Dies ist ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht. Das Polyeder heißt konvex, wenn es auf einer Seite der Ebene jedes der ebenen Polygone auf seiner Oberfläche liegt. Der gemeinsame Teil einer solchen Ebene und der Oberfläche eines konvexen Polygons heißt Rand.
Die folgende Abbildung zeigt links ein nicht konvexes Polyeder; im Bild rechts - konvex.

Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flache konvexe Polyeder. Die Seiten der Gesichter werden genannt Kanten des Polyeders und die Eckpunkte der Flächen sind Eckpunkte des Polyeders.

Prisma

Prisma wird als Polyeder bezeichnet, das aus zwei flachen Polygonen besteht, die in verschiedenen Ebenen liegen und durch Parallelverschiebung kombiniert werden, und allen Segmenten, die die entsprechenden Punkte dieser Polygone verbinden (siehe Abbildung). Polygone werden aufgerufen Prismenbasen und die Segmente, die die entsprechenden Eckpunkte verbinden, sind Seitenkanten des Prismas.

Bezeichnungen: .
Die Mantelfläche des Prismas besteht aus Parallelogrammen. Jeder von ihnen hat zwei Seiten, die den entsprechenden Seiten der Basis entsprechen, und die anderen beiden sind benachbarte Seitenrippen. Die Grundflächen des Prismas sind gleich und liegen in parallelen Ebenen. Die Seitenkanten des Prismas sind parallel und gleich. Prismenhöhe wird der Abstand zwischen den Ebenen seiner Basen genannt.
Ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Prismas verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören, wird aufgerufen Prismendiagonale. (Die Abbildung zeigt die Höhe und Diagonalen.)
Diagonale Abschnitte- Dies sind Abschnitte eines Prismas durch Ebenen, die durch zwei Seitenkanten verlaufen, die nicht zur selben Fläche gehören (siehe Bilder).

Das Prisma heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen. Ansonsten heißt das Prisma geneigt.
Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, die Höhe eines geraden Prismas entspricht der Seitenkante, die Diagonalabschnitte sind Rechtecke.
Seitenfläche eines Prismas ist die Summe der Flächen der Seitenflächen. Volle Prismenoberfläche gleich der Summe der Seitenfläche und der Flächen der Basen.
Satz 1. Die Seitenfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe, also der Länge der Seitenkante.
Senkrechter Abschnitt des Prismas Wir nennen den Schnitt eine Ebene senkrecht zur Seitenkante des Prismas (was bedeutet, dass diese Ebene senkrecht zu allen Seitenkanten des Prismas steht).
Satz 2. Die Seitenfläche eines geneigten Prismas ist gleich dem Produkt aus der Länge der Seitenkante und dem Umfang des senkrechten Abschnitts.
Die Abbildung zeigt einen senkrechten Schnitt.
S b = H ⋅ P Basic;
S n = S b + 2 S Basic
S b = l ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S Basic

Offensichtlich gilt dieser Satz auch für ein gerades Prisma, denn dann ist der senkrechte Schnitt ein Schnitt durch eine Ebene parallel zu den Ebenen der Grundflächen des Prismas.
Bitte beachten Sie: Wenn ein bestimmtes Polygon ein senkrechter Abschnitt eines Prismas ist, dann sind seine Innenwinkel die linearen Winkel der Diederwinkel zwischen den entsprechenden Seitenflächen.
Bei einem geraden Prisma sind die linearen Winkel der Diederwinkel zwischen den Seitenflächen direkt die Winkel der Grundfläche.
Beispiel
Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma.

- linearer Winkel des Diederwinkels zwischen den Flächen und .
Das Prisma heißt richtig, Wenn:
es basiert auf einem regelmäßigen Polygon;
Das Prisma ist gerade.

Parallelepiped

Ein Parallelepiped ist ein Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis.
Alle Flächen eines Parallelepipeds sind Parallelogramme.
Die Flächen eines Parallelepipeds, die keine gemeinsamen Eckpunkte haben, werden aufgerufen Gegenteil.
Satz 1. Die gegenüberliegenden Flächen des Parallelepipeds sind parallel und gerade.
Ein Parallelepiped bleibt in allen Fällen ein Parallelepiped, wenn wir eine seiner Flächen als Basis betrachten (siehe Abbildung).
Satz 2. Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Daraus folgt, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelepipeds sein Symmetriezentrum ist.
Bitte beachten Sie: Ein rechtwinkliges Parallelepiped hat vier Diagonalen, die paarweise einander gleich sind.
Auf dem Bild; .
Dies folgt aus den Eigenschaften geneigter, also - gleiche Senkrechte zur Ebene der Basis A B C D.

Gehen zwei Diagonalen eines Parallelepipeds aus benachbarten Eckpunkten hervor, so ist die größere diejenige, die in die Hauptdiagonale der Grundfläche hineinragt, also die Diagonale des Parallelogramms, die dem stumpfen Winkel gegenüberliegt. Betrachten wir daher in der obigen Abbildung den Winkel ABC dumm, wir kriegen es hin, .
Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist, heißt rechteckiges Parallelepiped(siehe Bild).

Alle Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds sind Rechtecke, die in drei gleiche Paare geteilt werden können. Als Basis kann eine beliebige Fläche eines rechteckigen Parallelepipeds betrachtet werden. Wenn man bedenkt, dass im parallelen Design ein beliebiges Parallelogramm durch ein beliebiges Parallelogramm dargestellt werden kann, unterscheidet sich das Bild eines rechteckigen Parallelepipeds in keiner Weise vom Bild eines beliebigen geraden Parallelepipeds.
Die Längen nichtparalleler Kanten werden aufgerufen lineare Abmessungen(Abmessungen) eines rechteckigen Parallelepipeds.
Satz 3. In einem rechteckigen Parallelepiped sind alle Diagonalen gleich. Das Quadrat einer Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate ihrer drei Dimensionen.
Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel.
Ein rechteckiges Parallelepiped besteht aus drei Paaren gleicher Diagonalabschnitte. Jeder dieser Abschnitte ist ein Rechteck (siehe Bilder).

Jedes Abschnittspaar schneidet sich entlang einer geraden Linie, die durch die Schnittpunkte der Diagonalen gegenüberliegender Flächen verläuft. Die Segmente zwischen diesen Punkten sind parallel und gleich einer der Kanten des rechteckigen Parallelepipeds.
Ein rechtwinkliges Dreieck, das aus der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds, der Diagonale der Seitenfläche und der Seite der Grundfläche gebildet wird (siehe Abbildung). Zum Beispiel, .

Ein rechteckiges Parallelepiped hat ein Symmetriezentrum – das ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen.
Es hat auch drei Symmetrieebenen, die parallel zu den Flächen durch das Symmetriezentrum verlaufen.
Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, heißt Würfel.
Die Ebene jedes diagonalen Abschnitts eines Würfels ist seine Symmetrieebene. Somit hat der Würfel neun Symmetrieebenen.
In der Abbildung betrachten wir die relative Position einiger Elemente eines Parallelepipeds:

- der Winkel zwischen der Diagonale der Seitenfläche und der Ebene der Grundfläche ( - senkrecht, - geneigt, CD- Projektion).
- der Winkel zwischen der Diagonale eines Parallelepipeds und der Ebene der Grundfläche ( - senkrecht, - geneigt, Wechselstrom- Projektion).
- Neigungswinkel der Diagonale zur Seitenfläche ( ANZEIGE- senkrecht, - schräg, - Projektion).
Sei ein rechtwinkliges Parallelepiped (siehe Abbildung), wo A B C D- Raute Zeichnen wir seinen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Diagonale der Basis verläuft BD und die Spitze.

Im Querschnitt erhalten wir ein gleichschenkliges Dreieck.
- linearer Winkel des Diederwinkels zwischen den Ebenen der Basis und des Abschnitts. entsprechend den Eigenschaften der Diagonalen einer Raute, - senkrecht, - schräg, CO- Projektion. Nach dem Satz der drei Senkrechten: .

Pyramide

Pyramide wird ein Polyeder genannt, das aus einem flachen Polygon besteht – der Basis der Pyramide, einem Punkt, der nicht in der Ebene der Basis liegt – der Spitze der Pyramide und allen Segmenten, die die Spitze der Pyramide mit den Punkten der Basis verbinden. Die Segmente, die die Spitze der Pyramide mit den Spitzen der Basis verbinden, werden genannt seitliche Rippen.
Pyramidenhöhe- eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis abgesenkt wird.
Die Pyramide heißt N-Kohle, wenn seine Basis ist N-gon. Dreieckspyramide wird auch Dreieckspyramide genannt Tetraeder. Seitenfläche der Pyramide- Dreieck. Einer seiner Scheitelpunkte ist die Spitze der Pyramide und die gegenüberliegende Seite ist die Seite der Basis der Pyramide.
Auf dem Bild ALSO- Höhe der Pyramide. Dann - Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis ( ALSO- aufrecht, SA- geneigt, OA- Projektion).

Von der Basis der Höhe der Pyramide (Punkt IN) Zeichnen Sie eine Senkrechte zur Seite der Basis (z. B. AE). Die Basis dieser Senkrechten (Punkt F) verbinden sich mit der Spitze der Pyramide (Punkt S). Nach dem Satz der drei Senkrechten: . ( ALSO- aufrecht, SP- geneigt, VON- Projektion, durch Konstruktion.) Daher, - linearer Winkel des Diederwinkels zwischen der Ebene der Seitenfläche ASE und die Ebene der Basis.
Um Pyramidenprobleme zu lösen, ist es sehr wichtig herauszufinden, wo sich die Basis ihrer Höhe befindet.
1. Wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
alle Seitenkanten der Pyramide sind gleich;
alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt;
alle Seitenrippen bilden mit der Höhe der Pyramide gleiche Winkel;
Alle Seitenkanten haben den gleichen Abstand von der Basis der Höhe. Dann ist die Basis der Höhe der Pyramide der Mittelpunkt des um die Basis der Pyramide umschriebenen Kreises.
Seitliche Rippe l, Höhe H und Radius R um die Basis des Kreises herum ein rechtwinkliges Dreieck bilden:

In diesem Fall kann die Seitenfläche durch die Formel wo ermittelt werden l- Länge der Seitenkante, , ... - flache Winkel an der Spitze.
2. Wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
alle Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt;
alle Seitenflächen haben die gleiche Höhe;
die Höhen der Seitenflächen bilden mit der Höhe der Pyramide gleiche Winkel;
die Seitenflächen den gleichen Abstand von der Basis der Höhe haben, dann liegt die Basis der Höhe in der Mitte des Kreises, der in die Basis der Pyramide eingeschrieben ist.
Auf dem Bild - rechteckig, - Radius des eingeschriebenen Kreises in ABCDEF;

- Höhe der Pyramide, SP- Höhe der Seitenfläche;
- linearer Winkel des Diederwinkels zwischen der Seitenfläche und der Grundebene;
UM- der Mittelpunkt eines in die Basis eingeschriebenen Kreises, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ABCDEF.
In diesem Fall .
3. Wenn die Seitenkante senkrecht zur Grundebene steht, entspricht diese Kante der Höhe der Pyramide (siehe Bilder).

In diesem Fall Und - Neigungswinkel der seitlichen Rippen SB Und SC bzw. zur Ebene der Basis. ist der lineare Winkel des Diederwinkels zwischen den Seitenflächen SACK. Und S.B.A..
4. Wenn die Seitenfläche senkrecht zur Ebene der Grundfläche steht (siehe Abbildung), dann ist die Höhe der Pyramide die Höhe dieser Fläche (gemäß dem Satz „Wenn eine gerade Linie in einer von zwei senkrechten Ebenen liegt senkrecht zur Schnittlinie, dann steht sie senkrecht zur zweiten Ebene“).
5. Stehen zwei Seitenflächen senkrecht zur Grundebene, dann ist die Höhe der Pyramide ihre gemeinsame Seitenkante.

Abstände von der Basis zur Höhe der Pyramide

Der Abstand von der Basis der Pyramidenhöhe bis zur Seitenkante ist eine Senkrechte, die von einem Punkt aus fällt UM an dieser Kante (siehe Bild). Bitte beachten Sie: , aber in der Abbildung sollte es nicht gerade sein: Winkel bleiben beim parallelen Design nicht erhalten.
VON- Abstand von der Basis der Höhe bis zur Seitenkante S.E.;
AN- Abstand von der Basis der Höhe bis zur Seitenkante A.S.B.(Siehe diesen Abstand weiter unten ausführlicher).

, wo ist der Winkel zwischen der Kante S.E. und die Ebene der Basis.

Abstand von der Basis der Höhe bis zur Seitenkante

Sei dann nach dem Satz der drei Senkrechten. Somit, AB senkrecht zur Ebene SOK. Also wenn, dann AN senkrecht zur Ebene A.S.B..
.
Die Pyramide heißt richtig, wenn seine Basis ein regelmäßiges Polygon ist und die Basis seiner Höhe mit der Mitte des Polygons übereinstimmt. Achse einer regelmäßigen Pyramide ist die Linie, die ihre Höhe enthält. Die Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich, die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der von der Spitze der Pyramide gezeichneten Seitenfläche wird aufgerufen Apothema. Es ist die Winkelhalbierende und der Mittelwert der Seitenfläche, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
Satz. Die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.
; ,
Wo R- Basisumfang, A- Basisseite, l- Länge des Apothems.
Regelmäßige dreieckige Pyramide
An der Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide liegt ein gleichseitiges Dreieck, das durch ein beliebiges Dreieck dargestellt wird (siehe Abbildung).

Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden, die sowohl Höhen als auch Mittelwerte sind. Im Paralleldesign werden Mediane als Mediane dargestellt. Daher konstruieren wir zwei Mediane der Basis. Der Punkt ihrer Kreuzung ist die Basis der Höhe der Pyramide. Wir stellen die Höhe dar und verbinden dann die Spitze der Pyramide mit den Spitzen der Basis. Wir bekommen die Seitenrippen.
In der Abbildung: - der Neigungswinkel der Seitenrippe zur Ebene der Basis (für alle Rippen gleich); - der Neigungswinkel der Seitenfläche zur Ebene der Basis (für alle Flächen gleich).
Lassen .
Dann ; ; ;
; ; .
Somit, .
; .
Axiale Schnittebene A.S.D. ist die Symmetrieebene einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide.
Diese Ebene steht senkrecht zur Ebene der Basis und zur Ebene der Kante BSC.
Es ist auch interessant festzustellen, dass die Kreuzungskanten der Pyramide ( S.A. Und B.C., SB Und A.C., SC. Und AB) sind senkrecht. Wenn, dann AN ist der Abstand von der Basis der Höhe nicht nur zum Anathema, sondern auch zur Seitenfläche BSC.
.
Regelmäßige viereckige Pyramide
An der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide liegt ein Quadrat, das als beliebiges Parallelogramm dargestellt wird. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Dieser Punkt ist die Basis der Höhe der Pyramide.
Lassen Sie die Seite des Quadrats A(siehe Bild).
Dann ;
;
;
;
.

Bitte beachten Sie: , , das heißt .
Paralleles Design bewahrt die Parallelität.
; .
Abstand von der Basis der Höhe bis zur Seitenkante:
; .

Regelmäßige sechseckige Pyramide
Die Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck (siehe Abbildung). Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Dieser Punkt ist die Basis der Höhe der Pyramide.
Dann ;
Sei die Seite eines regelmäßigen Sechsecks A.
;
;

.
; .

Pyramidenstumpf
Von einer Pyramide geschnitten wird ein Polyeder genannt, das bestehen bleibt, wenn eine Pyramide mit derselben Spitze von der Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene getrennt wird.
Satz. Eine Ebene, die parallel zur Basis einer Pyramide verläuft und diese schneidet, schneidet eine ähnliche Pyramide ab.
Bitte beachten Sie: Um eine geschnittene Pyramide korrekt darzustellen, müssen Sie mit einer Darstellung der ursprünglichen Vollpyramide beginnen (siehe Abbildung).

Die Grundflächen eines Pyramidenstumpfes sind gleichartige Polygone. Die Seitenflächen sind trapezförmig. - die Höhe des Pyramidenstumpfes, - die Höhe der Seitenfläche, - der Neigungswinkel der Seitenkante zur Ebene der Basis (beliebig), - der Neigungswinkel der Seitenfläche zur Ebene der Unterseite Base.
Korrekter Pyramidenstumpf- Dies ist ein Pyramidenstumpf, der einer regulären Pyramide entnommen wurde.
Seine Seitenrippen sind gleich und im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt. Seine Seitenflächen entsprechen dem horizontalen Trapez und sind im gleichen Winkel zur Ebene der unteren Basis geneigt. Die Höhen der Seitenflächen der Pyramide werden genannt Apotheme.
Die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundumfänge und des Apothems.
, Wo P n und P- Umfänge der entsprechenden Basen, l- Apothem.
Die Bilder zeigen Figuren, die bei der Lösung von Problemen rund um eine geschnittene Pyramide sehr hilfreich sein können.
;
.

;


- rechteckiges Trapez.
- die Höhe des Pyramidenstumpfes.
- Seitenkantenhöhe.

Für den Fall, dass der Pyramidenstumpf regelmäßig ist, sind es die Segmente OD und sind die Radien des umschriebenen Kreises, und VON und - die Radien des eingeschriebenen Kreises für die untere bzw. obere Basis.

Regelmäßige Polyeder

Ein konvexes Polyeder heißt richtig, wenn seine Flächen regelmäßige Polyeder mit der gleichen Anzahl von Seiten sind und an jedem Scheitelpunkt des Polyeders die gleiche Anzahl von Kanten zusammenfällt.
Es gibt fünf Arten regelmäßiger konvexer Polyeder: regelmäßiges Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder.
1. Ein regelmäßiges Tetraeder hat Flächen, die regelmäßige Dreiecke sind; Jeder Scheitelpunkt hat drei zusammenfallende Kanten. Ein Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, deren Kanten alle gleich sind.
2. Alle Flächen eines Würfels sind Quadrate; Jeder Scheitelpunkt hat drei zusammenfallende Kanten. Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Kanten.
3. Die Flächen von Oktaedern sind regelmäßige Dreiecke. Jeder seiner Eckpunkte hat vier zusammenfallende Kanten.
4. Die Flächen des Dodekaeders sind regelmäßige Fünfecke. An jedem seiner Eckpunkte fallen drei Kanten zusammen.
5. Die Flächen des Ikosaeders enthalten regelmäßige Dreiecke. An jedem seiner Eckpunkte fallen fünf Kanten zusammen.
Die Abbildungen zeigen Beispiele regelmäßiger Polyeder mit Namen.

Städtische Bildungseinrichtung

Gymnasium Nr. 26

Geometrie

Haupttypen von Polyedern und ihre Eigenschaften

Durchgeführt:

Schüler der 9.-1. Klasse

Baysakova Lyazzat

Lehrer:

Sysoeva Elena Alekseevna

Tscheljabinsk

Einführung

Bisher haben wir uns im Geometriekurs mit Planimetrie beschäftigt – wir haben die Eigenschaften flacher geometrischer Figuren untersucht, also Figuren, die vollständig in einer Ebene liegen. Doch die meisten Objekte um uns herum sind nicht völlig flach, sie befinden sich im Weltraum. Der Zweig der Geometrie, in dem die Eigenschaften von Figuren im Raum untersucht werden, heißt Stereometrie ( aus dem anderen Griechischen στερεός, „stereos“ – „fest, räumlich“ und μετρέω – „ich messe“).

Die Hauptfiguren im Weltraum sind Punkt , gerade Und Flugzeug. Neben diesen einfachsten Figuren werden in der Stereometrie auch geometrische Körper und deren Oberflächen betrachtet. Verwenden Sie beim Studium geometrischer Körper die Bilder in der Zeichnung.

Abbildung 1 Abbildung 2

Abbildung 1 zeigt eine Pyramide, Abbildung 2 zeigt einen Würfel. Diese geometrischen Körper heißen Polyeder. Schauen wir uns einige Arten und Eigenschaften von Polyedern an.

Vielfältige Oberfläche. Polyeder

Eine polyedrische Oberfläche ist eine Vereinigung einer endlichen Anzahl flacher Polygone, sodass jede Seite eines der Polygone gleichzeitig die Seite eines anderen (aber nur eines) Polygons ist, das als angrenzend an das erste Polygon bezeichnet wird.

Von jedem der Polygone, aus denen eine polyedrische Oberfläche besteht, können Sie jedes andere erreichen, indem Sie sich entlang benachbarter Polygone bewegen.

Die Polygone, aus denen eine polyedrische Oberfläche besteht, werden als Flächen bezeichnet. Die Seiten von Polygonen heißen Kanten und die Scheitelpunkte heißen Scheitelpunkte der Polyederoberfläche.

Abbildung 1 zeigt Vereinigungen von Polygonen, die die angegebenen Anforderungen erfüllen und polyedrische Flächen sind. Abbildung 2 zeigt Figuren, die keine polyedrischen Flächen sind.

Eine polyedrische Oberfläche teilt den Raum in zwei Teile – den inneren Bereich der polyedrischen Oberfläche und den äußeren Bereich. Von den beiden Regionen ist die äußere diejenige, in der es möglich ist, gerade Linien zu zeichnen, die vollständig zur Region gehören.

5 Die Vereinigung einer polyedrischen Oberfläche und ihres Innenbereichs wird als Polyeder bezeichnet. In diesem Fall werden die Polyederoberfläche und ihr Innenbereich als Oberfläche bzw. Innenbereich des Polyeders bezeichnet. Die Flächen, Kanten und Eckpunkte der Oberfläche eines Polyeders werden als Flächen, Kanten bzw. Eckpunkte des Polyeders bezeichnet.

Pyramide

Ein Polyeder, dessen eine Fläche ein beliebiges Polyeder ist und dessen übrige Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind, wird Pyramide genannt.

Das Polygon wird als Basis der Pyramide bezeichnet, und die übrigen Flächen (Dreiecke) werden als Seitenflächen der Pyramide bezeichnet.

Es gibt dreieckige, viereckige, fünfeckige usw. Pyramiden abhängig von der Art des Polygons, das an der Basis der Pyramide liegt.

Eine dreieckige Pyramide wird auch Tetraeder genannt. Abbildung 1 zeigt eine viereckige Pyramide SABCD mit einer Basis ABCD und den Seitenflächen SAB, SBC, SCD, SAD.

Die Seiten der Flächen der Pyramide werden Kanten der Pyramide genannt. Die zur Basis der Pyramide gehörenden Rippen werden Basisrippen genannt, alle anderen Rippen heißen Seitenrippen. Der gemeinsame Scheitelpunkt aller Dreiecke (Seitenflächen) wird Scheitelpunkt der Pyramide genannt (in Abb. 1 ist Punkt S der Scheitelpunkt der Pyramide, die Segmente SA, SB, SC, SD sind die Seitenkanten, die Segmente AB, BC, CD, AD sind die Kanten der Basis).

Die Höhe einer Pyramide ist ein senkrechtes Segment, das von der Spitze der Pyramide S zur Ebene der Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten). In Abb.1 SO - die Höhe der Pyramide.

Richtige Pyramide. Eine Pyramide heißt regelmäßig, wenn die Basis der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck ist und die orthogonale Projektion der Spitze auf die Ebene der Basis mit dem Mittelpunkt des Polygons zusammenfällt, der an der Basis der Pyramide liegt.

Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich; Alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke.

Die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, ausgehend von ihrer Spitze, wird als Apothem dieser Pyramide bezeichnet. In Abb. 2 ist SN ein Apothem. Alle Apotheme einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich.

Prisma

Ein Polyeder, dessen zwei Flächen gleich sind N-Ecke, die in parallelen Ebenen liegen, und der Rest N Gesichter sind Parallelogramme, genannt N- Kohlenstoffprisma.

Polyeder Pyramide Prisma Parallelepiped

Paar gleich N-Ecke werden die Basen eines Prismas genannt. Die übrigen Flächen des Prismas werden als Seitenflächen bezeichnet, und ihre Kombination wird als Seitenfläche des Prismas bezeichnet. Abbildung 1 zeigt ein fünfeckiges Prisma.

Die Seiten der Flächen des Prismas werden Rippen genannt, und die Enden der Rippen werden Eckpunkte des Prismas genannt. Die Rippen, die nicht zur Basis des Prismas gehören, werden Seitenrippen genannt.

Ein Prisma, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächenebenen stehen, wird als gerades Prisma bezeichnet. Ansonsten heißt das Prisma schräg.

Ein Segment senkrecht zu den Ebenen der Prismenbasis, dessen Enden zu diesen Ebenen gehören, wird als Höhe des Prismas bezeichnet.

Ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, wird regelmäßiges Prisma genannt.

Parallelepiped

Ein Parallelepiped ist ein Sechseck, dessen gegenüberliegende Flächen paarweise parallel sind. Parallelepiped hat 8 Eckpunkte, 12 Kanten; seine Flächen sind paarweise gleiche Parallelogramme.

Parallelepiped heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Basis stehen (in diesem Fall sind 4 Seitenflächen Rechtecke); rechteckig, wenn dies Parallelepiped gerade und die Basis ist ein Rechteck (daher sind 6 Flächen Rechtecke);

Parallelepiped, dessen Flächen alle Quadrate sind, wird als Würfel bezeichnet.

Volumen Parallelepiped gleich dem Produkt aus der Fläche seiner Grundfläche und seiner Höhe.

Körpervolumen

Jedes Polyeder hat ein Volumen, das mit der gewählten Volumeneinheit gemessen werden kann. Die Maßeinheit für das Volumen ist ein Würfel, dessen Kante der Maßeinheit für Segmente entspricht. Man nennt einen Würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm Kubikzentimeter. Ähnlich definiert Kubikmeter Und Kubikmillimeter, usw.

Bei der Messung von Volumina mit der gewählten Maßeinheit wird das Volumen eines Körpers als positive Zahl ausgedrückt, die angibt, wie viele Maßeinheiten von Volumina und seinen Teilen in diesen Körper passen. Die Zahl, die das Volumen eines Körpers angibt, hängt von der Wahl der Volumenmesseinheit ab. Deshalb wird hinter dieser Zahl die Volumeneinheit angegeben.

Grundlegende Eigenschaften von Volumes:

1. Gleiche Körper haben gleiche Volumina.

2. Besteht ein Körper aus mehreren Körpern, so ist sein Volumen gleich der Summe der Volumina dieser Körper.

Um das Volumen von Körpern zu ermitteln, ist es in manchen Fällen zweckmäßig, den genannten Satz zu verwenden Cavalieri-Prinzip .

Das Cavalieri-Prinzip lautet wie folgt: Wenn sich zwei Körper mit einer Ebene parallel zu einer gegebenen Ebene schneiden, erhält man Abschnitte gleicher Fläche, dann sind die Volumina der Körper einander gleich.

Abschluss

Polyeder werden also von einem Zweig der Geometrie untersucht, der Stereometrie genannt wird. Polyeder gibt es in verschiedenen Formen (Pyramide, Prisma usw.) und haben unterschiedliche Eigenschaften. Außerdem ist zu beachten, dass Polyeder im Gegensatz zu flachen Figuren Volumen haben und sich im Raum befinden.

Die meisten Objekte um uns herum befinden sich im Raum, und das Studium der Polyeder hilft uns, uns aus geometrischer Sicht ein Bild von der Realität um uns herum zu machen.

Literaturverzeichnis

1. Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-9.

3. Wikipedia

Polyeder- ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl von Polygonen besteht, die Polyederflächen genannt werden. Die Seiten und Scheitelpunkte dieser Polyeder werden als Kanten bzw. Scheitelpunkte des Polyeders bezeichnet. Basierend auf der Anzahl der Flächen werden 4-Hedra, 5-Hedra usw. unterschieden. Ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören, wird Diagonale eines Polyeders genannt.

Die Geschichte der Entdeckung des Polyeders reicht bis in die Antike zurück. Die ersten Erwähnungen von Polyedern sind dreitausend Jahre vor Christus in Ägypten und Babylon bekannt.

Ein Polyeder ist eine räumliche Figur (räumlicher Körper). Visuell muss man sich einen Körper als Teil eines Raumes vorstellen, der von einem physischen Körper eingenommen und durch eine Fläche begrenzt wird. Polyeder werden im Abschnitt über Stereometrie untersucht. Ein Zweig der Geometrie, der die Position, Form, Größe und Eigenschaften räumlicher Figuren untersucht. Das Wort „Stereometrie“ kommt von den griechischen Wörtern „στερεοσ“ – volumetrisch, räumlich und „μετρεο“ – messen.

Beispiele für Polyeder sind:

Würfel- ein Polyeder, dessen Oberfläche aus sechs Quadraten besteht. Ein Würfel (regelmäßiges Hexaeder) hat alle Flächen - Quadrate; An jedem Scheitelpunkt laufen drei Kanten zusammen. Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Kanten. Ein Sonderfall eines Parallelepipeds und eines Prismas. Der Würfel hat 12 Kanten, 6 Flächen, 8 Eckpunkte.

Parallelepiped- ein Polyeder, dessen Oberfläche aus sechs Parallelogrammen besteht. Die Flächen eines Parallelepipeds, die keine gemeinsamen Eckpunkte haben, werden als entgegengesetzt bezeichnet. Die gegenüberliegenden Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich. Die Diagonale eines Parallelepipeds ist, wie ein Polyeder im Allgemeinen, ein Segment, das die Eckpunkte eines Parallelepipeds verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen.

Rechteckiges Parallelepiped- ein Parallelepiped, dessen Flächen Rechtecke sind. Die Längen der Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds, die sich von einem Scheitelpunkt erstrecken, werden seine Abmessungen oder linearen Abmessungen genannt. Ein rechteckiges Parallelepiped hat drei Dimensionen.

Rechter Parallelepiped ist ein Parallelepiped mit 4 rechteckigen Seitenflächen.

Geneigtes Parallelepiped ist ein Parallelepiped, dessen Seitenflächen nicht senkrecht zu den Grundflächen stehen.

Prisma- ein Polyeder, dessen Oberfläche aus zwei gleichen Polygonen besteht, die als Basen des Prismas bezeichnet werden, und Parallelogrammen, die mit jeder der Basen gemeinsame Seiten haben. Die Polygone werden als Basen des Prismas bezeichnet, und die Segmente, die ihre entsprechenden Eckpunkte verbinden sind die Seitenkanten des Prismas. Die Grundflächen des Prismas sind gleich und liegen in parallelen Ebenen. Die Seitenkanten des Prismas sind gleich und parallel. Die Oberfläche eines Prismas besteht aus zwei Grundflächen und einer Seitenfläche. Die Seitenfläche eines jeden Prismas besteht aus Parallelogrammen, von denen jedes zwei Seiten hat, die den entsprechenden Seiten der Grundflächen entsprechen, und die anderen beiden angrenzende Seitenkanten sind. Die Höhe eines Prismas ist eine der Senkrechten, die von einem Punkt einer Basis zur Ebene der anderen Basis des Prismas gezogen werden.

Gerades Prisma- heißt, wenn seine Kanten senkrecht zu den Ebenen der Basen stehen. Andernfalls heißt das Prisma geneigt. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Die Seitenkante eines geraden Prismas ist seine Höhe.

Richtiges Prisma- ein gerades Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Vielecke sind.

Pyramide- ein Polyeder, dessen Oberfläche aus einem Polygon, der Basis der Pyramide, und Dreiecken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt besteht. Die Segmente, die die Spitze der Pyramide mit den Spitzen der Basis verbinden, werden Seitenkanten genannt. Die Oberfläche der Pyramide besteht aus einer Basis und Seitenflächen. Jede Seitenfläche ist ein Dreieck. Einer seiner Scheitelpunkte ist die Spitze der Pyramide und die gegenüberliegende Seite ist die Seite der Basis der Pyramide. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Grundfläche gezogen wird. Eine Pyramide heißt n-eckig, wenn ihre Grundfläche ein n-Eck ist. Eine dreieckige Pyramide wird auch Tetraeder genannt.

Richtige Pyramide- eine Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck an der Basis und deren Seitenkanten gleich sind. Die Achse einer regelmäßigen Pyramide ist eine gerade Linie, die ihre Höhe enthält. Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gemessen von der Spitze bis zur Seite der Basis, wird als Apothem bezeichnet.

Platons Körper- Ein Polyeder, dessen Flächen alle regelmäßige und gleiche Vielecke sind, wird als regulär bezeichnet. Die Winkel an den Eckpunkten eines solchen Polyeders sind einander gleich.

Es gibt fünf Arten regelmäßiger Polyeder. Diese Polyeder und ihre Eigenschaften wurden vor mehr als zweitausend Jahren vom antiken griechischen Philosophen Platon beschrieben, was ihren gebräuchlichen Namen erklärt.

Jedes reguläre Polyeder entspricht einem anderen regulären Polyeder, wobei die Anzahl der Flächen gleich der Anzahl der Eckpunkte des gegebenen Polyeders ist. Beide Polyeder haben die gleiche Anzahl an Kanten. Diese beinhalten:

Tetraeder (Feuer)- regelmäßiges Tetraeder. Es wird von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt (das ist eine regelmäßige dreieckige Pyramide). Ein Tetraeder hat 4 Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten.

Ein regelmäßiger Tetraeder hat Flächen, die regelmäßige Dreiecke sind; An jedem Scheitelpunkt laufen drei Kanten zusammen. Ein regelmäßiger Tetraeder ist einer der fünf regelmäßigen Polyeder.

Oktaeder (Luft)- regelmäßiges Oktaeder. Es besteht aus acht gleichseitigen und gleichen Dreiecken, die an jeder Ecke durch vier verbunden sind. Die Flächen des Oktaeders sind regelmäßige Dreiecke, aber im Gegensatz zum Tetraeder laufen an jeder Ecke vier Kanten zusammen. Das regelmäßige Oktaeder ist dual zum Würfel. Es handelt sich um eine vollständige Verkürzung des Tetraeders. Ein regelmäßiges Oktaeder ist eine quadratische Doppelpyramide in jeder der drei orthogonalen Richtungen. Es stellt auch ein dreieckiges Antiprisma in jeder der vier Richtungen dar. Ein Oktaeder ist eine dreidimensionale Variante des allgemeineren Konzepts eines Hyperoktaeders.

Hexaeder (Erde)- regelmäßiges Sechseck. Es ist ein Würfel, der aus sechs gleichen Quadraten besteht.

Dodekaeder- regelmäßiges Dodekaeder, besteht aus zwölf regelmäßigen und gleichen Fünfecken, die durch drei in der Nähe jedes Scheitelpunkts verbunden sind. Das Dodekaeder hat 12 Flächen (fünfeckig), 30 Kanten und 20 Eckpunkte (jeweils 3 Kanten laufen zusammen).

Ikosaeder (Wasser)- besteht aus 20 gleichseitigen und gleichen Dreiecken, die durch fünf in der Nähe jedes Scheitelpunkts verbunden sind. Die Anzahl der Kanten beträgt 30, die Anzahl der Eckpunkte beträgt 12. Das Ikosaeder hat 59 Sternbilder.

Polyeder können konvex oder nicht konvex sein. Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen befindet. Das Tetraeder, das Parallelepiped und das Oktaeder sind konvexe Polyeder. Es ist klar, dass alle Flächen eines konvexen Polyeders konvexe Polyeder sind. Es lässt sich leicht beweisen, dass in einem konvexen Polyeder die Summe aller Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt weniger als 360° beträgt.

Für ein konvexes Polyeder gilt der Satz von Euler B + G − P = 2, wobei B die Anzahl der Eckpunkte des Polyeders, G die Anzahl der Flächen und P die Anzahl der Kanten ist.

Ein konvexes Polyeder, dessen Eckpunkte alle in zwei parallelen Ebenen liegen, wird Prismatoid genannt. Prisma, Pyramide und Pyramidenstumpf sind Sonderfälle von Prismatoiden. Alle Seitenflächen eines Prismatoids sind Dreiecke oder Vierecke, und die viereckigen Flächen sind Trapeze oder Parallelogramme.

Das Polyeder wird auch in regelmäßig und unregelmäßig unterteilt. Ein Polyeder heißt regulär, wenn seine Flächen regelmäßige Polyeder sind (d. h. Polyeder mit gleichen Seiten und Winkeln) und alle Polyederwinkel an den Ecken gleich sind. Regelmäßige Polyeder sind seit der Antike bekannt. Regelmäßige Polyeder wurden größtenteils von den alten Griechen untersucht. Euklid gab im letzten Buch der Elemente, dem XIII. Buch, eine vollständige mathematische Beschreibung regelmäßiger Polyeder. Es gibt auch semireguläre Polyeder- Im Allgemeinen handelt es sich um verschiedene konvexe Polyeder, die zwar nicht regelmäßig sind, aber einige ihrer Merkmale aufweisen, zum Beispiel: Alle Flächen sind gleich oder alle Flächen sind regelmäßige Vielecke oder es gibt bestimmte räumliche Symmetrien. Die Definition kann variieren und verschiedene Arten von Polyedern umfassen, umfasst jedoch in erster Linie archimedische Körper.

Sternpolyeder ( Ein Sternkörper ist ein nicht konvexes Polyeder, dessen Flächen sich schneiden. Wie bei nicht sternförmigen Polyedern sind Flächen paarweise an Kanten verbunden (in diesem Fall werden interne Schnittlinien nicht als Kanten betrachtet). Die Sternform eines Polyeders ist ein Polyeder, das dadurch entsteht, dass die Flächen eines gegebenen Polyeders durch Kanten bis zu ihren Kanten verlängert werden nächster Schnittpunkt mit anderen Flächen entlang neuer Kanten.

Regelmäßige Sternpolyeder sind Sternpolyeder, deren Flächen identische (kongruente) regelmäßige oder Sternpolyeder sind. Im Gegensatz zu den fünf klassischen regulären Polyedern (platonischen Körpern) sind diese Polyeder keine konvexen Körper.

Im Jahr 1811 stellte Augustin Lou Cauchy fest, dass es nur vier reguläre Sternkörper gibt (sie werden Kepler-Poinsot-Körper genannt), die keine Verbindungen aus platonischen und sternförmigen Körpern sind. Dazu gehören das kleine Sterndodekaeder und das große Sterndodekaeder, die 1619 von Johannes Kepler entdeckt wurden, sowie das große Dodekaeder und das große Ikosaeder, die 1809 von Louis Poinsot entdeckt wurden. Die verbleibenden regelmäßigen Sternpolyeder sind entweder Verbindungen der platonischen Körper oder Verbindungen der Kepler-Poinsot-Körper.

Halbregelmäßige Sternpolyeder sind sternförmige Polyeder, deren Flächen regelmäßige oder sternförmige Polyeder sind, die jedoch nicht unbedingt identisch sind. In diesem Fall muss die Struktur aller Knoten gleich sein (Gleichmäßigkeitsbedingung). G. Coxeter, M. Longuet-Higgins und J. Miller listeten 1954 53 solcher Körperschaften auf und stellten eine Hypothese über die Vollständigkeit ihrer Liste auf. Erst viel später, im Jahr 1969, gelang es Sopov S.P. zu beweisen, dass die von ihnen vorgelegte Liste der Polyeder wirklich vollständig ist.

Viele Formen sternförmiger Polyeder werden von der Natur selbst vorgeschlagen. Schneeflocken sind beispielsweise ebene Projektionen von Sternpolyedern. Einige Moleküle haben regelmäßige Strukturen aus dreidimensionalen Figuren.

Eigenschaften von Polyedern:

Eigenschaft 1. In einem konvexen Polyeder sind alle Flächen konvexe Polyeder.

Eigenschaft 2. Ein konvexes Polyeder kann aus Pyramiden mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt bestehen, deren Basen die Oberfläche des Polyeders bilden.

Eigenschaft 3. Ein konvexes Polyeder liegt auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen.

Eigenschaft 4. In jedem konvexen Polyeder gibt es eine Fläche mit einer Kantenanzahl kleiner oder gleich fünf.

Nicht alle der aufgeführten Polyedertypen werden in der Grundschule untersucht und angewendet. Am häufigsten lernen Schüler im Mathematikunterricht Würfel, Vielecke, Pyramiden, Zylinder und Parallelepipede kennen. Ein Beispiel für Lehrbuchautoren ist A.I. Istomina. 3. Klasse, Dorofeev G.V., Mirakova T.N., Buka T.B. 3. Klasse, Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P. 3. Klasse; Sie fangen auf die gleiche Weise an, sie lernen sich in der 2. Klasse kennen, dies ist ein Beispiel für Lehrbücher von Dorofeev G.V., Mirakova T.N. 2. Klasse.

Daher haben wir die Konzepte eines Polyeders und seiner Eigenschaften untersucht. Listet die Arten von Polyedern auf. Wir erfuhren etwas über die Geschichte der Entdeckung des Polyeders. Es wurde festgestellt, dass Polyeder in der Natur und für den Menschen von großer Bedeutung sind. So werden beispielsweise Polyeder im Bauwesen verwendet.

Trieder- und Polyederwinkel:
Ein Dreieckswinkel ist eine Form
besteht aus drei Ebenen, die von drei ausgehenden Strahlen begrenzt werden
einen Punkt und nicht in einem liegen
Flugzeug.
Betrachten Sie etwas Flaches
Polygon und ein Punkt außerhalb
die Ebene dieses Polygons.
Lassen Sie uns von diesem Punkt aus Strahlen zeichnen,
durch die Gipfel gehen
Polygon. Wir besorgen eine Figur
was man als vielfältig bezeichnet
Winkel.

Ein Dreieckswinkel ist ein Teil des Raumes
begrenzt durch drei flache Ecken mit einem gemeinsamen
Spitze
Und
in Paaren
allgemein
Parteien,
Nicht
in derselben Ebene liegen. Gemeinsam oben Über diese
Ecken
angerufen
Spitze
dreieckig
Ecke.
Die Seiten von Ecken werden Kanten, flache Ecken genannt
am Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels heißt es
Kanten. Jedes der drei Flächenpaare eines Dreieckswinkels
bildet einen Diederwinkel

Grundlegende Eigenschaften eines Dreieckswinkels
1. Jeder Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist kleiner als die Summe
seine anderen beiden Ebenenwinkel.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - flache Winkel,
A, B, C – durch Ebenen gebildete Diederwinkel
Winkel β und γ, α und γ, α und β.
2. Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels ist kleiner
360 Grad
3. Erster Kosinussatz
für einen Dreieckswinkel
4. Zweiter Kosinussatz für Dreieckswinkel

,
5. Sinussatz
Ein polyedrischer Winkel, dessen Innenfläche
befindet sich jeweils auf einer Seite der Ebene
seiner Flächen nennt man ein konvexes Polyeder
Winkel. Ansonsten Polyederwinkel
heißt nichtkonvex.

Ein Polyeder ist ein Körper, eine Oberfläche
die aus einer endlichen Zahl besteht
flache Polygone.

Polyederelemente
Die Flächen eines Polyeders sind
Polygone, die
bilden.
Die Kanten eines Polyeders sind die Seiten
Polygone.
Die Eckpunkte des Polyeders sind
Eckpunkte des Polygons.
Die Diagonale eines Polyeders ist
Liniensegment, das zwei Eckpunkte verbindet
nicht zum selben Gesicht gehören.

Polyeder
konvex
nicht konvex

Ein Polyeder heißt konvex
wenn es auf einer Seite liegt
Ebene jedes Polygons auf seiner
Oberflächen.

KONVEX POLYHEDALE WINKEL

Ein Polyederwinkel heißt konvex, wenn er konvex ist
Figur, d. h. zusammen mit zwei beliebigen ihrer Punkte enthält sie vollständig und
das sie verbindende Segment.
Die Abbildung zeigt Beispiele
konvex
Und
nicht konvex
polyedrische Winkel.
Satz. Die Summe aller Ebenenwinkel eines konvexen Polyederwinkels beträgt weniger als 360°.

KONVEX POLYHEDE

Ein Polyederwinkel heißt konvex, wenn es sich um eine konvexe Figur handelt,
d.h. zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte enthält es vollständig das Verbindende
ihr Segment.
Würfel, Parallelepiped, dreieckiges Prisma und Pyramide sind konvex
Polyeder.
Die Abbildung zeigt Beispiele einer konvexen und nicht konvexen Pyramide.

EIGENTUM 1

Eigenschaft 1. In einem konvexen Polyeder sind alle Flächen
konvexe Polygone.
Sei F tatsächlich eine Fläche des Polyeders
M und die Punkte A, B gehören zur Fläche F. Aus der Konvexitätsbedingung
Polyeder M, daraus folgt, dass das Segment AB vollständig enthalten ist
im Polyeder M. Da dieses Segment in der Ebene liegt
Polygon F, es wird vollständig darin enthalten sein
Polygon, d. h. F ist ein konvexes Polygon.

EIGENTUM 2

Eigenschaft 2. Jedes konvexe Polyeder kann zusammengesetzt werden aus
Pyramiden mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, deren Grundflächen eine Fläche bilden
Polyeder.
Es sei tatsächlich M ein konvexes Polyeder. Nehmen wir etwas
ein innerer Punkt S des Polyeders M, d. h. ein Punkt davon, der es nicht ist
gehört zu keiner Fläche des Polyeders M. Wir verbinden den Punkt S mit
Eckpunkte des Polyeders M als Segmente. Beachten Sie, dass aufgrund der Konvexität
Polyeder M, alle diese Segmente sind in M ​​enthalten. Betrachten Sie Pyramiden mit
Scheitelpunkt S, dessen Basen die Flächen des Polyeders M sind. Diese
Pyramiden sind vollständig in M ​​enthalten und bilden zusammen das Polyeder M.

Regelmäßige Polyeder

Wenn die Flächen des Polyeders sind
regelmäßige Vielecke mit einem und
die gleiche Anzahl von Seiten und an jedem Scheitelpunkt
Polyeder konvergiert mit der gleichen Zahl
Kanten, dann ein konvexes Polyeder
richtig genannt.

Namen von Polyedern

stammte aus dem antiken Griechenland,
sie geben die Anzahl der Gesichter an:
„Eeder“-Gesicht;
„Tetra“ 4;
„Hexa“ 6;
„okta“ 8;
„ikos“ 20;
„dodeka“ 12.

Regelmäßiges Tetraeder

Reis. 1
Bestehend aus vier
gleichseitig
Dreiecke. Jede
seine Spitze ist
die Spitze von drei
Dreiecke.
Daher die Summe
flache Ecken an
Jeder Scheitelpunkt ist gleich
180º.

Regelmäßiges Oktaeder
Reis. 2
Bestehend aus acht
gleichseitig
Dreiecke. Jede
Scheitelpunkt des Oktaeders
ist die Spitze
vier Dreiecke.
Daher die Summe
flache Ecken an
jeder Scheitelpunkt 240º.

Regelmäßiges Ikosaeder
Reis. 3
Bestehend aus zwanzig
gleichseitig
Dreiecke. Jede
Ikosaeder-Scheitelpunkt
ist die Top 5
Dreiecke.
Daher die Summe
flache Ecken an
Jeder Scheitelpunkt ist gleich
300º.

Würfel (Hexaeder)

Reis.
4
Bestehend aus sechs
Quadrate. Jede
der Scheitelpunkt des Würfels ist
die Spitze von drei Quadraten.
Daher die Summe
flache Winkel für jeden
der Scheitelpunkt beträgt 270º.

Regelmäßiges Dodekaeder
Reis. 5
Bestehend aus zwölf
richtig
Fünfecke. Jede
Scheitelpunkt des Dodekaeders
ist die Spitze von drei
richtig
Fünfecke.
Daher die Summe
flache Ecken an
Jeder Scheitelpunkt ist gleich
324º.

Tabelle Nr. 1
Richtig
Polyeder
Nummer
Gesichter
Gipfel
Rippen
Tetraeder
4
4
6
Würfel
6
8
12
Oktaeder
8
6
12
Dodekaeder
12
20
30
Ikosaeder
20
12
30

Eulers Formel
Die Summe der Anzahl der Flächen und Scheitelpunkte von jedem
Polyeder
gleich der Anzahl der Kanten erhöht um 2.
G+V=P+2
Anzahl der Flächen plus Anzahl der Scheitelpunkte minus Anzahl
Rippen
in jedem Polyeder gleich 2.
G+V P=2

Tabelle Nr. 2
Nummer
Richtig
Polyeder
Tetraeder
Kanten und
Gipfel
(G + V)
Rippen
(R)
4+4=8
6
„Tetra“ 4;
Würfel
6 + 8 = 14
12
„Hexa“
6;
Oktaeder
8 + 6 = 14
12
„okta“
Dodekaeder
12 + 20 = 32
30
Dodeka"
12.
30
„Ikosa“
20
Ikosaeder
20 + 12 = 32
8

Dualität regelmäßiger Polyeder

Hexaeder (Würfel) und Oktaederform
duales Polyederpaar. Nummer
Flächen eines Polyeders ist gleich der Anzahl
Eckpunkte des anderen und umgekehrt.

Nehmen Sie einen beliebigen Würfel und betrachten Sie ein Polyeder mit
Eckpunkte in den Mittelpunkten seiner Flächen. Wie einfach es ist
Stellen Sie sicher, dass wir ein Oktaeder erhalten.

Die Mittelpunkte der Oktaederflächen dienen als Eckpunkte des Würfels.

Polyeder in Natur, Chemie und Biologie
Die Kristalle einiger uns bekannter Stoffe haben die Form regelmäßiger Polyeder.
Kristall
Pyrit-
natürlich
Modell
Dodekaeder.
Kristalle
Kochen
Salze werden weitergegeben
Würfelform
Einkristall
Antimon
Kristall
Aluminiumsulfat
(Prisma)
Kaliumalaun-Natrium - Tetraeder.
hat die Form
Oktaeder.
In einem Molekül
Methan hat
bilden
richtig
Tetraeder.
Das Ikosaeder ist in den Mittelpunkt der Aufmerksamkeit der Biologen bei ihren Streitigkeiten über die Form gerückt
Viren. Das Virus kann nicht, wie bisher angenommen, perfekt rund sein. Zu
Um seine Form zu bestimmen, nahmen sie verschiedene Polyeder und richteten Licht auf sie
im gleichen Winkel wie der Atomfluss auf das Virus. Es stellte sich heraus, dass nur einer
das Polyeder gibt genau den gleichen Schatten – das Ikosaeder.
Bei der Eiteilung entsteht zunächst ein Tetraeder aus vier Zellen
Oktaeder, Würfel und schließlich die dodekaedrisch-ikosaedrische Struktur der Gastrula. Und endlich,
Das vielleicht Wichtigste – die DNA-Struktur – stellt den genetischen Code des Lebens dar
ist eine vierdimensionale Entwicklung (entlang der Zeitachse) eines rotierenden Dodekaeders!

Polyeder in der Kunst
„Porträt von Monna Lisa“
Die Komposition der Zeichnung basiert auf Gold
Dreiecke, die Teile sind
regelmäßiges Sternfünfeck.
Gravur „Melancholie“
Im Vordergrund des Bildes
Dargestellt ist ein Dodekaeder.
"Das letzte Abendmahl"
Dargestellt ist Christus mit seinen Jüngern
Hintergrund eines riesigen transparenten Dodekaeders.

Polyeder in der Architektur
Obstmuseen
Obstmuseen in Yamanashi wurden mit Hilfe von erstellt
dreidimensionale Modellierung.
Pyramiden
Leuchtturm von Alexandria
Spasskaja-Turm
Kreml.
Vierstöckiger Spasskaja-Turm mit der Erlöserkirche
Nicht von Hand gemacht – der Haupteingang zum Kasaner Kreml.
Erbaut im 16. Jahrhundert vom Pskower Architekten Ivan
Shiryaem und Postnik Yakovlev, Spitzname
„Barma“. Die vier Ebenen des Turms sind
Würfel, Polyeder und Pyramide.