Один процент - это сотая часть от числа. Данное понятие используется, когда нужно обозначить отношение доли к целому. Кроме этого, в процентах можно сравнивать несколько величин, при этом обязательно указывая, относительного какого целого проценты вычисляются. Например, расходы выше доходов на 10 % или цена на железнодорожные билеты возросла на 15 % в сравнении с тарифами прошлого года. Число процентов выше 100 означает, что доля превышает целое, как часто бывает при статистических расчетах.

Процент как финансовое понятие - плата, заемщика кредитору за предоставление денег во временное пользование. В бизнесе встречается выражение «работать за проценты». В данном случае подразумевается, что размер вознаграждения зависит от прибыли или оборота (комиссионные). Обойтись без вычисления процентов невозможно в бухгалтерии, бизнесе, банковском деле. Чтобы упростить расчеты, разработан онлайн-калькулятор процентов.

Калькулятор позволяет вычислить:

• Процент от заданного значения.
• Процент из суммы (налог по фактической зарплате).
• Процент от разницы (НДС из ).
• И многое другое...

При решении задач на калькуляторе процентов нужно оперировать тремя значениями, одно из которых неизвестно (по заданным параметрам вычисляется переменная). Сценарий расчета следует выбирать, исходя из заданных условий.

Примеры расчетов

1. Вычисление процента от числа

Чтобы найти число, составляющее 25 % от 1 000 руб., нужно:

• 1 000 × 25 / 100 = 250 руб.
• Или 1 000 × 0,25 = 250 руб.

Для расчета на обычном калькуляторе, нужно 1 000 умножить на 25 и нажать кнопку %.

2. Определение целого числа (100 %)

Мы знаем, что 250 руб. составляет 25 % от какого-то числа. Как его вычислить?

Составим простую пропорцию:

• 250 руб. - 25 %
• Y руб. - 100 %
• Y = 250 × 100 / 25 = 1 000 руб.

3. Процент между двумя числами

Допустим, предполагалась прибыль 800 руб., а получили 1 040 руб. Каков процент превышения?

Пропорция будет такой:

• 800 руб. - 100 %
• 1 040 руб. – Y %
• Y = 1 040 × 100 / 800 = 130 %

Перевыполнения плана по прибыли - 30 %, то есть выполнение - 130 %.

4. Расчет не из 100 %

Например, в магазин, состоящий из трех отделов, приходят 100 % покупателей. В продуктовый отдел - 800 человек (67 %), в отдел бытовой химии - 55. Какой процент покупателей приходит в отдел бытовой химии?

Пропорция:

• 800 посетителей – 67 %
• 55 посетителей - Y %
• Y = 55 × 67 / 800 = 4,6 %

5. На сколько процентов одно число меньше другого

Цена товара упала с 2 000 до 1 200 руб. На сколько процентов подешевел товар или на сколько процентов 1 200 меньше 2 000?

• 2 000 - 100 %
• 1 200 – Y %
• Y = 1 200 × 100 / 2 000 = 60 % (60 % к цифре 1 200 от 2 000)
• 100 % − 60 % = 40 % (число 1 200 меньше 2 000 на 40 %)

6. На сколько процентов одно число больше другого

Зарплата выросла с 5 000 до 7 500 рублей. На сколько процентов увеличилась зарплата? На сколько процентов 7 500 больше 5 000?

• 5 000 руб. - 100 %
• 7 500 руб. - Y %
• Y = 7 500 × 100 / 5 000 = 150 % (в цифре 7 500 150 % от 5 000)
• 150 % − 100 % = 50 % (число 7 500 больше 5 000 на 50 %)

7. Увеличение числа на определенный процент

Цена товара S выше 1 000 руб. на 27 %. Какова цена товара?

• 1 000 руб. – 100 %
• S - 100 % + 27 %
• S = 1 000 × (100 + 27) / 100 = 1 270 руб.

Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: вам нужно выбрать вид расчета, ввести число и процент (в случае вычисления процентного соотношения - второе число), указать точность расчета и дать команду о начале действий.

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :

x = 45 000 · 8: 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

С точки зрения математики, пропорцией является равенство двух отношений. Взаимозависимость характерна для всех частей пропорции, также как и их неизменный результат. Понять, как составить пропорцию можно, ознакомившись со свойствами и формулой пропорции. Чтобы разобраться с принципом решения пропорции, достаточным будет рассмотреть один пример. Только непосредственно решая пропорции, можно легко и быстро обучиться этим навыкам. А данная статья поможет читателю в этом.

Свойства пропорции и формула

1. Обращение пропорции. В случае, когда заданное равенство выглядит как 1a: 2b =3c: 4d, записывают 2b: 1a = 4d: 3c. (Причем 1a, 2b, 3c и 4d являются простыми числами, отличными от 0).
2. Перемножение заданных членов пропорции крест-накрест. В буквенном выражении это имеет такой вид: 1a: 2b = 3c: 4d, а запись 1a4d = 2b3c будет ему равносильна. Таким образом, произведение крайних частей любой пропорции (числа по краям равенства) всегда является равным произведению средних частей (чисел, расположенных посредине равенства).
3. При составлении пропорции может пригодиться и такое её свойство, как перестановка крайних и средних членов. Формулу равенства 1a: 2b = 3c: 4d, можно отобразить такими вариантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (когда переставляют средние члены пропорции).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (когда переставляют крайние члены пропорции).
4. Прекрасно помогает в решении пропорции её свойство увеличения и уменьшения. При 1a: 2b = 3c: 4d, записывают:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (равенство по увеличению пропорции).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (равенство по уменьшению пропорции).
5. Составить пропорцию можно сложением и вычитанием. Когда пропорция записана как 1a: 2b = 3c: 4d, тогда:
   • (1a + 3с) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция составлена сложением).
   • (1a – 3с) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция составлена вычитанием).
6. Также, при решении пропорции, содержащей дробные или большие числа, можно разделить или умножить оба её члена на одинаковое число. К примеру, составные части пропорции 70:40=320:60, можно записать так: 10*(7:4=32:6).
7. Вариант решения пропорции с процентами выглядит так. К примеру, записывают, 30=100%, 12=x. Теперь следует перемножить средние члены (12*100) и разделить на известный крайний (30). Таким образом, получается ответ: x=40%. Подобным способом можно при необходимости совершать перемножение известных крайних членов и делить их на заданное среднее число, получая искомый результат.

Если Вас интересует конкретная формула пропорции, то в самом простом и распространенном варианте пропорция представляет собой такое равенство (формулу): a/b = c/d, в нем a, b, c и d являются отличными от нуля четырьмя числами.

§ 125. Понятие о пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:

Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.

Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.

Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.

§ 126. Основное свойство пропорции.

Рассмотрим пропорцию:

Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.

Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.

Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.

В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .

Проверим его на нескольких пропорциях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.

Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:

эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:

Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:

Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:

а) 1 6 = 2 3;

б) 2 15 = б 5.

§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.

Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:

х : 4 = 15: 3.

В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:

x 3 = 4 15.

После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:

х 3 = 60.

Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:

х = 60: 3, или х = 20.

Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:

Пропорция верна.

Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:

70: 10 = 21: х .

Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.

Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:

70 х = 210.

Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.

Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:

30: х = 27: 9.

Напишем основное свойство пропорции:

30 9 = х 27.

Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:

х 27 = 270.

Найдём неизвестный сомножитель:

х = 270: 27, или х = 10.

Проверим подстановкой:

30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.

Возьмём ещё одну пропорцию:

12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:

12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:

6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:

х = 96: 6, или х = 16.

Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.

Найдите неизвестные члены следующих пропорций:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два последних правила в общем виде можно записать так:

1) Если пропорция имеет вид:

х: а = b: с , то

2) Если пропорция имеет вид:

а: х = b: с , то

§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.

В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:

1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.

П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.

Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:

120:30 = 60: 15.

Пропорция не нарушилась.

Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:

Получили опять правильную пропорцию.

2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.

Пример. 16:8 = 40:20.

Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:

Получили правильную пропорцию.

Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:

Пропорция не нарушилась.

Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.

Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:

3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:

Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:

Пропорция верна.

Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.

1) Пусть имеется пропорция:

200: 25 = 56: x .

В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:

8:1 = 56: x .

Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:

2) Возьмём пропорцию:

2: 1 / 2 = 20: 5.

В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов

(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.

Увеличим второй крайний член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.

Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.

Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:

Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.

Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .

Умножим все члены пропорции на 48:

24: 1 = 960: 40.

При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставив в ней крайние члены, получим:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставим теперь средние члены:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставим одновременно и крайние, и средние члены:

20: 12 = 5: 3. (4)

Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:

12: 20 = 3: 5. (5)

В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.

Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:

а: b = с: d; c: d = a: b ;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:

ad = bc.

Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.

В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.

В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.

Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?

Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.

Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:

3200 — 100%
4000 — x %

Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:

Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.

Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :

x = 1000: 8 = 125

Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.

На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:

∆ = 125 − 100 = 25

Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.

Задача B2 на проценты №2

Переходим ко второй задаче.

Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?

Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:

1800 — 100%
1530 — x %

На основе полученной записи составляем пропорцию:

Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:

Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.

Осталось найти x :

x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:

∆ = 100 − 85 = 15

Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.

Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?

Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.

Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.

Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!