элементарные события А į (į = 1, 2, 3) по формуле:

В 2 = А 1 А 2 Ā 3 + А 1 Ā 2 А 3 + Ā 1 А 2 А 3 .

В общем виде последняя формула будет такой

т.е каждый член суммы (2.2) соответствует появлению события А k раз и (n – k ) раз непоявлений. Число всех комбинаций (слагаемых) в (2.2) равно числу способов выбора из n испытаний k испытаний, в которых событие А произошло, т.е числу сочетаний C n k . Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p k × q n – k , так как p (А į) = p , p (Ā į) = q , i = 1,2,…,n . Но комбинации в (2.2) являются несовместными событиями. Поэтому по теореме сложения вероятностей получим

Таким образом, имеет место формула Бернулли

P n (k) = C n k p k q n-k .

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Сформулированная выше теорема относится к случаю, когда в каждом испытании вероятность появления события А постоянна. Тогда для расчета вероятности P n (k ) справедлива формула Бернулли (2.1). Если же вероятности наступления события А в испытаниях α 1 , α 2 , … , α n разные, т.е. вероятности составляют значения p 1 , p 2 , … , p n , то тогда вместо (2.1) справедлива формула:

Замечание 6. Вероятность того, что в n опытах, проводящихся по схеме Бернулли, успех наступит от k 1 до k 2 раз , вычисляется по формулеP n (k )) для конкретных значений n и p . Так как аргумент k принимает лишь целые значения, график представляется в виде точек на плоскости (k , P n (k )). Для наглядности точки соединяются ломаной линией, и такой график называется полигоном распределения (рис.2.1). При p = 0,5, n = 6, как показано на рисунке 2.1, полигон симметричен относительно прямой x = np (если p близко к 0,5, то полигон близок к симметричному). При малых p полигон существенно асимметричен, и наивероятнейшими явля-ются частоты, близкие к нулю. На рисунке 2.2 изображен полигон распределения для p = 0,2 при числе испытаний n = 6. При больших p , близких к 1, наиболее вероятны максимальные значения. На рис. 2.3 показан полигон распределения, для p = 0,8 и n = 6.

Рис. 2.3.