Задачи на движение с решениями
- Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста?
- Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй - 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
- Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
- Расстояние между станциями A и B равно 103 км. Из A в B вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до B путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее.
- Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин.
- Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из A, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от A и, чтобы прибыть в B по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути двигаться со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает 100 км.
- Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?
- Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В?
- От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.
- Пункт В находится по реке ниже пункта А. В одно и то же время из пункта А отплыли плот и первая моторная лодка, а из пункта В - вторая моторная лодка. Через некоторое время лодки встретились в пункте С, а плот за это время проплыл третью часть пути от А до С. Если бы первая лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот за это время прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта А в пункт В отплыла вторая лодка, а из пункта В в пункт А - первая лодка, то они встретились бы в 40 км от пункта А. Какова скорость обеих лодок в стоячей воде, а также расстояние между пунктами А и В, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
- Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?
- Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?
- Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую последующую секунду проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/c и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?
Задачи для самостоятельного решения
- Дорога от A до D длиной в 23 км идет сначала в гору, затем - по ровному участку, а потом - под гору. Пешеход, двигаясь из A в D, прошел весь путь за 5 ч 48 мин, а обратно, из D в A, - за 6 ч 12 мин. Скорость его движения в гору равна 3 км/ч, по ровному участку - 4 км/ч, а под гору - 5 км/ч. Определить длину дороги по ровному участку. Ответ: 8 км
- В 5 ч утра со станции A вышел почтовый поезд по направлению к станции B, отстоящей от A на 1080 км. В 8 ч утра со станции B по направлению к A вышел пассажирский поезд, который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Когда встретились поезда, если их встреча произошла в середине пути AB? Ответ: в 5 ч дня
- Из пункта A впунктB отправились три велосипедиста. Первый из них ехал со скоростью 12 км/ч. Второй отправился на 0,5 ч позже первого и ехал со скоростью 10 км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, который отправился на 0,5 ч позже второго, если известно, что он догнал первого через 3 ч после того как догнал второго? Ответ: 15 км/ч
- Два поезда - товарный длиной в 490 м и пассажирский длиной в 210 м - двигались навстречу друг другу по двум параллельным путям. Машинист пассажирского поезда заметил товарный поезд, когда он находился от него на расстоянии 700 м; через 28 с после этого поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если известно, что товарный поезд проходит мимо светофора на 35 с медленнее пассажирского. Ответ: 36 км/ч; 54 км/ч
- Турист A и турист B должны были выйти одновременно навстречу друг другу из поселка M ипоселкаN соответственно. Однако турист A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км меньше, чем B. Отдохнув, туристы одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в поселок N через 8 ч, а B пришел в поселок M через 9 ч после встречи. Определить расстояние MN и скорости туристов. Ответ: 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.
- Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них, а тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отстал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист? Ответ: 2 км
- Два туриста вышли одновременно из пункта A в пункт B.Первый турист проходил каждый километр на 5 мин быстрее второго. Пройдя 20% расстояния от A до B, первый турист повернул обратно, пришел в A, пробыл там 10 мин, снова пошел в B и оказался там одновремен-
но со вторым туристом. Определить расстояние от A до B, если второй турист прошел его за 2,5 ч. Ответ: 10 км - Рыбак проплыл на лодке от пристани против течения 5 км и возвратился обратно на пристань. Скорость течения реки равна 2,4 км/ч. Если бы рыбак греб с той же силой в неподвижной воде озера на лодке с парусом, увеличивающим скорость на 3 км/ч, то он за то же время проплыл бы 14 км. Найти скорость лодки в неподвижной воде. Ответ: 9,6 км/ч
- Моторная лодка проплыла по озеру, а потом спустилась вниз по реке, вытекающей из озера. Расстояние, пройденное лодкой по озеру, на 15% меньше расстояния, пройденного по реке. Время движения лодки по озеру на 2% больше, чем по реке. На сколько процентов скорость движения лодки вниз по реке больше скорости движения по озеру? Ответ: на 20%
- Турист проплыл в лодке по реке из города A в город B и обратно, затратив на это 10 ч. Расстояние между городами равно 20 км. Найти скорость течения реки, зная, что турист проплывал 2 км против течения реки за такое же время, как 3 км по течению. Ответ: 5/6 км/ч
- По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек. Ответ: 4 м/с; 3 м/с.
- Из точек A и B одновременно начали двигаться два тела навстречу друг другу. Первое в первую минуту прошло 1 м, а в каждую последующую проходило на 0,5 м больше, чем в предыдущую. Второе тело проходило каждую минуту по 6 м. Через сколько минут оба тела встретились, если расстояние между A и B равно 117 м? Ответ: через 12 мин.
- Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль берега и вернулись по одной и той же речной трассе через 5 ч с момента отплытия. Протяженность всего рейса составила 10 км. По их подсчетам получилось, что на каждые 2 км против течения в среднем потребовалось столько же времени, сколько на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения реки, а также время проезда туда и время проезда обратно. Ответ: 5/12 км/ч; 2 ч и 3 ч.
В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых
требует составление уравнения (или неравенства), а также их систем на основании
условия задачи.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов.
Прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать
простейшие из них. В связи с этим я считаю нужным рассмотреть типовые задачи на
движение.
Задачи на движение.
1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный путь (s); б) скорость (v); время (t). Зависимость между указанными величинами выражаются формулами:
s=vt; v=s/t; t=s/v (1)
2. План решения обычно сводится к следующему:
а) Выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через x, y или z и т. д.
б) Устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.
в) Третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и известную с помощью одной из формул (1).
г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась и т.д.) третья величина.
- Надо иметь в виду, что если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время. Аналогично и в случае, если одно тело догоняет другое.
- Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.
- В задачах на движение по реке надо помнить следующие формулы:
Vпо теч.=Vсоб.+Vтеч.
Vпр.теч.=Vсоб.-Vтеч.
Vсоб.= (Vпо теч.+Vпр.теч.)/2
Вот примерное решение некоторых задач.
Движение из одного пункта в другой в одном направлении.
Задача 1.
Первый турист, проехав 1,5 ч. на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
Решение.
1. Из условия ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч. раньше второго. В точке В (рис.1) он сделал остановку на 1,5 ч. Второй турист догнал первого в точке D. Чтобы проехать это расстояние AD, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 ч. (4–1,5= =2,5 ч.)
Рис.1
2. Пусть x-расстояние (в км.) от точки A до точки D. Тогда t 1 =x/16 ч-время, за которое первый турист проезжает расстояние AD; t 2 =x/56 ч.– время, за которое второй турист проезжает расстояние AD.
T 1 – t 2 = 2,5 ч.
Составим и решим уравнение:
x /16 – x /56 = 2,5, x = 56 км.
Ответ. 56 км.
Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути.
Задача 2.
Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин., а затем на расстоянии 60 км. Наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
Решение.
1. Из условия задачи следует, что если бы поезд после остановки в пункте B продолжал двигаться с прежней скоростью, то затратил бы на 12 мин. (12 мин=1/5ч) больше, чем предусмотрено расписанием.
Рис.2
2. Пусть х – первоначальная скорость поезда (в км/ч). Тогда t 1 =60/x, t 2 = 60/(х+15), t 1 – t 2 =1/5
3. Составим и решим уравнение: 60/х – 60/(х+15) =1/5, х 1 = 60, х 2 = –75 – не удовлетворяет условию задачи, так как скорость – величина неотрицательная.
Ответ. 60 км/ч.
Движение из разных пунктов навстречу друг другу.
Задача 3.
В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти A из поселка M и B из поселка K. Но A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км. Меньше, чем B. Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в K через 8 ч., а B пришел в M через 9 ч. После встречи. Определить расстояние MK и скорости пешеходов.
Решение.
1. Пусть v А =x (км/ч.), S КД =8x (км); v В =y(км/ч), S МД =9y(км). Тогда t = 9y/x ч– время, которое затратит A на путь из M в D; t В =8х/у ч – время, которое затратит В на пути из К в D (см. рис)
Рис.3
2. Из условия задачи следует, что 8x – y =12. Так как пешеход B вышел раньше, чем A, на 6 часов, то на основании этого составим второе уравнение: 8x/y – 9y/x = 6
Составим систему уравнений и решим ее:
Расстояние МК = 8*6 + 9*4 = 84 км.
Ответ. 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.
Основные компоненты движения заданы в общем виде.
(Задачи с параметрами.)
Задача 4.
Поезд был задержан на t часов. Увеличив скорость на a км/ч, машинист на перегоне в s км ликвидировал опоздание. Определить, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне, если бы не было задержки.
Полагая, что скорость поезда по расписанию x км/ч, имеем:
2. Теперь следует выяснить, оба ли корня уравнения удовлетворяют условию задачи:
Движение по водному пути.
Задача 5.
В 9ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в каком часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.
Решение.
1. Для решения этого типа задач следует использовать указание 5 (см. выше)
2. Обозначим собственную скорость баржи через x км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет 60/(x+3) часов, а против течения реки
60/(x-3) часов.
Всего было затрачено времени (в ч)
х 1 =15, х 2 = –0,6 (не удовлетворяет условию).
3. Время, затраченное на движение против течения реки, 60/(15 – 3) = 60/12 = 5 ч. Следовательно, баржа прибыла в пункт В в 14 ч.
Ответ. В 14 часов.
Определение скорости при встречном прямолинейном движении тел.
Задача 6.
Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.
Решение.
1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир, 40 км/ч =40000/3600 = 100/9 м/с.
2. Встречный поезд за 3 с прошел 3 х м, а поезд с пассажиром – (3*100)/9 = 33
3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно,
Ответ. 50 км/ч.
Составление неравенств.
Задача 7.
Велосипедист отправляется из А в В. Расстояние от А до В равно 60 км; скорость велосипедиста постоянна. Не задерживаясь в В, он едет обратно с той же скоростью, но через час после выезда из В делает остановку на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. В каких границах заключена скорость v велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он потратил времени не более, чем на путь от А до В?
Решение.
1. Пусть х (в км/ч) – первоначальная скорость велосипедиста.
Рис. 4
2. Особенность задачи в том, что для решения требуется составить неравенство.
Решая это неравенство, получим
(х 2 +16х – 720)/(х(х + 4)) ≤ 0, (х – 20)(х + 36)/х(х + 4) ≤ 0.
Следовательно, 0 Ответ.
0 Пройденный путь принимается за 1, а единственной данной величиной является
время.
Задача 8.
Два пешехода вышли одновременно друг другу и встретились через 3 ч 20 мин.
Сколько времени понадобиться каждому из них, чтобы пройти все расстояние, если
первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем второй
пришел в то место, откуда вышел первый? Решение.
1. Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких данных о
пройденном расстоянии. В таких случаях удобно все расстояние принять за 1, тогда
скорость v 1 =1/х, v 2 =1/у (где х часов – время в пути
первого пешехода, а у часов – время второго пешехода). 2. Из условия задачи составим систему уравнений 3. Решая эту систему, получим у=5, х=10 Ответ
.10 ч; 5 ч. Скорость выражена косвенно через время.
Задача 9.
Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов в третий, куда они
договорились прибыть одновременно. Первый прибыл на место встречи через 2 ч, а
второму, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 мин
быстрее первого, так как его путь был длиннее на 6 км. Какова скорость каждого
велосипедиста? Решение.
1. Особенностью этой задачи является не прямое, а косвенное указание скорости
велосипедистов. 2. Пусть первый велосипедист проезжал каждый километр за х мин, то есть его
скорость была 60/х км/ч. Тогда скорость второго 60/(х-1) км/ч 3. Составим уравнение и решим его: 60/(х – 1)*2 – (60/х)*2 = 6; х 1 = 5, х 2 = –4
(посторонний корень) 4. Следовательно, v 1 =12 км/ч, v 2 = 15 км/ч Ответ.
12 км/ч; 15 км/ч. Вот основные типы задач на движение, их классификацию можно дать учащимся на
факультативе. Товарный поезд был
задержан в пути на 12 минут, а затем на
расстоянии 60 км наверстал потерянное
время, увеличив скорость на 15 км/час.
Найти первоначальную скорость поезда. Решение
:
Пусть первоначальная
скорость поезда x
км/ч
.
На путь в 60 км
потребовалось
бы 60/
x
ч
времени. Из-за задержки в пути скорость
поезда увеличена на 15 км/ч
,
т.е. в действительности поезд шёл со
скоростью (x
+15) км/ч
и на путь в 60 км
потратил
ч
времени, что позволило наверстать
потерянное в пути время в 12 мин
.
Решим уравнение:
Отрицательное значение
x
не подходит по условию задачи. Ответ
:
60 км/ч
В прямоугольной трапеции
основания равны 6
и 4
. Диагональ
равна 5.
Найти
периметр и площадь трапеции. Решение
:
Т Итак, высота трапеции АВ = 3; Периметр:
Ответ
:
Найдите диаметр окружности,
если его концы удалены от некоторой
прямой, касающейся данной окружности,
на 20
и 14
. Решение
: П По теореме Фалеса DP
=
PC
.
Итак, OP
– средняя линия трапеции ABCD
.
Ответ
:
34
. I
вариант
(9 класс, 2004г.)
Решение
:
Из точки А проведём АРСВ.
∆САР=∆НМС по острому углу и гипотенузе
( Пусть
в равнобедренном треугольнике АВС
биссектрисы равных углов А и С пересекают
противоположные стороны соответственно
в точках E
и F.
Доказать, что AFEC
есть трапеция с тремя равными сторонами. Р Решение
: Т.к.
имеются два различных корня, то
Т.к.
Уравнение
Ответ:
;
Решение
:
;
Ответ
:
В
двух баках содержалось 140л воды. Когда
из первого бака взяли 26л воды, а из
второго – 60л, то в первом баке осталось
в два раза больше воды, чем во втором.
Сколько литров воды было в каждом баке
первоначально? Решение
:
Пусть x
л воды было в первом баке. Тогда (140-x)
л воды было во втором баке. (x-26)
л воды стало в первом баке (140-x-60)
л стало во втором баке. 160-2x=x-26;
3x=186;
x=62. Ответ
:
в первом баке – 62л, во втором – 78л I
I
вариант
(9 класс, 2004г.)
Решение
:
АЕ = АС
=>
АСЕ = АЕС = 180 ○ – А;
СВ = ВD
=>
DCB = CDB = DCF
= 180 ○ – (CDB + CED)
=
Доказать,
что биссектрисы углов, прилежащих к
одной из непараллельных сторон трапеции,
пересекаются под прямым углом в точке,
лежащей на средней линии трапеции. Р биссектрисе
В
=> Е равноудалена от АВ и ВС, т.е. Е
равноудалена от ВС и АD,
т.е. Е принадлежит средней линии трапеции
АВСD. Решение
:
Т.к. уравнение имеет два различных корня,
то
Р Ответ
:
x
=3
. В
одном бидоне на 5 л молока больше, чем
в другом. Если из первого бидона перелить
во второй 8 л молока, то во втором бидоне
молока станет в 2 раза больше, чем
останется в первом. Сколько литров
молока в каждом бидоне? Решение
:
Пусть x
л молока
в I
бидоне, тогда
Ответ
:
в I
бидоне – 19л молока, во II
– 14л. 6.
Варианты для самостоятельного решения:
I
вариант
(8
класс 1997 г.)
Может
ли существовать прямоугольный
параллелепипед, длины рёбер которого
натуральные числа, а площадь поверхности
простое число? На
сколько процентов уменьшится площадь
квадрата, если сторону уменьшить на
10%
? Скорость
катера в стоячей воде 20
км/ч
,
скорость течения реки 2
км/ч
.
Катер проплыл 10
км
по течению и 10
км
против течения. Определить среднюю
скорость катера. На
доске нарисован треугольник. Как
построить центр описанной окружности? Найти
двузначное число, которое равно сумме
числа его десятков и квадрата числа
единиц. I
вариант
(8
класс 1998 г.)
II
вариант
8 класс Алгебра ИДЗ 3
Задание 2.
Р
ешите задачи
Вариант 1
.
Вариант 2
.
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
2.Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько ч наполняет бассейн вторая труба? Вариант 7
1. Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч. Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
1. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч проедет путь на 15 км/ч больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние. 2. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 ч, если первый изготавливает за это время на 8 болтов больше? Вариант 14
1. Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя 1 ч за ним вышла легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обогнала автобус и через 5 ч после своего выхода находилась впереди него на 70 км. Найдите скорость автобуса. 2. Ученик тратит На обработку одной детали на 12 мин больше, чем мастер. Сколько деталей обработает каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает на 5 деталей меньше, чем мастер? Вариант 15
1. Товарный поезд был задержан в пути на18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда. 2. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на эту работе каждой бригаде, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее другой? Вариант 16
1. Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на 20 мин больше. Найти первоначальную скорость мотоциклиста. 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить оклейку комнаты обоями за 6 ч. За какое время каждый из них может оклеить эту комнату обоями, если один из них тратит на это на 5 ч меньше, чем другой? Вариант 17
1. Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч. 2. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно на40 ч больше, чем второму? Вариант 18
1. Моторная лодка прошла по течению 25 км и против течения 3 км, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч. 2. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько ч наполняет бассейн вторая труба? Вариант 19
1. Теплоход прошел по течению реки48 км и столько же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч. 2. Два сборщика винограда, работая вместе, собрали виноград с участка за 12ч. Первый сборщик мог бы собрать виноград с этого участка на 10 ч быстрее, чем второй. За какое время каждый сборщик может выполнить эту работу? Вариант 20
1. Катер, собственная скорость которого 20 кем/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь катер потратил 6,25 ч. 2. Два компьютера, работая совместно, могут выполнить определенный объем работы за 3,75 ч. Работая отдельно, один из них выполнил бы эту работу на 4 ч быстрее другого. Сколько времени потребовалось бы каждому компьютеру для выполнения этой работы? Вариант 21
1. Пешеход должен был пройти 12 км за определенный срок, но он был задержан с выходом на 1ч, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход? 2. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за3 ч. За сколько ч может наполнить аквариум первая трубка, если ей потребуется для этого на 2,5 меньше, чем второй? Вариант 22
1. Велосипедист проехал с определенной скоростью путь 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. НА весь путь туда и обратно потрачено 1 ч 10 мин. Найти его скорость от турбазы до города. 2. Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 ч. Первому рабочему на эту работу потребовалось бы на 3 ч больше, чем второму. За какое время может убрать помещение первый рабочий? Вариант 23
1. Расстояние между городами 200 км. Мотоциклист проходит это расстояние на 5 ч быстрее велосипедиста. Найти их скорости, если скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста. 2. Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 ч. За какое время могут разгрузить баржу, работая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно на 9 ч меньше, чем другому? Вариант 24
1. Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем путь против течения. Найти скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч. 2. Два грузовика, работая вместе, могут перевезти зерно за 4 ч. За какое время перевезет то же количество зерна каждый грузовик в отдельности, если первому нужно для этого на 6 ч больше, чем второму? I
вариант.
1.
1) 2) Ответ: _______ 2.
Найдите значение выражения (2 - 4) 2 ∙ 2 10 . Ответ: ______ 3.
Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 7: 13. Какой процент в фарше составляет говядина? Ответ: ______ 4.
Решите уравнение х 2 – 7х = 0. Ответ: _________ 5.
1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ: _______ 6.
Упростите выражение: 1) 7.
Найдите ∟С, если ∟А = 62˚. Ответ: _______. 8.
Найдите значение выражения: 1) 1200 2) 12 3) 120 4) 36 9.
Укажите в ответе номера верных
утверждений. 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 3) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 4) Если в ромбе один из углов равен 90˚, то такой ромб – квадрат. Ответ: _______________. 10. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
11.
Мотоциклист проехал 40 км от дома до реки. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на этот путь на 20 минут больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста. Если эту скорость обозначить за х км/ч, то задача может быть решена с помощью уравнения: 1) 3) I
вариант.
Часть II.
12. (2 балла)
Решите уравнение: 13. (2 балла)
у = 14. (3 балла)
На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 3 см, В 1 С = 17 см, АС 1 = 5 см, С 1 В = 7см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. II
вариант. Часть II.
12. (2 балла)
Решите уравнение: 13. (2 балла)
Найдите область определения функции у = 14. (3 балла)
На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 4 см, В 1 С = 17 см, АС 1 = 7 см, С 1 В = 5см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. III
вариант.
Часть II.
12.(2 балла)
Решите уравнение: 13. (2 балла)
Найдите область определения функции у = 14. (3 балла)
На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 12 см, В 1 С = 3 см, АС 1 = 10 см, С 1 В = 8 см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
II
вариант. Часть 1.
1.
Запишите в ответе номера верных равенств. 1) Ответ: ___________. 2.
Найдите значение выражения (7 4) -2 ∙ 7 10 . Ответ: __________ 3.
Ответ: ________ 4.
Решите уравнение х 2 – 16 = 0. Ответ: ________. 5.
Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ: ________. 6.
Упростите выражение: 1) 7.
Найдите ∟А, если ∟С = 32˚. Ответ: __________. 8.
Найдите значение выражения: 1) 280 2) 2800 3) 28 4) 700 9.
Укажите в ответе номера верных
утверждений. 1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку. 2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 4) Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то такой прямоугольник – квадрат. Ответ: ________. 10.
Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
11.
Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. Если принять первоначальную скорость поезда за х км/ч, то задача будет решаться с помощью уравнения: 1) 3) Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
III
вариант. Часть 1.
1.
Запишите в ответе номера верных равенств. 1) Ответ: ________. 2.
Найдите значение выражения 5 8 ∙ (5 -3) 2 . Ответ: _________. 3.
Для приготовления чайной смеси смешивают индийский и цейлонский чай в отношении 9: 11. Какой процент в этой смеси составляет цейлонский чай? Ответ: __________. 4.
Решите уравнение 5х 2 – 3х = 0. Ответ: ____________________. 5.
Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ: ________. 6.
Упростите выражение: 1) 7.
Найдите ∟С, если АВ = ВС. Ответ: _______. 8.
Найдите значение выражения: 1) 2000 2) 200 3) 20 4) 2 9.
Укажите в ответе номера верных
утверждений. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой образовавшиеся внутренние односторонние углы равны, то такие две прямые параллельны. 2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 3) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. 4) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. Ответ: _______. 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39
.
11.
Плот проплывает по течению 60 км на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. Найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч. Обозначив скорость течения за х км/ч, можно составить уравнение: 1) 3) Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
IV
вариант. Часть 1
1.
Запишите в ответе номера верных равенств. 1) 2.
Найдите значение выражения (5 4) -2 ∙ 5 11 . Ответ: __________. 3.
Для фруктового напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении 13: 7. Какой процент в этом напитке составляет виноградный сок? Ответ: __________. 4.
Решите уравнение 5х 2 – 7х + 2 = 0. Ответ: __________. 5
. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?
Ответ: __________. 6
.Упростить выражение: 1) ху 2) 1 3) –ху. Ответ: _____________. 7
. В треугольнике
ABC
AC
=
BC
. Внешний угол при вершине
B
равен
146
∘
. Найдите угол
C
. Ответ дайте в градусах.
.
Итак,
.
ак
как по условию задачи ВС
= 4
; А
D
= 6
, то диагональ АС
= 5
. Из ΔАВС
имеем АВ
2
= АС
2
-ВС
2
= 25-16 = 9
.
;
усть
прямая l
касается окружности в точке P
и АВ
– диаметр,
AD
= 20
; ВС
=
14
.
Рассмотрим ADCB
;
(
)
ADCB
- прямоугольная трапеция;
- радиус, проведённый в точку касания l
с окружностью. Поскольку
,
то прямая АВ
пересекает l
в точке Q
.
Рассмотрим угол AQD
.
Стороны угла пересечены рядом параллельных
прямых AD
,
OP
,
CB
и АО = ОВ
.
- радиус окружности. Диаметр окружности
равен 34
.
МНС=АСР,
СН=СА). ∆АРВ=∆BDN
(РАВ=NBD,
АВ=BD).
НМ=СР, РВ=DN,
отсюда HM+DN=BC.
ешение
:
В треугольнике АВС АЕ и CF
– биссектрисы =>
FAE=EAC=FCE=FCA.
и
.
.
,
;
или
,
то по теореме Виета
;
;
;
;
.
=
,
т.к.
А + В = 90 ○ .
ешение
:
АВСD
– трапеция.
А+В=180 ○ .
АЕ – биссектриса
А;
ВЕ – биссектриса
В
=>ЕВА+ВАЕ
=1/2А+1/2В
=1/2 (А+В)
=1/2·180 ○ =
90 ○ . В ∆АВЕ
ВЕА=90 ○ .
Поскольку точка Е принадлежит биссектрисе
угла А => Е равноудалена от АВ и АD;
Е принадлежит
и
;
Т.к. x 1 +x 2 =0,
то
;
(условия (*)) выполняются.
;
;
ешение
:
;
;
л
во II
бидоне.
;
x
=19
.
3) 
.
.
2) 
3) 6 4) 
.
2) 
4) х + 3(х – 10) = 40.
.
.
.
2) 
3) 
.
.
2) 
3) 
4) 4
.
2) 
4) 
2) 
3) 
.
.
2) - 4а 3) 
4) 
.
2) 
4) 
2) 3) .
.
