Es sei notwendig, die Zahlenwerte von x zu finden, bei denen mehrere rationale Ungleichungen gleichzeitig zu wahren Zahlenungleichungen werden. In solchen Fällen sagen wir, dass wir ein System rationaler Ungleichungen mit einem unbekannten x lösen müssen.

Um ein System rationaler Ungleichungen zu lösen, muss man alle Lösungen für jede Ungleichung im System finden. Dann ist der gemeinsame Teil aller gefundenen Lösungen die Lösung des Systems.

Beispiel: Lösen Sie das System der Ungleichungen

(x-1)(x-5)(x-7)< 0,

Zuerst lösen wir die Ungleichung

(x-1)(x-5)(x-7)< 0.

Bei Anwendung der Intervallmethode (Abb. 1) finden wir, dass die Menge aller Lösungen der Ungleichung (2) aus zwei Intervallen besteht: (-, 1) und (5, 7).

Bild 1

Lösen wir nun die Ungleichung

Unter Verwendung der Intervallmethode (Abb. 2) stellen wir fest, dass die Menge aller Lösungen der Ungleichung (3) ebenfalls aus zwei Intervallen besteht: (2, 3) und (4, +).

Jetzt müssen wir den gemeinsamen Teil der Lösung der Ungleichungen (2) und (3) finden. Lassen Sie uns die Koordinatenachse x zeichnen und die gefundenen Lösungen darauf markieren. Es ist nun klar, dass der gemeinsame Teil beim Lösen der Ungleichungen (2) und (3) das Intervall (5, 7) ist (Abb. 3).

Folglich ist die Menge aller Lösungen des Ungleichungssystems (1) das Intervall (5, 7).

Beispiel: Lösen Sie das System der Ungleichungen

x2 - 6x + 10< 0,

Lösen wir zuerst die Ungleichung

x 2 - 6x + 10< 0.

Wenn wir die Full-Square-Methode anwenden, können wir das schreiben

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Daher kann die Ungleichung (2) geschrieben werden als

(x - 3) 2 + 1< 0,

was zeigt, dass es keine Lösung gibt.

Jetzt können Sie die Ungleichung nicht lösen

denn die Antwort ist bereits klar: System (1) hat keine Lösung.

Beispiel: Lösen Sie das System der Ungleichungen

Betrachten Sie zuerst die erste Ungleichung; wir haben

1 < 0, < 0.

Unter Verwendung der Vorzeichenkurve finden wir Lösungen für diese Ungleichung: x< -2; 0 < x < 2.

Lösen wir nun die zweite Ungleichung des gegebenen Systems. Wir haben x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Nachdem wir die gefundenen Lösungen der ersten und zweiten Ungleichung auf einer gemeinsamen reellen Linie markiert haben (Abb. 6), finden wir solche Intervalle, in denen diese Lösungen zusammenfallen (Lösungsunterdrückung): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Beispiel: Lösen Sie das System der Ungleichungen

Wir transformieren die erste Ungleichung des Systems:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0 oder x (x - 10) (x + 10) 0

(da Faktoren in ungeraden Potenzen durch die entsprechenden Faktoren ersten Grades ersetzt werden können); Mit der Intervallmethode finden wir Lösungen für die letzte Ungleichung: -10 x 0, x 10.

Betrachten Sie die zweite Ungleichung des Systems; wir haben

Wir finden (Abb. 8) x -9; 3< x < 15.

Durch Kombinieren der gefundenen Lösungen erhalten wir (Abb. 9) x 0; x > 3.

Beispiel: Finden Sie ganzzahlige Lösungen für das System der Ungleichungen:

x + y< 2,5,

Lösung: Bringen wir das System in Form

Wenn wir die erste und zweite Ungleichung addieren, haben wir y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

woher -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Abstandsmethode- Dies ist ein universeller Weg, um fast alle Ungleichungen zu lösen, die in einem Schulalgebrakurs auftreten. Es basiert auf den folgenden Eigenschaften von Funktionen:

1. Die stetige Funktion g(x) kann nur dort das Vorzeichen wechseln, wo sie gleich 0 ist. Grafisch bedeutet dies, dass sich der Graph einer stetigen Funktion nur dann von einer Halbebene in eine andere bewegen kann, wenn er die x- Achse (wir erinnern uns, dass die Ordinate jedes Punktes, der auf der OX-Achse (Abszissenachse) liegt, gleich Null ist, das heißt, der Wert der Funktion an diesem Punkt ist 0):

Wir sehen, dass die in der Grafik dargestellte Funktion y=g(x) die OX-Achse an den Punkten x= -8, x=-2, x=4, x=8 schneidet. Diese Punkte werden Nullstellen der Funktion genannt. Und an denselben Stellen wechselt die Funktion g(x) das Vorzeichen.

2. Die Funktion kann auch das Vorzeichen an Nullen des Nenners ändern – das einfachste Beispiel einer bekannten Funktion:

Wir sehen, dass die Funktion an der Wurzel des Nenners an der Stelle das Vorzeichen wechselt, aber an keiner Stelle verschwindet. Wenn die Funktion also einen Bruch enthält, kann sie das Vorzeichen in den Wurzeln des Nenners ändern.

2. Die Funktion ändert jedoch nicht immer das Vorzeichen an der Wurzel des Zählers oder an der Wurzel des Nenners. Beispielsweise ändert die Funktion y=x 2 an der Stelle x=0 nicht das Vorzeichen:

Da die Gleichung x 2 \u003d 0 hat zwei gleiche Wurzeln x \u003d 0, am Punkt x \u003d 0 wird die Funktion sozusagen zweimal zu 0. Eine solche Wurzel wird Wurzel der zweiten Multiplizität genannt.

Funktion ändert das Vorzeichen bei Null des Zählers, ändert aber nicht das Vorzeichen bei Null des Nenners: , da die Wurzel die Wurzel der zweiten Multiplizität ist, dh der geraden Multiplizität:

Wichtig! Bei Wurzeln mit gerader Multiplizität ändert die Funktion nicht das Vorzeichen.

Beachten Sie! Irgendein nichtlinear Die Ungleichung des Schulkurses Algebra wird in der Regel mit der Methode der Intervalle gelöst.

Ich biete Ihnen eine ausführliche Anleitung, anhand derer Sie Fehler vermeiden können Lösen nichtlinearer Ungleichungen.

1. Zuerst müssen Sie die Ungleichung in die Form bringen

P(x)V0,

wobei V das Ungleichheitszeichen ist:<,>, ≤ oder ≥. Dazu benötigen Sie:

a) bewege alle Terme auf die linke Seite der Ungleichung,

b) Finden Sie die Wurzeln des resultierenden Ausdrucks,

c) Faktorisiere die linke Seite der Ungleichung

d) Schreiben Sie die gleichen Faktoren als Abschluss.

Aufmerksamkeit! Die letzte Aktion muss ausgeführt werden, um keinen Fehler mit der Multiplizität der Wurzeln zu machen - wenn das Ergebnis ein Multiplikator in geradem Grad ist, dann hat die entsprechende Wurzel eine gerade Multiplizität.

2. Trage die gefundenen Wurzeln auf den Zahlenstrahl ein.

3. Wenn die Ungleichung streng ist, werden die Kreise, die die Wurzeln auf der Zahlenachse bezeichnen, "leer" gelassen, wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Kreise übermalt.

4. Wir wählen die Wurzeln der gleichmäßigen Vielfalt - in ihnen P(x) das Vorzeichen ändert sich nicht.

5. Bestimmen Sie das Vorzeichen P(x) auf der rechten Seite der Lücke. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Wert x 0, der größer als die größte Wurzel ist, und setzen Sie ihn ein P(x).

Wenn P(x 0) > 0 (oder ≥ 0), dann setzen wir in das Intervall ganz rechts das „+“-Zeichen.

Wenn P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Beim Durchgang durch einen Punkt, der eine Wurzel mit gerader Vielfachheit bezeichnet, ändert sich das Vorzeichen NICHT.

7. Noch einmal schauen wir uns das Vorzeichen der ursprünglichen Ungleichung an und wählen die Intervalle des Vorzeichens aus, die wir brauchen.

8. Achtung! Wenn unsere Ungleichung NICHT STRIKT ist, prüfen wir die Gleichheitsbedingung separat auf Null.

9. Schreiben Sie die Antwort auf.

Wenn das Original die Ungleichung enthält eine Unbekannte im Nenner, dann übertragen wir auch alle Terme nach links und reduzieren die linke Seite der Ungleichung auf die Form

(wobei V das Ungleichheitszeichen ist:< или >)

Eine solche strenge Ungleichung ist der Ungleichung äquivalent

Nicht streng eine Ungleichheit der Form

ist gleichbedeutend mit System:

In der Praxis, wenn die Funktion die Form hat, gehen wir wie folgt vor:

1. Finde die Wurzeln von Zähler und Nenner.
2. Wir setzen sie auf die Achse. Alle Kreise bleiben leer. Dann, wenn die Ungleichung nicht streng ist, übermalen wir die Wurzeln des Zählers und lassen die Wurzeln des Nenners immer leer.
3. Als nächstes folgen wir dem allgemeinen Algorithmus:
4. Wir wählen die Wurzeln gerader Vielfachheit aus (wenn Zähler und Nenner dieselben Wurzeln enthalten, dann zählen wir, wie oft dieselben Wurzeln vorkommen). Es gibt keinen Vorzeichenwechsel in Wurzeln mit gerader Multiplizität.
5. Wir finden das Zeichen ganz rechts heraus.
6. Wir haben Schilder aufgestellt.
7. Bei einer nichtstrikten Ungleichheit wird die Gleichheitsbedingung, die Gleichheitsbedingung zu Null, separat geprüft.
8. Wir wählen die notwendigen Intervalle und separat stehende Wurzeln.
9. Wir schreiben die Antwort auf.

Um besser zu verstehen Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen nach der Intervallmethode, sehen Sie sich die VIDEO-LEKTION an, in der das Beispiel im Detail analysiert wird Lösung der Ungleichung mit der Methode der Intervalle.

Wir analysieren weiterhin Wege zur Lösung von Ungleichungen, die eine Variable in ihrer Zusammensetzung haben. Wir haben bereits lineare und quadratische Ungleichungen untersucht, die Spezialfälle rationaler Ungleichungen sind. In diesem Artikel werden wir klären, welche Art von Ungleichungen rational sind, wir werden Ihnen sagen, in welche Arten sie unterteilt sind (ganzzahlig und gebrochen). Danach zeigen wir, wie man sie richtig löst, geben die notwendigen Algorithmen an und analysieren spezifische Probleme.

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Das Konzept der rationalen Gleichheiten

Wenn in der Schule das Thema der Lösung von Ungleichheiten behandelt wird, nehmen sie sofort rationale Ungleichungen. Sie erwerben und verfeinern die Fähigkeiten, mit dieser Art von Ausdruck zu arbeiten. Lassen Sie uns die Definition dieses Begriffs formulieren:

Bestimmung 1

Eine rationale Ungleichung ist eine Ungleichung mit Variablen, die in beiden Teilen rationale Ausdrücke enthält.

Beachten Sie, dass die Definition die Anzahl der Variablen in keiner Weise beeinflusst, was bedeutet, dass es beliebig viele davon geben kann. Daher sind rationale Ungleichungen mit 1, 2, 3 oder mehr Variablen möglich. Meistens hat man es mit Ausdrücken zu tun, die nur eine Variable enthalten, seltener zwei, und Ungleichungen mit vielen Variablen werden im Rahmen eines Schulkurses meist gar nicht berücksichtigt.

Daher können wir eine rationale Ungleichung lernen, indem wir uns ihre Notation ansehen. Sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite sollte es rationale Ausdrücke haben. Hier sind einige Beispiele:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Und hier ist eine Ungleichung der Form 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Alle rationalen Ungleichungen werden in ganze und gebrochene Ungleichungen unterteilt.

Bestimmung 2

Eine ganzzahlige rationale Gleichheit besteht aus ganzzahligen rationalen Ausdrücken (in beiden Teilen).

Bestimmung 3

Teilweise rationale Gleichheit- Dies ist eine Gleichheit, die einen Bruchausdruck in einem oder beiden ihrer Teile enthält.

Beispielsweise sind Ungleichungen der Form 1 + x – 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 – 2 1 3 x – 1 > 4 – x 4 und 1 – 2 3 5 – y > 1 x 2 – y 2 Bruch rational und 0,5 x ≤ 3 (2 − 5 y) und 1: x + 3 > 0- ganz.

Wir haben analysiert, was rationale Ungleichheiten sind, und ihre Haupttypen identifiziert. Wir können zu einer Übersicht übergehen, wie man sie löst.

Angenommen, wir müssen Lösungen für eine ganzzahlige rationale Ungleichung finden r(x)< s (x) , die nur eine Variable x enthält. Dabei r(x) und s(x) beliebige ganzzahlige rationale Zahlen oder Ausdrücke sind und das Ungleichheitszeichen unterschiedlich sein kann. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir sie transformieren und eine äquivalente Gleichheit erhalten.

Beginnen wir damit, den Ausdruck von rechts nach links zu verschieben. Wir erhalten Folgendes:

der Form r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Wir wissen das r(x) − s(x) ist ein ganzzahliger Wert, und jeder ganzzahlige Ausdruck kann in ein Polynom umgewandelt werden. Verwandeln wir uns r(x) − s(x) in h(x) . Dieser Ausdruck ist ein identisch gleiches Polynom. In Anbetracht dessen, dass r (x) − s (x) und h (x) den gleichen Bereich möglicher Werte von x haben, können wir zu den Ungleichungen h (x) übergehen< 0 (≤ , >, ≥) , was dem Original entspricht.

Oft reicht eine solche einfache Transformation aus, um die Ungleichung zu lösen, da das Ergebnis eine lineare oder quadratische Ungleichung sein kann, deren Wert nicht schwer zu berechnen ist. Werfen wir einen Blick auf diese Probleme.

Beispiel 1

Bedingung: eine ganzzahlige rationale Ungleichung lösen x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Lösung

Beginnen wir damit, den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen zu übertragen.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Nachdem wir alle Operationen mit Polynomen auf der linken Seite abgeschlossen haben, können wir uns der linearen Ungleichung zuwenden 3 x − 2 ≤ 0, entspricht dem, was in der Bedingung angegeben wurde. Die Lösung ist einfach:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Antworten: x ≤ 2 3 .

Beispiel 2

Bedingung: eine Lösung für die Ungleichung finden (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Lösung

Wir übertragen den Ausdruck von der linken Seite auf die rechte Seite und führen weitere Transformationen mit den abgekürzten Multiplikationsformeln durch.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Als Ergebnis unserer Transformationen haben wir eine Ungleichung erhalten, die für alle Werte von x gilt, daher kann jede reelle Zahl die Lösung der ursprünglichen Ungleichung sein.

Antworten: jede reelle Zahl.

Beispiel 3

Bedingung: die Ungleichung lösen x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Lösung

Wir werden nichts von der rechten Seite übertragen, da es 0 gibt. Beginnen wir gleich damit, die linke Seite in ein Polynom umzuwandeln:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Wir haben eine der ursprünglichen äquivalente quadratische Ungleichung hergeleitet, die mit mehreren Methoden leicht gelöst werden kann. Wenden wir die grafische Methode an.

Beginnen wir mit der Berechnung der Wurzeln des quadratischen Trinoms − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6

Jetzt markieren wir im Diagramm alle notwendigen Nullen. Da der führende Koeffizient kleiner als Null ist, sehen die Zweige der Parabel im Diagramm nach unten.

Wir brauchen eine über der Abszissenachse liegende Parabelfläche, da wir in der Ungleichung ein >-Zeichen haben. Das gewünschte Intervall ist (− 0 , 5 , 6) Daher wird dieser Wertebereich die Lösung sein, die wir brauchen.

Antworten: (− 0 , 5 , 6) .

Es gibt auch kompliziertere Fälle, in denen links ein Polynom dritten oder höheren Grades erhalten wird. Um eine solche Ungleichung zu lösen, empfiehlt es sich, die Intervallmethode zu verwenden. Zuerst berechnen wir alle Wurzeln des Polynoms h(x), was meistens durch Faktorisieren eines Polynoms erfolgt.

Beispiel 4

Bedingung: berechnen (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Lösung

Beginnen wir wie immer damit, den Ausdruck auf die linke Seite zu verschieben, danach müssen die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe reduziert werden.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Als Ergebnis der Transformationen erhalten wir eine der ursprünglichen äquivalente Gleichheit, auf deren linker Seite sich ein Polynom dritten Grades befindet. Zur Lösung wenden wir die Intervallmethode an.

Zuerst berechnen wir die Wurzeln des Polynoms, für das wir die kubische Gleichung lösen müssen x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Hat es rationale Wurzeln? Sie können nur unter den Teilern des freien Begriffs stehen, d.h. unter den Zahlen ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Wir setzen sie wiederum in die ursprüngliche Gleichung ein und finden heraus, dass die Zahlen 1, 2 und 3 ihre Wurzeln sein werden.

Also das Polynom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 kann als Produkt bezeichnet werden (x − 1) (x − 2) (x − 3), und Ungleichheit x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 kann dargestellt werden als (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . Mit einer solchen Ungleichung wird es uns dann leichter fallen, die Vorzeichen der Intervalle zu bestimmen.

Als nächstes führen wir die restlichen Schritte der Intervallmethode aus: Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und Punkte darauf mit den Koordinaten 1 , 2 , 3 . Sie teilen die gerade Linie in 4 Intervalle, in denen die Vorzeichen bestimmt werden müssen. Wir schattieren die Lücken mit einem Minus, da die ursprüngliche Ungleichung das Vorzeichen hat < .

Wir müssen nur die fertige Antwort aufschreiben: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

Antworten: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Führen Sie in einigen Fällen den Übergang von der Ungleichung r (x) − s (x) durch< 0 (≤ , >, ≥) bis h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , wo h(x)– ein Polynom größer als 2 ist ungeeignet. Dies gilt auch für Fälle, in denen es einfacher ist, r(x) − s(x) als Produkt linearer Binome und quadratischer Trinome darzustellen, als h(x) in separate Faktoren zu zerlegen. Werfen wir einen Blick auf dieses Problem.

Beispiel 5

Bedingung: eine Lösung für die Ungleichung finden (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Lösung

Diese Ungleichung gilt für ganze Zahlen. Wenn wir den Ausdruck von der rechten Seite nach links verschieben, die Klammern öffnen und die Reduktion der Terme durchführen, erhalten wir x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Das Lösen einer solchen Ungleichung ist nicht einfach, da man die Wurzeln eines Polynoms vierten Grades suchen muss. Es hat keine rationale Wurzel (zum Beispiel 1 , − 1 , 19 oder − 19 passen nicht), und es ist schwierig, nach anderen Wurzeln zu suchen. Daher können wir diese Methode nicht verwenden.

Aber es gibt auch andere Lösungen. Wenn wir die Ausdrücke von der rechten Seite der ursprünglichen Ungleichung auf die linke Seite übertragen, dann können wir die Klammerung des gemeinsamen Faktors durchführen x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Wir haben eine Ungleichung erhalten, die der ursprünglichen äquivalent ist, und ihre Lösung wird uns die gewünschte Antwort geben. Finden Sie die Nullstellen des Ausdrucks auf der linken Seite, für die wir die quadratischen Gleichungen lösen x 2 − 2 x − 1 = 0 und x 2 − 2 x − 19 = 0. Ihre Wurzeln sind 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Wir wenden uns der Gleichung x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 zu, die mit der Intervallmethode gelöst werden kann:

Laut Bild lautet die Antwort - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Antworten: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Wir fügen hinzu, dass es manchmal nicht möglich ist, alle Wurzeln eines Polynoms zu finden h(x), daher können wir es nicht als Produkt linearer Binome und quadratischer Trinome darstellen. Dann löse eine Ungleichung der Form h (x)< 0 (≤ , >, ≥) können wir nicht, also ist es auch unmöglich, die ursprüngliche rationale Ungleichung zu lösen.

Angenommen, wir müssen gebrochen rationale Ungleichungen der Form r (x) lösen< s (x) (≤ , >, ≥) , wobei r (x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, x ist eine Variable. Mindestens einer der angegebenen Ausdrücke ist ein Bruch. Der Lösungsalgorithmus lautet in diesem Fall wie folgt:

1. Wir bestimmen den Bereich akzeptabler Werte für die Variable x .
2. Wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite der Ungleichung auf die linke Seite und den resultierenden Ausdruck r(x) − s(x) als Bruch dargestellt. In der Zwischenzeit, wo p(x) und q(x) sind ganzzahlige Ausdrücke, die Produkte von linearen Binomen, unzerlegbaren quadratischen Trinomen sowie Potenzen mit einem natürlichen Exponenten sind.
3. Als nächstes lösen wir die resultierende Ungleichung mit der Intervallmethode.
4. Der letzte Schritt besteht darin, die während der Lösung erhaltenen Punkte aus dem Bereich der akzeptablen Werte für die x-Variable auszuschließen, die wir zu Beginn definiert haben.

Dies ist der Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Ungleichung. Das meiste ist klar, kleine Erklärungen sind nur für Absatz 2 erforderlich. Wir haben den Ausdruck von rechts nach links verschoben und erhalten r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , und wie man es dann in die Form bringt p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Zuerst bestimmen wir, ob eine gegebene Transformation immer durchgeführt werden kann. Theoretisch besteht immer eine solche Möglichkeit, da jeder rationale Ausdruck in einen rationalen Bruch umgewandelt werden kann. Hier haben wir einen Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner. Erinnern Sie sich an den fundamentalen Satz der Algebra und den Satz von Bezout und stellen Sie fest, dass jedes Polynom n-ten Grades, das eine Variable enthält, in ein Produkt linearer Binome transformiert werden kann. Daher können wir den Ausdruck theoretisch immer auf diese Weise umwandeln.

In der Praxis ist das Faktorisieren von Polynomen oft eine ziemlich schwierige Aufgabe, insbesondere wenn der Grad größer als 4 ist. Wenn wir die Erweiterung nicht durchführen können, werden wir diese Ungleichheit nicht lösen können, aber solche Probleme werden normalerweise nicht im Rahmen des Schulunterrichts untersucht.

Als nächstes müssen wir entscheiden, ob die resultierende Ungleichung p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) äquivalent zu r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) und zum Original. Es besteht die Möglichkeit, dass es sich als ungleich herausstellt.

Die Äquivalenz der Ungleichheit wird gewährleistet, wenn der Bereich akzeptabler Werte liegt p(x)q(x) entspricht dem Bereich des Ausdrucks r(x) − s(x). Dann braucht der letzte Absatz der Anleitung zum Lösen gebrochen rationaler Ungleichungen nicht befolgt zu werden.

Aber die Reichweite für p(x)q(x) kann breiter sein als r(x) − s(x), beispielsweise durch Kürzung von Brüchen. Ein Beispiel wäre, von x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 zu x x - 1 x + 3 zu gehen. Oder dies kann passieren, wenn ähnliche Begriffe hinzugefügt werden, z. B. hier:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 bis 1 x + 3

Für solche Fälle wird der letzte Schritt des Algorithmus hinzugefügt. Durch die Ausführung werden Sie die Fremdwerte der Variablen los, die durch die Erweiterung des Bereichs gültiger Werte entstehen. Nehmen wir ein paar Beispiele, um klarer zu machen, wovon wir sprechen.

Beispiel 6

Bedingung: Finden Sie Lösungen für die rationale Gleichheit x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Lösung

Wir handeln nach dem oben angegebenen Algorithmus. Zuerst bestimmen wir den Bereich der akzeptablen Werte. In diesem Fall wird sie durch das Ungleichungssystem x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 bestimmt, dessen Lösung die Menge (− ∞ , − ist 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Danach müssen wir es so umwandeln, dass es bequem ist, die Intervallmethode anzuwenden. Zunächst bringen wir algebraische Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Wir reduzieren den Ausdruck im Zähler, indem wir die Formel des Quadrats der Summe anwenden:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Der Bereich gültiger Werte des resultierenden Ausdrucks ist (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Wir sehen, dass es ähnlich dem ist, das für die ursprüngliche Gleichheit definiert wurde. Wir schließen daraus, dass die Ungleichung x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 äquivalent zur ursprünglichen ist, was bedeutet, dass wir den letzten Schritt des Algorithmus nicht benötigen.

Wir verwenden die Intervallmethode:

Wir sehen die Lösung ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) , die die Lösung der ursprünglichen rationalen Ungleichung x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 sein wird x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Antworten: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Beispiel 7

Bedingung: Berechnen Sie die Lösung x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Lösung

Wir bestimmen den Bereich der zulässigen Werte. Im Falle dieser Ungleichung ist sie allen reellen Zahlen außer − 2 , − 1 , 0 und gleich 1 .

Wir verschieben die Ausdrücke von rechts nach links:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Angesichts des Ergebnisses schreiben wir:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Für den Ausdruck - 1 x - 1 ist der Bereich gültiger Werte die Menge aller reellen Zahlen außer einer. Wir sehen, dass sich der Wertebereich erweitert hat: − 2 , − 1 und 0 . Also müssen wir den letzten Schritt des Algorithmus ausführen.

Da wir bei der Ungleichung - 1 x - 1 > 0 angelangt sind, können wir ihr Äquivalent 1 x - 1 schreiben< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Wir schließen Punkte aus, die nicht im Bereich der akzeptablen Werte der ursprünglichen Gleichheit enthalten sind. Wir müssen aus (− ∞ , 1) die Zahlen − 2 , − 1 und ausschließen 0 . Somit wird die Lösung der rationalen Ungleichung x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 die Werte (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Antworten: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Abschließend geben wir noch ein Beispiel für ein Problem, bei dem die endgültige Antwort vom Bereich der zulässigen Werte abhängt.

Beispiel 8

Bedingung: Finde die Lösung der Ungleichung 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Lösung

Der Bereich der zulässigen Werte der in der Bedingung angegebenen Ungleichung wird durch das System x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 bestimmt - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Dieses System hat keine Lösungen, weil

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichheit 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 keine Lösung hat, da es keine solchen Werte der Variablen gibt, für die sie gelten würde Sinn ergeben.

Antworten: es gibt keine lösungen.

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>>Mathe: Rationale Ungleichungen

Eine rationale Ungleichung mit einer Variablen x ist eine Ungleichung der Form - rationale Ausdrücke, d.h. algebraische Ausdrücke aus Zahlen und der Variablen x mit den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung. Natürlich kann die Variable mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden, aber in der Mathematik wird am häufigsten der Buchstabe x bevorzugt.

Beim Lösen rationaler Ungleichungen werden die drei oben in § 1 formulierten Regeln verwendet, mit deren Hilfe eine gegebene rationale Ungleichung üblicherweise in die Form / (x) > 0 überführt wird, wobei / (x) eine Algebra ist Bruch (oder Polynom). Zerlegen Sie als Nächstes Zähler und Nenner des Bruchs f (x) in Faktoren der Form x - a (falls dies natürlich möglich ist) und wenden Sie die Intervallmethode an, die wir oben bereits erwähnt haben (siehe Beispiel 3 im vorherigen Absatz).

Beispiel 1 Lösen Sie die Ungleichung (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Lösung. Betrachten Sie den Ausdruck f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Es wird an den Punkten 1,-1,2 zu 0; Markiere diese Punkte auf dem Zahlenstrahl. Die Zahlenlinie wird durch die angegebenen Punkte in vier Intervalle unterteilt (Abb. 6), auf denen jeweils der Ausdruck f (x) ein konstantes Vorzeichen behält. Um dies zu überprüfen, führen wir vier Argumente durch (für jedes dieser Intervalle separat).

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt x aus dem Intervall (2, Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt -1, rechts von Punkt 1 und rechts von Punkt 2. Das bedeutet, dass x > -1, x > 1, x > 2 (Abb. 7), aber dann ist x-1 > 0, x+1 > 0, x - 2 > 0 und damit f (x) > 0 (als Produkt einer rationalen Ungleichung von drei positiven Zahlen).Also ist die Ungleichung f (x ) > 0.

Nimm irgendeinen Punkt x aus dem Intervall (1,2). Dieser Punkt liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt-1, rechts von Punkt 1, aber links von Punkt 2. Also x> -1, x> 1, aber x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1 > 0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt x aus dem Intervall (-1,1). Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt -1, links von Punkt 1 und links von Punkt 2. Also x > -1, aber x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x-1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (als Produkt aus zwei negativen und einer positiven Zahl). Auf dem Intervall (-1,1) gilt also die Ungleichung f (x)> 0.

Nehmen Sie schließlich einen beliebigen Punkt x aus dem offenen Strahl (-oo, -1). Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl links von Punkt -1, links von Punkt 1 und links von Punkt 2. Das bedeutet, dass x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Fassen wir zusammen. Die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) in den ausgewählten Intervallen sind wie in Abb. 11. Wir interessieren uns für diejenigen von ihnen, auf denen die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist. 11 stellen wir fest, dass die Ungleichung f (x) > 0 auf dem Intervall (–1, 1) oder auf dem offenen Balken erfüllt ist
Antworten: -1 < х < 1; х > 2.

Beispiel 2 Löse die Ungleichung
Lösung. Wie im vorherigen Beispiel werden wir die notwendigen Informationen aus Abb. 11, jedoch mit zwei Änderungen gegenüber Beispiel 1. Erstens, da uns interessiert, welche Werte von x die Ungleichung f(x) erfüllen< 0, нам придется выбрать промежутки Zweitens sind wir auch mit den Punkten zufrieden, an denen die Gleichheit f (x) = 0 erfüllt ist, das sind die Punkte -1, 1, 2, wir markieren sie in der Abbildung mit dunklen Kreisen und beziehen sie in die Antwort ein. Auf Abb. 12 zeigt ein geometrisches Modell der Antwort, von dem es nicht schwierig ist, zu einer analytischen Aufzeichnung zu gelangen.
Antworten:
BEISPIEL 3. Löse die Ungleichung
Lösung. Zerlegen wir Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs fx, der auf der linken Seite der Ungleichung enthalten ist. Im Zähler haben wir x 2 - x \u003d x (x - 1).

Um das im Nenner des Bruchs enthaltene quadratische Trinom x 2 - bx ~ 6 zu faktorisieren, finden wir seine Wurzeln. Aus der Gleichung x 2 - 5x - 6 \u003d 0 finden wir x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Daher (Wir haben die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms verwendet: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Damit haben wir die gegebene Ungleichung in die Form überführt

Betrachten Sie den Ausdruck:

Der Zähler dieses Bruchs wird an den Punkten 0 und 1 zu 0 und an den Punkten -1 und 6 zu 0. Markieren wir diese Punkte auf dem Zahlenstrahl (Abb. 13). Die Zahlenlinie wird durch die angegebenen Punkte in fünf Intervalle unterteilt, und auf jedem Intervall behält der Ausdruck fx) ein konstantes Vorzeichen. Mit der gleichen Argumentation wie in Beispiel 1 kommen wir zu dem Schluss, dass die Vorzeichen des Ausdrucks fx) in den ausgewählten Intervallen wie in Abb. 13. Uns interessiert, wo die Ungleichung f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 Antwort: -1

Beispiel 4 Löse die Ungleichung

Lösung. Bei der Lösung rationaler Ungleichungen ziehen sie es in der Regel vor, auf der rechten Seite der Ungleichung nur die Zahl 0 zu lassen, deshalb wandeln wir die Ungleichung in die Form um

Des Weiteren:

Wenn die rechte Seite der Ungleichung nur die Zahl 0 enthält, ist es erfahrungsgemäß bequemer zu argumentieren, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner auf der linken Seite einen positiven Leitkoeffizienten haben.Und was haben wir?Wir haben alles in der Nenner des Bruchs in diesem Sinne in Ordnung (der führende Koeffizient, d. H. Der Koeffizient bei x 2, ist 6 - eine positive Zahl), aber im Zähler ist nicht alles in Ordnung - der Senior-Koeffizient (der Koeffizient bei x) ist - 4 (negative Zahl) Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit -1 multiplizieren und das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändern, erhalten wir eine äquivalente Ungleichung

Lassen Sie uns Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs faktorisieren. Im Zähler ist alles einfach:
Das im Nenner eines Bruchs enthaltene quadratische Trinom faktorisieren

(Wir haben wieder die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms verwendet).
Damit haben wir die gegebene Ungleichung auf die Form gebracht

Betrachten Sie den Ausdruck

Der Zähler dieses Bruchs wird am Punkt und der Nenner an den Punkten zu 0. Wir notieren diese Punkte auf der Zahlenlinie (Abb. 14), die durch die angegebenen Punkte in vier Intervalle unterteilt ist, und auf jedem Intervall den Ausdruck f (x) behält ein konstantes Vorzeichen (diese Vorzeichen sind in Fig. 14 angegeben). Uns interessieren diejenigen Intervalle, in denen die Ungleichung fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

In allen betrachteten Beispielen haben wir die gegebene Ungleichung in eine äquivalente Ungleichung der Form f (x) > 0 oder f (x)<0,где
In diesem Fall kann die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner eines Bruchs beliebig sein. Dann wurden die Punkte a, b, c, e auf dem Zahlenstrahl markiert. und bestimmt die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) auf den ausgewählten Intervallen. Wir haben festgestellt, dass ganz rechts in den ausgewählten Intervallen die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist, und dann wechseln sich die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) entlang der Intervalle ab (siehe Abb. 16a). Dieser Wechsel wird zweckmäßigerweise mit Hilfe einer Wellenkurve veranschaulicht, die von rechts nach links und von oben nach unten gezeichnet wird (Abb. 166). In den Intervallen, in denen diese Kurve (manchmal Vorzeichenkurve genannt) über der x-Achse liegt, ist die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt; wo diese Kurve unterhalb der x-Achse liegt, ist die Ungleichung f (x)< 0.

Beispiel 5 Löse die Ungleichung

Lösung. Wir haben

(beide Teile der vorherigen Ungleichung wurden mit 6 multipliziert).
Um die Intervallmethode zu verwenden, markieren Sie die Punkte auf dem Zahlenstrahl (an diesen Stellen verschwindet der Zähler des auf der linken Seite der Ungleichung enthaltenen Bruchs) und Punkte (an diesen Stellen verschwindet der Nenner des angegebenen Bruchs). Normalerweise werden die Punkte schematisch markiert, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird, in der sie folgen (welcher ist rechts, welcher links) und nicht besonders auf die Skala geachtet wird. Es ist klar, dass Komplizierter stellt sich die Situation bei Zahlen dar. Die erste Schätzung zeigt, dass beide Zahlen etwas größer als 2,6 sind, woraus nicht geschlossen werden kann, welche der angegebenen Zahlen größer und welche kleiner ist. Angenommen (zufällig), dass Then
Es stellte sich die richtige Ungleichung heraus, was bedeutet, dass unsere Vermutung bestätigt wurde: tatsächlich
So,

Wir markieren die angegebenen 5 Punkte in der angegebenen Reihenfolge auf dem Zahlenstrahl (Abb. 17a). Ordnen Sie die Zeichen des Ausdrucks
auf den erhaltenen Intervallen: ganz rechts - ein + Zeichen, und dann wechseln sich die Zeichen ab (Abb. 176). Zeichnen wir eine Vorzeichenkurve und wählen (schraffiert) diejenigen Intervalle aus, auf denen die uns interessierende Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist (Abb. 17c). Schließlich berücksichtigen wir, dass es sich um eine nicht strenge Ungleichung f (x) > 0 handelt, uns also auch an den Stellen interessiert, an denen der Ausdruck f (x) verschwindet. Dies sind die Wurzeln des Zählers des Bruchs f (x), d.h. Punkte wir markieren sie in Abb. 17 in dunklen Kreisen (und natürlich in die Antwort aufnehmen). Hier ist jetzt das Bild. 17c gibt ein vollständiges geometrisches Modell für Lösungen der gegebenen Ungleichung.

Thema der Lektion "Systeme rationaler Ungleichungen lösen"

Klasse 10

Unterrichtstyp: Suche

Zweck: Wege finden, Ungleichungen mit einem Modul zu lösen, die Intervallmethode in einer neuen Situation anwenden.

Unterrichtsziele:

Überprüfen Sie die Fähigkeiten zur Lösung rationaler Ungleichungen und ihrer Systeme; - zeigen den Studierenden die Möglichkeiten der Anwendung der Intervallmethode beim Lösen von Ungleichungen mit einem Modul auf;

Lehren Sie, logisch zu denken;

Entwickeln Sie die Fähigkeit zur Selbsteinschätzung Ihrer Arbeit;

Lernen Sie, Ihre Gedanken auszudrücken

Lernen Sie, Ihren Standpunkt mit Vernunft zu verteidigen;

Bei den Schülern ein positives Motiv zum Lernen zu bilden;

Entwickeln Sie die Unabhängigkeit der Schüler.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren(1 Minute)

Hallo, heute werden wir das Thema "System rationaler Ungleichheiten" weiter studieren, wir werden unser Wissen und unsere Fähigkeiten in einer neuen Situation anwenden.

Notieren Sie das Datum und das Thema der Lektion "Lösen von Systemen rationaler Ungleichungen". Heute lade ich Sie zu einer Reise auf den Straßen der Mathematik ein, wo Prüfungen auf Sie warten, eine Kraftprobe. Sie haben Straßenkarten mit Aufgaben auf Ihren Schreibtischen, einen Self-Assessment-Frachtbrief, den Sie mir (dem Disponenten) am Ende der Reise übergeben.

Das Motto der Reise wird der Aphorismus sein: „Der Weg wird gemeistert von dem, der geht, und dem, der Mathematik denkt.“. Nehmen Sie Ihren Wissensschatz mit. Schalten Sie den Denkprozess ein und gehen Sie. Unterwegs werden wir von einem Straßenfunk begleitet.Ein Fragment von Musik klingt (1 min). Dann ein scharfer Piepton.

II. Die Phase der Wissensprüfung. Gruppenarbeit."Gepäckkontrolle"

Hier ist der erste Test "Gepäckkontrolle", der Ihr Wissen zum Thema testet

Nun werdet ihr in Gruppen von 3 oder 4 Personen eingeteilt. Jeder hat ein Arbeitsblatt auf seinem Schreibtisch. Verteilen Sie diese Aufgaben untereinander, lösen Sie sie, schreiben Sie fertige Antworten auf ein gemeinsames Blatt. Eine Gruppe von 3 Personen wählt 3 beliebige Aufgaben aus. Wer alle Aufgaben erledigt hat, informiert den Lehrer darüber. Ich oder meine Assistenten überprüfen die Antworten, und wenn mindestens eine Antwort falsch ist, wird ein Blatt zur Überprüfung an die Gruppe zurückgegeben. (die Kinder sehen die Antworten nicht, ihnen wird nur gesagt, bei welcher Aufgabe die Antwort falsch ist).Die erste Gruppe, die alle Aufgaben fehlerfrei erledigt, gewinnt. Vorwärts, um zu gewinnen.

Die Musik ist sehr leise.

Wenn zwei oder drei Gruppen gleichzeitig mit der Arbeit fertig sind, hilft einer der Jungs aus der anderen Gruppe dem Lehrer bei der Überprüfung. Antworten auf dem Blatt mit dem Lehrer (4 Kopien).

Die Arbeit stoppt, wenn eine Gewinnergruppe erscheint.

Vergessen Sie nicht, die Checkliste zur Selbsteinschätzung auszufüllen. Und wir gehen weiter.

Blatt mit der Aufgabe „Gepäckkontrolle“

1) 3)

2) 4)

III. Die Phase der Wissensaktualisierung und der Entdeckung neuen Wissens. "Heureka"

Die Inspektion hat gezeigt, dass Sie über einen großen Wissensschatz verfügen.

Aber es gibt alle möglichen Situationen im Straßenverkehr, manchmal ist Einfallsreichtum gefragt, und wenn Sie vergessen haben, es mitzunehmen, lassen Sie uns nachsehen.

Sie haben gelernt, Systeme rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode zu lösen. Heute werden wir uns die Lösung ansehen, für welche Probleme es ratsam ist, diese Methode zu verwenden. Aber zuerst erinnern wir uns, was ein Modul ist.

1. Setzen Sie die Sätze fort "Der Betrag einer Zahl ist gleich der Zahl selbst, wenn ..."(oral)

„Der Betrag einer Zahl ist gleich der Gegenzahl, wenn …“

2. Sei A(X) ein Polynom in x

Aufnahme fortsetzen:

Antworten:

Schreiben Sie den Ausdruck gegenüber dem Ausdruck A (x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Der Student schreibt an die Tafel, die Jungs schreiben in Hefte.

3. Versuchen wir nun, einen Weg zu finden, eine quadratische Ungleichung mit dem Betrag zu lösen

Was sind Ihre Vorschläge zur Lösung dieser Ungleichheit?

Hören Sie sich die Vorschläge der Jungs an.

Wenn es keine Vorschläge gibt, stellen Sie die Frage: „Ist es möglich, diese Ungleichung mit Systemen von Ungleichungen zu lösen?“

Der Student kommt heraus und entscheidet.

IV. Die Phase der primären Konsolidierung neuer Erkenntnisse, Erstellung eines Lösungsalgorithmus. Gepäck auffüllen.

(Arbeiten Sie in Gruppen von 4 Personen).

Jetzt schlage ich vor, dass Sie Ihr Gepäck auffüllen. Sie werden in Gruppen arbeiten.Jede Gruppe erhält 2 Aufgabenkarten.

Auf der ersten Karte müssen Sie Systeme zur Lösung der an der Tafel präsentierten Ungleichungen schreiben und einen Algorithmus zur Lösung solcher Ungleichungen entwickeln, Sie müssen ihn nicht lösen.

Die erste Karte der Gruppen ist anders, die zweite ist gleich

Was ist passiert?

Unter jede Gleichung an der Tafel müssen Sie eine Reihe von Systemen schreiben.

4 Studenten kommen heraus und schreiben Systeme. Zu diesem Zeitpunkt besprechen wir den Algorithmus mit der Klasse.

v. Das Stadium der Wissensverfestigung."Heimweg".

Gepäck aufgefüllt, jetzt geht es zurück. Lösen Sie nun unabhängig eine der vorgeschlagenen Ungleichungen mit dem Modul gemäß dem kompilierten Algorithmus.

Mit Ihnen auf der Straße wird wieder ein Straßenradio sein.

Schalten Sie leise Hintergrundmusik ein. Der Lehrer prüft die Gestaltung und berät ggf.

Aufgaben an der Tafel.

Die Arbeit ist abgeschlossen. Überprüfen Sie die Antworten (sie befinden sich auf der Rückseite der Tafel), füllen Sie den Frachtbrief zur Selbsteinschätzung aus.

Hausaufgaben machen.

Schreibe deine Hausaufgaben auf (schreibe die Ungleichungen, die du nicht oder mit Fehlern gemacht hast, in dein Heft um, zusätzlich Nr. 84 (a) auf Seite 373 des Lehrbuchs, wenn du möchtest)

VI. Entspannungsphase.

Wie hilfreich war diese Reise für Sie?

Was hast du gelernt?

Zusammenfassen. Berechnen Sie, wie viele Punkte jeder von Ihnen verdient hat.(Kinder nennen die Endnote).Übergeben Sie die Selbsteinschätzungsbögen dem Dispatcher, also mir.

Ich möchte die Lektion mit einem Gleichnis beenden.

„Ein weiser Mann ging, und drei Leute trafen ihn, die unter der heißen Sonne Karren mit Steinen zum Bauen trugen. Der Weise blieb stehen und stellte jedem eine Frage. Er fragte den ersten: „Was hast du den ganzen Tag gemacht?“, und er antwortete mit einem Grinsen, dass er den ganzen Tag verfluchte Steine ​​getragen habe. Der Weise fragte den zweiten: „Was hast du den ganzen Tag gemacht?“, und er antwortete: „Ich habe meine Arbeit gewissenhaft gemacht“, und der dritte lächelte, sein Gesicht leuchtete vor Freude und Vergnügen: „Und ich habe am Bau teilgenommen des Tempels!“

Der Unterricht ist vorbei.

Blatt zur Selbsteinschätzung

Nachname, Vorname, Klasse		Anzahl der Punkte
Arbeiten Sie in einer Gruppe, um Ungleichheiten oder Ungleichheitssysteme zu lösen.	2 Punkte bei korrekter Ausführung ohne fremde Hilfe; 1 Punkt bei korrekter Ausführung mit fremder Hilfe; 0 Punkte, wenn Sie die Aufgabe nicht abgeschlossen haben 1 Extrapunkt für einen Gruppensieg