Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

Warum braucht es Abschlüsse? Wo brauchen Sie sie? Warum müssen Sie Zeit damit verbringen, sie zu studieren?

Lesen Sie diesen Artikel, um alles über Abschlüsse zu erfahren, wozu sie gut sind und wie Sie Ihr Wissen im Alltag einsetzen können.

Und natürlich bringt Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen der OGE oder der Einheitlichen Staatsprüfung und dem Eintritt in die Universität Ihrer Träume näher.

Los geht's!)

Wichtiger Hinweis! Wenn Sie anstelle von Formeln Kauderwelsch sehen, leeren Sie Ihren Cache. Drücken Sie dazu STRG+F5 (unter Windows) oder Cmd+R (unter Mac).

ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Passt auf. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Richtig - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler bei Berechnungen. Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () So?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuchen Sie zu berechnen, wie viele Meter für Meter Würfel in Ihr Becken gelangen.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass die Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Nun, allgemein gesagt, um zu verallgemeinern und sich besser zu erinnern ... Ein Abschluss mit einer Basis "" und einem Indikator "" wird als "im Abschluss" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Du hast es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht genügend natürliche Zahlen hatten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, ein unendlicher Dezimalbruch. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl mit einer natürlichen Potenz zu potenzieren heißt, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen ("" oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? SONDERN? ? Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten! Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie ausgetauscht würden, könnte die Regel gelten.

Aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Meint.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

I. Ausdruck ist nicht in Groß-/Kleinschreibung definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die nicht gleich Null zu einer negativen Potenz ist, ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz: .

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Kreis der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruchgrad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Spezialfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit einem rationalen Exponenten, mit Ausnahme von

Tatsächlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine gewisse „Vorbereitung von eine Zahl“, nämlich eine Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

Sehen Sie sich jetzt die Partitur an. Erinnert er dich an etwas? Wir erinnern uns an die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Quadraten:

BEIM dieser Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antworten: .

2. Wir bringen Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide dezimal oder beide gewöhnlich. Wir bekommen zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Anzahl:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Anzahl:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen die gleiche Grundlage haben. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Indikator Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen ("" oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? SONDERN? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Sie können diese einfachen Regeln formulieren:

1. sogar Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Lassen Sie uns vor der Analyse der letzten Regel einige Beispiele lösen.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten!

Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 angewendet werden, aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Wenn Sie es mit multiplizieren, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt sieht es so aus:

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Es kann nicht durch Änderung ersetzt werden, nur ein beanstandetes Minus an uns!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Indikator - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnere dich an die Quadratdifferenz-Formel. Antworten: .
2. Wir bringen Brüche in dieselbe Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnliche. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

JETZT HAST DU EIN WORT...

Wie gefällt Ihnen der Artikel? Lassen Sie mich in den Kommentaren unten wissen, ob es Ihnen gefallen hat oder nicht.

Erzählen Sie uns von Ihren Erfahrungen mit den Power-Eigenschaften.

Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

Schreiben Sie in die Kommentare.

Und viel Erfolg bei deinen Prüfungen!

Es gibt eine Regel, dass jede andere Zahl als Null, potenziert mit Null, gleich Eins ist:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Aber warum ist das so?

Wenn eine Zahl mit einem natürlichen Exponenten potenziert wird, bedeutet dies, dass sie so oft mit sich selbst multipliziert wird wie der Exponent:
43 = 4...

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In der Algebra ist das Potenzieren mit Null üblich. Was ist Grad 0? Welche Zahlen können mit Null potenziert werden und welche nicht?

Definition.

Jede Zahl hoch null, außer null, ist gleich eins:

Egal, welche Zahl mit 0 potenziert wird, das Ergebnis wird immer dasselbe sein – eins.

Und 1 hoch 0 und 2 hoch 0 und jede andere Zahl – ganzzahlig, gebrochen, positiv, negativ, rational, irrational – ergibt, wenn sie mit null potenziert wird, eins.

Die einzige Ausnahme ist null.

Null hoch null ist nicht definiert, ein solcher Ausdruck macht keinen Sinn.

Das heißt, jede Zahl außer Null kann mit Null potenziert werden.

Wenn bei der Vereinfachung eines Ausdrucks mit Potenzen eine Zahl hoch null erhalten wird, kann sie durch eine Einheit ersetzt werden:

Wenn bei ...

0 0

Im Rahmen des Schullehrplans gilt der Wert des Ausdrucks $%0^0$% als undefiniert.

Aus Sicht der modernen Mathematik ist es bequem anzunehmen, dass $%0^0=1$%. Die Idee hier ist die folgende. Es gebe ein Produkt von $%n$% Zahlen der Form $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Für alle $%n\ge2$% ist die Gleichheit $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% erfüllt. Es ist praktisch, diese Gleichheit sogar für $%n=1$% als sinnvoll anzusehen, indem Sie $%p_0=1$% setzen. Die Logik hier ist wie folgt: Bei der Berechnung von Produkten nehmen wir zuerst 1 und multiplizieren dann nacheinander mit $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Dieser Algorithmus wird beim Finden von Werken beim Schreiben von Programmen verwendet. Wenn aus irgendeinem Grund keine Multiplikation stattgefunden hat, bleibt das Produkt gleich eins.

Mit anderen Worten, es ist bequem, ein solches Konzept als "das Produkt von 0 Faktoren" als bedeutungsvoll anzusehen, wenn man es per Definition gleich 1 betrachtet. In diesem Fall kann man auch von einem "leeren Produkt" sprechen. Wenn wir eine Zahl damit multiplizieren...

0 0

Null - es ist Null. Grob gesagt ist jede Potenz einer Zahl das Produkt aus Eins und dem Exponenten mal dieser Zahl. Zwei in der dritten, sagen wir, es ist 1*2*2*2, zwei in minus die erste ist 1/2. Und dann ist es notwendig, dass der Übergang von positiven zu negativen Kräften und umgekehrt lückenlos ist.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

das ist der springende Punkt.

Einfach und übersichtlich, danke

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

es ist beispielsweise einfach dann erforderlich, dass bestimmte Formeln, die für positive Indikatoren gelten – beispielsweise x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) – weiterhin gültig sind.
Gleiches gilt übrigens für die Definition eines negativen Grades sowie eines rationalen (also beispielsweise 5 hoch 3/4)

> und wozu braucht man das überhaupt?
Beispielsweise spielt man in Statistik und Theorie oft mit null Potenzen.

Stören Sie negative Abschlüsse?
...

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Wir betrachten weiterhin die Eigenschaften von Graden, nehmen wir zum Beispiel 16:8=2. Da 16=24 und 8=23 ist, kann man also die Division in Exponentialform schreiben als 24:23=2, aber wenn wir die Exponenten subtrahieren, dann 24:23=21. Wir müssen also zugeben, dass 2 und 21 gleich sind, also 21=2.

Die gleiche Regel gilt für jede andere Exponentialzahl, daher kann die Regel allgemein formuliert werden:

Jede zur ersten Potenz erhobene Zahl bleibt unverändert

Diese Schlussfolgerung mag Sie überrascht haben. Sie können die Bedeutung des Ausdrucks 21=2 noch irgendwie verstehen, obwohl der Ausdruck "eine Zahl zwei multipliziert mit sich selbst" ziemlich seltsam klingt. Aber der Ausdruck 20 bedeutet "keine einzige Zahl zwei, ...

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Abschlussdefinitionen:

1. null grad

Jede Zahl ungleich Null, die mit Null potenziert wird, ist gleich Eins. Null hoch null ist nicht definiert

2. natürlicher Grad ungleich Null

Jede Zahl x, die mit einer natürlichen Potenz n außer Null erhoben wird, ist gleich der Multiplikation von n Zahlen x untereinander

3.1 Wurzel eines geraden natürlichen Grades ungleich Null

Die Wurzel einer geraden natürlichen Potenz n, die von Null verschieden ist, aus jeder positiven Zahl x ist eine solche positive Zahl y, die, wenn sie mit n potenziert wird, die ursprüngliche Zahl x ergibt

3.2 ungerade natürliche Wurzel

Eine ungerade natürliche Wurzel n einer beliebigen Zahl x ist eine Zahl y, die, wenn sie mit n potenziert wird, die ursprüngliche Zahl x ergibt

3.3 die Wurzel jeder Naturkraft als Bruchkraft

Das Ziehen der Wurzel einer beliebigen natürlichen Potenz n außer Null aus einer beliebigen Zahl x ist dasselbe wie das Potenzieren dieser Zahl x mit der gebrochenen Potenz 1/n

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Hallo, lieber RUSSEL!

Bei der Einführung des Gradbegriffs gibt es eine solche Notation: » Der Wert des Ausdrucks a^0 =1 » ! Das geht kraft des logischen Gradbegriffs und sonst nichts!
Lobenswert, wenn ein junger Mann versucht, der Sache auf den Grund zu gehen! Aber es gibt Dinge, die sollten einfach selbstverständlich sein!
Sie können neue Mathematik nur konstruieren, wenn Sie studieren, was bereits vor Jahrhunderten entdeckt wurde!
Natürlich, wenn wir ausschließen, dass Sie "nicht von dieser Welt" sind und Ihnen viel mehr gegeben wurde als uns anderen Sündern!

Hinweis: Anna Misheva hat versucht, das Unbeweisbare zu beweisen! Auch lobenswert!
Aber es gibt ein großes "ABER" - das wichtigste Element fehlt in seinem Beweis: Der Fall der Division durch NULL!

Sehen Sie selbst, was passieren kann: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Aber du kannst nicht durch Null dividieren!

Bitte seien Sie vorsichtiger!

Mit vielen guten Wünschen und Glück in Ihrem persönlichen Leben ...

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Antworten:

Namenlos

wenn wir berücksichtigen, dass a^x=e^x*ln(a), dann stellt sich heraus, dass 0^0=1 (Grenze, für x->0)
obwohl die Antwort "Unsicherheit" auch akzeptabel ist

Null ist in der Mathematik keine Leere, diese Zahl ist sehr nah an "nichts", genau wie Unendlich nur umgekehrt

Aufschreiben:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Es stellt sich heraus, dass wir in diesem Fall durch Null dividieren und diese Operation auf dem Körper der reellen Zahlen nicht definiert ist.

vor 6 Jahren

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Was ist gleich Null, wenn es mit Null potenziert wird?

Warum ist eine Zahl hoch 0 gleich 1? Es gibt eine Regel, dass jede andere Zahl als Null, potenziert mit Null, gleich Eins ist: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Aber warum ist das so? Wenn eine Zahl mit einem natürlichen Exponenten potenziert wird, bedeutet dies, dass sie so oft mit sich selbst multipliziert wird wie der Exponent: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Wenn der Exponent 1 ist, gibt es während der Konstruktion nur einen Faktor (wenn wir hier überhaupt über Faktoren sprechen können), und daher ist das Ergebnis der Konstruktion gleich zur Basis des Abschlusses: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 Aber was ist in diesem Fall mit dem Null-Exponenten? Was wird womit multipliziert? Versuchen wir, den anderen Weg zu gehen. Es ist bekannt, dass, wenn zwei Grade die gleichen Basen, aber unterschiedliche Indikatoren haben, die Basis gleich bleiben kann und die Indikatoren entweder addiert werden können (wenn die Grade multipliziert werden) oder der Divisor-Indikator von subtrahiert wird Dividendenindikator (wenn die Grade teilbar sind): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Betrachten Sie nun dieses Beispiel: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Was ist, wenn wir die Eigenschaft von Graden mit derselben Basis nicht verwenden und Berechnungen in ihrer Reihenfolge durchführen: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Wir haben also die begehrte Einheit. Der Exponent Null zeigt also sozusagen an, dass die Zahl nicht mit sich selbst multipliziert, sondern durch sich selbst dividiert wird. Und ab hier wird klar, warum der Ausdruck 00 keinen Sinn macht. Man kann schließlich nicht durch 0 dividieren. Man kann auch anders argumentieren. Wenn es zum Beispiel eine Multiplikation der Potenzen 52 × 50 = 52 + 0 = 52 gibt, dann folgt, dass 52 mit 1 multipliziert wurde. Also 50 = 1.

Aus den Eigenschaften von Graden: a^n / a^m = a^(n-m) wenn n=m, ist das Ergebnis eins, außer natürlich a=0, in diesem Fall (da Null zu jedem Grad Null ist) Eine Division durch Null würde stattfinden, also existiert 0^0 nicht

Konto in verschiedenen Sprachen

Namen von Ziffern von 0 bis 9 in populären Sprachen der Welt.

Sprache	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Englisch	Null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	Sieben	acht	neun
bulgarisch	Null	ein	zwei	drei	vier	Haustier	Pole	sedem	osem	devet
ungarisch	nulla	egy	Keto	Harm	neg	ot	Hut	het	nyolc	Kilenc
Niederländisch	Null	een	twee	trocknen	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
dänisch	Null	en	zu	tre	Feuer	weiblich	Geschlechter	syv	otte	nein
Spanisch	Null	uno	DOS	tres	cuatro	cinco	seis	siete	och	Neu
Italienisch	Null	uno	fällig	tre	Quattro	cinque	sei	sette	Otto	Neu
litauisch	nullis	wien	du	versucht	Keturi	penki	reyi	Septini	aðtuoni	devyni
Deutsch	Null	ein	zwei	drei	vier	Spaß	sechs	sieben	acht	neun
Russisch	Null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	Sieben	acht	neun
Polieren	Null	auf jeden fall	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	Siedem	osiem	dziewiêæ
Portugiesisch	Äh	macht	Spuren	quadro	cinco	seis	sete	oito	Neu
Französisch	Null	un	deux	drei	Quadrat	cinq	sechs	Sept	gut	neuf
Tschechisch	Null	jedna	dva	toi	ityoi	Grube	¹est	sedm	osm	devitieren
Schwedisch	noll	ett	Fernseher	tre	fira	weiblich	Sex	sju	atta	nein
estnisch	Null	Großbritannien	kaks	Kolm	Neli	viis	kuus	seits	kaheksa	uheksa

Negative Potenz und Nullpotenz einer Zahl

Null, negative und gebrochene Potenzen

Nullanzeige

Eine gegebene Zahl potenzieren bedeutet, sie mit einem Faktor so oft zu wiederholen, wie es Einheiten im Exponenten gibt.

Nach dieser Definition lautet der Ausdruck: a 0 ist bedeutungslos. Aber damit die Regel der Teilung der Potenzen gleicher Zahl auch in dem Fall eine Bedeutung hat, in dem der Divisorindex gleich dem Dividendenindex ist, wird die Definition eingeführt:

Die Nullpotenz einer beliebigen Zahl ist gleich Eins.

Negativer Indikator

Ausdruck bin, an sich ist bedeutungslos. Damit aber die Teilungsregel der Potenzen gleicher Zahl auch dann noch Sinn macht, wenn der Divisorindex größer als der Dividendenindex ist, wird die Definition eingeführt:

Beispiel 1. Wenn eine gegebene Zahl aus 5 Hundertern, 7 Zehnern, 2 Einer und 9 Hundertstel besteht, dann kann sie wie folgt dargestellt werden:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 –1 + 9 × 10 –2 = 572,09

Beispiel 2. Wenn eine gegebene Zahl aus a Zehnern, b Einheiten, c Zehnteln und d Tausendsteln besteht, dann kann sie wie folgt dargestellt werden:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 –1 + d× 10 –3

Aktionen auf Potenzen mit negativen Exponenten

Bei der Multiplikation gleicher Potenzen werden die Exponenten addiert.

Beim Dividieren der Potenzen derselben Zahl wird der Divisor-Indikator vom Indikator des Dividenden subtrahiert.

Um ein Produkt zu potenzieren, genügt es, jeden Faktor einzeln zu potenzieren:

Um einen Bruch zu potenzieren, reicht es aus, beide Terme des Bruchs separat zu potenzieren:

Wenn eine Potenz zu einer anderen Potenz erhoben wird, werden die Exponenten multipliziert.

Bruchexponent

Wenn ein k ist kein Vielfaches n, dann der Ausdruck: ergibt keinen Sinn. Damit aber für jeden Wert des Exponenten die Regel des Wurzelziehens aus dem Grad gilt, wird die Definition eingeführt:

Dank der Einführung eines neuen Symbols kann das Wurzelziehen immer durch Potenzieren ersetzt werden.

Aktionen auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten

Aktionen auf Grad mit gebrochenen Exponenten werden nach den gleichen Regeln ausgeführt, die für ganzzahlige Exponenten gelten.

Beim Beweis dieser Position nehmen wir zunächst an, dass die Terme der Brüche: und , die als Exponenten dienen, positiv sind.

Im Einzelfall n oder q kann gleich eins sein.

Bei der Multiplikation der Potenzen derselben Zahl addieren sich Bruchindikatoren:

Beim Dividieren gleicher Potenzen mit Bruchexponenten wird der Divisorexponent vom Dividendenexponenten subtrahiert:

Um bei gebrochenen Exponenten eine Potenz zu einer anderen Potenz zu erheben, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren:

Um die Wurzel eines gebrochenen Exponenten zu ziehen, reicht es aus, den Exponenten durch den Exponenten der Wurzel zu teilen:

Die Handlungsregeln gelten nicht nur für positiv Bruchzahlen, sondern auch zu Negativ.

Es gibt eine Regel, dass jede andere Zahl als Null, potenziert mit Null, gleich Eins ist:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Aber warum ist das so?
Wenn eine Zahl mit einem natürlichen Exponenten potenziert wird, bedeutet dies, dass sie so oft mit sich selbst multipliziert wird wie der Exponent:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Wenn der Exponent 1 ist, dann gibt es bei der Konstruktion nur einen Faktor (wenn wir überhaupt von Faktoren sprechen können), und daher ist das Ergebnis der Konstruktion gleich der Basis des Grades:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Aber was ist in diesem Fall mit Null? Was wird womit multipliziert?
Versuchen wir, den anderen Weg zu gehen.

Warum ist eine Zahl hoch 0 gleich 1?

Es ist bekannt, dass, wenn zwei Grade die gleichen Basen, aber unterschiedliche Indikatoren haben, die Basis gleich bleiben kann und die Indikatoren entweder addiert werden können (wenn die Grade multipliziert werden) oder der Divisor-Indikator von subtrahiert wird Dividendenindikator (wenn die Grade teilbar sind):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Betrachten Sie nun dieses Beispiel:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Was ist, wenn wir die Eigenschaft von Potenzen mit derselben Basis nicht verwenden und Berechnungen in der Reihenfolge ihrer Reihenfolge durchführen:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
So bekamen wir das begehrte Gerät. Der Exponent Null zeigt also sozusagen an, dass die Zahl nicht mit sich selbst multipliziert, sondern durch sich selbst dividiert wird.
Und ab hier wird klar, warum der Ausdruck 0 0 keinen Sinn macht. Schließlich kann man nicht durch 0 dividieren.

GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 71. Grade mit null und negativen Exponenten

In § 69 haben wir bewiesen (siehe Satz 2), dass für t > n

(a =/= 0)

Es ist ganz natürlich, diese Formel auf den Fall erweitern zu wollen t < P . Aber dann die Nummer t-p wird entweder negativ oder null sein. A. Wir haben bisher nur über Abschlüsse mit natürlichen Indikatoren gesprochen. Wir stehen also vor der Notwendigkeit, die Potenzen reeller Zahlen mit null und negativen Exponenten in Betracht zu ziehen.

Bestimmung 1. Irgendeine Nummer a , ungleich null, die Potenz von null ist gleich eins, das ist wenn a =/= 0

a 0 = 1. (1)

Beispiel: (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. Die Zahl 0 hat keinen Nullgrad, das heißt, der Ausdruck 0 0 ist nicht definiert.

Bestimmung 2. Wenn ein a=/= 0 und P ist dann eine natürliche Zahl

a - n = 1 /a n (2)

also der Grad einer beliebigen Zahl, die nicht gleich Null ist, mit einem negativen ganzzahligen Exponenten ist gleich einem Bruch, dessen Zähler eins ist, und der Nenner ist die Potenz derselben Zahl a, aber mit einem Exponenten, der dem Exponenten dieser Zahl entgegengesetzt ist Exponent.

Zum Beispiel,

Mit diesen Definitionen im Hinterkopf lässt sich das zeigen a =/= 0, Formel

gilt für alle natürlichen Zahlen t und n , und nicht nur für t > n . Um dies zu beweisen, genügt es, nur zwei Fälle zu betrachten: t = n und t< .п , da der Fall m > n bereits in § 69 behandelt.

Lassen t = n ; dann . Daher ist die linke Seite der Gleichheit (3) gleich 1. Die rechte Seite at t = n wird

a m-n = a n-n = a 0 .

Aber per definitionem a 0 = 1. Somit ist auch die rechte Seite von Gleichheit (3) gleich 1. Daher gilt z t = n Formel (3) ist richtig.

Nun nehme das an t< п . Zähler und Nenner eines Bruches dividieren durch a m , wir bekommen:

Als n > t , dann . So . Unter Verwendung der Definition eines Grades mit negativem Exponenten kann man schreiben .

Also bei , was zu beweisen war. Formel (3) ist nun für beliebige natürliche Zahlen bewiesen t und P .

Kommentar. Mit negativen Exponenten können Sie Brüche ohne Nenner schreiben. Zum Beispiel,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - ein ; allgemein, a / b = ein b - 1

Allerdings sollte man nicht denken, dass bei einer solchen Notation aus Brüchen ganze Zahlen werden. Zum Beispiel 3 - 1 ist der gleiche Bruch wie 1/3, 2 5 - 1 ist der gleiche Bruch wie 2/5 usw.

Übungen

529. Berechnen Sie:

530. Schreiben Sie ohne Nenner eines Bruchs:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Schreiben Sie diese Dezimalbrüche als ganzzahlige Ausdrücke mit negativen Indikatoren:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5