In diesem Artikel werden wir uns ausführlich mit einem der Hauptkonzepte der Geometrie befassen - dem Konzept einer geraden Linie in einer Ebene. Lassen Sie uns zunächst die grundlegenden Begriffe und die Notation definieren. Als nächstes diskutieren wir die relative Position einer Linie und eines Punktes sowie zweier Linien auf einer Ebene und geben die notwendigen Axiome an. Abschließend betrachten wir Möglichkeiten, eine gerade Linie auf einer Ebene zu setzen und grafische Illustrationen zu geben.

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Eine gerade Linie in einer Ebene ist ein Konzept.

Bevor man das Konzept einer geraden Linie auf einer Ebene angibt, sollte man klar verstehen, was eine Ebene ist. Darstellung des Flugzeugs ermöglicht es Ihnen, zum Beispiel eine ebene Oberfläche des Tisches oder der Hauswand zu erhalten. Es ist jedoch zu beachten, dass die Abmessungen des Tisches begrenzt sind und sich die Ebene über diese Grenzen hinaus ins Unendliche erstreckt (als hätten wir einen beliebig großen Tisch).

Wenn wir einen gut gespitzten Bleistift nehmen und mit seinem Kern die Oberfläche des „Tisches“ berühren, erhalten wir ein Bild eines Punktes. Also bekommen wir Darstellung eines Punktes auf einer Ebene.

Jetzt können Sie zu gehen Konzept einer geraden Linie in einer Ebene.

Lassen Sie uns auf die Oberfläche des Tisches (im Flugzeug) ein Blatt sauberes Papier legen. Um eine gerade Linie zu zeichnen, müssen wir ein Lineal nehmen und mit einem Bleistift eine Linie ziehen, soweit es die Größe des verwendeten Lineals und des verwendeten Papiers zulässt. Es sei darauf hingewiesen, dass wir auf diese Weise nur einen Teil der Geraden erhalten. Eine gerade Linie in ihrer Gesamtheit, die sich bis ins Unendliche erstreckt, können wir uns nur vorstellen.

Gegenseitige Position einer Linie und eines Punktes.

Sie sollten mit einem Axiom beginnen: Auf jeder Geraden und in jeder Ebene gibt es Punkte.

Punkte werden normalerweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, z. B. Punkte A und F. Gerade Linien werden wiederum mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel gerade Linien a und d.

Möglich zwei Optionen für die relative Position einer Linie und eines Punktes auf einer Ebene: entweder liegt der Punkt auf einer Geraden (in diesem Fall sagt man auch, die Gerade geht durch den Punkt), oder der Punkt liegt nicht auf der Geraden (man sagt auch, der Punkt gehört nicht zur Geraden, oder die Linie geht nicht durch den Punkt).

Um anzuzeigen, dass ein Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, wird das Symbol "" verwendet. Wenn zum Beispiel Punkt A auf der Linie a liegt, dann kannst du schreiben. Wenn Punkt A nicht zur Linie a gehört, dann schreibe auf.

Es gilt die folgende Aussage: Durch je zwei Punkte geht nur eine Gerade.

Diese Aussage ist ein Axiom und sollte als Tatsache akzeptiert werden. Außerdem ist das ganz offensichtlich: Wir markieren zwei Punkte auf Papier, legen ein Lineal darauf und ziehen eine gerade Linie. Eine Gerade, die durch zwei gegebene Punkte (z. B. durch die Punkte A und B) verläuft, kann mit diesen beiden Buchstaben bezeichnet werden (in unserem Fall Gerade AB oder BA).

Es sollte klar sein, dass es auf einer geraden Linie, die in einer Ebene gegeben ist, unendlich viele verschiedene Punkte gibt und alle diese Punkte in derselben Ebene liegen. Diese Aussage wird durch das Axiom begründet: Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer bestimmten Ebene, dann liegen alle Punkte dieser Geraden in dieser Ebene.

Die Menge aller Punkte, die zwischen zwei auf einer Geraden liegenden Punkten liegen, zusammen mit diesen Punkten, heißt gerade Linie oder einfach Segment. Die Punkte, die das Segment begrenzen, werden als Enden des Segments bezeichnet. Ein Segment wird durch zwei Buchstaben bezeichnet, die den Punkten der Enden des Segments entsprechen. Seien beispielsweise die Punkte A und B die Enden eines Segments, dann kann dieses Segment mit AB oder BA bezeichnet werden. Bitte beachten Sie, dass diese Bezeichnung eines Segments die gleiche ist wie die Bezeichnung einer geraden Linie. Um Verwechslungen zu vermeiden, empfehlen wir, die Bezeichnung um das Wort „Segment“ oder „gerade“ zu ergänzen.

Für eine kurze Aufzeichnung der Zugehörigkeit und Nichtzugehörigkeit zu einem bestimmten Punkt zu einem bestimmten Segment werden alle die gleichen Symbole und verwendet. Um anzuzeigen, dass ein Segment auf einer geraden Linie liegt oder nicht liegt, werden die Symbole bzw. verwendet. Wenn zum Beispiel das Segment AB zur Linie a gehört, können Sie es kurz aufschreiben.

Wir sollten uns auch mit dem Fall befassen, wenn drei verschiedene Punkte zu derselben Linie gehören. In diesem Fall liegt genau ein Punkt zwischen den beiden anderen. Diese Aussage ist ein weiteres Axiom. Die Punkte A, B und C liegen auf derselben Geraden, und Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C. Dann können wir sagen, dass die Punkte A und C auf gegenüberliegenden Seiten von Punkt B liegen. Man kann auch sagen, dass die Punkte B und C auf der gleichen Seite von Punkt A liegen und die Punkte A und B auf der gleichen Seite von Punkt C liegen.

Um das Bild zu vervollständigen, stellen wir fest, dass jeder Punkt einer geraden Linie diese gerade Linie in zwei Teile teilt - zwei Strahl. Für diesen Fall ist ein Axiom gegeben: Ein beliebiger Punkt O, der zu einer Linie gehört, teilt diese Linie in zwei Strahlen, und zwei beliebige Punkte eines Strahls liegen auf derselben Seite des Punktes O und zwei beliebige Punkte verschiedener Strahlen liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O.

Gegenseitige Anordnung von Geraden in einer Ebene.

Beantworten wir nun die Frage: "Wie können zwei Linien relativ zueinander auf einer Ebene liegen"?

Erstens, zwei Linien in einer Ebene können übereinstimmen.

Dies ist möglich, wenn die Linien mindestens zwei Punkte gemeinsam haben. In der Tat geht aufgrund des im vorigen Absatz geäußerten Axioms eine einzige gerade Linie durch zwei Punkte. Mit anderen Worten, wenn zwei Geraden durch zwei gegebene Punkte verlaufen, fallen sie zusammen.

Zweitens können zwei Geraden in einer Ebene Kreuz.

In diesem Fall haben die Linien einen gemeinsamen Punkt, der Schnittpunkt der Linien genannt wird. Der Schnittpunkt von Linien wird mit dem Symbol "" bezeichnet, zum Beispiel bedeutet der Datensatz, dass sich die Linien a und b am Punkt M schneiden. Sich schneidende Linien führen uns zum Konzept des Winkels zwischen sich schneidenden Linien. Unabhängig davon lohnt es sich, die Position von geraden Linien in einer Ebene zu berücksichtigen, wenn der Winkel zwischen ihnen neunzig Grad beträgt. In diesem Fall werden die Leitungen aufgerufen aufrecht(wir empfehlen den Artikel Senkrechte Linien, Rechtwinkligkeit von Linien). Wenn die Linie a senkrecht zur Linie b verläuft, kann eine Kurzschreibweise verwendet werden.

Drittens können zwei Geraden in einer Ebene parallel sein.

Aus praktischer Sicht ist es zweckmäßig, eine Gerade in einer Ebene zusammen mit Vektoren zu betrachten. Von besonderer Bedeutung sind Vektoren ungleich Null, die auf einer bestimmten Linie oder auf einer der parallelen Linien liegen, die sie genannt werden Richtungsvektoren der Geraden. Der Artikel Richtungsvektor einer Geraden auf einer Ebene gibt Beispiele für Richtungsvektoren und zeigt Möglichkeiten für deren Verwendung bei der Lösung von Problemen auf.

Sie sollten auch darauf achten, dass Vektoren ungleich Null auf einer der Linien liegen, die senkrecht zur gegebenen stehen. Solche Vektoren werden genannt Normalenvektoren der Geraden. Die Verwendung von Normalenvektoren einer Geraden ist im Artikel Normalenvektor einer Geraden auf einer Ebene beschrieben.

Wenn drei oder mehr gerade Linien auf einer Ebene gegeben sind, gibt es viele verschiedene Optionen für ihre relative Position. Alle Linien können parallel sein, andernfalls schneiden sich einige oder alle von ihnen. Dabei können sich alle Linien in einem einzigen Punkt schneiden (siehe Artikel Linienstift) oder sie können unterschiedliche Schnittpunkte haben.

Wir werden darauf nicht im Detail eingehen, aber wir werden einige bemerkenswerte und sehr oft verwendete Tatsachen ohne Beweis anführen:

• wenn zwei Linien parallel zu einer dritten Linie sind, dann sind sie parallel zueinander;
• wenn zwei Geraden senkrecht zu einer dritten Geraden stehen, dann sind sie parallel zueinander;
• Wenn in einer Ebene eine Gerade eine von zwei parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die zweite Gerade.

Methoden zum Setzen einer geraden Linie in einer Ebene.

Jetzt listen wir die wichtigsten Möglichkeiten auf, wie Sie eine bestimmte Linie in der Ebene definieren können. Dieses Wissen ist aus praktischer Sicht sehr nützlich, da die Lösung so vieler Beispiele und Probleme darauf basiert.

Zunächst kann eine Gerade definiert werden, indem zwei Punkte auf der Ebene angegeben werden.

In der Tat wissen wir aus dem im ersten Absatz dieses Artikels betrachteten Axiom, dass eine gerade Linie durch zwei Punkte geht und außerdem nur durch einen.

Wenn die Koordinaten zweier nicht zusammenfallender Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene angegeben werden, kann die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, aufgeschrieben werden.

Zweitens kann eine Linie angegeben werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und die Linie, zu der sie parallel ist, angegeben werden. Dieses Verfahren ist gültig, da eine einzelne gerade Linie parallel zu einer bestimmten geraden Linie durch einen bestimmten Punkt der Ebene verläuft. Der Beweis dieser Tatsache wurde im Geometrieunterricht in der High School durchgeführt.

Setzt man auf diese Weise eine Gerade in einer Ebene relativ zum eingeführten rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem, so lässt sich deren Gleichung aufstellen. Dies ist in dem Artikel die Gleichung einer geraden Linie geschrieben, die durch einen bestimmten Punkt parallel zu einer bestimmten geraden Linie verläuft.

Drittens kann eine Linie definiert werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und ihr Richtungsvektor angegeben werden.

Wenn auf diese Weise eine gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben ist, dann ist es einfach, ihre kanonische Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene und parametrische Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene zusammenzusetzen.

Die vierte Möglichkeit, eine Linie anzugeben, besteht darin, den Punkt anzugeben, durch den sie verläuft, und die Linie, zu der sie senkrecht steht. Tatsächlich gibt es nur eine Gerade durch einen gegebenen Punkt der Ebene, die senkrecht zu der gegebenen Geraden steht. Lassen wir diese Tatsache unbewiesen.

Schließlich kann eine Linie in der Ebene angegeben werden, indem der Punkt, durch den sie verläuft, und der Normalenvektor der Linie angegeben werden.

Wenn die Koordinaten eines auf einer gegebenen Geraden liegenden Punktes und die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden bekannt sind, dann ist es möglich, die allgemeine Geradengleichung aufzustellen.

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Erster Band: Elemente der linearen Algebra und analytischen Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

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Übrigens spricht die letzte Ungleichung nur von der Nichtparallelität ihrer Normalenvektoren.

Wenn die Linien parallel sind, hat das System keine Lösung. Analytisch würde es so aussehen:

Aber wenn alle drei Brüche gleich sind, dann fallen die Geraden zusammen, und deshalb hat das System unendlich viele Lösungen.

Winkel zwischen zwei Geraden kann mit zwei Formeln gefunden werden.

Wenn die Linien durch allgemeine Gleichungen gegeben sind, dann stimmt der Winkel zwischen ihnen mit dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren überein. Sie errechnet sich nach Formel (6.9) aus der vorherigen Vorlesung. Für unseren Fall sieht es so aus:

. (7.7)

Zustand paralleler Linien:

;

Senkrechte Bedingung:

.

Wenn die Linien durch Gleichungen mit Steigungskoeffizienten der Form gegeben sind:

und ,

dann wird der Tangens des Winkels zwischen ihnen durch die Formel bestimmt:

. (7.8)

Parallelbedingung:

Senkrechte Bedingung:

.

Beispiel 7.4. Finden Sie den Schnittpunkt von Linien und und der Winkel zwischen ihnen.

Lösungen e. Lassen Sie uns den Schnittpunkt der Linien finden, indem wir das Gleichungssystem nach der Cramer-Methode lösen:

, , ,

Der Winkel zwischen den Linien ist definiert als der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren (2, 5) und (5, –2). Nach Formel (7.7) haben wir:

.

Was sagt diese Antwort aus? Die Linien sind senkrecht, weil .

Beispiel 7.5. Bei welchem ​​Wert der Parameter a und b direkt u : a) sich schneiden, b) sind parallel, in) Spiel?

Lösungen e. Zwei Geraden schneiden sich, wenn die Bedingung erfüllt ist. In unserem Fall

.

Linien sind parallel, wenn , d.h.

.

Und schließlich fallen zwei Linien zusammen, sofern dies der Fall ist , d.h. Wenn .

Beispiel 7.6. Gegeben sei ein Punkt und eine Gerade . Schreibe Liniengleichungen L 1 und L 2 durch den Punkt EIN, und und .

Lösungen e. Machen wir eine Skizze.

Reis. 7.6

Steigung der ursprünglichen Linie L gleich k= -2. Bedingt also . Durch Formel (7.4) finden wir die Geradengleichung L 1:

, oder .

Seit damals . Dann die Geradengleichung L 2 sieht so aus:

, oder .

7.4. Definition einer Kurve zweiter Ordnung

Definition 7.1.Kurve zweiter Ordnung wird eine Linie genannt, die durch eine Gleichung zweiten Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten definiert ist. Im Allgemeinen hat diese Gleichung die Form:

wo sind die ganzen Zahlen SONDERN, BEIM, Mit, usw. reelle Zahlen sind, und außerdem mindestens eine der Zahlen SONDERN, BEIM, Mit- von Null verschieden.

Vor der Einführung des kartesischen Koordinatensystems wurden alle Kurven verbal beschrieben, basierend auf den geometrischen Eigenschaften der betrachteten Kurve. Die Definition eines Kreises lautete also wie folgt:

Definition 7.2. Kreis – ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt ist.

Kreisgleichung, zentriert am Punkt ( a,b) und Radius R In kartesischen Koordinaten sieht die aus der Schule so aus:

Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir eine Gleichung ähnlich Gleichung (7.9), in der es keinen Term gibt, der das Produkt der aktuellen Koordinaten enthält, und die Koeffizienten bei höheren Potenzen einander gleich sind.

Die Herleitung aller Gleichungen zweiter Ordnung ist ähnlich der Herleitung der Geradengleichungen und folgt demselben Algorithmus.

Wir leiten die Gleichung einer Parabel basierend auf ihrer Definition her.

7.5. Kanonische Parabelgleichung

Definition 7.3. Parabel ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt gleich weit entfernt sind F namens Fokus, und diese gerade Linie, genannt Schulleiterin.

Lassen Sie uns den Abstand vom Fokus zur Leitlinie als bezeichnen p. Dieser Wert wird aufgerufen Parameter Parabeln.

1. Positionieren Sie die x-Achse so, dass sie durch den Fokus verläuft, senkrecht zur Leitlinie steht und eine positive Richtung von der Leitlinie zum Fokus hat.

2. Legen Sie den Koordinatenursprung in die Mitte dieser Senkrechten. Dann werden die Koordinaten des Punktes sein F(p/2, 0) und die Directrix-Gleichung: .

3. Nehmen Sie den aktuellen Punkt auf der Parabel M(x, y).

4. Per Definition einer Parabel der Abstand MN von diesem Punkt M zur Leitlinie ist gleich ihrer Entfernung MF aus Fokus: MF= MN. Wie aus der Zeichnung ersichtlich (Abb. 7.7), sind die Koordinaten des Punktes N(–p/2, j). Lassen Sie uns diese Entfernungen mit der Formel für die Entfernung zwischen zwei Punkten aus Absatz 1 der vorherigen Vorlesung ermitteln.

, .

Wenn wir die rechten Seiten dieser Ausdrücke gleichsetzen und beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir:

,

oder nach Abkürzungen

. (7.11)

Gleichung (7.11) wird aufgerufen die kanonische Gleichung der Parabel. Nur die auf der Kurve liegenden Punkte werden ihr genügen, der Rest nicht. Untersuchen wir die Form seines Graphen gemäß der kanonischen Gleichung.

Soweit j tritt in eine gleichmäßige Potenz ein, dann die Achse OH wird die Symmetrieachse sein, d.h. ein Wert X stimmt mit zwei Werten überein Y- positiv und negativ. weil die rechte Seite ist nicht negativ beim, dann auch die linke. Als R ist der Abstand zwischen Fokus und Leitlinie, der immer größer als Null ist, dann X. Wenn ein X=0, dann beim=0, d.h. Die Parabel geht durch den Ursprung. Mit unbegrenzter Steigerung x Absolutwert beim wird auch unendlich steigen.

Der Graph der durch Gleichung (7.11) definierten Parabel ist in Abb. 2 dargestellt. 7.7.

Reis. 7.7 Abb. 7.8

Die Symmetrieachse der Parabel wird Brennachse genannt, weil es hat Fokus. Wenn die Brennachse der Parabel als y-Achse genommen wird, dann hat ihre Gleichung die Form:

.

Seine Zeichnung ist in Abb. 7.8. In diesem Fall liegt der Fokus auf dem Punkt F(0, p/2), und die Directrix-Gleichung hat die Form beim = –R/2.

Also betrachteten wir eine Parabel, fanden ihre Gleichung und zeigten mögliche Positionen relativ zum Ursprung.

Wenn der Scheitelpunkt der Parabel zu einem Punkt verschoben ist , dann sieht die kanonische Gleichung so aus:

.

Auf die Herleitung anderer Kurven zweiter Ordnung wird nicht eingegangen. Wer möchte, findet alle Berechnungen in der empfohlenen Literatur.

Wir beschränken uns auf ihre Definitionen und Gleichungen.

In weniger als einer Minute erstellte ich eine neue Verdov-Datei und fuhr mit einem so spannenden Thema fort. Sie müssen die Momente der Arbeitsstimmung einfangen, daher wird es keine lyrische Einführung geben. Es wird prosaisches Spanking geben =)

Die beiden geraden Räume können:

1) kreuzen;

2) schneiden sich am Punkt ;

3) parallel sein;

4) übereinstimmen.

Fall Nr. 1 unterscheidet sich grundlegend von den anderen Fällen. Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen.. Heben Sie einen Arm nach oben und strecken Sie den anderen Arm nach vorne - hier ist ein Beispiel für sich kreuzende Linien. In den Punkten 2-4 liegen die Linien zwangsläufig in einer Ebene.

Wie finde ich die relative Position von Linien im Raum heraus?

Betrachten Sie zwei gerade Räume:

ist eine Gerade, die durch einen Punkt und einen Richtungsvektor gegeben ist;
ist eine Gerade, die durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert ist.

Zum besseren Verständnis machen wir eine schematische Zeichnung:

Die Zeichnung zeigt als Beispiel Schräglinien.

Wie geht man mit diesen Linien um?

Da die Punkte bekannt sind, ist es einfach, den Vektor zu finden.

Wenn gerade kreuzen, dann die Vektoren nicht koplanar(siehe Lektion Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis), was bedeutet, dass die aus ihren Koordinaten zusammengesetzte Determinante nicht Null ist. Oder, was eigentlich dasselbe ist, wird von Null verschieden sein: .

In den Fällen Nr. 2-4 „fällt“ unsere Konstruktion in eine Ebene, während die Vektoren koplanar, und das gemischte Produkt linear abhängiger Vektoren ist gleich Null: .

Wir erweitern den Algorithmus weiter. Stellen wir uns das vor , daher schneiden sich die Linien entweder oder sind parallel oder fallen zusammen.

Wenn die Richtungsvektoren kollinear, dann sind die Geraden entweder parallel oder fallen zusammen. Als letzten Nagel schlage ich die folgende Technik vor: Wir nehmen einen beliebigen Punkt einer geraden Linie und setzen seine Koordinaten in die Gleichung der zweiten geraden Linie ein; wenn sich die Koordinaten „annäherten“, dann fallen die Linien zusammen, wenn sie sich „nicht näherten“, dann sind die Linien parallel.

Der Ablauf des Algorithmus ist unprätentiös, praktische Beispiele stören dennoch nicht:

Beispiel 11

Finden Sie die relative Position zweier Linien heraus

Entscheidung: Wie bei vielen Problemen der Geometrie ist es bequem, die Lösung Punkt für Punkt anzuordnen:

1) Wir extrahieren Punkte und Richtungsvektoren aus den Gleichungen:

2) Finden Sie den Vektor:

Die Vektoren sind also koplanar, was bedeutet, dass die Linien in derselben Ebene liegen und sich schneiden, parallel sein oder zusammenfallen können.

4) Prüfen Sie die Richtungsvektoren auf Kollinearität.

Lassen Sie uns ein System aus den entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzen:

Aus jedermann Die Gleichung impliziert, dass das System daher konsistent ist, die entsprechenden Koordinaten der Vektoren proportional sind und die Vektoren kollinear sind.

Fazit: Linien sind parallel oder fallen zusammen.

5) Finden Sie heraus, ob die Linien gemeinsame Punkte haben. Nehmen wir einen Punkt, der zur ersten Geraden gehört, und setzen seine Koordinaten in die Gleichungen der Geraden ein:

Die Geraden haben also keine gemeinsamen Punkte, und es bleibt ihnen nichts anderes übrig, als parallel zu sein.

Antworten:

Ein interessantes Beispiel zum selber lösen:

Beispiel 12

Finden Sie die relative Position der Linien heraus

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Beachten Sie, dass die zweite Zeile den Buchstaben als Parameter enthält. Logisch. Im allgemeinen Fall handelt es sich um zwei verschiedene Zeilen, jede Zeile hat also einen eigenen Parameter.

Und noch einmal fordere ich Sie auf, Beispiele nicht zu überspringen, ich werde schlagen, die Aufgaben, die ich vorschlage, sind alles andere als zufällig ;-)

Probleme mit einer geraden Linie im Raum

Im letzten Teil der Lektion werde ich versuchen, darüber nachzudenken Höchstbetrag verschiedene Probleme mit räumlichen Linien. In diesem Fall wird die begonnene Reihenfolge der Erzählung eingehalten: Zuerst werden wir Probleme mit sich schneidenden Linien betrachten, dann mit sich schneidenden Linien und am Ende werden wir über parallele Linien im Raum sprechen. Ich muss jedoch sagen, dass einige der Aufgaben dieser Lektion für mehrere Fälle von geraden Linien gleichzeitig formuliert werden können, und in dieser Hinsicht ist die Aufteilung des Abschnitts in Absätze etwas willkürlich. Es gibt einfachere Beispiele, es gibt komplexere Beispiele, und hoffentlich findet jeder, was er braucht.

Gekreuzte Linien

Ich erinnere Sie daran, dass sich Linien schneiden, wenn es keine Ebene gibt, in der sie beide liegen. Als ich über die Praxis nachdachte, kam mir eine Monsteraufgabe in den Sinn, und jetzt freue ich mich, Ihnen einen Drachen mit vier Köpfen vorzustellen:

Beispiel 13

Gegeben sind Geraden. Erforderlich:

a) Beweisen Sie, dass sich die Geraden schneiden;

b) Finden Sie die Gleichungen der Linie, die durch den Punkt verläuft, der senkrecht zu den gegebenen Linien steht;

c) komponieren Sie die Gleichungen einer geraden Linie, die enthält gemeinsame Senkrechte Schnittlinien;

d) Finden Sie den Abstand zwischen den Linien.

Entscheidung: Der Weg wird vom Gehenden bewältigt:

a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden schneiden. Finden wir die Punkte und Richtungsvektoren dieser Geraden:

Finden wir den Vektor:

Berechnen Mischprodukt von Vektoren:

Also die Vektoren nicht koplanar, was bedeutet, dass sich die Linien schneiden, was zu beweisen war.

Wahrscheinlich hat jeder schon lange bemerkt, dass sich der Überprüfungsalgorithmus für schiefe Linien als der kürzeste herausstellt.

b) Finden wir die Gleichungen der Linie, die durch den Punkt geht und senkrecht zu den Linien steht. Machen wir eine schematische Zeichnung:

Zur Abwechslung habe ich direkt einen gepostet HINTER gerade Linien, sehen Sie, wie es an den Kreuzungspunkten leicht gelöscht wird. Kreuzungen? Ja, im allgemeinen Fall schneidet sich die Linie "de" mit den ursprünglichen Linien. Obwohl uns dieser Moment nicht interessiert, müssen wir nur eine senkrechte Linie bauen und das war's.

Was ist über das direkte „de“ bekannt? Der zugehörige Punkt ist bekannt. Der Richtungsvektor fehlt.

Als Bedingung muss die Linie senkrecht zu den Linien sein, was bedeutet, dass ihr Richtungsvektor orthogonal zu den Richtungsvektoren ist. Das bereits aus Beispiel Nr. 9 bekannte Motiv, suchen wir das Vektorprodukt:

Stellen wir die Gleichungen der Geraden "de" durch den Punkt und den Richtungsvektor zusammen:

Bereit. Prinzipiell kann man die Vorzeichen in den Nennern ändern und die Antwort in die Form schreiben , aber das ist nicht nötig.

Zur Überprüfung müssen die Koordinaten des Punktes in die erhaltenen Gleichungen der geraden Linie eingesetzt und dann verwendet werden Skalarprodukt von Vektoren Stellen Sie sicher, dass der Vektor wirklich orthogonal zu den Richtungsvektoren "pe eins" und "pe zwei" ist.

Wie finde ich die Gleichungen einer Geraden, die eine gemeinsame Senkrechte enthält?

c) Dieses Problem ist schwieriger. Ich empfehle Dummköpfen, diesen Absatz zu überspringen, ich möchte Ihre aufrichtige Sympathie für die analytische Geometrie nicht abkühlen =) Übrigens ist es wahrscheinlich auch für besser vorbereitete Leser besser zu warten, Tatsache ist, dass das Beispiel an letzter Stelle stehen sollte Artikel in Bezug auf die Komplexität, aber nach der Logik der Darstellung sollte er hier angesiedelt werden.

Es ist also erforderlich, die Gleichungen der geraden Linie zu finden, die die gemeinsame Senkrechte der schiefen Linien enthält.

ist ein Liniensegment, das die gegebenen Linien verbindet und senkrecht zu den gegebenen Linien steht:

Hier ist unser schöner Mann: - gemeinsame Senkrechte sich schneidender Linien. Er ist der einzige. Es gibt kein anderes wie es. Wir müssen auch die Gleichungen einer geraden Linie aufstellen, die ein gegebenes Segment enthält.

Was ist über das direkte „äh“ bekannt? Sein Richtungsvektor ist bekannt, gefunden im vorherigen Absatz. Aber leider kennen wir keinen einzigen Punkt, der zu der Geraden "em" gehört, wir kennen die Enden der Senkrechten nicht - Punkte. Wo schneidet diese senkrechte Linie die beiden ursprünglichen Linien? Afrika, Antarktis? Aus der anfänglichen Überprüfung und Analyse des Zustands ist überhaupt nicht klar, wie das Problem gelöst werden soll .... Aber es gibt einen kniffligen Zug, der mit der Verwendung parametrischer Gleichungen einer geraden Linie verbunden ist.

Treffen wir eine Punkt-für-Punkt-Entscheidung:

1) Schreiben wir die Gleichungen der ersten Geraden in Parameterform um:

Betrachten wir einen Punkt. Wir kennen die Koordinaten nicht. SONDERN. Wenn ein Punkt zu einer bestimmten Linie gehört, dann entsprechen seine Koordinaten , bezeichnen Sie ihn mit . Dann werden die Koordinaten des Punktes geschrieben als:

Das Leben wird besser, eine Unbekannte – schließlich nicht drei Unbekannte.

2) Der gleiche Frevel muss im zweiten Punkt durchgeführt werden. Schreiben wir die Gleichungen der zweiten Geraden in Parameterform um:

Wenn ein Punkt zu einer gegebenen Linie gehört, dann mit einer ganz bestimmten Bedeutung seine Koordinaten müssen die parametrischen Gleichungen erfüllen:

Oder:

3) Der Vektor wird wie der zuvor gefundene Vektor der Richtungsvektor der Linie sein. Wie man einen Vektor aus zwei Punkten zusammensetzt, wurde in der Lektion seit jeher betrachtet Vektoren für Dummies. Der Unterschied besteht nun darin, dass die Koordinaten der Vektoren mit unbekannten Parameterwerten geschrieben werden. Na und? Niemand verbietet es, die entsprechenden Koordinaten des Vektoranfangs von den Koordinaten des Vektorendes zu subtrahieren.

Es gibt zwei Punkte: .

Vektor finden:

4) Da die Richtungsvektoren kollinear sind, wird ein Vektor linear durch den anderen mit einem gewissen Proportionalitätskoeffizienten "Lambda" ausgedrückt:

Oder koordinativ:

Es stellte sich heraus, dass es das gewöhnlichste war lineares gleichungssystem mit drei Unbekannten , was zum Beispiel standardmäßig lösbar ist, Cramers Methode. Aber hier besteht die Möglichkeit, mit wenig Blut davonzukommen, aus der dritten Gleichung werden wir "Lambda" ausdrücken und es in die erste und zweite Gleichung einsetzen:

Auf diese Weise: , und "lambda" brauchen wir nicht. Dass sich die Werte der Parameter als gleich herausstellten, ist reiner Zufall.

5) Der Himmel klart vollständig auf, ersetzen Sie die gefundenen Werte zu unseren Standorten:

Der Richtungsvektor wird nicht besonders benötigt, da sein Gegenstück bereits gefunden wurde.

Nach einer langen Reise ist es immer interessant, einen Check durchzuführen.

:

Die richtigen Gleichungen werden erhalten.

Setzen Sie die Koordinaten des Punktes in die Gleichungen ein :

Die richtigen Gleichungen werden erhalten.

6) Der letzte Akkord: Wir werden die Gleichungen einer geraden Linie für einen Punkt (Sie können nehmen) und einen Richtungsvektor zusammensetzen:

Im Prinzip können Sie einen „guten“ Punkt mit ganzzahligen Koordinaten aufgreifen, aber das ist kosmetischer Natur.

Wie finde ich den Abstand zwischen sich schneidenden Linien?

d) Wir schneiden den vierten Kopf des Drachens ab.

Methode eins. Nicht einmal ein Weg, sondern ein kleiner Sonderfall. Der Abstand zwischen sich schneidenden Linien ist gleich der Länge ihrer gemeinsamen Senkrechten: .

Extrempunkte der gemeinsamen Senkrechten finden Sie im vorherigen Absatz, und die Aufgabe ist elementar:

Methode zwei. In der Praxis sind die Enden der gemeinsamen Senkrechten meistens unbekannt, daher wird ein anderer Ansatz verwendet. Durch zwei sich schneidende Linien können parallele Ebenen gezogen werden, und der Abstand zwischen den gegebenen Ebenen ist gleich dem Abstand zwischen den gegebenen Linien. Insbesondere zeichnet sich zwischen diesen Ebenen eine gemeinsame Senkrechte ab.

Im Zuge der analytischen Geometrie wurde aus den obigen Überlegungen eine Formel zur Bestimmung des Abstands zwischen schiefen Linien abgeleitet:
(anstelle unserer Punkte "em one, two" können wir beliebige Punkte von geraden Linien nehmen).

Mischprodukt von Vektoren bereits in Absatz "a" gefunden: .

Kreuzprodukt von Vektoren gefunden im Absatz "be": , berechnen Sie seine Länge:

Auf diese Weise:

Legen Sie stolz die Trophäen in einer Reihe aus:

Antworten:
a) , also schneiden sich die Linien, was bewiesen werden musste;
b) ;
in) ;
G)

Was kann man sonst noch über Schnittlinien sagen? Zwischen ihnen wird ein Winkel definiert. Aber betrachten Sie die universelle Winkelformel im nächsten Absatz:

Sich schneidende Geraden liegen notwendigerweise in derselben Ebene:

Der erste Gedanke ist, sich mit aller Kraft auf den Schnittpunkt zu stützen. Und sofort dachte ich, warum sich die richtigen Wünsche verweigern?! Lass uns gleich darauf springen!

Wie findet man den Schnittpunkt räumlicher Linien?

Beispiel 14

Finden Sie den Schnittpunkt von Linien

Entscheidung: Schreiben wir die Geradengleichungen in Parameterform um:

Diese Aufgabe wurde in Beispiel Nr. 7 dieser Lektion ausführlich behandelt (siehe. Gleichungen einer geraden Linie im Raum). Und die geraden Linien selbst habe ich übrigens Beispiel Nr. 12 entnommen. Ich werde nicht lügen, ich bin zu faul, um neue zu erfinden.

Die Lösung ist Standard und ist uns bereits begegnet, als wir die Gleichungen der gemeinsamen Senkrechten von schiefen Linien ausgearbeitet haben.

Der Schnittpunkt der Linien gehört zur Linie, daher erfüllen ihre Koordinaten die parametrischen Gleichungen dieser Linie, und sie entsprechen ein ganz bestimmter Parameterwert:

Aber derselbe Punkt gehört zur zweiten Zeile, also:

Wir setzen die entsprechenden Gleichungen gleich und nehmen Vereinfachungen vor:

Man erhält ein System aus drei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wenn sich die Geraden schneiden (wie in Beispiel 12 bewiesen), dann ist das System notwendigerweise konsistent und hat eine eindeutige Lösung. Es kann gelöst werden Gauss-Methode, aber wir werden nicht mit solchem ​​Kindergartenfetischismus sündigen, machen wir es einfacher: Aus der ersten Gleichung drücken wir „te zero“ aus und setzen es in die zweite und dritte Gleichung ein:

Die letzten beiden Gleichungen erwiesen sich im Wesentlichen als gleich, und daraus folgt, dass . Dann:

Lassen Sie uns den gefundenen Wert des Parameters in die Gleichungen einsetzen:

Antworten:

Zur Überprüfung setzen wir den gefundenen Wert des Parameters in die Gleichungen ein:
Es wurden die gleichen Koordinaten erhalten, die zur Überprüfung erforderlich waren. Sorgfältige Leser können die Koordinaten des Punktes in den ursprünglichen kanonischen Gleichungen der Linien ersetzen.

Übrigens war es auch möglich, das Gegenteil zu tun: Finden Sie den Punkt durch „es null“ und überprüfen Sie ihn durch „te null“.

Ein bekanntes mathematisches Zeichen besagt: Wo über den Schnittpunkt von Geraden gesprochen wird, riecht es immer nach Senkrechten.

Wie konstruiert man eine Raumlinie senkrecht zu einer gegebenen?

(Linien schneiden sich)

Beispiel 15

a) Stellen Sie die Gleichungen einer Geraden auf, die durch einen Punkt senkrecht zur Geraden verläuft (Linien schneiden sich).

b) Finden Sie den Abstand vom Punkt zur Geraden.

Notiz : Klausel "Linien schneiden sich" - von Bedeutung. Durch den Punkt
Es ist möglich, unendlich viele senkrechte Linien zu zeichnen, die sich mit der Linie "el" schneiden. Die einzige Lösung tritt auf, wenn eine Linie durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu gezogen wird zwei gegebenen geraden Linien (siehe Beispiel Nr. 13, Absatz "b").

a) Entscheidung: Bezeichne die unbekannte Zeile mit . Machen wir eine schematische Zeichnung:

Was ist über die Linie bekannt? Je nach Bedingung wird ein Punkt vergeben. Um die Gleichungen einer geraden Linie aufzustellen, ist es notwendig, den Richtungsvektor zu finden. Als solcher Vektor ist der Vektor durchaus geeignet, und wir werden uns damit befassen. Nehmen wir genauer gesagt das unbekannte Ende des Vektors beim Genick.

1) Wir werden ihren Richtungsvektor aus den Gleichungen der geraden Linie "el" extrahieren und die Gleichungen selbst in parametrische Form umschreiben:

Viele ahnten, dass der Zauberer nun zum dritten Mal in einer Unterrichtsstunde einen weißen Schwan aus seinem Hut zaubern wird. Stellen Sie sich einen Punkt mit unbekannten Koordinaten vor. Da der Punkt , dann erfüllen seine Koordinaten die Parametergleichungen der Geraden „el“ und sie entsprechen einem bestimmten Parameterwert:

Oder in einer Zeile:

2) Als Bedingung müssen die Linien senkrecht sein, daher sind ihre Richtungsvektoren orthogonal. Und wenn die Vektoren orthogonal sind, dann ihre Skalarprodukt gleich Null:

Was ist passiert? Die einfachste lineare Gleichung mit einer Unbekannten:

3) Der Wert des Parameters ist bekannt, suchen wir den Punkt:

Und der Richtungsvektor:
.

4) Wir werden die Gleichungen der Geraden durch den Punkt und den Richtungsvektor zusammensetzen :

Die Nenner des Anteils erwiesen sich als gebrochen, und dies ist nur dann der Fall, wenn es angebracht ist, Brüche loszuwerden. Ich werde sie einfach mit -2 multiplizieren:

Antworten:

Notiz : ein strengeres Ende der Lösung wird wie folgt aufgestellt: Wir setzen die Gleichungen einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen . Ist nämlich ein Vektor ein Richtungsvektor einer Geraden, so ist natürlich auch der dazu kollineare Vektor ein Richtungsvektor dieser Geraden.

Die Verifizierung besteht aus zwei Phasen:

1) Überprüfung der Richtungsvektoren der Linien auf Orthogonalität;

2) Wir setzen die Koordinaten des Punktes in die Gleichungen jeder Geraden ein, sie sollten sowohl hier als auch dort „passen“.

Es wurde viel über typische Aktionen gesprochen, also habe ich einen Entwurf überprüft.

Übrigens habe ich eine andere Modeerscheinung vergessen - einen Punkt "sue" symmetrisch zum Punkt "en" in Bezug auf die gerade Linie "el" zu bauen. Es gibt jedoch ein gutes „flaches Analogon“, das im Artikel zu finden ist Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Hier liegt der gesamte Unterschied in der zusätzlichen „Z“-Koordinate.

Wie finde ich die Entfernung von einem Punkt zu einer Linie im Raum?

b) Entscheidung: Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Methode eins. Dieser Abstand ist genau gleich der Länge der Senkrechten: . Die Lösung liegt auf der Hand: wenn die Punkte bekannt sind , dann:

Methode zwei. Bei praktischen Problemen ist die Basis der Senkrechten oft ein Rätsel, daher ist es vernünftiger, eine fertige Formel zu verwenden.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie wird durch die Formel ausgedrückt:
, wobei der Richtungsvektor der Geraden "el" ist und - willkürlich ein Punkt auf einer bestimmten Linie.

1) Aus den Gleichungen der Geraden wir erhalten den Richtungsvektor und den am besten zugänglichen Punkt .

2) Der Punkt ist aus der Bedingung bekannt, den Vektor schärfen:

3) Lass uns finden Vektorprodukt und berechne seine Länge:

4) Berechnen Sie die Länge des Richtungsvektors:

5) Somit ist der Abstand von einem Punkt zu einer Linie:

In diesem Artikel geht es um parallele Linien und um parallele Linien. Zuerst wird die Definition von parallelen Linien in der Ebene und im Raum gegeben, die Notation eingeführt, Beispiele und grafische Darstellungen von parallelen Linien gegeben. Außerdem werden die Zeichen und Bedingungen der Parallelität von geraden Linien analysiert. Abschließend werden Lösungen für typische Probleme des Parallelitätsnachweises von Geraden gezeigt, die durch einige Geradengleichungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum gegeben sind.

Seitennavigation.

Parallele Linien - grundlegende Informationen.

Definition.

Zwei Linien in einer Ebene werden aufgerufen parallel wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Definition.

Zwei Linien in drei Dimensionen werden genannt parallel wenn sie in der gleichen Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Beachten Sie, dass die Klausel "wenn sie in derselben Ebene liegen" in der Definition paralleler Linien im Raum sehr wichtig ist. Lassen Sie uns diesen Punkt klarstellen: Zwei gerade Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind nicht parallel, sondern schief.

Hier sind einige Beispiele für parallele Linien. Die gegenüberliegenden Ränder des Notizbuchblattes liegen auf parallelen Linien. Die geraden Linien, entlang denen die Ebene der Hauswand die Ebenen der Decke und des Bodens schneidet, sind parallel. Bahngleise in der Ebene können auch als parallele Linien betrachtet werden.

Das Symbol "" wird verwendet, um parallele Linien zu bezeichnen. Das heißt, wenn die Linien a und b parallel sind, dann kannst du kurz ein b schreiben.

Beachten Sie, dass wenn die Linien a und b parallel sind, wir sagen können, dass Linie a parallel zu Linie b ist, und dass auch Linie b parallel zu Linie a ist.

Lassen Sie uns eine Aussage äußern, die beim Studium paralleler Linien in der Ebene eine wichtige Rolle spielt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, verläuft die einzige Parallele zu der gegebenen. Diese Aussage wird als Tatsache akzeptiert (sie kann nicht auf der Grundlage der bekannten Axiome der Planimetrie bewiesen werden) und wird das Axiom der parallelen Linien genannt.

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine einzige Gerade parallel zu der gegebenen. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien beweisen (Sie finden seinen Beweis im Geometrielehrbuch Klasse 10-11, das am Ende des Artikels in der Bibliographie aufgeführt ist).

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine einzige Gerade parallel zu der gegebenen. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem oben angegebenen Parallelenaxiom beweisen.

Parallelität von Linien - Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Ein Zeichen für parallele Linien ist eine hinreichende Bedingung für parallele Linien, also eine solche Bedingung, deren Erfüllung parallele Linien garantiert. Mit anderen Worten, die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Tatsache auszusagen, dass die Linien parallel sind.

Es gibt auch notwendige und hinreichende Bedingungen für parallele Linien in der Ebene und im dreidimensionalen Raum.

Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks "notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien" erklären.

Die hinreichende Bedingung für parallele Linien haben wir bereits behandelt. Und was ist die "notwendige Bedingung für parallele Leitungen"? Durch den Namen "notwendig" wird deutlich, dass die Erfüllung dieser Bedingung notwendig ist, damit die Linien parallel sind. Mit anderen Worten, wenn die notwendige Bedingung für parallele Linien nicht erfüllt ist, dann sind die Linien nicht parallel. Auf diese Weise, notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Leitungen ist eine Bedingung, deren Erfüllung für Parallelleitungen sowohl notwendig als auch hinreichend ist. Das heißt, dies ist einerseits ein Zeichen für parallele Linien und andererseits eine Eigenschaft, die parallele Linien haben.

Bevor wir die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien angeben, ist es nützlich, einige Hilfsdefinitionen in Erinnerung zu rufen.

Sekantenlinie ist eine Gerade, die jede der beiden gegebenen nicht übereinstimmenden Geraden schneidet.

Am Schnittpunkt zweier Sekantenlinien werden acht nicht eingesetzte Linien gebildet. Die sogenannte querliegend, korrespondierend und einseitige Ecken. Lassen Sie uns sie auf der Zeichnung zeigen.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene von einer Sekante gekreuzt werden, dann ist es für ihre Parallelität notwendig und ausreichend, dass die kreuzweise liegenden Winkel gleich sind oder die entsprechenden Winkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 Grad ist .

Lassen Sie uns diese notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien in der Ebene grafisch veranschaulichen.

Beweise für diese Bedingungen für parallele Linien finden Sie in Geometrie-Lehrbüchern für die Klassen 7-9.

Beachten Sie, dass diese Bedingungen auch im dreidimensionalen Raum verwendet werden können - Hauptsache, die beiden Geraden und die Sekante liegen in derselben Ebene.

Hier sind ein paar weitere Sätze, die oft beim Beweis der Parallelität von Linien verwendet werden.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel. Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus dem Axiom der Parallelen.

Eine ähnliche Bedingung gilt für parallele Linien im dreidimensionalen Raum.

Satz.

Wenn zwei Linien im Raum parallel zu einer dritten Linie sind, dann sind sie parallel. Der Nachweis dieser Eigenschaft wird im Geometrieunterricht der 10. Klasse berücksichtigt.

Lassen Sie uns die stimmhaften Theoreme veranschaulichen.

Geben wir noch einen Satz an, mit dem wir die Parallelität von Linien in der Ebene beweisen können.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene senkrecht zu einer dritten Geraden stehen, dann sind sie parallel.

Es gibt einen ähnlichen Satz für Linien im Raum.

Satz.

Stehen zwei Linien im dreidimensionalen Raum senkrecht auf derselben Ebene, dann sind sie parallel.

Lassen Sie uns Bilder zeichnen, die diesen Sätzen entsprechen.

Alle oben formulierten Sätze, Vorzeichen und notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind hervorragend geeignet, um die Parallelität von Geraden mit Methoden der Geometrie zu beweisen. Das heißt, um die Parallelität zweier gegebener Geraden zu beweisen, muss man zeigen, dass sie parallel zur dritten Geraden sind, oder die Gleichheit von sich kreuzenden Winkeln zeigen usw. Viele dieser Probleme werden im Geometrieunterricht in der High School gelöst. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es in vielen Fällen bequem ist, die Koordinatenmethode zu verwenden, um die Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu beweisen. Formulieren wir die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben sind.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

In diesem Abschnitt des Artikels werden wir formulieren notwendige und hinreichende Bedingungen für Parallelleitungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, abhängig von der Art der Gleichungen, die diese Linien bestimmen, und wir werden auch detaillierte Lösungen für typische Probleme geben.

Beginnen wir mit der Bedingung der Parallelität zweier Geraden in der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy . Sein Beweis basiert auf der Definition des Richtungsvektors der Linie und der Definition des Normalenvektors der Linie auf der Ebene.

Satz.

Damit zwei nicht zusammenfallende Geraden in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Geraden kollinear sind oder die Normalenvektoren dieser Geraden kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht zur Normalen steht Vektor der zweiten Zeile.

Offensichtlich reduziert sich die Bedingung der Parallelität zweier Linien in der Ebene auf (Richtungsvektoren von Linien oder Normalenvektoren von Linien) oder auf (Richtungsvektor einer Linie und Normalenvektor der zweiten Linie). Also, wenn und sind die Richtungsvektoren der Linien a und b, und und die Normalenvektoren der Geraden a bzw. b sind, dann kann die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Geraden a und b geschrieben werden als , oder , oder , wobei t eine reelle Zahl ist. Aus den bekannten Geradengleichungen werden wiederum die Koordinaten der Richtungs- und (oder) Normalenvektoren der Geraden a und b ermittelt.

Insbesondere wenn die Linie a im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy auf der Ebene definiert, definiert die allgemeine Liniengleichung die Form , und die Gerade b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien die Koordinaten bzw. und die Bedingung der Parallelität der Linien a und b wird geschrieben als .

Entspricht die Gerade a der Gleichung der Geraden mit dem Steigungsbeiwert der Form . Wenn daher gerade Linien in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem parallel sind und durch Gleichungen von geraden Linien mit Steigungskoeffizienten gegeben werden können, dann sind die Steigungskoeffizienten der Linien gleich. Und umgekehrt: Wenn durch die Geradengleichungen mit gleichem Steigungskoeffizienten nicht zusammenfallende Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben sind, dann sind solche Geraden parallel.

Wenn die Linie a und die Linie b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die kanonischen Gleichungen der Linie auf der Ebene der Form definieren und , oder parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene der Form und dann haben die Richtungsvektoren dieser Linien die Koordinaten und , und die Parallelitätsbedingung für die Linien a und b wird als geschrieben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind die Linien parallel? und ?

Entscheidung.

Wir schreiben die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten in Form einer allgemeinen Gleichung einer geraden Linie um: . Jetzt können wir sehen, dass das der Normalenvektor der Geraden ist , und ist der Normalenvektor der Geraden. Diese Vektoren sind nicht kollinear, da es keine reelle Zahl t gibt, für die die Gleichheit ( ). Folglich ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in der Ebene nicht erfüllt, daher sind die gegebenen Linien nicht parallel.

Antworten:

Nein, die Linien sind nicht parallel.

Beispiel.

Sind Geraden und Parallelen?

Entscheidung.

Wir bringen die kanonische Geradengleichung auf die Geradengleichung mit Steigung: . Offensichtlich sind die Gleichungen der Linien und nicht gleich (in diesem Fall wären die gegebenen Linien gleich) und die Steigungen der Linien sind gleich, daher sind die ursprünglichen Linien parallel.

Jetzt haben wir zwei Gleichungen:

Sehen wir uns an, wann die durch diese Gleichungen definierten Linien d und d im weitesten Sinne parallel sind, wann sie zusammenfallen, wann sie im eigentlichen Sinne parallel sind (das heißt, sie haben keinen einzigen gemeinsamen Punkt).

Die Antwort auf die erste Frage erhält man sofort: Die Geraden d und d sind im weitesten Sinne parallel genau dann, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind, also wenn die Proportion stattfindet und damit die Proportion

Wenn dieser Anteil auf den Anteil erweitert werden kann

dann fallen die Linien zusammen: In diesem Fall werden alle Koeffizienten einer der beiden Gleichungen (1), (D) aus den Koeffizienten der anderen durch Multiplikation mit einigen und daher Gleichungen (1) erhalten und sind äquivalent (irgendwelche Punkt, der eine Gleichung erfüllt, erfüllt die andere).

Umgekehrt, wenn zwei Linien zusammenfallen, gilt Proportion (3).

Beweisen wir dies zunächst für den Fall, dass unsere Geraden parallel zur y-Achse verlaufen. Dann brauchen wir nur noch die Gleichheit zu beweisen.

Aber die letzte Gleichheit (bei der sich daraus ergibt, dass beide (zusammenfallenden) Geraden die Abszissenachse im selben Punkt mit der Abszisse schneiden .

Lassen Sie nun die zusammenfallenden Primärfarben nicht parallel zur y-Achse sein. Dann schneiden sie ihn im gleichen Punkt Q mit der Ordinate und wir haben die Proportion , die uns zusammen mit der Proportion (2) (die die Parallelität der Linien im weiteren Sinne ausdrückt) die benötigte Proportion (3) ergibt.

Parallelität im eigentlichen Sinne bedeutet, dass Parallelität im weiteren Sinne vorliegt (d. h. Bedingung (2) ist erfüllt), aber kein Zufall vorliegt (d. h. nicht erfüllt). Das bedeutet, dass der Anteil

erfolgt, während

Die Kombination zweier Beziehungen (2) und (4) wird normalerweise als eine einzige Formel geschrieben:

Fassen wir zusammen, was sich bewährt hat.

Satz 1. Jede Gerade d auf einer Ebene, die mit einem affinen Koordinatensystem ausgestattet ist, wird durch eine Gleichung ersten Grades zwischen den Koordinaten ihrer Punkte bestimmt. Umgekehrt jede Gleichung ersten Grades

ist eine Gleichung einer (eindeutigen) Geraden d; außerdem alle Vektoren kollinear zu dieser Linie, und nur sie erfüllen die homogene Gleichung