Die Kürzung von Brüchen ist notwendig, um den Bruch in eine einfachere Form zu bringen, beispielsweise in der Antwort, die man als Ergebnis der Lösung des Ausdrucks erhält.

Kürzung von Brüchen, Definition und Formel.

Was ist Fraktionsreduktion? Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Definition:
Fraktionsreduktion- Dies ist die Division des Bruchzählers und -nenners durch dieselbe positive Zahl ungleich Null und Eins. Als Ergebnis der Kürzung erhält man einen Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, gleich dem vorherigen Bruch gem.

Formel zur Fraktionsreduktion Grundeigenschaft rationaler Zahlen.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(9)(15)\)

Entscheidung:
Wir können einen Bruch in Primfaktoren zerlegen und die gemeinsamen Faktoren reduzieren.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Antwort: Nach Kürzung erhalten wir den Bruch \(\frac(3)(5)\). Gemäß der Haupteigenschaft rationaler Zahlen sind Anfangs- und Ergebnisbruch gleich.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Wie kürzt man Brüche? Reduktion eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

Damit wir als Ergebnis einen irreduziblen Bruch erhalten, brauchen wir Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) für Zähler und Nenner eines Bruches.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den ggT zu finden, wir verwenden im Beispiel die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Erhalten Sie den irreduziblen Bruch \(\frac(48)(136)\).

Entscheidung:
Finde GCD(48, 136). Schreiben wir die Zahlen 48 und 136 in Primfaktoren.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
ggT(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Die Regel zum Kürzen eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

1. Finde den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.
2. Sie müssen Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler als Ergebnis der Division dividieren, um einen irreduziblen Bruch zu erhalten.

Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(152)(168)\).

Entscheidung:
Finden Sie GCD(152, 168). Schreiben wir die Zahlen 152 und 168 in Primfaktoren.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
ggT(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Antwort: \(\frac(19)(21)\) ist ein irreduzibler Bruch.

Abkürzung für einen unechten Bruch.

Wie kürzt man einen unechten Bruch?
Die Regeln zum Kürzen von Brüchen für echte und unechte Brüche sind gleich.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den unechten Bruch \(\frac(44)(32)\).

Entscheidung:
Schreiben wir Zähler und Nenner in Primfaktoren. Und dann reduzieren wir die gemeinsamen Faktoren.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Kürzung gemischter Fraktionen.

Für gemischte Brüche gelten die gleichen Regeln wie für gewöhnliche Brüche. Der einzige Unterschied ist, dass wir es können berühren Sie nicht den ganzen Teil, sondern reduzieren Sie den Bruchteil oder Wandeln Sie einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch um, kürzen Sie ihn und wandeln Sie ihn wieder in einen echten Bruch um.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den gemischten Bruch \(2\frac(30)(45)\).

Entscheidung:
Lösen wir es auf zwei Arten:
Erster Weg:
Wir werden den Bruchteil in Primfaktoren schreiben und den ganzzahligen Teil nicht berühren.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Zweiter Weg:
Zuerst übersetzen wir in einen unechten Bruch, und dann schreiben wir ihn in Primfaktoren und kürzen ihn. Wandle den resultierenden unechten Bruch in einen echten Bruch um.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Verwandte Fragen:
Können Brüche beim Addieren oder Subtrahieren gekürzt werden?
Antwort: Nein, Sie müssen Brüche zuerst gemäß den Regeln addieren oder subtrahieren und erst dann kürzen. Betrachten Sie ein Beispiel:

Werten Sie den Ausdruck \(\frac(50+20-10)(20)\) aus.

Entscheidung:
Sie machen oft den Fehler, dieselben Zahlen im Zähler und Nenner zu reduzieren, in unserem Fall die Zahl 20, aber sie können nicht reduziert werden, bis Sie Addition und Subtraktion durchführen.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Um welche Zahl kann man einen Bruch kürzen?
Antwort: Sie können einen Bruch durch den größten gemeinsamen Teiler oder den üblichen Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(100)(150)\).

Schreiben wir die Zahlen 100 und 150 in Primfaktoren.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Der größte gemeinsame Teiler ist die Zahl ggT(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Wir haben den irreduziblen Bruch \(\frac(2)(3)\).

Aber es ist nicht notwendig, immer durch ggT zu dividieren, ein irreduzibler Bruch wird nicht immer benötigt, Sie können den Bruch durch einen einfachen Divisor aus Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel haben die Zahlen 100 und 150 einen gemeinsamen Teiler 2. Lassen Sie uns den Bruch \(\frac(100)(150)\) um 2 reduzieren.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Wir haben den gekürzten Bruch \(\frac(50)(75)\).

Welche Brüche können gekürzt werden?
Antwort: Du kannst Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(4)(8)\). Die Zahlen 4 und 8 haben eine Zahl, durch die sie beide durch diese Zahl 2 teilbar sind. Daher kann ein solcher Bruch durch die Zahl 2 gekürzt werden.

Beispiel:
Vergleiche zwei Brüche \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(8)(12)\).

Diese beiden Brüche sind gleich. Betrachten Sie den Bruch \(\frac(8)(12)\) im Detail:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Von hier erhalten wir \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Zwei Brüche sind genau dann gleich, wenn einer von ihnen erhalten wird, indem der andere Bruch um einen gemeinsamen Faktor aus Zähler und Nenner gekürzt wird.

Beispiel:
Kürzen Sie wenn möglich folgende Brüche: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Entscheidung:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreduzibler Bruch
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ mal 5)=\frac(2)(5)\)

In diesem Artikel werden wir uns ansehen Grundoperationen mit algebraischen Brüchen:

• Fraktionsreduktion
• Multiplikation von Brüchen
• Division von Brüchen

Lass uns beginnen mit Abkürzungen für algebraische Brüche.

Scheinbar, Algorithmus klar.

Zu algebraische Brüche reduzieren, brauchen

1. Faktorisiere Zähler und Nenner eines Bruchs.

2. Reduzieren Sie dieselben Multiplikatoren.

Allerdings machen Schüler oft den Fehler, nicht die Faktoren, sondern die Begriffe zu „kürzen“. Es gibt zum Beispiel Laien, die in Bruchteilen „durch“ „reduzieren“ und als Ergebnis kommen, was natürlich nicht stimmt.

Betrachten Sie Beispiele:

1. Bruchteil kürzen:

1. Wir zerlegen den Zähler nach der Summenquadratformel und den Nenner nach der Quadratdifferenzformel

2. Teilen Sie Zähler und Nenner durch

2. Bruchteil kürzen:

1. Faktorisiere den Zähler. Da der Zähler vier Terme enthält, wenden wir die Gruppierung an.

2. Faktorisiere den Nenner. Gleiches gilt für die Gruppierung.

3. Schreiben wir den Bruch auf, den wir erhalten haben, und reduzieren wir dieselben Faktoren:

Multiplikation algebraischer Brüche.

Bei der Multiplikation algebraischer Brüche multiplizieren wir den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.

Wichtig! Sie müssen sich nicht beeilen, um eine Multiplikation im Zähler und Nenner eines Bruchs durchzuführen. Nachdem wir das Produkt der Zähler von Brüchen in den Zähler und das Produkt der Nenner in den Nenner geschrieben haben, müssen wir jeden Faktor faktorisieren und den Bruch kürzen.

Betrachten Sie Beispiele:

3. Den Ausdruck vereinfachen:

1. Schreiben wir das Produkt von Brüchen: im Zähler das Produkt der Zähler und im Nenner das Produkt der Nenner:

2. Wir faktorisieren jede Klammer:

Jetzt müssen wir dieselben Multiplikatoren reduzieren. Beachten Sie, dass sich die Ausdrücke und nur im Vorzeichen unterscheiden: und als Ergebnis der Division des ersten Ausdrucks durch den zweiten erhalten wir -1.

So,

Wir führen die Division algebraischer Brüche nach folgender Regel durch:

Also Um durch einen Bruch zu dividieren, musst du mit dem "umgekehrten" multiplizieren.

Wir sehen, dass die Division von Brüchen auf Multiplikation reduziert wird, und Multiplikation läuft letztlich auf die Kürzung von Brüchen hinaus.

Betrachten Sie ein Beispiel:

4. Den Ausdruck vereinfachen:

Basierend auf ihrer Haupteigenschaft: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch dasselbe Polynom ungleich Null geteilt werden, wird ein gleicher Bruch erhalten.

Sie können nur Multiplikatoren reduzieren!

Mitglieder von Polynomen können nicht reduziert werden!

Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, müssen zunächst die Polynome in Zähler und Nenner faktorisiert werden.

Betrachten Sie Beispiele für die Bruchreduktion.

Zähler und Nenner eines Bruchs sind Monome. Sie repräsentieren Arbeit(Zahlen, Variablen und ihre Grade), Multiplikatoren wir können reduzieren.

Wir kürzen die Zahlen um ihren größten gemeinsamen Teiler, also um die größte Zahl, durch die jede der gegebenen Zahlen teilbar ist. Bei 24 und 36 ist dies 12. Nach der Reduzierung von 24 bleibt 2 übrig, von 36 - 3.

Wir reduzieren die Grade um den Grad mit dem kleinsten Indikator. Einen Bruch kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben Divisor zu dividieren und die Exponenten zu subtrahieren.

a² und a⁷ werden um a² reduziert. Gleichzeitig bleibt eins im Zähler von a² (wir schreiben 1 nur, wenn nach der Reduktion keine anderen Faktoren mehr übrig sind. 2 bleibt von 24, also schreiben wir die 1, die von a² übrig bleibt, nicht). Aus a⁷ bleibt nach Reduktion a⁵.

b und b werden mit b abgekürzt, die resultierenden Einheiten werden nicht geschrieben.

c³º und c⁵ werden um c⁵ reduziert. Aus c³º bleibt c²⁵, aus c⁵ - Einheit (schreiben wir nicht). Auf diese Weise,

Zähler und Nenner dieses algebraischen Bruchs sind Polynome. Es ist unmöglich, die Terme von Polynomen zu reduzieren! (nicht kürzbar, z. B. 8x² und 2x!). Um diesen Anteil zu reduzieren, ist es notwendig. Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 4x. Nehmen wir es aus der Klammer:

Sowohl der Zähler als auch der Nenner haben denselben Faktor (2x-3). Wir reduzieren den Bruch um diesen Faktor. Wir haben im Zähler 4x, im Nenner 1. Gemäß 1-Eigenschaft algebraischer Brüche ist der Bruch 4x.

Sie können nur Faktoren kürzen (Sie können einen bestimmten Bruch nicht um 25x² kürzen!). Daher müssen die Polynome im Zähler und Nenner eines Bruchs faktorisiert werden.

Der Zähler ist das volle Quadrat der Summe und der Nenner ist die Differenz der Quadrate. Nach Erweiterung mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation erhalten wir:

Wir kürzen den Bruch um (5x + 1) (dazu die beiden im Zähler als Exponent streichen, aus (5x + 1) ² bleibt (5x + 1)):

Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 2, nehmen wir ihn aus der Klammer. Im Nenner - die Formel für die Differenz von Kubikzahlen:

Durch Erweiterung in Zähler und Nenner erhalten wir denselben Faktor (9 + 3a + a²). Wir kürzen den Bruch darauf:

Das Polynom im Zähler besteht aus 4 Gliedern. den ersten Term mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten, und wir entfernen den gemeinsamen Faktor x² aus der ersten Klammer. Wir zerlegen den Nenner nach der Formel für die Kubiksumme:

Im Zähler nehmen wir den gemeinsamen Teiler (x + 2) aus Klammern heraus:

Wir kürzen den Bruch um (x + 2):

Brüche und ihre Reduktion ist ein weiteres Thema, das in der 5. Klasse beginnt. Hier wird die Grundlage dieses Handelns gebildet, und dann werden diese Fähigkeiten an einem Faden in die höhere Mathematik gezogen. Wenn der Schüler nicht gelernt hat, kann es sein, dass er Probleme in Algebra hat. Daher ist es besser, ein für alle Mal ein paar Regeln zu verstehen. Und denken Sie an ein Verbot und brechen Sie es niemals.

Bruch und seine Reduktion

Was es ist, weiß jeder Student. Alle zwei Ziffern, die sich zwischen dem horizontalen Balken befinden, werden sofort als Bruch wahrgenommen. Allerdings versteht nicht jeder, dass jede Zahl es werden kann. Wenn es sich um eine ganze Zahl handelt, kann sie immer durch eins geteilt werden, dann erhalten Sie einen unechten Bruch. Aber dazu später mehr.

Der Anfang ist immer einfach. Zuerst müssen Sie herausfinden, wie Sie den richtigen Bruch kürzen. Das heißt, einer, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist. Dazu müssen Sie sich an die Haupteigenschaft eines Bruchs erinnern. Es besagt, dass sich beim Multiplizieren (sowie beim Dividieren) sowohl des Zählers als auch des Nenners mit derselben Zahl herausstellt, dass der ursprüngliche Bruch äquivalent ist.

Die Teilungsaktionen, die auf diesem Grundstück durchgeführt werden, führen zu einer Kürzung. Das heißt, seine maximale Vereinfachung. Ein Bruch kann gekürzt werden, solange es über und unter dem Strich Gemeinsamkeiten gibt. Wenn sie nicht mehr existieren, ist die Reduzierung unmöglich. Und sie sagen, dass dieser Bruch irreduzibel ist.

zwei Wege

1.Reduzierung Schritt für Schritt. Es verwendet die Ratemethode, wenn beide Zahlen durch den kleinsten gemeinsamen Teiler dividiert werden, den der Schüler bemerkt hat. Wenn nach der ersten Reduzierung klar ist, dass dies nicht das Ende ist, wird die Teilung fortgesetzt. Bis der Bruch irreduzibel wird.

2. Finden des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner. Das ist das meiste rationaler Weg wie man Brüche kürzt. Dabei werden Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt. Unter ihnen müssen Sie dann alle gleich auswählen. Ihr Produkt ergibt den größten gemeinsamen Teiler, um den der Bruch reduziert wird.

Beide Methoden sind gleichwertig. Der Schüler ist eingeladen, sie zu meistern und diejenige zu verwenden, die ihm am besten gefallen hat.

Was ist, wenn es Buchstaben und Additions- und Subtraktionsoperationen gibt?

Mit dem ersten Teil der Frage ist alles mehr oder weniger klar. Buchstaben können wie Zahlen abgekürzt werden. Hauptsache, sie wirken als Multiplikatoren. Aber mit dem zweiten haben viele Probleme.

Wichtig zu merken! Sie können nur Zahlen reduzieren, die Faktoren sind. Wenn es sich um Begriffe handelt, ist es unmöglich.

Um zu verstehen, wie man Brüche kürzt, die wie ein algebraischer Ausdruck aussehen, musst du die Regel lernen. Drücken Sie zunächst Zähler und Nenner als Produkt aus. Dann können Sie reduzieren, wenn es gemeinsame Faktoren gibt. Für die Darstellung als Multiplikatoren sind folgende Tricks sinnvoll:

• Gruppierung;
• Klammern;
• Anwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten.

Darüber hinaus ermöglicht letztere Methode, Terme in Form von Faktoren sofort zu erhalten. Daher muss es immer verwendet werden, wenn ein bekanntes Muster sichtbar ist.

Aber das ist noch nicht beängstigend, dann erscheinen Aufgaben mit Abschlüssen und Wurzeln. Da heißt es Mut aufbringen und ein paar neue Regeln lernen.

Machtausdruck

Fraktion. Das Produkt in Zähler und Nenner. Es gibt Buchstaben und Zahlen. Und sie werden auch in eine Potenz erhoben, die ebenfalls aus Termen oder Faktoren besteht. Es gibt etwas, wovor man sich fürchten muss.

Um herauszufinden, wie man Brüche mit Potenzen kürzt, müssen Sie zwei Punkte lernen:

• Wenn der Exponent eine Summe enthält, kann er in Faktoren zerlegt werden, deren Potenzen die ursprünglichen Terme sind.
• wenn die Differenz, dann in den Dividenden und den Divisor, wird der erste im Grad reduziert, der zweite - subtrahiert.

Nach Abschluss dieser Schritte werden die gemeinsamen Multiplikatoren sichtbar. In solchen Beispielen ist es nicht notwendig, alle Leistungen zu berechnen. Es reicht aus, die Grade einfach mit denselben Indikatoren und Grundlagen zu reduzieren.

Um endlich zu meistern, wie man Brüche mit Potenzen kürzt, braucht man viel Übung. Nach mehreren Beispielen des gleichen Typs werden die Aktionen automatisch ausgeführt.

Was ist, wenn der Ausdruck eine Wurzel enthält?

Es kann auch gekürzt werden. Auch hier befolgen Sie einfach die Regeln. Darüber hinaus sind alle oben beschriebenen wahr. Wenn es darum geht, einen Bruch mit Wurzeln zu kürzen, müssen Sie im Allgemeinen dividieren.

Es kann auch in irrationale Ausdrücke unterteilt werden. Das heißt, wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren haben, die unter dem Wurzelzeichen eingeschlossen sind, können sie sicher reduziert werden. Dies vereinfacht den Ausdruck und erledigt die Arbeit.

Wenn nach der Reduktion die Irrationalität unter der Bruchlinie bleibt, müssen Sie sie loswerden. Mit anderen Worten, multipliziere Zähler und Nenner damit. Wenn nach dieser Operation gemeinsame Faktoren aufgetreten sind, müssen sie erneut reduziert werden.

Das ist vielleicht alles darüber, wie man Brüche kürzt. Wenige Regeln, aber ein Verbot. Niemals Konditionen kürzen!

Dieser Artikel setzt das Thema der Transformation algebraischer Brüche fort: Betrachten Sie eine solche Aktion als die Reduktion algebraischer Brüche. Lassen Sie uns den Begriff selbst definieren, die Abkürzungsregel formulieren und praktische Beispiele analysieren.

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Bedeutung der Abkürzung für algebraische Brüche

In den Materialien zur gewöhnlichen Fraktion haben wir deren Reduzierung berücksichtigt. Wir haben die Kürzung eines gemeinsamen Bruchs als Division seines Zählers und Nenners durch einen gemeinsamen Faktor definiert.

Das Kürzen eines algebraischen Bruchs ist eine ähnliche Operation.

Bestimmung 1

Algebraische Bruchreduktion ist die Division von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler. Dabei kann im Gegensatz zur Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs (nur eine Zahl kann ein gemeinsamer Nenner sein) ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl, als gemeinsamer Faktor für Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs dienen.

Beispielsweise kann der algebraische Bruch 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 um die Zahl 3 gekürzt werden, als Ergebnis erhalten wir: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Wir können denselben Bruch durch die Variable x kürzen, und das ergibt den Ausdruck 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Es ist auch möglich, einen gegebenen Bruch durch ein Monom zu kürzen 3x oder eines der Polynome x + 2 j, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oder 3 x 2 + 6 x y.

Das ultimative Ziel der Reduktion eines algebraischen Bruchs ist ein Bruch einer einfacheren Form, bestenfalls ein irreduzibler Bruch.

Unterliegen alle algebraischen Brüche der Kürzung?

Auch hier wissen wir aus den Materialien über gewöhnliche Brüche, dass es reduzierbare und irreduzible Brüche gibt. Nicht reduzierbar - Dies sind Brüche, die keine gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner außer 1 haben.

Bei algebraischen Brüchen ist alles gleich: Sie können gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner haben oder nicht. Das Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ermöglicht es Ihnen, den ursprünglichen Bruch durch Reduktion zu vereinfachen. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist es unmöglich, einen gegebenen Bruch durch das Reduktionsverfahren zu optimieren.

Im Allgemeinen ist es für eine bestimmte Art von Fraktion ziemlich schwierig zu verstehen, ob sie einer Kürzung unterliegt. Natürlich ist in einigen Fällen das Vorhandensein eines gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner offensichtlich. Zum Beispiel ist beim algebraischen Bruch 3 · x 2 3 · y ziemlich klar, dass der gemeinsame Teiler die Zahl 3 ist.

Bei einem Bruch - x · y 5 · x · y · z 3 verstehen wir auch sofort, dass es möglich ist, ihn um x, oder y, oder um x · y zu kürzen. Und doch sind Beispiele für algebraische Brüche viel häufiger, wenn der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht so leicht zu erkennen ist, und noch häufiger - er fehlt einfach.

Beispielsweise können wir den Bruch x 3 - 1 x 2 - 1 um x - 1 kürzen, während der angegebene gemeinsame Teiler nicht im Datensatz steht. Aber der Bruch x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 lässt sich nicht kürzen, da Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben.

Daher ist die Frage, die Kontraktionsfähigkeit eines algebraischen Bruchs herauszufinden, nicht so einfach, und es ist oft einfacher, mit einem Bruch einer gegebenen Form zu arbeiten, als herauszufinden, ob er kontrahierbar ist. Dabei finden solche Transformationen statt, die uns im Einzelfall erlauben, den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu bestimmen oder auf irreduzible Brüche zu schließen. Wir werden dieses Problem im nächsten Absatz des Artikels ausführlich analysieren.

Algebraische Bruchreduktionsregel

Algebraische Bruchreduktionsregel besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Schritten:

• Finden der gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner;
• im Falle einer solchen Feststellung die Durchführung der direkten Aktion zur Reduzierung des Anteils.

Die bequemste Methode zum Finden gemeinsamer Nenner besteht darin, die Polynome zu faktorisieren, die im Zähler und Nenner eines gegebenen algebraischen Bruchs vorhanden sind. Auf diese Weise können Sie das Vorhandensein oder Fehlen gemeinsamer Faktoren sofort visuell erkennen.

Die eigentliche Aktion des Reduzierens eines algebraischen Bruchs basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, ausgedrückt durch die Gleichheit undefined , wobei a , b , c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind. Der erste Schritt besteht darin, den Bruch auf die Form a c b c zu kürzen, wobei wir sofort den gemeinsamen Teiler c bemerken. Der zweite Schritt besteht darin, die Reduktion durchzuführen, d.h. Übergang zu einem Bruch der Form a b .

Typische Beispiele

Lassen Sie uns trotz einiger Offensichtlichkeiten den Sonderfall klären, wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gleich sind. Ähnliche Brüche sind auf der gesamten ODZ der Variablen dieses Bruchs identisch gleich 1:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 j 1 2 x - x 2 j ;

Da gewöhnliche Brüche ein Spezialfall von algebraischen Brüchen sind, erinnern wir uns, wie sie gekürzt werden. Die in Zähler und Nenner geschriebenen natürlichen Zahlen werden in Primfaktoren zerlegt, dann werden die gemeinsamen Faktoren (falls vorhanden) reduziert.

Beispiel: 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Das Produkt einfacher identischer Faktoren kann als Grade geschrieben werden, und bei der Bruchreduktion die Eigenschaft der Division von Graden mit denselben Basen verwenden. Dann wäre die obige Lösung:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(Zähler und Nenner dividiert durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3). Oder wir geben der Klarheit halber, basierend auf den Eigenschaften von Multiplikation und Division, der Lösung die folgende Form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analog erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, bei denen Zähler und Nenner Monome mit ganzzahligen Koeffizienten haben.

Beispiel 1

Gegeben sei ein algebraischer Bruch -27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Es muss reduziert werden.

Entscheidung

Es ist möglich, Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs als Produkt von Primfaktoren und Variablen zu schreiben und dann zu reduzieren:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Ein rationalerer Weg wäre jedoch, die Lösung als Ausdruck mit Potenzen zu schreiben:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 ein 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 ein 3 2 c 6 = - 9 ein 3 2 c 6 .

Antworten:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Wenn im Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gebrochene numerische Koeffizienten vorhanden sind, gibt es zwei Möglichkeiten des weiteren Vorgehens: entweder diese gebrochenen Koeffizienten getrennt dividieren oder zuerst die gebrochenen Koeffizienten loswerden, indem Zähler und Nenner mit einer natürlichen Zahl multipliziert werden . Die letzte Transformation wird aufgrund der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt (Sie können darüber im Artikel „Reduzieren eines algebraischen Bruchs auf einen neuen Nenner“ nachlesen).

Beispiel 2

Gegeben sei ein Bruch 2 5 x 0 , 3 x 3 . Es muss reduziert werden.

Entscheidung

Man kann den Bruch wie folgt kürzen:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Versuchen wir, das Problem anders zu lösen, nachdem wir zuvor die Bruchkoeffizienten beseitigt haben - wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner dieser Koeffizienten, d.h. pro LCM(5, 10) = 10. Dann bekommen wir:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Antwort: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Wenn wir allgemeine algebraische Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner sowohl Monome als auch Polynome sein können, kann ein Problem auftreten, wenn der gemeinsame Teiler nicht immer sofort sichtbar ist. Oder mehr noch, es existiert einfach nicht. Dann werden Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs faktorisiert, um den gemeinsamen Teiler zu bestimmen oder die Tatsache seines Fehlens zu beheben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein rationaler Bruch 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Es muss gekürzt werden.

Entscheidung

Zerlegen wir die Polynome in Zähler und Nenner. Machen wir die Klammern:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Wir sehen, dass der Ausdruck in Klammern mit den abgekürzten Multiplikationsformeln umgewandelt werden kann:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Es ist deutlich zu sehen, dass es möglich ist, den Bruch um einen gemeinsamen Faktor zu reduzieren b 2 (a + 7). Nehmen wir eine Kürzung vor:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Wir schreiben eine kurze Lösung ohne Erklärung als Gleichheitskette:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Antworten: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Es kommt vor, dass die gemeinsamen Faktoren durch numerische Koeffizienten verdeckt werden. Dann ist es beim Kürzen von Brüchen optimal, die Zahlenfaktoren bei höheren Potenzen von Zähler und Nenner herauszunehmen.

Beispiel 4

Gegeben sei ein algebraischer Bruch 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Es sollte nach Möglichkeit reduziert werden.

Entscheidung

Zähler und Nenner haben auf den ersten Blick keinen gemeinsamen Nenner. Versuchen wir jedoch, den angegebenen Bruch umzuwandeln. Nehmen wir den Faktor x im Zähler heraus:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Jetzt können Sie aufgrund von x 2 y eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Ausdruck in Klammern und dem Ausdruck im Nenner erkennen . Nehmen wir die numerischen Koeffizienten bei höheren Potenzen dieser Polynome heraus:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 j 5 x 2 j - 7 10

Jetzt wird der gemeinsame Multiplikator sichtbar, wir führen die Reduktion durch:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Antworten: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Lassen Sie uns betonen, dass die Fähigkeit, rationale Brüche zu kürzen, von der Fähigkeit abhängt, Polynome zu faktorisieren.

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