График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения). Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости. С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства.

Шаги

Графическое изображение линейного неравенства на числовой прямой

1. Решите неравенство. Для этого изолируйте переменную при помощи тех же алгебраических приемов, которыми пользуетесь при решении любого уравнения. Помните, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число (или член), поменяйте знак неравенства на противоположный.

   • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12} . Чтобы изолировать переменную, из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
     3 y + 9 > 12 {\displaystyle 3y+9>12}
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 {\displaystyle 3y+9-9>12-9}
     3 y > 3 {\displaystyle 3y>3}
     3 y 3 > 3 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {3}{3}}}
     y > 1 {\displaystyle y>1}
   • Неравенство должно иметь только одну переменную. Если неравенство имеет две переменные, график лучше строить на координатной плоскости.

2. Нарисуйте числовую прямую. На числовой прямой отметьте найденное значение (переменная может быть меньше, больше или равна этому значению). Числовую прямую рисуйте соответствующей длины (длинную или короткую).

   • Например, если вы вычислили, что y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой отметьте значение 1.

3. Нарисуйте кружок, обозначающий найденное значение. Если переменная меньше ( < {\displaystyle <} ) или больше ( > {\displaystyle >} ) этого значения, кружок не закрашивается, потому что множество решений не включает это значение. Если переменная меньше или равна ( ≤ {\displaystyle \leq } ) или больше или равна ( ≥ {\displaystyle \geq } ) этому значению, кружок закрашивается, потому что множество решений включает это значение.

   • y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой нарисуйте незакрашенный кружок в точке 1, потому что 1 не входит в множество решений.

4. На числовой прямой заштрихуйте область, определяющую множество решений. Если переменная больше найденного значения, заштрихуйте область справа от него, потому что множество решений включает все значения, которые больше найденного. Если переменная меньше найденного значения, заштрихуйте область слева от него, потому что множество решений включает все значения, которые меньше найденного.

   • Например, если дано неравенство y > 1 {\displaystyle y>1} , на числовой прямой заштрихуйте область справа от 1, потому что множество решений включает все значения больше 1.

   Графическое изображение линейного неравенства на координатной плоскости

   1. Решите неравенство (найдите значение y {\displaystyle y} ). Чтобы получить линейное уравнение, изолируйте переменную на левой стороне при помощи известных алгебраических методов. В правой части должна остаться переменная x {\displaystyle x} и, возможно, некоторая постоянная.

      • Например, дано неравенство 3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x} . Чтобы изолировать переменную y {\displaystyle y} , из обеих сторон неравенства вычтите 9, а затем обе стороны разделите на 3:
        3 y + 9 > 9 x {\displaystyle 3y+9>9x}
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 {\displaystyle 3y+9-9>9x-9}
        3 y > 9 x − 9 {\displaystyle 3y>9x-9}
        3 y 3 > 9 x − 9 3 {\displaystyle {\frac {3y}{3}}>{\frac {9x-9}{3}}}
        y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3}

   2. На координатной плоскости постройте график линейного уравнения. постройте график , как строите график любого линейного уравнения. Нанесите точку пересечения с осью Y, а затем при помощи углового коэффициента нанесите другие точки.

      • y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} постройте график уравнения y = 3 x − 3 {\displaystyle y=3x-3} . Точка пересечения с осью Y имеет координаты , а угловой коэффициент равен 3 (или 3 1 {\displaystyle {\frac {3}{1}}} ). Таким образом, сначала нанесите точку с координатами (0 , − 3) {\displaystyle (0,-3)} ; точка над точкой пересечения с осью Y имеет координаты (1 , 0) {\displaystyle (1,0)} ; точка под точкой пересечения с осью Y имеет координаты (− 1 , − 6) {\displaystyle (-1,-6)}

   3. Проведите прямую. Если неравенство строгое (включает знак < {\displaystyle <} или > {\displaystyle >} ), проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой. Если неравенство нестрогое (включает знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } ), проведите сплошную прямую, потому что множество решений включает значения, лежащие на прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} проведите пунктирную прямую, потому что множество решений не включает значения, лежащие на прямой.

   4. Заштрихуйте соответствующую область. Если неравенство имеет вид y > m x + b {\displaystyle y>mx+b} , заштрихуйте область над прямой. Если неравенство имеет вид y < m x + b {\displaystyle y, заштрихуйте область под прямой.

      • Например, в случае неравенства y > 3 x − 3 {\displaystyle y>3x-3} заштрихуйте область над прямой.

   Графическое изображение квадратного неравенства на координатной плоскости

   1. Определите, что данное неравенство является квадратным. Квадратное неравенство имеет вид a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . Иногда неравенство не содержит переменную первого порядка ( x {\displaystyle x} ) и/или свободный член (постоянную), но обязательно включает переменную второго порядка ( x 2 {\displaystyle x^{2}} ). Переменные x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} должны быть изолированы на разных сторонах неравенства.

      • Например, нужно построить график неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. На координатной плоскости постройте график. Для этого преобразуйте неравенство в уравнение и постройте график , как строите график любого квадратного уравнения. Помните, что график квадратного уравнения является параболой.

      • Например, в случае неравенства y < x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y постройте график квадратного уравнения y = x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y=x^{2}-10x+16} . Вершина параболы находится в точке (5 , − 9) {\displaystyle (5,-9)} , и парабола пересекает ось Х в точках (2 , 0) {\displaystyle (2,0)} и (8 , 0) {\displaystyle (8,0)} .

Неравенство - это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств - часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования , в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Решение систем линейных неравенств с любым числом неизвестных

Сначала разберём линейные неравенства на плоскости. Рассмотрим одно неравенство с двумя переменными и :

,

где - коэффициенты при переменных (некоторые числа), - свободный член (также некоторое число).

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

Откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:

,

следовательно, координаты точки B : .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств , то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A (3; 0) , B (0; 2) . Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0) :

получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае - может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2.

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC . Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC , является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE . Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE .

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n -мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

Решение неравенства с двумя переменными , а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?

Решение.

1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2).
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).

Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{ y > x 2 + 2;
{y + x > 1;
{ x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2) :

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x 2 + y 2 = 9 – окружность.

1) y > x 2 + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x > 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9.
Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3) .

(рис. 4) .

Задача 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x 2 + y 2 ≤ 16;
{x ≥ -y;
{x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций:

x 2 + y 2 = 16 – окружность,

x = -y – прямая

x 2 + y 2 = 4 – окружность (рис. 5) .

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 16.
Проверяем неравенство: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 16, удовлетворяют первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой.

Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 4.
Проверяем неравенство: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 4, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.

В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6) .

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7) .

Остались вопросы? Не знаете, как решить систему неравенств с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды.

Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью.

Линейные неравенства

Различают два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: .

2) Нестрогие неравенства: .

Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость .

Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые. Если возникнут трудности в этой части, прочитайте справку Графики и свойства функций – параграф про линейную функцию.

Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки:

Как известно, ось абсцисс задаётся уравнением – «игрек» всегда (при любом значении «икс») равняется нулю

Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом значении «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».

В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .

Аналогично: неравенству удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству соответствует нижняя полуплоскость + ось .

С осью ординат та же самая прозаичная история:

– неравенство задаёт правую полуплоскость;
– неравенство задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство задаёт левую полуплоскость;
– неравенство задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.

На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных.

Отсутствует «игрек»:

Или отсутствует «икс»:

С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода . Попутно вспомним-закрепим школьные действия с неравенствами, уже разобранные на уроке Область определения функции .

Пример 1

Решить линейные неравенства:

Что значит решить линейное неравенство?

Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость , точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение , как правило, графическое .

Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:

а) Решим неравенство

Способ первый

Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».

Правило : В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»).

Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:

Правило ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ не меняется .

Теперь чертим прямую (синяя пунктирная линия). Прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое , и точки, принадлежащие данной прямой, заведомо не будут входить в решение.

Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому утверждению удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Данную полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.

Способ второй

Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!

Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение целесообразно представить в виде .

Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой . В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство :

Получено неверное неравенство (простыми словами, так быть не может), значит, точка не удовлетворяет неравенству .

Ключевое правило нашей задачи :
не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Можете протестировать: любая точка справа от прямой не будет удовлетворять неравенству .

Какой вывод из проведённого опыта с точкой ? Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки другой – левой полуплоскости (тоже можете проверить).

б) Решим неравенство

Способ первый

Преобразуем неравенство:

Правило : Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»).

Умножаем обе части неравенства на :

Начертим прямую (красный цвет), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое , и прямая заведомо принадлежит решению.

Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).

Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками.

Способ второй

Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости (не принадлежащую прямой), например, и подставим её координаты в наше неравенство :

Получено верное неравенство , значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.

Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками.

Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален.

Пример 2

Решить линейные неравенства:

Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). В ответе в конце урока будет только итоговый чертёж.

Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам придётся на них жениться не составит труда решить простейшее неравенство вроде и т.п.

Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные:

Как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым.

Пример 3

Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение : Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки.

а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство , значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству . Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями:

б) Решим неравенство . Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим сплошняком, так как неравенство нестрогое.

Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится. Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

Получено верное неравенство , значит, точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая .

Пример 4

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение, примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Разберём обратную задачу:

Пример 5

а) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение.

б) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение.

Решение : здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного:

а) Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство будет нестрогим:

б) Составим многочлен и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, следовательно, неравенство будет строгим: .

Ответ :

Творческий пример для самостоятельного изучения:

Пример 6

Даны точки и прямая . Среди перечисленных точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от заданной прямой.

Небольшая подсказка: сначала нужно составить неравенство, определяющее полуплоскость, в которой находится начало координат. Аналитическое решение и ответ в конце урока.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств – это, как вы понимаете, система, составленная из нескольких неравенств. Лол, ну и определение выдал =) Ёжик – это ёжик, ножик – это ножик. А ведь правда – получилось просто и доступно! Нет, если серьёзно, не хочется приводить каких-то примеров в общем виде, поэтому сразу перейдём к насущным вопросам:

Что значит решить систему линейных неравенств?

Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости , которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока):

Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система неравенств задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система неравенств задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– система неравенств задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений , то есть, быть несовместной . Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что «икс» не может одновременно быть больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может являться прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости . Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной . Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы .

Пример 7

Решить систему линейных неравенств

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они.

Решение : то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)

2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость. Ну что же, область поиска стала ещё меньше – такой не ограниченный сверху прямоугольник.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: . Алгоритм решения мы подробно рассмотрели в предыдущем параграфе. Вкратце: сначала строим прямую, потом с помощью подопытной точки находим нужную нам полуплоскость.

Встаньте, дети, встаньте в круг:


Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. Перестарался немного =) В тетради область решений достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить).

Ответ : решением системы является многоугольник .

При оформлении на чистовик неплохо бы подробно расписать, по каким точкам вы строили прямые (см. урок Графики и свойства функций ), и как определяли полуплоскости (см. первый параграф данного урока). Однако на практике в большинстве случаев вам зачтут и просто правильный чертёж. Сами же расчёты можно проводить на черновике или даже устно.

Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область. Попытайтесь разобрать следующий пример самостоятельно. Хотя, точности ради, пыток тут никаких – алгоритм построения такой же, просто область получится не ограниченной.

Пример 8

Решить систему

Решение и ответ в конце урока. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения вершин полученной области. Это не принципиально, главное, правильно найти вершины и правильно построить область.

Не редкость, когда в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области. В двух предыдущих примерах координаты данных точек были очевидны, но на практике всё бывает далеко не айс:

Пример 9

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

Решение : изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство задаёт левую полуплоскость с осью ординат, и халявы тут больше нет. После расчётов на чистовике/черновике или глубоких мыслительных процессов, получаем следующую область решений:

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область	Знак подмодульного выражения	Полученное уравнение после раскрытия модуля
I	x ≥ 1 и y ≥ 1	x + y = 3
II	x < 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x < 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 и y < 1	x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :

1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
2. Построить график уравнения из пункта 1.
3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7 .

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .

4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.