ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 93. ПОСТРОЕНИЕ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Построение подобных треугольников.

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

/\ AСВ /\ A"С"B"

2. Построение подобных многоугольников.

Для построения многоугольника, подобного данному, мы можем поступить таким образом: разобьём данный многоугольник диагоналями, проведёнными из какой-либо его вершины, на треугольники (черт. 383). На какой-нибудь стороне данного многоугольника ABCDE, например на стороне АЕ, возьмём какую-нибудь точку E" и проведём прямую, параллельную стороне ED, до пересечения её с диагональю AD, например, в точке D".

Из точки D" проведём прямую, параллельную стороне DC, до пересечения её с диагональю АС в точке С". Из точки С" проведём прямую, параллельную стороне СВ, до пересечения со стороной АВ в точке В". Полученный многоугольник AB"C"D"E" подобен данному многоугольнику ABCDE.

Справедливость этого утверждения доказать самостоятельно.

Если требуется построить многоугольник, подобный данному, с указанным коэффициентом подобия, то исходная точка Е" берётся на стороне АЕ или её продолжении соответственно данному коэффициенту подобия.

3. Съёмка плана земельного участка.

а) Съёмка плана производится с помощью особого прибора, называемого мензулой (черт. 384).

Мензула представляет собой квадратную доску, помещённую на треножнике. При вычерчивании плана доска приводится в горизонтальное положение, что проверяется с помощью уровня. Для проведения прямых линий по нужному направлению употребляется алидада, снабжённая диоптрами. В каждом диоптре имеется прорезь, в которой натянут волосок, что позволяет достаточно точно наводить алидаду в нужном направлении. На мензулу кнопками укрепляют лист белой бумаги, на котором и вычерчивается план.

Для того чтобы снять план с земельного участка ABCDE, выбирают внутри участка какую-нибудь точку О так, чтобы из неё были видны все вершины земельного участка (черт. 385).

С помощью вилки с отвесом (черт. 386) устанавливают мензулу так, чтобы точка О, отмеченная на листе бумаги, приходилась против избранной на участке точки О.

Затем из точки О на листе бумаги, прикреплённом к мензуле, прочерчивают при помощи алидады лучи в направлениях на точки А, В, С, D и Е; измеряют расстояния
ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ и откладывают на этих лучах в принятом масштабе отрезки
ОА", ОВ", ОС, OD" и ОЕ".

Точки А", В", С, D" и Е" соединяют. Получается многоугольник A"B"C"D"E", представляющий собой план данного земельного участка в принятом масштабе.

Описанный нами способ мензульной съёмки называется п о л я р н ы м.

Существуют и другие способы съёмки плана с помощью мензулы, о которых можно прочитать в специальных руководствах по мензульной съёмке.

На каждом плане обыкновенно даётся масштаб, по которому можно установить истинные размеры снятого участка, а также и его площадь.

На плане также указывается направление стран света.

Практическая работа.

а) Сделать в школьной мастерской простейшую модель мензулы и снять с её помощью план какого-нибудь небольшого земельного участка.

б) Съёмку плана земельного участка можно произвести с помощью астролябии.

Пусть надо снять план земельного участка ABCDE. Возьмём одну из вершин участка, например А, за исходную и с помощью астролябии измерим углы при вершине А, т. е.
/ 1, / 2, / 3 (черт. 387).

Потом с помощью мерной цепи измерим расстояния АЕ, AD, АС и АВ. В зависимости от размеров участка и размеров листа бумаги, на который наносится план, выбирается масштаб для вычерчивания плана.

При точке А, которую принимаем за вершину многоугольника, строим три угла, соответственно равные / 1, / 2 и / 3; затем в выбранном масштабе на сторонах этих углов от точки А" откладываем отрезки А"Е", A"D", А"С" и А"В". Соединив отрезками точки А" и Е", Е" и D", D" и С, С" и В", В" и А", получим многоугольник A"B"C"D"E", подобный многоугольнику ABCDE. Это будет план данного земельного участка, начерченный в избранном масштабе.

При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

Процесс обучения применению подобия к решению задач на построение целесообразно разбить на четыре этапа: подготовительный, ознакомительный, формирующий умение, совершенствующий умение. Каждый этап имеет свою дидактическую цель, которая достигается, когда учащиеся выполняют специально составленные задания.

Дидактическая цель подготовительного этапа - сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой.

После изучения первого признака подобия треугольников можно предложить следующий набор заданий :

Постройте треугольник по двум углам. Сколько решений имеет задача? Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

Назовите подобные треугольники на рис 35.

Известны следующие элементы треугольника: а) углы в 75и 25; б) высота 1,5 см; в) углы в 75 и 25, высота 1,5 см. какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис.35?

Какие углы определяют форму треугольников на рис.35?

Можно ли будет определить размеры одного из треугольников на рис.35, если станут известны следующие данные: а) углы при основании треугольника; б) высоты треугольника; в) сторона и углы при основании?

Подобны ли треугольники АВС и АВС на рис.36, если АСАС? если они подобны, то каков их коэффициент подобия?

Набор заданий, предъявляемых учащимся после изучения 2 и 3 признаков подобия треугольников, составляются аналогично. Однако при переходе от данного признака к следующему вопросы несколько усложняются, а именно: расположение треугольников на рисунках меняется, удаляясь от стандартного, варьируется набор элемента, определяющего единственную фигуру. Задания , например, могут быть такими:

1. Подобны ли треугольники АВС и АВС, если:

а) АВ=5см, ВС=7см, В=30є, АВ=10см, ВС=14см, В=60є;

б) АВ=5см, ВС=7см, В=30є, АВ=10см, ВС=14см, В=30є;

в) АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, АВ=4,5см, ВС=7,5см, СА=10,5см;

г) АВ=1,7см, ВС=3см, СА=4,2см, АВ=34дм, ВС=60дм, СА=84дм.

2. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВD (рис.37). Докажите, что АВС подобен ЕDC.

3. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи.

Задача . Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания - вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:

1. Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2. Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3. Сколько треугольников можно построить построение двум углам? Какими будут построение форме все построенные треугольники?

4. Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5. Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки (рис.38).

а) АВС: А=, В=;

б) построить биссектрису угла С в треугольнике АВС,

в) построить СN=d, NCD;

г) через точку N провести прямую, АВ;

д) АC=А, ВС=В;

е) АВС - искомый: А=, В= (так как АВС АВС по 1 признаку) и СN=d по построению. Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом этапе - индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.

Приведем несколько примеров задач, которые можно предложить на данном этапе.

Задача . Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ

Решение .

1. Анализ. Обратимся к рисунку 39. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М - есть центр окружности радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.

Если мы возьмем на ОА произвольную точку М и опустим МР на СВ и найдем F пересечения окружности с центром М радиуса МР с прямой ОF, то МFP будет подобен МFР. Отсюда вытекает требуемое построение.

2. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем МР на СВ. Проводим окружность радиуса МР с центром в точке М. Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим FM и затем проводим прямую через точку FFM. Точка М пересечения этой прямой с ОА - искомая.

3. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа.

4. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.

Задача . Построить треугольник по 2 углам и периметру.

Решение .

1. Анализ. Пусть и - данные углы и Р - периметр искомого треугольника (рис.40). Допустим, что искомый треугольник построен, тогда, если мы рассмотрим какой-либо АВС, подобный искомому, отношение периметра Р АВС к периметру Р АВС равно отношению сторон АС и АС.

2. Построение. Построим АВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD=Р, затем соединим точку D и С, и через точку D проведем прямую DC. Пусть С - точка пересечения прямой с лучом АС. Через точку С проведем прямую СВ и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда АВС - искомый.

3. Доказательство. Очевидно, что AСD подобен АСD, поэтому. По соотношению сторон равно отношению периметров подобных АВС и АВС, поэтому периметр АВС=Р, следовательно, АВС - искомый.

4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Задача . Дан АОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность, проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ.

Решение .

1. Анализ. Пусть АОВ - данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис.41).

Проведем еще одну окружность, касающуюся сторон АОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности с прямой ОМ и рассмотрим ОМN и ОМN (N и Nцентры окружности и).

Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому построение искомой окружность можно провести следующим образом:

2. Построение. Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе АОВ, то проводим биссектрису угла. Далее, возьмем здесь же точку N и построим окружность с центром N, касающуюся АОВ. Затем проводим прямую СМ и обозначим через М - точку пересечения прямой с окружностью (таких точек две - М и М - берем одну из них). Проводим прямую МN и ей прямую через точку М. Тогда N - пересечение прямой с биссектрисой угла и есть центр искомой окружности, а ее радиус равен МN. Проведем ее.

3. Доказательство. По построению окружность подобна, О - центр подобия. Это следует из подобия треугольников ОМN и ОМN, поэтому раз окружность касается сторон угла, то и окружность будет касаться сторон угла.

4. Исследование. Задача имеет два решения, т.к. ОМ пересекается с окружностью в двух точках М и М, каждой из которых будет соответствовать своя окружность, проходящая через точку М и касающаяся сторон АОВ.

Дидактической целью этапа, совершенствующего умение решать задачи типа рассмотренных, является перенос сформированного умения на более сложные задачи, в частности на следующие ситуации: искомая фигура занимает определенное положение по отношению к данным точкам или линиям, при этом устранение одного из условий задачи приводит к системе подобных или гомотетичных фигур. Приведем пример такой задачи.

Задача . В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треугольника, а две другие - на двух других сторонах.

Задачи, соответствующие целям этого этапа, исключены из числа задач обязательного уровня. Поэтому они предлагаются только хорошо успевающим школьникам. Главное внимание на этом этапе уделяется индивидуально-поисковой деятельности учащихся.

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 и∠C 1 = ∠C 2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$\frac{B_1A_1}{B_2A_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ и $\angle A_1 = \angle A_2$
или
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ и $\angle B_1 = \angle B_2$
или
$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ и $\angle C_1 = \angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 - угол1 - угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

$\frac{PQ}{AB}=\frac{6}{2}=3$ $\frac{QR}{CB}=\frac{12}{4}=3$ $\frac{PR}{AC}=\frac{15}{5}=3$

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR .

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R (так как ∠C = 180 - ∠A - ∠B и ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$

$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{PQ} \Rightarrow PQ=\frac{4\times12}{6} = 8$ и
$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AC}{PR}=\frac{7}{PR} \Rightarrow PR=\frac{7\times12}{6} = 14$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$\frac{BC}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{AB + BD} = \frac{AB}{AB + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Пример №4: Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C , мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$\frac{DE}{AB} = \frac{7}{11} = \frac{CD}{CA} = \frac{15}{CA} \Rightarrow CA = \frac{15 \times 11}{7} = 23.57$
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{AB} \Rightarrow AB = \frac{8 \times 9}{3} = 24 м$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = 8.54 м$

Аналогично, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 9^2} = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{CE}$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

$BC = \frac{AB \times CD}{DE} = \frac{15 \times 4.41}{5} = 13.23 км$
$CE = \frac{AC \times CD}{BC} = \frac{13.13 \times 4.41}{13.23} = 4.38 км$

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$\frac{BC}{DE} = \frac{1.6}{2.8} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{5 + AC} \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \times AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac{8}{1.2} = 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

$\frac{BC}{FG} = \frac{1.6}{H} = \frac{AC}{AG} = \frac{6.67}{6.67 + 5 + 30} = 0.16 \Rightarrow H = \frac{1.6}{0.16} = 10 м$

Задача 1. Построить треугольник, зная два его угла и периметр.

Решение. Знание углов треугольника уже определяет его с точностью до преобразования подобия. Поэтому для решения задачи строим любой треугольник ЛС, с данными углами (рис. 277). Остается подобно преобразовать треугольник так, чтобы периметр его стал равен данной величине.

Для этого отложим стороны его на продолжениях стороны отрезок будет равен периметру треугольника . Возьмем любой отрезок KL, параллельный отрезку но равный заданному периметру. Соединим концы обоих параллельных отрезков и примем точку О пересечения линий за центр подобия. Построение вершин А и С искомого треугольника видно из рис. 277, стороны его АВ и СВ параллельны соответствующим сторонам треугольника .

В случае треугольник - уже искомый.

Задача 2. Дан угол, образованный лучами ОА и ОВ, и точка N внутри этого угла. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку N (рис. 278).

Решение. Окружность, касающаяся сторон угла, должна иметь центр на биссектрисе этого угла. Возьмем на этой биссектрисе произвольную точку и построим окружность с центром в касающуюся сторон угла (ее радиус просто равен расстоянию точки от сторон угла). Если теперь преобразовать эту окружность подобно с центром подобия в вершине угла О, то вновь получится окружность с центром на биссектрисе; такая окружность снова будет касаться сторон угла, так как ее радиус, ведущий в точку касания, перейдет в силу сохранения углов в радиус, перпендикулярный к стороне угла. Остается обеспечить выполнение второго условия: преобразованная окружность должна пройти через точку N. Отсюда вытекает решение задачи. Проведем луч ON до пересечения с окружностью в точках и построим ее радиусы , ведущие в эти точки. Через данную точку N проведем прямые NC и NC, параллельные этим радиусам; точки их пересечения С, С с биссектрисой и дают возможные положения центра искомой окружности. Задача имеет два решения. Как изменится решение, если точка N лежит на биссектрисе угла?

Упражнения

1. Периметр треугольника равен 10 см, а его площадь Чему равен периметр подобного треугольника, если его площадь ?

2. Доказать, что равнобедренные треугольники, имеющие равные углы при вершине, подобны.

3. Построить треугольник, подобный данному и вписанный в окружность данного радиуса.

4. В данный треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на стороне ВС треугольника, а две вершины находились на двух других сторонах треугольника.