Есть ничто иное, как отношение синуса угла падения к синусу угла преломления

Показатель преломления зависит от свойств вещества и длины волны излучения, для некоторых веществ показатель преломления достаточно сильно меняется при изменении частоты электромагнитных волн от низких частот до оптических и далее, а также может ещё более резко меняться в определённых областях частотной шкалы. По умолчанию обычно имеется в виду оптический диапазон или диапазон, определяемый контекстом.

Величина n, при прочих равных условиях, обычно меньше единицы при переходе луча из среды более плотной в среду менее плотную, и больше единицы при переходе луча из среды менее плотной в среду более плотную (например, из газа или из вакуума в жидкость или твердое тело). Есть исключения из этого правила, и потому принято называть среду оптически более или менее плотной, чем другая (не путать с оптической плотностью как мерой непрозрачности среды).

В таблице приведены некоторые значения показателя преломления для некоторых сред:

Среда, обладающая большим показателем преломления, называется оптически более плотной. Обычно измеряется показатель преломления различных сред относительно воздуха. Абсолютный показатель преломления воздуха равен . Таким образом, абсолютный показатель преломления какой-либо среды связан с ее показателем преломления относительно воздуха формулой:

Показатель преломления зависит от длины волны света, то есть от его цвета. Различным цветам соответствуют различные показатели преломления. Это явление, называемое дисперсией, играет важную роль в оптике.

Цифровой ресурс может использоваться для обучения в рамках программы основной и средней школы (базового уровня).

Модель представляет собой анимированную иллюстрацию по теме «Закон преломления света». Рассматривается система вода–воздух. Прорисовывается ход падающего, отраженного и преломленного лучей.

Краткая теория

Закон преломления света находит объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:

Работа с моделью

Кнопка Старт /Стоп позволяет начать или поставить на паузу эксперимент, кнопка Сброс – начать новый эксперимент.

Данная модель может быть применена в качестве иллюстрации на уроках изучения нового материала по теме «Закон преломления света». На примере этой модели можно рассмотреть с учащимися ход луча при переходе из оптически менее плотной среды в оптически более плотную.

Пример планирования урока с использованием модели

Тема «Преломление света»

Цель урока: рассмотреть явление преломления света, ход луча при переходе из одной среды в другую.

№ п/п Этапы урока Время, мин Приемы и методы 1 Организационный момент 2 2 Проверка домашнего задания по теме «Построение изображения в плоском зеркале» 10 Самостоятельная работа 3 Объяснение нового материала по теме «Преломление света» 20 Объяснение нового материала с использованием модели «Закон преломления света» 4 Решение качественных задач по теме «Закон преломления света» 10 Решение задач на доске 5 Объяснение домашнего задания 3

Таблица 1.

Примеры вопросов и заданий

• Свет переходит из вакуума в стекло, при этом угол падения равен α, угол преломления β. Чему равна скорость света в стекле, если скорость света в вакууме равна c ?
• Показатели преломления воды, стекла и алмаза относительно воздуха равны 1,33, 1,5, 2,42 соответственно. В каком из этих веществ предельный угол полного отражения имеет минимальное значение?
• Водолаз рассматривает снизу вверх из воды лампу, подвешенную на высоте 1 м над поверхностью воды. Чему равна кажущаяся высота лампы под водой?

В ряде случаев, исследуя коэффициенты рядов вида (С) или можно установить, что эти ряды сходятся (исключая, быть может, отдельные точки) и являются рядами Фурье для своих сумм (см., например, предыдущий п°), но во всех этих случаях естественно возникает вопрос,

как найти суммы этих рядов или - точнее - как выразить их в конечном виде через элементарные функции, если они, вообще, в таком виде выражаются. Еще Эйлер (а также Лагранж) с успехом применял для суммирования тригонометрических рядов в конечном виде аналитические функции комплексной переменной. Идея метода Эйлера состоит в следующем.

Допустим, что при некотором наборе коэффициентов ряды (С) и сходятся к функциям повсюду в промежутке исключая разве лишь отдельные точки. Рассмотрим теперь степенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной

На окружности единичного круга т. е. при этот ряд по предположению сходится, исключая отдельные точки:

В таком случае, по известному свойству степенных рядов ряд (5) заведомо сходится при т. е. внутри единичного круга, определяя там некоторую функцию комплексной переменной. Используя известные нам [см. § 5 главы XII] разложения элементарных функций комплексной переменной, часто удается свести к ним и функцию Тогда для имеем:

и по теореме Абеля , лишь только ряд (6) сходится, его сумма получается как предел

Обычно этот предел равен попросту что и позволяет вычислить в конечном виде функции

Пусть, например, предложены ряды

Доказанные в предыдущем п° утверждения приводят к заключению, что оба эти ряда сходятся (первый - исключая точки 0 и

служат рядами Фурье для определяемых ими функций Но что это за функции? Для ответа на этот вопрос составим ряд

По сходству с логарифмическим рядом легко устанавливается его сумма:

следовательно,

Теперь легкое вычисление дает:

так что модуль этого выражения есть , а аргумент .

и, таким образом, окончательно

Результаты эти нам знакомы и даже были однажды получены с помощью «комплексных» соображений ; но в первом случае мы исходили из функций и , а во втором - из аналитической функции Здесь же впервые нам отправной точкой послужили сами ряды. Дальнейшие примеры подобного рода читатель найдет в следующем п°.

Подчеркнем еще раз, что нужно наперед быть уверенным в сходи и рядов (С) и чтобы иметь право определить их суммы с помощью предельного равенства (7). Одно существование предела в правой части этого равенства еще не позволяет сделать заключение о сходимости упомянутых рядов. Чтобы показать это на примере, рассмотрим ряды

Покажем, что практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники, с помощью, так называемого, тригонометрического ряда.

Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где действительные числа а 0 , а n , b n называются коэффициентамиряда.

Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Нужно решить два вопроса:

1) При каких условиях функция f(x) с периодом 2π может быть разложена в ряд (5.2.1)?

2) Как вычислить коэффициенты а 0 ,… а n , b n ?

Начнем с решения второго вопроса. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеи имеет период Т=2π . Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.

При любом целом , так как функция четная.

При любом целом .

(m и n целые числа)

При (m и n целые числа) каждый из интегралов (III, IV, V) преобразуется в сумму интегралов (I) или (II). Если же , то в формуле (IV) получаем:

Анологично доказывается равенство (V).

Предположим теперь, что функция оказалась такой, что для неё нашлось разложение в сходящийся ряд Фурье, то есть

(Следует обратить внимание, что суммирование идёт по индексу n ).

Если ряд сходится, то его сумму обозначим S(x).

Почленное интегрирование (законное в силу предположения о сходимости ряда) в пределах от до даёт

так как все слагаемые кроме первого равны нулю (соотношения I, II). Отсюда находим

Умножая (5.2.2) на (m =1,2,…) и почленно интегрируя в пределах от до , найдем коэффициент a n .

В правой части равенства все слагаемые равны нулю, кроме одного m=n (соотношения IV, V), Отсюда получаем

Умножая (5.2.2) на (m =1,2,…) и почленно интегрируя в пределах от до ,аналогичным образом находим коэффициент b n

Значения - определяемые по формулам (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд (5.2.2) – ряд Фурье для данной функции f(x).

Итак, получили разложение функции f(x) в ряд Фурье

Вернемся к первому вопросу и выясним какими свойствами должна обладать функция f(x) , чтобы построенный ряд Фурье был сходящимся, и сумма ряда равнялась бы именно f(x) .

Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной , если она непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода.

Определение. Функция f(x) , заданная на отрезке называется кусочно-монотонной , если отрезок можно разбить точками на конечное число промежутков, в каждом из которых функция изменяется монотонно (возрастая или убывая).

Будем рассматривать функции f(x) , имеющие период Т=2π . Такие функции называются 2π - периодическими.

Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле (примем без доказательства). Если 2π -периодическая функция f(x) на отрезке является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной, то соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией S(x)=f(x) ;

2. В каждой точке х 0 разрыва функции f(x) сумма ряда равна ,

т.е. среднему арифметическому пределов функции слева и справа от точки х 0 ;

3. В точках (на концах отрезка) сумма ряда Фурье равна ,

т.е. среднему арифметическому предельных значений функции на концах отрезка, при стремлении аргумента к этим точкам изнутри промежутка.

Замечание: если функция f(x) с периодом 2π непрерывна и дифференцируема во всем промежутке и значения ее на концах промежутка равны, т.е., то ввиду периодичности эта функция непрерывна на всей числовой оси и при любом х сумма ее ряда Фурье совпадает с f(x) .

Таким образом, если интегрируемая на отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место равенство (разложение в ряд Фурье):

Коэффициенты вычисляются по формулам (5.2.3) - (5.2.5).

Условиям Дирихле удовлетворяет большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях.

Ряды Фурье, как и степенные ряды, служат для приближенного вычисления значений функций. Если разложение функции f(x) в тригонометрический ряд имеет место, то всегда можно пользоваться приближенным равенством , заменяя данную функцию суммой нескольких гармоник, т.е. частичной суммой (2n +1) члена ряда Фурье.

Тригонометрические ряды широко используют в электротехнике, с их помощью решают многие задачи математической физики.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2π, заданную на интервале (-π;π).

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:

Получили разложение функции в ряд Фурье

В точках непрерывности сумма ряда Фурье равна значению функции f(x)=S(x) , в точке х=0 S(x)=1/2 , в точках х=π,2π,… S(x)=1/2.

Решение Навье пригодно только для расчета пластинок, шарнирно опертых по контуру. Более общим является решение Леви . Оно позволяет выполнить расчет пластинки, шарнирно опертой по двум параллельным сторонам, с произвольными граничными условиями на каждой из двух других сторон.

В прямоугольной пластинке, изображенной на рис. 5.11, (a), шарнирно опертыми являются края, параллельные оси y . Граничные условия на этих краях имеют вид

Рис. 5.11

Очевидно, что каждый член бесконечного тригонометрического ряда

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; вторые частные производные функции прогибов

(5.45)

при x = 0 и x = a также равны нулю, поскольку содержат https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

Подстановка (5.46) в (5.18) дает

Умножая обе части полученного уравнения на , интегрируя в пределах от 0 до a и помня, что

,

получаем для определения функции Ym такое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

. (5.48)

Если для сокращения записи обозначить

уравнение (5.48) примет вид

. (5.50)

Общее решение неоднородного уравнения (5.50), как известно из курса дифференциальных уравнений, имеет вид

Ym (y ) = j m (y ) + Fm (y ), (5.51)

где j m (y ) – частное решение неоднородного уравнения (5.50); его вид зависит от правой части уравнения (5.50), т. е., фактически, от вида нагрузки q (x , y );

Fm (y ) = Am sh a m y + Bm ch a m y + y (Cm sh a m y + Dm ch a m y ), (5.52)

общее решение однородного уравнения

Четыре произвольные постоянные Am , В m , C m и Dm должны быть определены из четырех условий закрепления краев пластинки, параллельных оси , приложенная к пластинке постоянна q (x , y ) = q правая часть уравнения (5.50) приобретает вид

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)

Поскольку правая часть уравнения (5.55) постоянна, то постоянна и левая его часть; поэтому все производные j m (y ) равны нулю, и

, (5.56)

, (5.57)

где обозначено: .

Рассмотрим пластинку, защемленную вдоль краев, параллельных оси х (рис. 5.11, (в)).

Граничные условия по краям y = ± b /2

. (5.59)

Вследствие симметрии прогиба пластинки относительно оси О x , в общем решении (5.52) следует сохранить лишь члены, содержащие четные функции. Поскольку sha m y – функция нечетная, а сha m y – четная и, при принятом положении оси Ох , y sha m y – четно, в у cha m y – нечетно, то общий интеграл (5.51) в рассматриваемом случае можно представить так

. (5.60)

Поскольку в (5.44) не зависит от значения аргумента y , вторую пару граничных условий (5.58), (5.59) можно записать в виде:

Ym = 0, (5.61)

Y ¢ m = = 0. (5.62)

Y ¢ m = a m Bm sha m y + Cm sha m y + y Cm a m cha m y =

a m Bm sha m y + Cm (sha m y + y a m cha m y )

Из (5.60) – (5.63) следует

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

Домножив уравнение (5.64) на , а уравнение (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

Подстановка (5.66) в уравнение (5.64) позволяет получить Bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

При таком выражении функции Y m . , формула (5.44) для определения функции прогибов приобретает вид

(5.69)

Ряд (5.69) быстро сходится. Например, для квадратной пластинки в её центре, т. е. при x = a /2, y = 0

(5.70)

Удержав в (5.70) только один член ряда, т. е. приняв , получим величину прогиба, завышенную менее чем на 2,47%. Учтя, что p 5 = 306,02, найдем Вариация" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариационный метод В..Ритца – базируется на сформулированном в п. 2 вариационном принципе Лагран-жа.

Рассмотрим этот метод применительно к задаче изгиба пластинок. Представим изогнутую поверхность пластинки в виде ряда

, (5.71)

где fi (x , y ) непрерывные координатные функции, каждая из которых должна удовлетворять кинематическим граничным условиям; Ci – неизвестные параметры, определяемые из уравнения Лагранжа. Это уравнение

(5.72)

приводит к системе из n алгебраических уравнений относительно параметров Ci .

В общем случае энергия деформации пластинки состоит из изгибной U и мембранной Um частей

, (5.73)

, (5.74)

где Мх. , М y . , М xy – изгибные усилия; N х. , Ny . , Nxy – мембранные усилия. Соответствующая поперечным силам часть энергии невелика и ею можно пренебречь.

Если u , v и w – составляющие действительного перемещения, px . , py и pz – составляющие интенсивности поверхностной нагрузки, Р i – сосредоточенная сила, Di соответствующее ей линейное перемещение, М j – сосредоточенный момент, q j – соответствующий ему угол поворота (рис. 5.12) то потенциальную энергию внешних сил можно представить так:

Если края пластинки допускают перемещения, то краевые силы vn . , mn . , mnt (рис. 5.12, (а)) увеличивают потенциал внешних сил

Рис. 5.12

Здесь n и t – нормаль и касательная к элементу края ds .

В декартовых координатах, с учетом известных выражений для усилий и кривизн

, (5.78)

полная потенциальная энергия Э прямоугольной пластинки размером a ´ b , при действии только вертикальной нагрузки pz

(5.79)

В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку с отношением сторон 2a ´ 2b (рис. 5.13).

Пластинка защемлена по контуру и нагружена равномерной нагрузкой

pz = q = const . В этом случае выражение (5.79) для энергии Э упрощается

. (5.80)

Примем для w (x, y ) ряд

который удовлетворяет контурным условиям

Рис. 5.13

Удержим только первый член ряда

.

Тогда согласно (5.80)

.

Минимизируя энергию Э согласно (5..gif" width="273 height=57" height="57">.

.

Прогиб центра квадратной пластинки размером 2а ´ 2а

,

что на 2,5% больше точного решения 0,0202 qa 4/D . Отметим, что прогиб центра пластинки, опертой по четырем сторонам, в 3,22 раза больше.

Этот пример иллюстрирует достоинства метода: простоту и возможность получения хорошего результата. Пластинка может иметь различные очертания, переменную толщину. Затруднения в этом методе, как, впрочем, и в других энергетических методах, возникают при выборе подходящих координатных функций.

5.8. Метод ортогонализации

Метод ортогонализации, предложенный и, основан на следующем свойстве ортогональных функций j i . , j j

. (5.82)

Примером ортогональных функций на интервале (– p , p ) могут служить тригонометрические функции cos nx и sin nx для которых

Если одна из функций, например функция j i (x ) тождественно равна нулю, то условие (5.82) выполняется для произвольной функции j j (x ).

Для решения задачи об изгибе пластинки уравнение –

можно представить так

, (5.83)

где F – площадь, ограниченная контуром пластинки; j ij – функции, задаваемые так, чтобы они удовлетворяли кинематическим и силовым граничным условиям задачи.

Представим приближенное решение уравнения изгиба пластинки (5.18) в виде ряда

. (5.84)

Если бы решение (5.84) было точным, то уравнение (5.83) выполнялось бы тождественно для любой системы координатных функций j ij . , поскольку в этом случае D Ñ2Ñ2 wn – q = 0. Потребуем, чтобы уравнение D Ñ2Ñ2 wn – q было ортогональным к семейству функций j ij , и требование это используем для определения коэффициентов Cij . . Подставляя (5.84) в (5.83) получим

. (5.85)

После выполнения некоторых преобразований получим следующую систему алгебраических уравнений для определения C ij

, (5.86)

причем h ij = h ji .

Методу Бубнова-Галеркина можно дать следующее толкование. Функция D Ñ2Ñ2 wn – q = 0 является по сути дела уравнением равновесия и представляет собой проекцию внешних и внутренних сил, действующих на малый элемент пластинки в направлении вертикальной оси z . Функция прогибов wn есть перемещение в направлении той же оси, а функции j ij можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнение (5.83) приближенно выражает равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях j ij . . Таким образом метод Бубнова-Галеркина по сути своей является вариационным.

В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку, защемленную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой. Размеры пластинки и расположение координатных осей такие же, как на рис. 5.6.

Граничные условия

при x = 0, x = а : w = 0, ,

при y = 0, y = b : w = 0, .

Приближенное выражение для функции прогибов выберем в виде ряда (5.84) где функция j ij

удовлетворяет граничным условиям; Cij – искомые коэффициенты. Ограничившись одним членом ряда

получим следующее уравнение

После интегрирования

Откуда вычислим коэффициент С 11

,

который полностью соответствует коэффициенту С 11., полученному методом

В. Ритца – .

В первом приближении функция прогибов такова

.

Максимальный прогиб в центре квадратной пластинки размером а ´ а

.

5.9. Применение метода конечных разностей

Рассмотрим применение метода конечных разностей для прямоугольных пластинок со сложными контурными условиями. Разностный оператор – аналог дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки (5.18), для квадратной сетки, при Dx = Dy = D принимает вид (3.54)

20 wi , j + 8 (wi , j + 1 + wi , j – 1 + wi – 1, j + wi + 1, j ) + 2 (wi – 1, j – 1 + wi – 1, j + 1 +

Рис. 5.14

С учетом наличия трех осей симметрии нагружения и деформаций пластинки, можно ограничиться рассмотрением её восьмушки и определять величины прогибов только в узлах 1...10 (рис. 5.14, (б)). На рис. 5.14, (б) представлены сетка и нумерация узлов (D = а /4).

Поскольку края пластинки защемлены, то записав контурные условия (5.25), (5.26) в конечных разностях