Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Potenzausdrücke (Ausdrücke mit Potenzen) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über das Transformieren von Ausdrücken mit Kräften sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf die Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art, einschließlich Potenzausdrücken, wie dem Öffnen von Klammern oder dem Reduzieren ähnlicher Terme, durchgeführt werden. Und dann werden wir die Transformationen analysieren, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit der Basis und dem Exponenten, Verwenden der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Machtausdrücke“ findet sich praktisch nicht in Schulbüchern der Mathematik, taucht aber häufig in Aufgabensammlungen auf, die beispielsweise speziell zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE konzipiert sind. Nach der Analyse von Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Daher können Sie für sich die folgende Definition nehmen:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Lassen Sie uns bringen Beispiele für Machtausdrücke. Außerdem stellen wir sie danach dar, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Abschluss mit natürlichem Indikator zu einem Abschluss mit echtem Indikator erfolgt.

Wie Sie wissen, gibt es zunächst eine Bekanntschaft mit dem Grad einer Zahl mit natürlichem Exponenten, zu diesem Zeitpunkt die ersten einfachsten Potenzausdrücke des Typs 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit ganzzahligem Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen führt, wie z. B.: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

In den Oberstufenklassen kehren sie wieder zu den Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was zum Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke führt: , , usw. Schließlich werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es gibt zum Beispiel solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach dem Kennenlernen beginnen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen zu erscheinen, zum Beispiel x 2 lgx −5 x lgx.

Also haben wir die Frage geklärt, was Machtausdrücke sind. Als nächstes werden wir lernen, wie man sie umwandelt.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Mit Potenzausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern öffnen, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen und so weiter. Natürlich ist es in diesem Fall notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Maßnahmen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Entscheidung.

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zuerst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch ihren Wert 16 (siehe ggf.), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4 . Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz von 2 3 durch ihren Wert 8 , danach berechnen wir das Produkt 8·4=32 . Dies ist der gewünschte Wert.

So, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Antworten:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Beispiel.

Vereinfachen Sie Potenzausdrücke 3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7.

Entscheidung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3 · a 4 · b − 7 und 2 · a 4 · b − 7 , und wir können sie reduzieren: .

Antworten:

3 ein 4 b −7 −1+2 ein 4 b −7 =5 ein 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen als Produkt aus.

Entscheidung.

Zur Bewältigung der Aufgabe erlaubt die Darstellung der Zahl 9 als Potenz von 3 2 und die anschließende Verwendung der abgekürzten Multiplikationsformel die Differenz von Quadraten:

Antworten:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die Machtausdrücken innewohnen. Als nächstes werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, in deren Basis und / oder Indikator nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel schreiben wir (2+0.3 7) 5−3.7 und (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Beim Arbeiten mit solchen Ausdrücken ist es möglich, sowohl den Ausdruck in der Basis des Grades als auch den Ausdruck im Indikator durch einen identisch gleichen Ausdruck auf dem DPV seiner Variablen zu ersetzen. Mit anderen Worten, nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Abschlusses und den Indikator separat umrechnen. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der identisch gleich dem ursprünglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. In dem oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 können Sie beispielsweise Operationen mit Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz von 4,1 1,3 gehen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme in die Basis des Grades (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) gebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2 (x+1) .

Power-Eigenschaften verwenden

Eines der wichtigsten Werkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichungen, die . Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für beliebige positive Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

• ein r ein s = ein r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ein b) r = ein r b r ;
• (a:b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Beschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für die natürlichen Zahlen m und n die Gleichheit a m a n = a m+n nicht nur für positive a , sondern auch für negative und für a=0 .

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken gerade auf der Fähigkeit, die passende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Basen der Abschlüsse in der Regel positiv, wodurch Sie die Eigenschaften der Abschlüsse uneingeschränkt nutzen können. Dasselbe gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in Gradbasen enthalten - der Bereich der akzeptablen Werte von Variablen ist normalerweise so, dass die Basen nur positive Werte annehmen, wodurch Sie die Eigenschaften frei verwenden können von Grad. Generell muss man sich ständig die Frage stellen, geht das überhaupt dieser Fall Wenden Sie keine Eigenschaft von Graden an, da eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften zu einer Verengung der ODZ und anderen Problemen führen kann. Diese Punkte werden detailliert und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Graden besprochen. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit Basis a aus.

Entscheidung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben: (a 2) –3 =a 2 (–3) =a –6. In diesem Fall nimmt der anfängliche Potenzausdruck die Form a 2,5 ·a –6:a –5,5 an. Offensichtlich bleibt es, die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis zu verwenden, die wir haben
ein 2,5 ein -6: ein -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5 − (−5,5) = a 2 .

Antworten:

ein 2,5 (ein 2) -3: ein -5,5 \u003d ein 2.

Potenzeigenschaften werden verwendet, wenn Potenzausdrücke sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links transformiert werden.

Beispiel.

Ermitteln Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Entscheidung.

Gleichheit (a · b) r = a r · b r , von rechts nach links angewendet, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und weiter zu gehen. Und wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, summieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

Antworten:

.

Beispiel.

Geben Sie bei einem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Entscheidung.

Der Grad a 1,5 kann als 0,5 3 dargestellt werden und weiter auf der Grundlage der Eigenschaft des Grads im Grad (a r ) s = a r s von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 umgewandelt werden. Auf diese Weise, a 1,5 – a 0,5 – 6 = (a 0,5) 3 – a 0,5 – 6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6 .

Antworten:

t 3 – t – 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche darstellen. Alle grundlegenden Bruchtransformationen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Grade enthalten, können gekürzt, auf einen neuen Nenner gekürzt, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner usw. Um die obigen Worte zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Dieser Leistungsausdruck ist ein Bruchteil. Lassen Sie uns mit seinem Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir dem Bruch ein Minus voranstellen: .

Antworten:

.

Das Kürzen von Brüchen mit Potenzen auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie das Kürzen von rationalen Brüchen auf einen neuen Nenner. Gleichzeitig wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Wenn Sie diese Aktion ausführen, sollten Sie daran denken, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des DPV führen kann. Damit dies nicht passiert, ist es notwendig, dass der zusätzliche Faktor für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel.

Brüche auf einen neuen Nenner bringen: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

Entscheidung.

a) In diesem Fall ist es ziemlich einfach herauszufinden, welcher zusätzliche Faktor hilft, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Dies ist ein Multiplikator a 0,3, da a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Beachten Sie, dass im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des angegebenen Bruchs zu multiplizieren durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn wir uns den Nenner genauer ansehen, finden wir das

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Kubikzahlen und , also . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor gefunden. Der Ausdruck verschwindet nicht im Bereich der akzeptablen Werte der Variablen x und y, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antworten:

a) , b) .

Auch die Kürzung von Brüchen mit Gradzahlen ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden als eine bestimmte Anzahl von Teilern dargestellt, und dieselben Teiler von Zähler und Nenner werden gekürzt.

Beispiel.

Kürze den Bruch: a) , b).

Entscheidung.

a) Zunächst lassen sich Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 kürzen, was 15 ergibt. Außerdem können Sie natürlich um x 0,5 +1 und um reduzieren . Hier ist, was wir haben:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Quadratdifferenzformel in Faktoren zu zerlegen:

Antworten:

a)

b) .

Das Kürzen von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen wird hauptsächlich verwendet, um Operationen mit Brüchen durchzuführen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Entscheidung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , dann die Zähler subtrahieren:

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

Offensichtlich ist eine Reduktion um die Potenz x 1/2 möglich, danach haben wir .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antworten:

Beispiel.

Machtausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 gekürzt werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von x etwas anderes getan werden muss. Dazu wandeln wir die resultierende Fraktion in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit gleichen Basen zu nutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antworten:

.

Und wir fügen hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

Oft gibt es in Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, neben Graden mit gebrochenen Exponenten auch Wurzeln. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Graden zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von Wurzeln zu Graden. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Grade zu ersetzen, ohne auf das Modul zugreifen zu müssen, oder die ODZ in mehrere Intervalle aufzuteilen (wir haben dies ausführlich in der beschrieben). Artikel, der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt Nachdem Sie sich mit dem Grad mit einem rationalen Exponenten vertraut gemacht haben, wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem beliebigen reellen Indikator zu sprechen Die Schule beginnt zu lernen Exponentialfunktion, die analytisch durch den Grad gegeben ist, auf dessen Basis eine Zahl steht, und im Indikator - eine Variable. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades und im Exponenten enthalten - Ausdrücke mit Variablen, und natürlich entsteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen und exponentielle Ungleichungen, und diese Transformationen sind ziemlich einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen meist darauf ab, zukünftig eine neue Variable einzuführen. Die Gleichung wird uns erlauben, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Zunächst werden die Exponenten, in deren Exponenten die Summe einer Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Teile der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x dividiert, der nur positive Werte für die ODV der x-Variablen für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind es nicht Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich also auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen ):

Nun werden Brüche mit Potenzen gestrichen, was ergibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zur Gleichung führt , was gleichbedeutend ist mit . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung reduziert

I. V. Boikov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung. Teil 1. Pensa 2003.

Abschnitt 5 AUSDRÜCKE UND GLEICHUNGEN

In dem Abschnitt erfahren Sie:

ü o Ausdrücke und ihre Vereinfachungen;

ü was sind die Eigenschaften von Gleichheiten;

ü wie man Gleichungen löst, die auf den Eigenschaften von Gleichheiten basieren;

ü welche Arten von Problemen werden mit Hilfe von Gleichungen gelöst; Was sind senkrechte Linien und wie baut man sie?

ü welche Linien werden parallel genannt und wie man sie baut;

ü Was ist eine Koordinatenebene?

ü wie man die Koordinaten eines Punktes auf einer Ebene bestimmt;

ü Was ist ein Abhängigkeitsdiagramm zwischen Mengen und wie wird es erstellt?

ü wie man das erlernte Material in der Praxis anwendet

§ 30. AUSDRÜCKE UND IHRE VEREINFACHUNG

Sie wissen bereits, was wörtliche Ausdrücke sind, und wissen, wie Sie sie mit den Gesetzen der Addition und Multiplikation vereinfachen können. Zum Beispiel 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . In dem resultierenden Ausdruck wird die Zahl -8 als Koeffizient des Ausdrucks bezeichnet.

Macht den Ausdruck CD Koeffizient? So. Es ist gleich 1, weil CD - 1 ∙ CD .

Erinnern Sie sich, dass das Konvertieren eines Ausdrucks mit Klammern in einen Ausdruck ohne Klammern als Klammererweiterung bezeichnet wird. Zum Beispiel: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Die umgekehrte Aktion in diesem Beispiel besteht darin, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu setzen.

Terme, die dieselben wörtlichen Faktoren enthalten, werden als ähnliche Terme bezeichnet. Indem man den gemeinsamen Teiler aus Klammern herausnimmt, werden ähnliche Terme aufgestellt:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

Bx + 7y - 5.

Klammererweiterungsregeln

1. Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, bleiben beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen der Begriffe in Klammern erhalten.

2. Steht vor den Klammern ein „-“-Zeichen, dann werden beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen der Klammerbegriffe vertauscht.

Aufgabe 1 . Den Ausdruck vereinfachen:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 Jahre -(-8 + 7 Jahre).

Lösungen. 1. Vor den Klammern steht ein „+“, daher bleiben beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Begriffe erhalten:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Vor den Klammern steht ein „-“, daher beim Öffnen der Klammern: Die Vorzeichen aller Begriffe sind vertauscht:

15 - (- 8 + 7 Jahre) \u003d 15 Jahre + 8 - 7 Jahre \u003d 8 Jahre +8.

Verwenden Sie zum Öffnen von Klammern das Distributivgesetz der Multiplikation: a( b + c) = ab + ac. Wenn a > 0, dann die Vorzeichen der Terme b und mit nicht ändern. Wenn ein< 0, то знаки слагаемых b und von sind vertauscht.

Aufgabe 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Lösungen. 1. Der Faktor 2 vor der Klammer e ist positiv, daher behalten wir beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Terme bei: 2(6 j - 8) + 7 j = 12 j - 16 + 7 j = 19 j -16.

2. Der Faktor -5 vor der Klammer e ist negativ, daher ändern wir beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Terme in die entgegengesetzten:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Finde mehr heraus

1. Das Wort „Summe“ stammt aus dem Lateinischen Summe , was "insgesamt", "insgesamt" bedeutet.

2. Das Wort „Plus“ stammt aus dem Lateinischen Plus , was "mehr" bedeutet, und das Wort "minus" - aus dem Lateinischen Minus, was "weniger" bedeutet. Die Zeichen "+" und "-" werden verwendet, um die Operationen der Addition und Subtraktion anzuzeigen. Diese Zeichen wurden 1489 vom tschechischen Wissenschaftler J. Vidman in dem Buch "Eine schnelle und angenehme Rechnung für alle Kaufleute" eingeführt.(Abb. 138).

Reis. 138

BEMERKEN SIE DIE WICHTIGSTEN DINGE

1. Welche Begriffe werden als ähnlich bezeichnet? Wie werden ähnliche Terme konstruiert?

2. Wie öffnet man Klammern mit vorangestelltem „+“-Zeichen?

3. Wie öffnet man Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen?

4. Wie öffnet man Klammern, denen ein positiver Faktor vorangestellt ist?

5. Wie öffnet man Klammern, denen ein negativer Faktor vorangestellt ist?

1374". Nennen Sie den Koeffizienten des Ausdrucks:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nennen Sie die Terme, die sich nur durch den Koeffizienten unterscheiden:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Wie heißen diese Begriffe?

1376". Gibt es ähnliche Begriffe im Ausdruck:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Müssen die Vorzeichen der Begriffe in Klammern geändert werden, indem die Klammern im Ausdruck geöffnet werden:

1)4 + (a + 3b); 2)-c + (5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Vereinfachen Sie den Ausdruck und unterstreichen Sie den Koeffizienten:

1379°. Vereinfachen Sie den Ausdruck und unterstreichen Sie den Koeffizienten:

1380°. Reduzieren Sie ähnliche Terme:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m - 4 n - 3 m.

1381°. Reduzieren Sie ähnliche Terme:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

1) 1,2 a + 1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Klammern öffnen und gleiche Terme kürzen;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Öffne die Klammern und kürze gleiche Terme:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Erweitern Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks heraus:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Erweitern Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks heraus:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Öffnende Klammer:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Öffnende Klammer:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4c - d)∙(-0,5y);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1391. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1392. Gleiche Terme reduzieren:

1393. Reduzieren Sie ähnliche Terme:

1394. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, durch) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1396. Finde die Bedeutung des Ausdrucks;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), wenn a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+5), wenn = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), wenn x = -0,25;

1398*. Finden Sie den Fehler in der Lösung:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Erweitern Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ordnen Sie die Klammern an, um die richtige Gleichheit zu erhalten:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Beweisen Sie das für beliebige Zahlen a und b wenn a > b , dann gilt folgende Gleichheit:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Ist diese Gleichheit richtig, wenn: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl a das arithmetische Mittel der vorherigen und der folgenden Zahl gleich der Zahl a ist.

IN DER PRAXIS ANWENDEN

1403. Um ein Fruchtdessert für drei Personen zuzubereiten, benötigen Sie: 2 Äpfel, 1 Orange, 2 Bananen und 1 Kiwi. Wie macht man einen Buchstabenausdruck, um die Menge an Obst zu bestimmen, die benötigt wird, um ein Dessert für Gäste zuzubereiten? Hilf Marin zu berechnen, wie viele Früchte sie kaufen muss, wenn sie zu Besuch kommt: 1) 5 Freunde; 2) 8 Freunde.

1404. Machen Sie einen wörtlichen Ausdruck, um die Zeit zu bestimmen, die für die Fertigstellung der Hausaufgaben in Mathematik erforderlich ist, wenn:

1) eine Minute wurde für die Lösung von Problemen aufgewendet; 2) Vereinfachung von Ausdrücken ist 2-mal mehr als für das Lösen von Problemen. Wie viel Zeit hat Vasilko für seine Hausaufgaben gebraucht, wenn er 15 Minuten damit verbracht hat, Probleme zu lösen?

1405. Das Mittagessen in der Schulkantine besteht aus Salat, Borschtsch, Krautrouladen und Kompott. Die Kosten für Salat betragen 20%, Borschtsch 30%, Kohlrouladen 45%, Kompott 5% der Gesamtkosten der gesamten Mahlzeit. Schreiben Sie einen Ausdruck, um die Kosten für das Mittagessen in der Schulcafeteria zu ermitteln. Wie viel kostet das Mittagessen, wenn der Preis für einen Salat 2 UAH beträgt?

WIEDERHOLUNGSAUFGABEN

1406. Löse die Gleichung:

1407. Tanja verbrachte Eiscremealles verfügbare Geld und für Süßigkeiten -der Rest. Wie viel Geld hat Tanja?

wenn Süßigkeiten 12 UAH kosten?

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Monome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom angesehen wird, das aus einem Mitglied besteht.

Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Hinter Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.

Normalerweise werden die Mitglieder von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und Quadratdifferenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen der angegebenen Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so häufig, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

Einige algebraische Beispiele der einen Art können Schulkinder erschrecken. Lange Ausdrücke sind nicht nur einschüchternd, sondern auch sehr schwer zu berechnen. Versuchen, das Folgende und das Folgende sofort zu verstehen, um nicht lange verwirrt zu sein. Aus diesem Grund versuchen Mathematiker immer, die „schreckliche“ Aufgabe so weit wie möglich zu vereinfachen und erst dann an die Lösung zu gehen. Seltsamerweise beschleunigt ein solcher Trick den Prozess erheblich.

Vereinfachung ist einer der grundlegenden Punkte in der Algebra. Wenn bei einfachen Aufgaben noch darauf verzichtet werden kann, dann können schwieriger zu berechnende Beispiele „zu schwer“ sein. Hier kommen diese Fähigkeiten ins Spiel! Darüber hinaus sind keine komplexen mathematischen Kenntnisse erforderlich: Es reicht aus, sich nur einige grundlegende Techniken und Formeln zu merken und zu lernen, wie man sie in die Praxis umsetzt.

Unabhängig von der Komplexität der Berechnungen ist dies beim Lösen eines Ausdrucks wichtig Folgen Sie der Reihenfolge der Operationen mit Zahlen:

1. Klammern;
2. Potenzierung;
3. Multiplikation;
4. Aufteilung;
5. Zusatz;
6. Subtraktion.

Die letzten beiden Punkte können bedenkenlos vertauscht werden, was das Ergebnis in keiner Weise beeinflusst. Aber das Addieren zweier benachbarter Zahlen, wenn neben einer ein Multiplikationszeichen steht, ist absolut unmöglich! Die Antwort ist, wenn überhaupt, falsch. Daher müssen Sie sich die Reihenfolge merken.

Die Verwendung solcher

Zu solchen Elementen gehören Zahlen mit einer Variablen gleicher Ordnung oder gleichen Grades. Es gibt auch sogenannte freie Mitglieder, die nicht neben sich die Buchstabenbezeichnung des Unbekannten haben.

Die Quintessenz ist, dass ohne Klammern Sie können den Ausdruck vereinfachen, indem Sie like hinzufügen oder subtrahieren.

Ein paar anschauliche Beispiele:

• 8x 2 und 3x 2 - beide Zahlen haben die gleiche Variable zweiter Ordnung, also sind sie ähnlich und wenn sie addiert werden, werden sie zu (8+3)x 2 = 11x 2 vereinfacht, während sich bei der Subtraktion herausstellt, dass (8-3) x 2 = 5 x 2;
• 4x 3 und 6x - und hier hat "x" einen anderen Grad;
• 2y 7 und 33x 7 - enthalten unterschiedliche Variablen und gehören daher wie im vorherigen Fall nicht zu ähnlichen.

Faktorisieren einer Zahl

Dieser kleine mathematische Trick hilft Ihnen, wenn Sie lernen, wie man ihn richtig anwendet, in Zukunft mehr als einmal mit einer kniffligen Aufgabe fertig zu werden. Und es ist leicht zu verstehen, wie das „System“ funktioniert: eine Zerlegung ist ein Produkt mehrerer Elemente, deren Berechnung den ursprünglichen Wert ergibt. Somit kann 20 als 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 oder auf andere Weise dargestellt werden.

Auf einer Notiz: Multiplikatoren sind immer gleich Divisoren. Sie müssen also unter den Zahlen, durch die das Original ohne Rest teilbar ist, ein funktionierendes „Paar“ zur Erweiterung suchen.

Sie können eine solche Operation sowohl mit freien Elementen als auch mit an eine Variable angehängten Ziffern ausführen. Die Hauptsache ist, letzteres bei Berechnungen nicht zu verlieren - auch nicht Nach der Zersetzung kann das Unbekannte nicht „nirgendwo hingehen“. Es bleibt bei einem der Faktoren:

• 15x=3(5x);
• 60 Jahre 2 \u003d (15 Jahre 2) 4.

Primzahlen die nur durch sich selbst teilbar sind oder 1 niemals faktorisieren - macht keinen Sinn..

Grundlegende Vereinfachungsmethoden

Das Erste, was ins Auge fällt:

• das Vorhandensein von Klammern;
• Brüche;
• Wurzeln.

Algebraische Beispiele im Schullehrplan werden oft in der Annahme zusammengestellt, dass sie sich schön vereinfachen lassen.

Klammerberechnungen

Achten Sie genau auf das Schild vor den Klammern! Multiplikation oder Division wird auf jedes Element im Inneren angewendet, und Minus - kehrt die vorhandenen „+“- oder „-“-Zeichen um.

Klammern werden nach den Regeln oder nach den Formeln der abgekürzten Multiplikation berechnet, wonach ähnliche angegeben werden.

Fraktionsreduktion

Brüche kürzen ist auch einfach. Sie selbst laufen ab und zu „freiwillig weg“, es lohnt sich, Operationen mit der Mitnahme solcher Mitglieder durchzuführen. Aber Sie können das Beispiel auch schon vorher vereinfachen: Achte auf Zähler und Nenner. Sie enthalten oft explizite oder versteckte Elemente, die gegenseitig reduziert werden können. Richtig, wenn Sie im ersten Fall nur das Überflüssige löschen müssen, müssen Sie im zweiten Fall nachdenken und einen Teil des Ausdrucks zur Vereinfachung in das Formular bringen. Verwendete Methoden:

• Suchen und Einklammern des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner;
• Dividieren jedes obersten Elements durch den Nenner.

Wenn sich ein Ausdruck oder ein Teil davon unter der Wurzel befindet, ist das primäre Vereinfachungsproblem fast das gleiche wie bei Brüchen. Es muss nach Möglichkeiten gesucht werden, es vollständig zu beseitigen oder, falls dies nicht möglich ist, das Vorzeichen zu minimieren, das die Berechnungen stört. Zum Beispiel zu dezent √(3) oder √(7).

Ein sicherer Weg, den radikalen Ausdruck zu vereinfachen, besteht darin, zu versuchen, ihn auszuklammern, von denen einige außerhalb des Zeichens liegen. Ein anschauliches Beispiel: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Andere kleine Tricks und Nuancen:

• diese Vereinfachungsoperation kann mit Brüchen durchgeführt werden, indem sie sowohl als Ganzes als auch einzeln als Zähler oder Nenner aus dem Zeichen herausgenommen werden;
• Es ist unmöglich, einen Teil der Summe oder Differenz über die Wurzel hinaus zu zerlegen und herauszunehmen;
• Wenn Sie mit Variablen arbeiten, achten Sie darauf, ihren Grad zu berücksichtigen, er muss gleich oder ein Vielfaches der Wurzel sein, damit Folgendes wiedergegeben werden kann: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• manchmal ist es erlaubt, die Wurzelvariable loszuwerden, indem man sie mit einer Bruchzahl potenziert: √ (y 3)=y 3/2.

Vereinfachung von Potenzausdrücken

Wenn bei einfachen Berechnungen mit Minus oder Plus Beispiele vereinfacht werden, indem ähnliche verwendet werden, was ist dann mit der Multiplikation oder Division von Variablen mit unterschiedlichen Potenzen? Sie können leicht vereinfacht werden, indem man sich an zwei Hauptpunkte erinnert:

1. Wenn zwischen den Variablen ein Multiplikationszeichen steht, werden die Exponenten addiert.
2. Wenn sie durcheinander dividiert werden, wird derselbe Nenner vom Grad des Zählers subtrahiert.

Einzige Bedingung für eine solche Vereinfachung ist, dass beide Begriffe die gleiche Grundlage haben. Beispiele zur Verdeutlichung:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Wir weisen darauf hin, dass Operationen mit Zahlenwerten vor Variablen nach den üblichen mathematischen Regeln ablaufen. Und wenn man genau hinschaut, wird deutlich, dass die Machtelemente des Ausdrucks „funktionieren“ auf ähnliche Weise:

• ein Mitglied zu potenzieren bedeutet, es eine bestimmte Anzahl von Malen mit sich selbst zu multiplizieren, d. H. x 2 \u003d x × x;
• Division ist ähnlich: Wenn Sie den Grad von Zähler und Nenner erweitern, werden einige der Variablen reduziert, während der Rest „gesammelt“ wird, was einer Subtraktion entspricht.

Wie in jedem Geschäft sind auch beim Vereinfachen algebraischer Ausdrücke nicht nur Grundlagenkenntnisse, sondern auch Übung notwendig. Nach nur wenigen Lektionen werden einst kompliziert erscheinende Beispiele ohne große Schwierigkeiten zu kurzen und leicht lösbaren Beispielen.

Video

Dieses Video hilft Ihnen zu verstehen und sich daran zu erinnern, wie Ausdrücke vereinfacht werden.

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Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber zuerst werden wir auf eine Reihe von Transformationen eingehen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzen, durchgeführt werden können. Wir lernen, wie man Klammern öffnet, gleiche Terme angibt, mit Basis und Exponent arbeitet, die Eigenschaften von Potenzen nutzt.

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Was sind Machtausdrücke?

Im Schulunterricht verwenden die wenigsten den Ausdruck „Machtausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich immer wieder in Sammlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung. In den meisten Fällen bezeichnet der Ausdruck Ausdrücke, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Bestimmung 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Wir geben mehrere Beispiele für Potenzausdrücke, beginnend mit einem Grad mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem Grad mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit natürlichem Exponenten betrachtet werden: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + ein 2 , x 3 − 1 , (ein 2) 3 . Sowie Potenzen mit Exponent null: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann eine Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder ein Logarithmus sein x 2 l g x − 5 x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Werfen wir nun einen Blick auf ihre Transformation.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Leistungsausdruckswert 2 3 (4 2 − 12).

Entscheidung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall beginnen wir mit den Aktionen in Klammern: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zwischen den beiden Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Es bleibt uns, den Abschluss zu ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und das Produkt berechnen 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antworten: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Kräften 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7.

Entscheidung

Der uns im Zustand des Problems gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir bringen können: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1.

Antworten: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen von 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Entscheidung

Stellen wir die Zahl 9 als Potenz dar 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antworten: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse identischer Transformationen, die speziell auf Potenzausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 und . Es ist schwierig, mit solchen Aufzeichnungen zu arbeiten. Viel einfacher ist es, den Ausdruck in der Basis des Exponenten oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Die Transformationen des Grades und des Indikators erfolgen nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander. Das Wichtigste ist, dass als Ergebnis der Transformationen ein Ausdruck erhalten wird, der mit dem ursprünglichen identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung des Problems zu erhalten. In dem Beispiel, das wir oben gegeben haben, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 können Sie beispielsweise Operationen ausführen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Wenn wir die Klammern öffnen, können wir ähnliche Begriffe in die Basis des Abschlusses einbringen (ein (ein + 1) − ein 2) 2 (x + 1) und erhalten Sie einen Machtausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Power-Eigenschaften verwenden

Die als Gleichheit geschriebenen Eigenschaften von Graden sind eines der Hauptwerkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Graden. In Anbetracht dessen stellen wir hier die wichtigsten vor a und b sind alle positiven Zahlen, und r und s- beliebige reelle Zahlen:

Bestimmung 2

• ein r ein s = ein r + s ;
• ein r: ein s = ein r - s ;
• (ein b) r = ein r b r ;
• (a: b) r = ein r: b r ;
• (ein r) s = ein r s .

In Fällen, in denen wir es mit natürlichen, ganzzahligen, positiven Exponenten zu tun haben, können die Beschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Also zum Beispiel, wenn wir die Gleichheit betrachten ein m ein n = ein m + n, wo m und n natürliche Zahlen sind, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Sie können die Eigenschaften von Graden ohne Einschränkungen in Fällen anwenden, in denen die Basen der Grade positiv sind oder Variablen enthalten, deren Bereich akzeptabler Werte so ist, dass die Basen nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Rahmen des Schullehrplans in Mathematik darin, die geeignete Eigenschaft auszuwählen und sie richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang kann es Aufgaben geben, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Schwierigkeiten bei der Lösung führt. In diesem Abschnitt betrachten wir nur zwei solcher Fälle. Nähere Informationen zum Thema finden Sie im Thema "Umwandlung von Ausdrücken mit Exponenteneigenschaften".

Beispiel 4

Den Ausdruck darstellen a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 als Abschluss mit Basis a.

Entscheidung

Zunächst nutzen wir die Potenzierungseigenschaft und transformieren damit den zweiten Faktor (ein 2) − 3. Dann verwenden wir die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = ein 2 .

Antworten: ein 2 , 5 (ein 2) − 3: ein − 5 , 5 = ein 2 .

Die Transformation von Potenzausdrücken nach der Eigenschaft von Graden kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Entscheidung

Wenden wir die Gleichheit an (ein b) r = ein r b r, von rechts nach links, dann erhalten wir ein Produkt der Form 3 7 1 3 21 2 3 und dann 21 1 3 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten beim Multiplizieren von Potenzen mit denselben Basen: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, Transformationen vorzunehmen:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antworten: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Angesichts eines Machtausdrucks ein 1 , 5 − ein 0 , 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0 , 5.

Entscheidung

Stellen Sie sich den Abschluss vor 1, 5 als a 0 , 5 3. Verwenden der Eigenschaft Degree in einem Degree (ein r) s = ein r s von rechts nach links und erhalte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . In dem resultierenden Ausdruck können Sie einfach eine neue Variable einführen t = a 0 , 5: werden t 3 − t − 6.

Antworten: t 3 − t − 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Üblicherweise haben wir es mit zwei Varianten von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck ist ein Bruch mit einem Grad oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Bruchtransformationen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie lassen sich kürzen, auf einen neuen Nenner bringen, mit Zähler und Nenner getrennt arbeiten. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfache den Potenzausdruck 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Entscheidung

Wir haben es mit einem Bruch zu tun, also führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setze ein Minus vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antworten: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner gebracht. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so zu wählen, dass er für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel 8

Bringen Sie die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 auf den Nenner a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 zum Nenner x + 8 y 1 2 .

Entscheidung

a) Wir wählen einen Faktor, der es uns erlaubt, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. ein 0 , 7 ein 0 , 3 = ein 0 , 7 + 0 , 3 = ein , daher nehmen wir als zusätzlichen Faktor eine 0 , 3. Der Bereich der zulässigen Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. In diesem Bereich ist der Abschluss eine 0 , 3 geht nicht auf null.

Multiplizieren wir Zähler und Nenner eines Bruchs mit eine 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achte auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6 , erhalten wir die Summe der Kuben x 1 3 und 2 · y 1 6 , d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Also haben wir einen zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Über den Bereich akzeptabler Werte von Variablen x und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, also können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antworten: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 j 1 2 .

Beispiel 9

Kürze den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Entscheidung

a) Verwenden Sie den größten gemeinsamen Nenner (ggT), um den sich Zähler und Nenner kürzen lassen. Für die Zahlen 30 und 45 ist dies 15 . Wir können auch reduzieren x 0 , 5 + 1 und auf x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mit der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antworten: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Die Hauptoperationen mit Brüchen umfassen das Kürzen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen. Beide Aktionen werden in Übereinstimmung mit einer Reihe von Regeln ausgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden Operationen (Addition oder Subtraktion) mit Zählern durchgeführt. Der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis unserer Aktionen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Entscheidung

Beginnen wir damit, die Brüche in Klammern zu subtrahieren. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Lassen Sie uns um ein Grad reduzieren x 1 2, erhalten wir 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Zusätzlich kannst du den Potenzausdruck im Nenner mit der Formel für die Differenz von Quadraten vereinfachen: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Antworten: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfache den Potenzausdruck x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Entscheidung

Wir können den Bruch um kürzen (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten einen Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation von x Potenzen x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit denselben Basen verwenden: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Wir gehen vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1 über.

Antworten: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

In den meisten Fällen ist es bequemer, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner und umgekehrt zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Diese Aktion vereinfacht die weitere Entscheidung. Nehmen wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0 , 2 ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

In Aufgaben gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Grade mit gebrochenen Exponenten enthalten, sondern auch Wurzeln. Es ist wünschenswert, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Der Übergang zu Graden ist vorzuziehen, da sie einfacher zu handhaben sind. Ein solcher Übergang ist besonders vorteilhaft, wenn der DPV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen erlaubt, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modulus zugreifen oder den DPV in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 x x 3 6 als Potenz aus.

Entscheidung

Gültiger Bereich einer Variablen x wird durch zwei Ungleichungen bestimmt x ≥ 0 und x · x 3 ≥ 0 , die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

An diesem Set haben wir das Recht, von den Wurzeln zu Kräften zu wechseln:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antworten: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen umrechnen mit Variablen im Exponenten

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grads richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können das Produkt des Grades ersetzen, in dessen Begriff die Summe einer Variablen und einer Zahl gefunden wird. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term auf der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Lassen Sie uns nun beide Seiten der Gleichung durch dividieren 7 2x. Dieser Ausdruck auf der ODZ der Variablen x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Lassen Sie uns die Brüche mit Potenzen kürzen, wir erhalten: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ist x - 2 = 0 .

Wir führen eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 reduziert.

Umrechnen von Ausdrücken mit Potenzen und Logarithmen

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, finden sich auch in Aufgaben. Beispiele für solche Ausdrücke sind: 1 4 1 - 5 log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben genannten Ansätzen und Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema "Transformation logarithmischer Ausdrücke" ausführlich analysiert haben.

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