Eine Wissenschaft, deren integraler Bestandteil die Arithmetik ist. Was ist Arithmetik und wie unterscheidet sie sich von der Mathematik? Grundobjekt der Arithmetik

Unsere Bekanntschaft mit der Mathematik beginnt mit der Arithmetik, der Wissenschaft der Zahlen. Eines der ersten russischen Arithmetiklehrbücher, geschrieben von L. F. Magnitsky im Jahr 1703, begann mit den Worten: „Arithmetik oder der Zähler ist eine ehrliche, wenig beneidenswerte Kunst und für jedermann bequem verständlich, äußerst nützlich und viel gelobt, seit der Antike.“ und die neuesten, die zu verschiedenen Zeiten lebten, wurden von den schönsten Arithmetikern erfunden und dargelegt.“ Mit der Arithmetik betreten wir, wie M. V. Lomonosov sagte, die „Pforten des Lernens“ und beginnen unseren langen und schwierigen, aber faszinierenden Weg, die Welt zu verstehen.

Das Wort „Arithmetik“ kommt vom griechischen arithmos, was „Zahl“ bedeutet. Diese Wissenschaft untersucht Operationen mit Zahlen, verschiedene Regeln für deren Handhabung und lehrt, wie man Probleme löst, die auf Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Zahlen hinauslaufen. Arithmetik wird oft als eine Art erste Stufe der Mathematik vorgestellt, auf deren Grundlage man ihre komplexeren Abschnitte studieren kann – Algebra, mathematische Analyse usw. Sogar ganze Zahlen – das Hauptobjekt der Arithmetik – werden, wenn ihre allgemeinen Eigenschaften und Muster betrachtet werden, der höheren Arithmetik oder Zahlentheorie zugeordnet. Diese Sichtweise der Arithmetik hat natürlich ihre Berechtigung – sie bleibt tatsächlich das „Alphabet des Zählens“, aber das Alphabet ist „am nützlichsten“ und „leicht zu verstehen“.

Arithmetik und Geometrie sind langjährige Begleiter des Menschen. Diese Wissenschaften entstanden, als die Notwendigkeit entstand, Gegenstände zu zählen, Grundstücke zu vermessen, Beute aufzuteilen und die Zeit im Auge zu behalten.

Die Arithmetik hat ihren Ursprung in den Ländern des Alten Ostens: Babylon, China, Indien, Ägypten. Beispielsweise stammt der ägyptische Rind-Papyrus (benannt nach seinem Besitzer G. Rind) aus dem 20. Jahrhundert. Chr. Es enthält unter anderem Zerlegungen eines Bruchs in eine Summe von Brüchen mit einem Zähler gleich eins, zum Beispiel:

Die in den Ländern des Alten Ostens angesammelten Schätze mathematischen Wissens wurden von den Wissenschaftlern des antiken Griechenlands weiterentwickelt und weitergeführt. Die Geschichte hat viele Namen von Wissenschaftlern bewahrt, die sich in der Antike mit Arithmetik beschäftigten – Anaxagoras und Zeno, Euklid (siehe Euklid und seine Elemente), Archimedes, Eratosthenes und Diophantus. Der Name Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) funkelt hier wie ein heller Stern. Die Pythagoräer (Schüler und Anhänger des Pythagoras) verehrten Zahlen und glaubten, dass sie die ganze Harmonie der Welt enthielten. Einzelnen Zahlen und Zahlenpaaren wurden besondere Eigenschaften zugewiesen. Die Zahlen 7 und 36 wurden hoch geschätzt, und dann wurde auf die sogenannten perfekten Zahlen, freundlichen Zahlen usw. geachtet.

Im Mittelalter war die Entwicklung der Arithmetik auch mit dem Osten verbunden: Indien, den Ländern der arabischen Welt und Zentralasien. Von den Indianern kamen die von uns verwendeten Zahlen, die Null und das Positionszahlensystem; von al-Kashi (XV. Jahrhundert), der am Samarkand-Observatorium von Ulugbek arbeitete, - Dezimalbrüche.

Dank der Entwicklung des Handels und des Einflusses der orientalischen Kultur seit dem 13. Jahrhundert. Auch in Europa nimmt das Interesse an der Arithmetik zu. Es lohnt sich, an den Namen des italienischen Wissenschaftlers Leonardo von Pisa (Fibonacci) zu erinnern, dessen Werk „Das Buch des Abakus“ die Europäer in die wichtigsten Errungenschaften der östlichen Mathematik einführte und den Beginn vieler Studien in Arithmetik und Algebra darstellte.

Mit der Erfindung des Buchdrucks (Mitte des 15. Jahrhunderts) erschienen auch die ersten gedruckten Mathematikbücher. Das erste gedruckte Buch über Arithmetik erschien 1478 in Italien. In der „Vollständigen Arithmetik“ des deutschen Mathematikers M. Stiefel (Anfang des 16. Jahrhunderts) gibt es bereits negative Zahlen und sogar die Idee der Logarithmierung.

Ab etwa dem 16. Jahrhundert. die Entwicklung rein arithmetischer Fragen floss in den Mainstream der Algebra ein – als bedeutender Meilenstein ist das Erscheinen der Werke des französischen Wissenschaftlers F. Vieta zu nennen, in denen Zahlen durch Buchstaben gekennzeichnet sind. Ab diesem Zeitpunkt werden die Grundrechenregeln endlich aus der Sicht der Algebra verstanden.

Der Hauptgegenstand der Arithmetik ist die Zahl. Natürliche Zahlen, d.h. die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... usw. entstanden durch das Zählen bestimmter Gegenstände. Viele tausend Jahre vergingen, bis der Mensch erfuhr, dass zwei Fasane, zwei Hände, zwei Menschen usw. kann mit dem gleichen Wort „zwei“ genannt werden. Eine wichtige Aufgabe der Arithmetik besteht darin, zu lernen, die spezifische Bedeutung der Namen der gezählten Objekte zu überwinden, von deren Form, Größe, Farbe usw. abzulenken. Fibonacci hat bereits eine Aufgabe: „Sieben alte Frauen gehen nach Rom. Jeder hat 7 Maultiere, jedes Maultier trägt 7 Beutel, jeder Beutel enthält 7 Brote, jeder Laib enthält 7 Messer, jedes Messer hat 7 Scheiden. Wie viele sind es?" Um das Problem zu lösen, müssen Sie alte Frauen, Maultiere, Taschen und Brot zusammenstellen.

Die Entwicklung des Zahlenbegriffs – das Auftreten von Null- und negativen Zahlen, gewöhnlichen und Dezimalbrüchen, Schreibweisen von Zahlen (Ziffern, Notationen, Zahlensysteme) – all dies hat eine reiche und interessante Geschichte.

„Die Wissenschaft der Zahlen bezieht sich auf zwei Wissenschaften: praktische und theoretische. Praktische Studien Zahlen insofern es sich um abzählbare Zahlen handelt. Diese Wissenschaft wird in Markt- und Zivilangelegenheiten eingesetzt. Die theoretische Wissenschaft der Zahlen untersucht Zahlen im absoluten Sinne, abstrahiert durch den Geist von Körpern und allem, was in ihnen gezählt werden kann.“ al-Farabi

In der Arithmetik werden Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Die Kunst, diese Operationen mit beliebigen Zahlen schnell und genau durchzuführen, galt lange Zeit als die wichtigste Aufgabe der Arithmetik. Heutzutage führen wir in unseren Köpfen oder auf einem Blatt Papier nur die einfachsten Berechnungen durch und vertrauen zunehmend komplexere Rechenarbeiten Mikrorechnern an, die nach und nach Geräte wie einen Abakus, eine Rechenmaschine (siehe Computertechnik) und einen Schieber ersetzen Regel. Die Funktionsweise aller Computer – ob einfach oder komplex – basiert jedoch auf der einfachsten Operation – der Addition natürlicher Zahlen. Es stellt sich heraus, dass die komplexesten Berechnungen auf die Addition reduziert werden können, diese Operation muss jedoch viele Millionen Mal durchgeführt werden. Aber hier dringen wir in einen anderen Bereich der Mathematik ein, der seinen Ursprung in der Arithmetik hat – die Computermathematik.

Arithmetische Operationen mit Zahlen haben unterschiedliche Eigenschaften. Diese Eigenschaften können in Worten beschrieben werden, zum Beispiel: „Die Summe ändert sich nicht, wenn man die Stellen der Terme ändert“, kann in Buchstaben geschrieben werden: , kann in speziellen Begriffen ausgedrückt werden.

Diese Additionseigenschaft wird beispielsweise Kommutativ- oder Kommutativgesetz genannt. Wir wenden die Gesetze der Arithmetik oft aus Gewohnheit an, ohne es zu merken. Oft fragen Schüler in der Schule: „Warum all diese kommutativen und kombinatorischen Gesetze lernen, wenn doch schon klar ist, wie man Zahlen addiert und multipliziert?“ Im 19. Jahrhundert Die Mathematik machte einen wichtigen Schritt: Sie begann, nicht nur Zahlen, sondern auch Vektoren, Funktionen, Verschiebungen, Zahlentabellen, Matrizen und vieles mehr und sogar nur Buchstaben und Symbole systematisch zu addieren und zu multiplizieren, ohne sich wirklich um ihre spezifische Bedeutung zu kümmern. Und hier stellte sich heraus, dass es am wichtigsten ist, welchen Gesetzen diese Operationen gehorchen. Das Studium von Operationen, die auf beliebigen Objekten (nicht unbedingt auf Zahlen) spezifiziert werden, ist bereits das Gebiet der Algebra, obwohl diese Aufgabe auf der Arithmetik und ihren Gesetzen basiert.

Die Arithmetik enthält viele Regeln zur Lösung von Problemen. In alten Büchern findet man Probleme zur „Dreifachregel“, zur „proportionalen Division“, zur „Methode der Skalen“, zur „falschen Regel“ usw. Die meisten dieser Regeln sind mittlerweile veraltet, obwohl die Probleme, die mit ihrer Hilfe gelöst wurden, keineswegs als veraltet gelten können. Das berühmte Problem mit einem mit mehreren Rohren gefüllten Schwimmbad ist mindestens zweitausend Jahre alt und für Schulkinder immer noch nicht einfach. War es jedoch früher zur Lösung dieses Problems notwendig, eine Sonderregel zu kennen, wird heute jüngeren Schulkindern beigebracht, ein solches Problem durch Eingabe der Buchstabenbezeichnung der gewünschten Menge zu lösen. Arithmetische Probleme führten also dazu, dass Gleichungen gelöst werden mussten, und dies ist wiederum ein algebraisches Problem.

PYTHAGORAS
(ca. 570-ca. 500 v. Chr.)

Über Pythagoras von Samos gibt es keine schriftlichen Dokumente mehr, und aus späteren Beweisen ist es schwierig, das wahre Bild seines Lebens und seiner Leistungen zu rekonstruieren. Es ist bekannt, dass Pythagoras als Zeichen des Protests gegen die Tyrannei des Herrschers seine Heimatinsel Samos in der Ägäis vor der Küste Kleinasiens verließ und dies bereits im Erwachsenenalter (der Legende nach im Alter von 40 Jahren) tat erschien in der griechischen Stadt Crotone in Süditalien. Pythagoras und seine Anhänger – die Pythagoräer – bildeten ein geheimes Bündnis, das eine bedeutende Rolle im Leben der griechischen Kolonien in Italien spielte. Die Pythagoräer erkannten einander an einem sternförmigen Fünfeck – einem Pentagramm.

Die Lehren des Pythagoras waren stark von der Philosophie und Religion des Ostens beeinflusst. Er reiste viel in die Länder des Ostens: Er war in Ägypten und Babylon. Dort lernte Pythagoras auch die östliche Mathematik kennen. Mathematik wurde Teil seines Unterrichts, und zwar der wichtigste Teil.

Die Pythagoräer glaubten, dass das Geheimnis der Welt in Zahlenmustern verborgen sei. Die Welt der Zahlen führte für den Pythagoräer ein besonderes Leben; Zahlen hatten ihre eigene besondere Lebensbedeutung. Zahlen, die der Summe ihrer Teiler entsprachen, wurden als perfekt angesehen (6, 28, 496, 8128); Freundlich waren Zahlenpaare, von denen jedes der Summe der Teiler des anderen entsprach (z. B. 220 und 284). Pythagoras war der erste, der Zahlen in gerade und ungerade, einfache und zusammengesetzte Zahlen einteilte und das Konzept einer figuralen Zahl einführte. In seiner Schule wurden pythagoräische Tripel natürlicher Zahlen eingehend untersucht, bei denen das Quadrat der einen gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen war (siehe Fermats letzter Satz).

Pythagoras wird der Ausspruch zugeschrieben: „Alles ist eine Zahl.“ Er wollte die ganze Welt und insbesondere die Mathematik auf Zahlen reduzieren (und er meinte nur natürliche Zahlen). Doch in der Schule des Pythagoras selbst wurde eine Entdeckung gemacht, die diese Harmonie verletzte.

Es ist erwiesen, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, d. h. kann nicht durch natürliche Zahlen ausgedrückt werden.

Natürlich war die Geometrie des Pythagoras der Arithmetik untergeordnet; dies zeigte sich deutlich in dem nach ihm benannten Satz, der später zur Grundlage für die Anwendung numerischer Methoden in der Geometrie wurde. (Später rückte Euklid die Geometrie erneut in den Vordergrund und ordnete ihr die Algebra unter.) Anscheinend kannten die Pythagoräer die richtigen Körper: Tetraeder, Würfel und Dodekaeder.

Pythagoras wird die systematische Einführung von Beweisen in die Geometrie, die Schaffung der Planimetrie geradliniger Figuren und die Ähnlichkeitslehre zugeschrieben.

Der Name Pythagoras ist mit der Lehre von arithmetischen, geometrischen und harmonischen Proportionen und Durchschnittswerten verbunden.

Es sei darauf hingewiesen, dass Pythagoras die Erde als eine Kugel betrachtete, die sich um die Sonne bewegt. Als im 16. Jahrhundert Die Kirche begann, die Lehren des Kopernikus heftig zu verfolgen; diese Lehre wurde hartnäckig Pythagoras genannt.

ARCHIMEDES
(ca. 287-212 v. Chr.)

Über Archimedes, den großen Mathematiker und Mechaniker, ist mehr bekannt als über andere antike Wissenschaftler. Zunächst einmal ist das Jahr seines Todes zuverlässig – das Jahr des Falls von Syrakus, als der Wissenschaftler durch die Hand eines römischen Soldaten starb. Die antiken Historiker Polybios, Livius und Plutarch sagten jedoch wenig über seine mathematischen Verdienste; von ihnen gelangten Informationen über die wunderbaren Erfindungen des Wissenschaftlers, die er während seines Dienstes bei König Hieron II. machte, bis in unsere Zeit. Es gibt eine bekannte Geschichte über die goldene Krone des Königs. Archimedes überprüfte die Reinheit seiner Zusammensetzung anhand des von ihm gefundenen Gesetzes der Auftriebskraft und seines Ausrufs „Heureka!“, d. h. "Gefunden!". Einer anderen Legende zufolge baute Archimedes ein Blocksystem, mit dessen Hilfe ein Mann das riesige Schiff Syracosia zu Wasser lassen konnte. Die damals gesprochenen Worte von Archimedes bekamen Flügel: „Gib mir einen Drehpunkt, und ich werde die Erde drehen.“

Das Ingenieursgenie von Archimedes zeigte sich besonders deutlich bei der Belagerung von Syrakus, einer wohlhabenden Handelsstadt auf der Insel Sizilien.

Die Soldaten des römischen Konsuls Marcellus wurden lange Zeit von beispiellosen Maschinen an den Mauern der Stadt festgehalten: Mächtige Katapulte zielten auf Steinblöcke, in den Schießscharten waren Wurfmaschinen installiert, die Kanonenkugeln ausschleuderten, Küstenkräne drehten sich außerhalb der Mauern usw warf Stein- und Bleiblöcke auf feindliche Schiffe, Haken hoben Schiffe auf und warfen sie aus großer Höhe herunter, Systeme von Hohlspiegeln (in manchen Geschichten - Schilde) setzten die Schiffe in Brand. In „Die Geschichte des Marcellus“ beschreibt Plutarch den Schrecken, der in den Reihen der römischen Soldaten herrschte: „Sobald sie bemerkten, dass hinter der Festungsmauer ein Seil oder ein Baumstamm auftauchte, flohen sie und riefen, Archimedes habe es erfunden.“ eine neue Maschine für ihre Zerstörung.“ .

Auch der Beitrag von Archimedes zur Entwicklung der Mathematik war enorm. Die Archimedes-Spirale (siehe Spiralen), die durch einen Punkt beschrieben wird, der sich in einem rotierenden Kreis bewegt, ragte unter den vielen Kurven, die seine Zeitgenossen kannten, heraus. Die nächste kinematisch definierte Kurve – die Zykloide – erschien erst im 17. Jahrhundert. Archimedes lernte, eine Tangente an seine Spirale zu finden (und seine Vorgänger konnten Tangenten nur an Kegelschnitte zeichnen), fand die Fläche ihrer Drehung sowie die Fläche einer Ellipse, die Oberfläche eines Kegels und eine Kugel, die Volumina einer Kugel und ein Kugelsegment. Besonders stolz war er auf das von ihm entdeckte Verhältnis des Volumens einer Kugel und eines umschriebenen Zylinders von 2:3 (siehe Eingeschriebene und umschriebene Figuren).

Archimedes beschäftigte sich auch intensiv mit dem Problem der Quadratur des Kreises (siehe Berühmte Probleme der Antike). Der Wissenschaftler berechnete das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser (Zahl) und stellte fest, dass es zwischen und lag.

Die von ihm entwickelte Methode zur Berechnung des Umfangs und der Fläche einer Figur war ein bedeutender Schritt zur Schaffung der Differential- und Integralrechnung, die erst 2000 Jahre später erschien.

Archimedes fand auch die Summe einer unendlichen geometrischen Folge mit dem Nenner. In der Mathematik war dies das erste Beispiel einer unendlichen Reihe.

Eine wichtige Rolle in der Entwicklung der Mathematik spielte sein Aufsatz „Psammit“ – „Über die Anzahl der Sandkörner“, in dem er zeigt, wie man mit dem bestehenden Zahlensystem beliebig große Zahlen ausdrücken kann. Als Grundlage für seine Überlegungen nutzt er das Problem, die Anzahl der Sandkörner im sichtbaren Universum zu zählen. Damit wurde die damals bestehende Meinung über das Vorhandensein mysteriöser „größter Zahlen“ widerlegt.

Zu den wichtigen Konzepten, die die Arithmetik eingeführt hat, gehören Proportionen und Prozentsätze. Die meisten Konzepte und Methoden der Arithmetik basieren auf dem Vergleich verschiedener Abhängigkeiten zwischen Zahlen. In der Geschichte der Mathematik vollzog sich der Prozess der Verschmelzung von Arithmetik und Geometrie über viele Jahrhunderte.

Man kann die „Geometrisierung“ der Arithmetik deutlich erkennen: Komplexe Regeln und Muster, die in Formeln ausgedrückt werden, werden klarer, wenn sie geometrisch dargestellt werden können. Eine wichtige Rolle in der Mathematik selbst und ihren Anwendungen spielt der umgekehrte Prozess – die Übersetzung visueller, geometrischer Informationen in die Sprache der Zahlen (siehe Grafische Berechnungen). Diese Übersetzung basiert auf der Idee des französischen Philosophen und Mathematikers R. Descartes, Punkte auf einer Ebene durch Koordinaten zu definieren. Natürlich wurde diese Idee bereits vor ihm genutzt, beispielsweise in maritimen Angelegenheiten, wenn es darum ging, den Standort eines Schiffes zu bestimmen, sowie in der Astronomie und Geodäsie. Doch die konsequente Verwendung der Koordinatensprache in der Mathematik geht auf Descartes und seine Schüler zurück. Und in unserer Zeit, wenn man komplexe Prozesse steuert (zum Beispiel den Flug eines Raumfahrzeugs), bevorzugt man alle Informationen in Form von Zahlen, die von einem Computer verarbeitet werden. Bei Bedarf hilft die Maschine einer Person, die gesammelten numerischen Informationen in die Zeichensprache zu übersetzen.

Sie sehen, wenn wir über Arithmetik sprechen, gehen wir immer über ihre Grenzen hinaus – in die Algebra, die Geometrie und andere Zweige der Mathematik.

Wie können wir die Grenzen der Arithmetik selbst abgrenzen?

In welchem ​​Sinne wird dieses Wort verwendet?

Das Wort „Arithmetik“ kann wie folgt verstanden werden:

ein akademisches Fach, das sich hauptsächlich mit rationalen Zahlen (ganze Zahlen und Brüche), Operationen auf ihnen und mit Hilfe dieser Operationen gelösten Problemen befasst;

Teil des historischen Gebäudes der Mathematik, das verschiedene Informationen über Berechnungen gesammelt hat;

„Theoretische Arithmetik“ ist ein Teilgebiet der modernen Mathematik, das sich mit der Konstruktion verschiedener Zahlensysteme (natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen und deren Verallgemeinerungen) beschäftigt;

„formale Arithmetik“ ist ein Teil der mathematischen Logik (siehe Mathematische Logik), der sich mit der Analyse der axiomatischen Theorie der Arithmetik befasst;

„Höhere Arithmetik“ oder Zahlentheorie, ein sich unabhängig entwickelnder Teil der Mathematik.

Einerseits ist das eine sehr einfache Frage. Andererseits verwechseln Schulkinder und viele Erwachsene oft Rechnen und Mathematik und wissen nicht wirklich, was der Unterschied zwischen diesen beiden Fächern ist. Mathematik ist das umfangreichste Konzept, das alle Operationen mit Zahlen umfasst. Arithmetik ist nur einer der Zweige der Mathematik. Arithmetik umfasst eine Einführung in Zahlen, einfaches Zählen und Zahlenoperationen. Früher hieß der Schulunterricht Arithmetik, und erst mit der Zeit begann er, den Namen Mathematik zu tragen, der nahtlos in die Algebra übergeht. Im Wesentlichen beginnt Algebra, wenn unbekannte Zahlen in Beispielen vorkommen und stattdessen Buchstaben verwendet werden. Das sind auf einfache Weise Operationen mit X Und j.

Begriff "Arithmetik" kommt vom griechischen Wort „Arithmus“, was „Zahl“ bedeutet. Im 14.-15. Jahrhundert wurde dieser Begriff in England nicht ganz korrekt übersetzt – „die metrische Kunst“, was im Wesentlichen „metrische Kunst“ bedeutete, die eher für die Geometrie geeignet war als für einfaches Zählen und einfache Operationen mit Zahlen.

Einer der Gründe, warum der Begriff „Arithmetik“ in Schulen nicht verwendet wird, ist, dass bereits im Grundschulunterricht neben Zahlen auch geometrische Formen und Maßeinheiten (Zentimeter, Meter usw.) studiert werden, und das geht über das reguläre Konto hinaus. Das Erlernen des Kopfrechnens geschieht jedoch bis zu einem gewissen Grad im Leben eines Kindes, während es die Welt um sich herum kennenlernt. Begriff "Kopfrechnen" bedeutet die Fähigkeit, Kopfrechnen zu können. Stimmen Sie zu, das lernt jeder von uns irgendwann in seinem Leben, und das nicht nur durch den Schulunterricht.

Heutzutage gibt es umfassende Methoden zur Entwicklung der schnellen Kopfrechenfähigkeiten von Kindern. Besonders beliebt ist beispielsweise das alte Abakus-Training, das auf der Fähigkeit basiert, auf speziellen Abakussen zu zählen (anders als gewöhnliche Abakusse mit Zehnern). Abakus aus dem Englischen übersetzt ist "Abakus", deshalb klingt der Name der Technik gleich. Die Japaner nennen diese Technik Soroban-Training, weil... In ihrer Sprache heißt „Abakus“ „Soroban“.

Die Arithmetik verwendet vier elementare Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Dabei spielt es keine Rolle, ob im Beispiel ganze Zahlen oder Dezimalzahlen und Brüche verwendet werden. Sie können Ihr Kind schon in der frühen Kindheit an Zahlen heranführen, und zwar ganz entspannt und spielerisch. Dabei hilft den Eltern nicht nur ihre Fantasie, sondern auch eine Vielzahl spezieller Lehrmaterialien, die in jedem Geschäft zu finden sind.

Nach modernen Anforderungen an die erste Klasse sollte ein Kind bereits mindestens bis zehn (am besten bis 20) zählen und auch Grundoperationen mit bekannten Zahlen durchführen – diese addieren und subtrahieren. Wichtig ist auch, dass das Kind vergleichen kann, welche Zahlen größer, welche kleiner und welche gleich sind. Wir können also sagen, dass es sich um Arithmetik handelt, die ein Kind bereits vor dem Schuleintritt kennen sollte.

Solche Anforderungen werden nicht nur in Russland, sondern auf der ganzen Welt gestellt, weil Das Lebenstempo beschleunigt sich und die Menge an Wissen nimmt täglich zu. Was vor 20 bis 30 Jahren im Lehrplan als ausreichend Wissen galt, nimmt heute nicht mehr als 50 % der von Lehrern vermittelten Informationen ein. Wie dem auch sei, die Arithmetik wird immer die Grundlage für das Erlernen von Zahlen und Zählen sowie das Grundniveau der Mathematik bleiben, ohne das das Erlernen komplexerer Aufgaben und Fähigkeiten nicht möglich ist.

Arithmetik

Arithmetik Und.
1.

Ein Zweig der Mathematik, der die einfachsten Eigenschaften von Zahlen, Schreibweisen und Operationen mit ihnen untersucht.


2.

Ein akademisches Fach, das die Grundlagen dieses Abschnitts der Mathematik enthält.


3. Zersetzung

Ein Lehrbuch, das den Inhalt eines bestimmten akademischen Fachs darlegt.


Erklärendes Wörterbuch von Efremova. T. F. Efremova. 2000.


Synonyme:

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    - (von griechisch arithmos number und toche art). Eine Wissenschaft, die sich mit Zahlen beschäftigt. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Chudinov A.N., 1910. ARITHMETIK aus dem Griechischen. Arithmus, Zahl und Technik, Kunst. Die Wissenschaft der Zahlen... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

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    - (von den griechischen Wörtern ariJmoV number und tecnh art) Teil der Mathematik, der sich mit der Untersuchung der Eigenschaften bestimmter spezifischer Größen befasst; Im engeren Sinne ist Arithmetik die Wissenschaft von den in Zahlen ausgedrückten Zahlen und befasst sich mit Operationen mit Zahlen. Kann ich… … Enzyklopädie von Brockhaus und Efron

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    Arithmetik- - [A. S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Themen der Energie im Allgemeinen EN Arithmetik ... Leitfaden für technische Übersetzer

    Arithmetik- (von der griechischen Zahl arithmos), Teil der Mathematik, der die einfachsten Eigenschaften von ganzen Zahlen und Brüchen sowie deren Operationen untersucht. Es entstand in der Antike aus den praktischen Bedürfnissen des Zählens, Messens von Entfernungen, Zeit usw. Verbesserung... ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Bücher

  • Arithmetik, Kiselev Andrey Petrovich. 2017 jährt sich die Geburt von A.P. Kisseljow zum 165. Mal. Sein erstes Schullehrbuch über Arithmetik erschien 1884. 1938 wurde es als Rechenlehrbuch für 5-6-Jährige zugelassen...

Arithmetik ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Zahlen, ihren Eigenschaften und Beziehungen beschäftigt.

Sein Name ist griechischen Ursprungs: in der Sprache des antiken Hellas das Wort „ Arrhythmien„(es wird auch ausgesprochen als „ Arithmos") bedeutet " Nummer».

Arithmetik untersucht die Rechenregeln und die einfachsten Eigenschaften von Zahlen. In dem Abschnitt namens Zahlentheorie (oder höhere Arithmetik) werden die Eigenschaften einzelner Ganzzahlen untersucht.

Arithmetik ist am engsten mit Zahlentheorie, Algebra und Geometrie verwandt und ist eine der wichtigsten und ältesten mathematischen Wissenschaften.

Die Hauptfächer der Arithmetik sind Operationen mit Zahlen, deren Eigenschaften sowie Zahlenmengen. Darüber hinaus befasst sich die Arithmetik mit Fragen wie der Entstehung und Entwicklung des Zahlenbegriffs sowie mit Mess- und Zähltechniken.

Die Zahlenoperationen, die Gegenstand der Arithmetik sind, sind Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation. Dazu gehören auch Operationen wie Wurzelziehen, Potenzieren und das Lösen verschiedener numerischer Gleichungen.

Darüber hinaus hat sich historisch herausgestellt, dass arithmetische Operationen neben der Multiplikation auch die Verdoppelung umfassen; zusätzlich zur Division auch Division mit Rest und durch zwei; überprüfen; Berechnen der Summe geometrischer und arithmetischer Verläufe. Darüber hinaus haben alle arithmetischen Operationen ihre eigene Hierarchie, in der die höchste Ebene durch das Ziehen von Wurzeln und Potenzieren besetzt ist, die untere Ebene durch Multiplikation und Division und dann durch Addition und Subtraktion.

Es ist zu beachten, dass diejenigen Messungen und mathematischen Berechnungen, die breite praktische Anwendung finden (z. B. Prozentsätze, Proportionen usw.), zur sogenannten unteren Arithmetik gehören und der Begriff der Zahl und seine logische Analyse zur theoretischen Arithmetik gehören.

Arithmetik steht in sehr engem Zusammenhang mit der Algebra, deren Hauptgegenstand verschiedene Operationen mit Zahlen sind, die deren Eigenschaften und Merkmale nicht berücksichtigen. Gleichzeitig sind Wurzelziehen und Potenzierung der technische Teil der Algebra.

Denn im Alltag Arithmetik fast überall verwendet wird, dann braucht absolut jeder gewisse Kenntnisse in dieser Wissenschaft. Im Laufe des Lebens müssen Operationen wie Zählen, Berechnen von Volumina, Flächen, Geschwindigkeiten, Zeitintervallen und Längen sehr oft durchgeführt werden.

Um jeden Beruf zu meistern, müssen Sie über Grundkenntnisse im Rechnen verfügen, und dies gilt insbesondere für die Fachrichtungen Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften.

Arithmetik (griechisch arithmetika, von arithmys – Zahl)

die Wissenschaft der Zahlen, hauptsächlich über natürliche (positive ganze Zahlen) und (rationale) Brüche sowie Operationen mit ihnen.

Der Besitz eines ausreichend entwickelten Konzepts der natürlichen Zahlen und die Fähigkeit, Operationen mit Zahlen durchzuführen, sind für die praktischen und kulturellen Aktivitäten einer Person notwendig. Daher ist A. ein Element der Vorschulerziehung von Kindern und ein Pflichtfach im schulischen Lehrplan.

Viele mathematische Konzepte basieren auf natürlichen Zahlen (zum Beispiel ist das Grundkonzept der mathematischen Analyse eine reelle Zahl). In dieser Hinsicht ist die Mathematik eine der wichtigsten mathematischen Wissenschaften. Wenn der Schwerpunkt auf der logischen Analyse des Zahlenbegriffs liegt (siehe Zahl), wird manchmal der Begriff theoretische Arithmetik verwendet. Die Algebra ist eng mit der Algebra verwandt (siehe Algebra), in der insbesondere Operationen mit Zahlen untersucht werden, ohne deren individuelle Eigenschaften zu berücksichtigen. Die einzelnen Eigenschaften ganzer Zahlen sind Gegenstand der Zahlentheorie (siehe Zahlentheorie).

Historische Referenz. Entstanden in der Antike aus den praktischen Bedürfnissen des Zählens und einfacher Messungen, entwickelte sich die Arithmetik im Zusammenhang mit der zunehmenden Komplexität wirtschaftlicher Aktivitäten und sozialer Beziehungen, Geldberechnungen, Problemen bei der Messung von Entfernungen, Zeit, Flächen und den Anforderungen, die andere Wissenschaften stellten Es.

Die Entstehung des Zählens und die Anfangsstadien der Bildung arithmetischer Konzepte werden in der Regel anhand von Beobachtungen zum Zählvorgang bei Naturvölkern und indirekt anhand der Untersuchung von Spuren ähnlicher Stadien beurteilt, die in den Sprachen kultureller Völker erhalten und beobachtet wurden während des Erwerbs dieser Konzepte durch Kinder. Diese Daten weisen darauf hin, dass die Entwicklung derjenigen Elemente der geistigen Aktivität, die dem Zählprozess zugrunde liegen, eine Reihe von Zwischenstadien durchläuft. Dazu gehören: die Fähigkeit, dasselbe Objekt zu erkennen und Objekte in einer Menge von zu zählenden Objekten zu unterscheiden; die Fähigkeit, eine erschöpfende Zerlegung dieser Gesamtheit in voneinander unterscheidbare und gleichzeitig zählgleiche Elemente (unter Verwendung einer benannten „Zähleinheit“) vorzunehmen; die Fähigkeit, eine Entsprechung zwischen den Elementen zweier Mengen herzustellen, zunächst direkt und dann durch Vergleich mit den Elementen einer ein für alle Mal geordneten Sammlung von Objekten, d. h. einer Sammlung von Objekten, die sich in einer bestimmten Reihenfolge befinden. Die Elemente einer solchen standardisierten geordneten Menge sind Wörter (Zahlen), die zum Zählen von Objekten jeglicher qualitativer Art verwendet werden und der Bildung des abstrakten Zahlenbegriffs entsprechen. Unter verschiedenen Bedingungen lassen sich ähnliche Merkmale der allmählichen Entstehung und Verbesserung der aufgeführten Fähigkeiten und der ihnen entsprechenden Rechenkonzepte beobachten.

Zunächst stellt sich heraus, dass das Zählen nur für Aggregate einer relativ kleinen Anzahl von Objekten möglich ist, jenseits derer quantitative Unterschiede vage erkennbar sind und durch Wörter gekennzeichnet sind, die synonym mit dem Wort „viele“ sind; In diesem Fall sind die Zählwerkzeuge Kerben am Baum („Tag“-Zählung), Zählkiesel, Rosenkranzperlen, Finger usw. sowie Sets mit einer konstanten Anzahl von Elementen, zum Beispiel: „Augen“ – als Synonym für die Zahl „zwei“, Hand („Metacarpus“) – als Synonym und eigentliche Basis der Zahl „fünf“ usw.

Mit Zählgruppen wird weiterhin das verbale Ordinalzählen (eins, zwei, drei usw.) in Verbindung gebracht, dessen direkte Abhängigkeit vom Fingerzählen (sequentielle Aussprache der Namen von Fingern, Handteilen) teilweise direkt nachvollzogen werden kann enthält eine bestimmte Anzahl von Objekten. Diese Zahl bildet die Basis des entsprechenden Zahlensystems, meist als Ergebnis des Abzählens an den Fingern zweier Hände, gleich 10. Es gibt jedoch auch Gruppierungen von 5, 20 (französisch 80 „quatre-vingt“ = 4 × 20). ), 40, 12 („Dutzend“), 60 und sogar 11 (Neuseeland). Im Zeitalter entwickelter Handelsbeziehungen zeigten Nummerierungsmethoden (sowohl mündlich als auch schriftlich) natürlich eine Tendenz zur Einheitlichkeit zwischen Stämmen und Nationalitäten, die miteinander kommunizieren; Dieser Umstand spielte eine entscheidende Rolle bei der Etablierung und Verbreitung des bis heute verwendeten Systems. Zeit des Zahlensystems (Notation (siehe Notation)), das Prinzip der Ortsbedeutung (bitweise) von Zahlen und Methoden zur Durchführung arithmetischer Operationen. Offenbar erklären ähnliche Gründe die bekannte Ähnlichkeit von Zahlennamen in verschiedenen Sprachen: zum Beispiel zwei – dva (Sanskrit), δυο (Griechisch), duo (Latein), zwei (Englisch).

Die Quelle der ersten zuverlässigen Informationen über den Stand des arithmetischen Wissens im Zeitalter der antiken Zivilisationen sind die schriftlichen Dokumente von Dr. Ägypten (Mathematische Papyri), geschrieben etwa 2.000 Jahre v. Chr. e. Dabei handelt es sich um Problemsammlungen mit Angabe ihrer Lösungen, Regeln für die Arbeit mit ganzen Zahlen und Brüchen mit Hilfstabellen, ohne jegliche theoretische Erklärung. Einige der Probleme in dieser Sammlung werden im Wesentlichen durch das Aufstellen und Lösen von Gleichungen gelöst; Es werden auch arithmetische und geometrische Folgen gefunden.

Über das recht hohe Niveau der Rechenkultur der Babylonier im 2.-3. Jahrtausend v. Chr. e. ermöglichen die Beurteilung keilschriftlicher mathematischer Texte. Die schriftliche Nummerierung der Babylonier in Keilschrifttexten ist eine eigenartige Kombination des Dezimalsystems (für Zahlen unter 60) mit dem Sexagesimalsystem, mit Zifferneinheiten 60, 60 2 usw. Der wichtigste Indikator für ein hohes arithmetisches Niveau ist die Verwendung von Sexagesimalbrüchen mit dem gleichen Zahlensystem, das auf sie angewendet wird, ähnlich wie bei modernen Dezimalbrüchen. Die Rechentechnik der Babylonier, die theoretisch den herkömmlichen Techniken im Dezimalsystem ähnelte, wurde durch die Notwendigkeit erschwert, auf umfangreiche Multiplikationstabellen (für Zahlen von 1 bis 59) zurückzugreifen. In den erhaltenen Keilschriftmaterialien, bei denen es sich offenbar um Lehrmittel handelte, gibt es auch entsprechende Tabellen reziproker Zahlen (zweistellig und dreistellig, d. h. mit einer Genauigkeit von 1/60 2 und 1/60 3), die in verwendet wurden Aufteilung.

Bei den alten Griechen wurde die praktische Seite der Architektur nicht weiterentwickelt; das von ihnen verwendete System der schriftlichen Nummerierung mit Buchstaben des Alphabets war für komplexe Berechnungen weitaus weniger geeignet als das babylonische (bezeichnend ist insbesondere, dass antike griechische Astronomen das Sexagesimalsystem bevorzugten). Andererseits legten antike griechische Mathematiker den Grundstein für die theoretische Entwicklung der Arithmetik im Sinne der Lehre von den natürlichen Zahlen, der Proportionstheorie, der Messung von Mengen und implizit auch der Theorie der irrationalen Zahlen. In Euklids Elementen (3. Jahrhundert v. Chr.) finden sich Beweise für die Unendlichkeit der Zahl der Primzahlen, grundlegende Theoreme zur Teilbarkeit und Algorithmen zur Bestimmung des gemeinsamen Maßes zweier Segmente und des gemeinsamen größten Teilers zweier Zahlen, die ihre Bedeutung behalten haben und immer noch von Bedeutung sind (siehe Euklids Algorithmus), ein Beweis für die Nichtexistenz einer rationalen Zahl, deren Quadrat 2 ist (die Irrationalität der Zahl √2), und eine Theorie der Proportionen, ausgedrückt in geometrischer Form. Zu den betrachteten zahlentheoretischen Problemen gehören Probleme zu perfekten Zahlen (siehe Perfekte Zahlen) (Euklid), zu pythagoreischen Zahlen (siehe Pythagoräische Zahlen), und auch – bereits in einer späteren Zeit – ein Algorithmus zur Isolierung von Primzahlen (Eratosthenes-Sieb) und zur Lösung einer Reihe unbestimmter Gleichungen 2. und höheren Grades (Diophantos).

Eine bedeutende Rolle bei der Entstehung des Konzepts einer unendlichen natürlichen Zahlenreihe spielte das „Psammit“ des Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.), das die Möglichkeit der Benennung und Bezeichnung beliebig großer Zahlen beweist. Die Arbeiten von Archimedes weisen auf eine ziemlich hohe Kunst hin, Näherungswerte der gewünschten Größen zu erhalten: zum Beispiel die Wurzel aus mehrstelligen Zahlen zu ziehen und rationale Näherungen für irrationale Zahlen zu finden

Die Römer brachten die Rechentechnik zwar nicht voran, hinterließen jedoch ein bis heute erhaltenes Zahlensystem (römische Ziffern), das für Operationen schlecht geeignet ist und heute fast ausschließlich zur Bezeichnung von Ordnungszahlen verwendet wird.

Es ist schwierig, eine Kontinuität in der Entwicklung der Mathematik im Vergleich zu früheren, älteren Kulturen festzustellen; Allerdings sind äußerst wichtige Etappen in der Entwicklung Afrikas mit der Kultur Indiens verbunden, die sowohl die Länder Westasiens und Europas als auch die Länder des Ostens beeinflusste. Asien (China, Japan). Neben der Anwendung der Algebra zur Lösung arithmetischer Probleme war die bedeutendste Errungenschaft der Inder die Einführung eines Positionszahlensystems (mit zehn Ziffern, einschließlich der Null, um das Fehlen von Einheiten in einer der Ziffern anzuzeigen). ermöglichte es, relativ einfache Regeln für die Durchführung grundlegender arithmetischer Operationen zu entwickeln.

Wissenschaftler des mittelalterlichen Ostens bewahrten nicht nur das Erbe der antiken griechischen Mathematiker in Übersetzungen, sondern trugen auch zur Verbreitung und Weiterentwicklung der Errungenschaften der Inder bei. Methoden zur Durchführung arithmetischer Operationen, größtenteils noch weit von der Moderne entfernt, aber bereits die Vorteile des Positionszahlensystems nutzend, aus dem 10. Jahrhundert. N. e. begann allmählich nach Europa vorzudringen, vor allem nach Italien und Spanien.

Der relativ langsame Fortschritt der Architektur im Mittelalter weicht dem Beginn des 17. Jahrhunderts. rasche Verbesserung der Berechnungsmethoden im Zusammenhang mit gestiegenen praktischen Anforderungen an die Rechentechnik (Probleme der nautischen Astronomie, Mechanik, zunehmend komplexere kommerzielle Berechnungen usw.). Brüche mit dem Nenner 10, die von den Indern verwendet wurden (beim Ziehen von Quadratwurzeln) und immer wieder die Aufmerksamkeit europäischer Wissenschaftler auf sich zogen, wurden zunächst in impliziter Form in trigonometrischen Tabellen verwendet (in Form von ganzen Zahlen, die die Länge der Linien ausdrücken). von Sinus, Tangens usw. mit einem Radius von 10 5). Zum ersten Mal (1427) beschrieb al-Kashi ausführlich das System der Dezimalbrüche und die Regeln für den Umgang mit ihnen. Die Schreibweise von Dezimalbrüchen, die im Wesentlichen mit der modernen übereinstimmt, findet sich in den Werken von S. Stevin aus dem Jahr 1585 und ist seitdem weit verbreitet. In dieselbe Zeit fällt auch die Erfindung des Logarithmus zu Beginn des 17. Jahrhunderts. J. Napier om. Zu Beginn des 18. Jahrhunderts. Techniken zur Durchführung und Aufzeichnung von Berechnungen nehmen eine moderne Form an.

In Russland bis zum Beginn des 17. Jahrhunderts. Es wurde eine dem Griechischen ähnliche Nummerierung verwendet; Das mündliche Nummerierungssystem war gut und einzigartig entwickelt und reichte bis zur 50. Ziffer. Aus russischen Rechenhandbüchern des frühen 18. Jahrhunderts. Von größter Bedeutung war L. F. Magnitskys Arithmetik, die von M. V. Lomonosov (siehe Magnitsky) (1703) sehr geschätzt wurde. Es enthält die folgende Definition von A.: „Arithmetik oder Zähler ist eine ehrliche, wenig beneidenswerte und für jedermann leicht verständliche Kunst, höchst nützlich und höchst lobenswert, erfunden und dargelegt von den ältesten und modernsten Arithmetikern, die in verschiedenen Ländern lebten.“ mal." Neben Nummerierungsfragen, einer Darstellung von Rechentechniken mit ganzen Zahlen und Brüchen (einschließlich Dezimalzahlen) und damit verbundenen Problemen enthält dieses Handbuch auch Elemente der Algebra, Geometrie und Trigonometrie sowie eine Reihe praktischer Informationen zu kommerziellen Berechnungen und Navigationsproblemen. Die Darstellung von A. nimmt durch L. Euler und seine Schüler eine mehr oder weniger moderne Form an.

Theoretische Fragen der Arithmetik. Die theoretische Entwicklung von Fragen der Zahlenlehre und der Lehre von der Größenmessung ist nicht von der Entwicklung der Mathematik insgesamt zu trennen: Ihre entscheidenden Etappen sind mit Momenten verbunden, die die Entwicklung von Algebra, Geometrie und Analysis gleichermaßen bestimmten. Als wichtigstes gilt die Schaffung einer allgemeinen Mengenlehre, einer entsprechenden abstrakten Zahlenlehre (siehe Zahl) (ganzzahlig, rational und irrational) und des alphabetischen Apparats der Algebra.

Die grundlegende Bedeutung der Arithmetik als ausreichende Wissenschaft für das Studium kontinuierlicher Größen verschiedener Art wurde erst gegen Ende des 17. Jahrhunderts erkannt. im Zusammenhang mit der Einbeziehung des Konzepts einer irrationalen Zahl in die Arithmetik, definiert durch eine Folge rationaler Näherungen. Eine wichtige Rolle spielten dabei der Dezimalbruchapparat und die Verwendung von Logarithmen, die das Spektrum der mit der erforderlichen Genauigkeit durchgeführten Operationen an reellen Zahlen (sowohl irrationalen als auch rationalen) erweiterten.

Grassmanns Bau wurde durch die Arbeit von G. Peano weiter vervollständigt, in dem ein System grundlegender (nicht durch andere Konzepte definierter) Konzepte klar hervorgehoben wird, nämlich: das Konzept einer natürlichen Zahl, das Konzept einer Zahl, die in einer natürlichen Reihe unmittelbar auf eine andere folgt, und das Konzept des Anfangselements einer natürlichen Zahl Reihe (die als 0 oder 1 angenommen werden kann). Diese Konzepte sind durch fünf Axiome miteinander verbunden, die als axiomatische Definition dieser Grundkonzepte betrachtet werden können.

Peanos Axiome: 1) 1 ist eine natürliche Zahl; 2) die nächste natürliche Zahl ist eine natürliche Zahl; 3) 1 folgt keiner natürlichen Zahl; 4) wenn eine natürliche Zahl A folgt einer natürlichen Zahl B und über die natürliche Zahl hinaus Mit, Das B Und Mit sind identisch; 5) ob eine Aussage für 1 bewiesen wurde und ob sie unter der Annahme gilt, dass sie für eine natürliche Zahl wahr ist N Daraus folgt, dass es für Folgendes gilt P natürliche Zahl, dann gilt dieser Satz für alle natürlichen Zahlen. Dieses Axiom – das Axiom der vollständigen Induktion – ermöglicht es, Grassmanns Wirkungsdefinitionen weiter zu nutzen und die allgemeinen Eigenschaften natürlicher Zahlen zu beweisen.

Diese Konstruktionen, die eine Lösung für das Problem der Begründung formaler Aussagen der Arithmetik bieten, lassen die Frage nach der logischen Struktur der Arithmetik natürlicher Zahlen im weiteren Sinne des Wortes außer Acht, einschließlich derjenigen Operationen, die die Anwendungen der Arithmetik sowohl innerhalb der Mathematik definieren selbst und in praktischen Anwendungen. Leben. Die Analyse dieser Seite der Frage, die den Inhalt des Konzepts der Kardinalzahl geklärt hat, zeigte gleichzeitig, dass die Frage der Rechtfertigung der Arithmetik eng mit allgemeineren Grundproblemen der methodischen Analyse mathematischer Disziplinen zusammenhängt. Wenn die einfachsten Sätze der Mathematik, die sich auf das elementare Zählen von Objekten beziehen und eine Verallgemeinerung der jahrhundertealten Erfahrung der Menschheit darstellen, natürlich in das einfachste logische Schema passen, dann ist die Mathematik eine mathematische Disziplin, die die unendliche Sammlung natürlicher Zahlen untersucht , erfordert eine Untersuchung der Konsistenz des entsprechenden Axiomensystems und eine detailliertere Analyse der Bedeutung der sich daraus ergebenden allgemeinen Vorschläge.

Zündete.: Klein F., Elementare Mathematik aus höherer Sicht, trans. mit ihm. Bd. 3 Aufl., Bd. 1, M.-L., 1935; Arnold I.V., Theoretische Arithmetik, 2. Aufl., M., 1939; Bellustin V.K., Wie die Menschen allmählich zur echten Arithmetik gelangten, M., 1940; Grebencha M.K., Arithmetik, 2. Aufl., M., 1952; Berman G.N., Number and the science of it, 3. Aufl., M., 1960; Deptyaan I. Ya., Geschichte der Arithmetik, 2. Aufl., M., 1965; Vygodsky M. Ya., Arithmetik und Algebra in der Antike, 2. Aufl., M., 1967.

I. V. Arnold.


Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Synonyme:

Sehen Sie, was „Arithmetik“ in anderen Wörterbüchern ist:

    - (von griechisch arithmos number und toche art). Eine Wissenschaft, die sich mit Zahlen beschäftigt. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Chudinov A.N., 1910. ARITHMETIK aus dem Griechischen. Arithmus, Zahl und Technik, Kunst. Die Wissenschaft der Zahlen... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

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