Sehr oft sind Zähler und Nenner eines Bruchs algebraische Ausdrücke, die zuerst in Faktoren zerlegt werden müssen, und dann, nachdem sie unter ihnen gleich gefunden wurden, sowohl den Zähler als auch den Nenner in sie teilen, dh den Bruch reduzieren. Ein ganzes Kapitel eines Lehrbuchs zur Algebra in der 7. Klasse ist Aufgaben zur Faktorisierung eines Polynoms gewidmet. Factoring ist möglich 3 Wege, sowie eine Kombination dieser Methoden.

1. Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln

Bekanntlich Multipliziere ein Polynom mit einem Polynom, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren. Es gibt mindestens 7 (sieben) häufige Fälle der Multiplikation von Polynomen, die im Konzept enthalten sind. Zum Beispiel,

Tabelle 1. Faktorisierung auf dem 1. Weg

2. Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus der Klammer

Diese Methode basiert auf der Anwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation. Zum Beispiel,

Wir dividieren jeden Term des ursprünglichen Ausdrucks durch den Faktor, den wir herausnehmen, und erhalten gleichzeitig den Ausdruck in Klammern (das heißt, das Ergebnis der Division dessen, was war, durch das, was wir herausnehmen, bleibt in Klammern). Zuallererst brauchen Sie den Multiplikator richtig bestimmen, die eingeklammert werden müssen.

Das Polynom in Klammern kann auch ein gemeinsamer Teiler sein:

Bei der Aufgabe „Faktorisieren“ muss man besonders auf die Vorzeichen achten, wenn man den gemeinsamen Teiler aus Klammern nimmt. Zum Ändern des Vorzeichens jedes Begriffs in einer Klammer (b-a), nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus -1 , während jeder Term in der Klammer durch -1 geteilt wird: (b - a) = - (a - b) .

Für den Fall, dass der Ausdruck in Klammern quadriert ist (oder zu einer geraden Potenz), dann Zahlen in Klammern können vertauscht werden völlig kostenlos, da sich die aus Klammern genommenen Minuspunkte beim Multiplizieren immer noch in ein Plus verwandeln: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 usw…

3. Gruppierungsmethode

Manchmal haben nicht alle Begriffe im Ausdruck einen gemeinsamen Faktor, sondern nur einige. Dann kannst du es versuchen Gruppenbegriffe in Klammern, damit jeweils ein Faktor herausgenommen werden kann. Gruppierungsmethode ist eine doppelte Klammerung gemeinsamer Faktoren.

4. Mehrere Methoden gleichzeitig anwenden

Manchmal müssen Sie nicht nur eine, sondern mehrere Möglichkeiten anwenden, um ein Polynom gleichzeitig in Faktoren zu zerlegen.

Dies ist eine Zusammenfassung zum Thema. "Faktorisierung". Wählen Sie die nächsten Schritte:

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Das Erweitern von Polynomen, um ein Produkt zu erhalten, scheint manchmal verwirrend. Aber es ist nicht so schwierig, wenn Sie den Prozess Schritt für Schritt verstehen. Der Artikel beschreibt, wie man ein quadratisches Trinom faktorisiert.

Viele verstehen nicht, wie man ein quadratisches Trinom faktorisiert und warum man das macht. Auf den ersten Blick scheint dies eine nutzlose Übung zu sein. Aber in der Mathematik wird nichts einfach so gemacht. Die Transformation ist notwendig, um den Ausdruck zu vereinfachen und die Berechnung zu erleichtern.

Ein Polynom der Form - ax² + bx + c, heißt quadratisches Trinom. Der Term "a" muss negativ oder positiv sein. In der Praxis wird dieser Ausdruck als quadratische Gleichung bezeichnet. Daher sagen sie manchmal anders: Wie man eine quadratische Gleichung erweitert.

Interessant! Ein quadratisches Polynom wird wegen seines größten Grades als Quadrat bezeichnet. Und ein Trinom - wegen der 3 Komponententerme.

Einige andere Arten von Polynomen:

• lineares Binomial (6x+8);
• kubisches Viereck (x³+4x²-2x+9).

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

Zuerst ist der Ausdruck gleich Null, dann müssen Sie die Werte der Wurzeln x1 und x2 finden. Es kann keine Wurzeln geben, es kann eine oder zwei Wurzeln geben. Das Vorhandensein von Wurzeln wird durch die Diskriminante bestimmt. Seine Formel muss man auswendig kennen: D=b²-4ac.

Wenn das Ergebnis von D negativ ist, gibt es keine Wurzeln. Wenn positiv, gibt es zwei Wurzeln. Wenn das Ergebnis null ist, ist die Wurzel eins. Die Wurzeln werden auch durch die Formel berechnet.

Wenn die Berechnung der Diskriminante Null ergibt, können Sie jede der Formeln anwenden. In der Praxis wird die Formel einfach abgekürzt: -b / 2a.

Formeln für verschiedene Werte der Diskriminante sind unterschiedlich.

Wenn D positiv ist:

Wenn D Null ist:

Online-Rechner

Im Internet gibt es einen Online-Rechner. Es kann zum Faktorisieren verwendet werden. Einige Ressourcen bieten die Möglichkeit, die Lösung Schritt für Schritt zu sehen. Solche Dienste helfen, das Thema besser zu verstehen, aber Sie müssen versuchen, es gut zu verstehen.

Nützliches Video: Faktorisieren eines quadratischen Trinoms

Beispiele

Wir schlagen vor, sich einfache Beispiele zur Faktorisierung einer quadratischen Gleichung anzusehen.

Beispiel 1

Hier wird deutlich, dass das Ergebnis zwei x sein wird, weil D positiv ist. Sie müssen in die Formel eingesetzt werden. Wenn die Wurzeln negativ sind, wird das Vorzeichen in der Formel umgekehrt.

Wir kennen die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms: a(x-x1)(x-x2). Wir setzen die Werte in Klammern: (x+3)(x+2/3). Im Exponenten steht keine Zahl vor dem Glied. Dies bedeutet, dass es eine Einheit gibt, die abgesenkt ist.

Beispiel 2

Dieses Beispiel zeigt deutlich, wie man eine Gleichung mit einer Wurzel löst.

Ersetzen Sie den resultierenden Wert:

Beispiel 3

Gegeben: 5x²+3x+7

Zuerst berechnen wir die Diskriminante, wie in den vorherigen Fällen.

D = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.

Die Diskriminante ist negativ, was bedeutet, dass es keine Wurzeln gibt.

Nach Erhalt des Ergebnisses lohnt es sich, die Klammern zu öffnen und das Ergebnis zu überprüfen. Das ursprüngliche Trinom sollte erscheinen.

Alternative Lösung

Manche Menschen haben sich nie mit dem Diskriminanten anfreunden können. Es gibt eine andere Möglichkeit, ein quadratisches Trinom zu faktorisieren. Der Einfachheit halber wird das Verfahren in einem Beispiel gezeigt.

Gegeben: x²+3x-10

Wir wissen, dass wir am Ende zwei Klammern haben sollten: (_)(_). Wenn der Ausdruck so aussieht: x² + bx + c, setzen wir x an den Anfang jeder Klammer: (x_) (x_). Die verbleibenden zwei Zahlen sind das Produkt, das "c" ergibt, dh in diesem Fall -10. Um herauszufinden, was diese Nummern sind, können Sie nur die Auswahlmethode verwenden. Ersetzte Zahlen müssen mit dem Restbegriff übereinstimmen.

Wenn Sie beispielsweise die folgenden Zahlen multiplizieren, erhalten Sie -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nein.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nein.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nein.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passt.

Die Transformation des Ausdrucks x2+3x-10 sieht also so aus: (x-2)(x+5).

Wichtig! Sie sollten darauf achten, die Zeichen nicht zu verwechseln.

Zerlegung eines komplexen Trinoms

Wenn "a" größer als eins ist, beginnen Schwierigkeiten. Aber alles ist nicht so schwierig, wie es scheint.

Um zu faktorisieren, muss man zuerst sehen, ob es möglich ist, etwas herauszufaktorisieren.

Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks: 3x²+9x-30. Hier ist die Zahl 3 aus Klammern genommen:

3(x²+3x-10). Das Ergebnis ist das bereits bekannte Trinom. Die Antwort sieht so aus: 3(x-2)(x+5)

Wie zerlegt man, wenn der quadrierte Term negativ ist? BEIM dieser Fall die Zahl -1 wird aus der Klammer genommen. Zum Beispiel: -x²-10x-8. Der Ausdruck sieht dann so aus:

Das Schema unterscheidet sich kaum vom vorherigen. Es gibt nur wenige neue Sachen. Nehmen wir an, der Ausdruck ist gegeben: 2x²+7x+3. Die Antwort wird auch in 2 Klammern geschrieben, die ausgefüllt werden müssen (_) (_). X steht in der 2. Klammer, was übrig bleibt in der 1. Klammer. Es sieht so aus: (2x_)(x_). Andernfalls wird das vorherige Schema wiederholt.

Die Zahl 3 ergibt die Zahlen:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Wir lösen Gleichungen, indem wir die gegebenen Zahlen einsetzen. Die letzte Option passt. Die Transformation des Ausdrucks 2x²+7x+3 sieht also so aus: (2x+1)(x+3).

Andere Fälle

Es ist nicht immer möglich, einen Ausdruck zu transformieren. Bei der zweiten Methode ist die Lösung der Gleichung nicht erforderlich. Aber die Möglichkeit, Terme in ein Produkt umzuwandeln, wird nur durch die Diskriminante geprüft.

Es lohnt sich, das Lösen quadratischer Gleichungen zu üben, damit es keine Schwierigkeiten bei der Verwendung von Formeln gibt.

Nützliches Video: Faktorisierung eines Trinoms

Fazit

Sie können es auf beliebige Weise verwenden. Aber es ist besser, beide zum Automatismus zu arbeiten. Außerdem müssen diejenigen, die ihr Leben mit Mathematik verbinden wollen, lernen, wie man quadratische Gleichungen gut löst und Polynome in Faktoren zerlegt. Alle folgenden mathematischen Themen bauen darauf auf.

Das Faktorisieren einer Gleichung ist der Prozess, Terme oder Ausdrücke zu finden, die, wenn sie multipliziert werden, zur ursprünglichen Gleichung führen. Factoring ist eine nützliche Fähigkeit zum Lösen grundlegender algebraischer Probleme und wird zu einer praktischen Notwendigkeit, wenn man mit quadratischen Gleichungen und anderen Polynomen arbeitet. Factoring wird verwendet, um algebraische Gleichungen zu vereinfachen, damit sie leichter lösbar sind. Factoring kann Ihnen helfen, bestimmte mögliche Antworten schneller auszuschließen, als Sie es durch manuelles Lösen der Gleichung könnten.

Schritte

Faktorisierung von Zahlen und grundlegenden algebraischen Ausdrücken

1. Faktorisierung von Zahlen. Das Konzept des Factoring ist einfach, aber Factoring kann in der Praxis schwierig sein (bei einer komplexen Gleichung). Beginnen wir also mit dem Konzept der Faktorisierung am Beispiel von Zahlen, fahren mit einfachen Gleichungen fort und gehen dann zu komplexen Gleichungen über. Die Faktoren einer bestimmten Zahl sind die Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Zum Beispiel sind die Faktoren der Zahl 12 die Zahlen: 1, 12, 2, 6, 3, 4, da 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Ebenso können Sie sich die Faktoren einer Zahl als ihre Teiler vorstellen, also die Zahlen, durch die die gegebene Zahl teilbar ist.
   • Finden Sie alle Faktoren der Zahl 60. Wir verwenden oft die Zahl 60 (zum Beispiel 60 Minuten in einer Stunde, 60 Sekunden in einer Minute usw.) und diese Zahl hat eine ziemlich große Anzahl von Faktoren.
     • 60 Multiplikatoren: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.

2. Erinnern: Terme eines Ausdrucks, der einen Koeffizienten (eine Zahl) und eine Variable enthält, können ebenfalls faktorisiert werden. Finden Sie dazu die Multiplikatoren des Koeffizienten an der Variablen. Wenn du weißt, wie man die Terme der Gleichungen faktorisiert, kannst du diese Gleichung leicht vereinfachen.

   • Beispielsweise kann der Term 12x als Produkt von 12 und x geschrieben werden. Du kannst 12x auch als 3(4x), 2(6x) usw. schreiben, indem du 12 in die Faktoren faktorisierst, die für dich am besten funktionieren.
     • Sie können 12x mehrmals hintereinander anlegen. Mit anderen Worten, Sie sollten nicht bei 3(4x) oder 2(6x) aufhören; Erweiterung fortsetzen: 3(2(2x)) oder 2(3(2x)) (offensichtlich 3(4x)=3(2(2x)) usw.)

3. Wenden Sie das Distributivgesetz der Multiplikation an, um algebraische Gleichungen zu faktorisieren. Wenn Sie wissen, wie Zahlen und Terme eines Ausdrucks (Koeffizienten mit Variablen) faktorisiert werden, können Sie einfache algebraische Gleichungen vereinfachen, indem Sie den gemeinsamen Faktor einer Zahl und eines Terms eines Ausdrucks finden. Um die Gleichung zu vereinfachen, müssen Sie normalerweise den größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden. Eine solche Vereinfachung ist aufgrund des Distributivgesetzes der Multiplikation möglich: Für beliebige Zahlen a, b, c gilt die Gleichheit a (b + c) = ab + ac.

   • Beispiel. Faktorisiere die Gleichung 12x + 6. Finde zuerst den ggT von 12x und 6. 6 ist die größte Zahl, die sowohl 12x als auch 6 teilt, also kannst du diese Gleichung faktorisieren in: 6(2x+1).
   • Dieser Vorgang gilt auch für Gleichungen mit negativen und Bruchtermen. Beispielsweise kann x/2+4 in 1/2(x+8) zerlegt werden; beispielsweise kann -7x+(-21) in -7(x+3) zerlegt werden.

   Faktorisierung quadratischer Gleichungen

   1. Stellen Sie sicher, dass die Gleichung in quadratischer Form vorliegt (ax 2 + bx + c = 0). Quadratische Gleichungen sind: ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b, c andere numerische Koeffizienten als 0 sind. Wenn Sie eine Gleichung mit einer Variablen (x) erhalten und diese Gleichung einen oder mehrere Terme zweiter Ordnung hat variable , können Sie alle Terme der Gleichung auf eine Seite der Gleichung verschieben und sie mit Null gleichsetzen.

      • Zum Beispiel die Gleichung: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Sie kann in die Gleichung x 2 + 6x + 9 = 0 umgewandelt werden, die eine quadratische Gleichung ist.
      • Gleichungen mit einer Variablen x großer Ordnungen, zum Beispiel x 3 , x 4 usw. sind keine quadratischen Gleichungen. Dies sind kubische Gleichungen, Gleichungen vierter Ordnung usw. (nur wenn solche Gleichungen nicht zu quadratischen Gleichungen mit der Variablen x hoch 2 vereinfacht werden können).

   2. Quadratische Gleichungen, bei denen a \u003d 1, werden in (x + d) (x + e) ​​zerlegt, wobei d * e \u003d c und d + e \u003d b. Wenn die Ihnen gegebene quadratische Gleichung die Form hat: x 2 + bx + c \u003d 0 (dh der Koeffizient bei x 2 ist gleich 1), kann eine solche Gleichung (aber nicht garantiert) in die obige zerlegt werden Faktoren. Dazu müssen Sie zwei Zahlen finden, die multipliziert "c" ergeben und addiert - "b". Sobald Sie diese beiden Zahlen (d und e) gefunden haben, setzen Sie sie in den folgenden Ausdruck ein: (x+d)(x+e), was, wenn die Klammern geöffnet werden, zur ursprünglichen Gleichung führt.

      • Angenommen, die quadratische Gleichung x 2 + 5x + 6 = 0,3*2=6 und 3+2=5, so dass Sie die Gleichung in (x+3)(x+2) erweitern können.
      • Nehmen Sie für negative Terme die folgenden geringfügigen Änderungen am Faktorisierungsprozess vor:
        • Wenn die quadratische Gleichung die Form x 2 -bx + c hat, zerfällt sie in: (x-_) (x-_).
        • Wenn die quadratische Gleichung die Form x 2 -bx-c hat, zerfällt sie in: (x + _) (x-_).
      • Hinweis: Leerzeichen können durch Brüche oder Dezimalzahlen ersetzt werden. Beispielsweise wird die Gleichung x 2 + (21/2)x + 5 = 0 in (x + 10) (x + 1/2) zerlegt.

   3. Faktorisierung durch Versuch und Irrtum. Einfache quadratische Gleichungen können faktorisiert werden, indem Sie einfach Zahlen in mögliche Lösungen einsetzen, bis Sie die richtige Lösung gefunden haben. Wenn die Gleichung die Form ax 2 +bx+c hat, wobei a>1 ist, werden die möglichen Lösungen geschrieben als (dx +/- _)(ex +/- _), wobei d und e numerische Koeffizienten ungleich Null sind, was multipliziert ergibt a. Entweder d oder e (oder beide Koeffizienten) können gleich 1 sein. Wenn beide Koeffizienten gleich 1 sind, verwenden Sie die oben beschriebene Methode.

      • Zum Beispiel die Gleichung 3x 2 - 8x + 4. Hier hat 3 nur zwei Faktoren (3 und 1), also werden die möglichen Lösungen als (3x +/- _)(x +/- _) geschrieben. Wenn Sie in diesem Fall Leerzeichen durch -2 ersetzen, finden Sie die richtige Antwort: -2*3x=-6x und -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x und -2*-2=4, das heißt, eine solche Erweiterung beim Öffnen der Klammern führt zu den Termen der ursprünglichen Gleichung.

In diesem Artikel finden Sie alle notwendigen Informationen, die die Frage beantworten, wie man eine Zahl faktorisiert. Zunächst wird eine allgemeine Vorstellung von der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren gegeben, Beispiele für Erweiterungen werden gegeben. Die kanonische Form der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren wird als nächstes gezeigt. Danach wird ein Algorithmus zum Zerlegen beliebiger Zahlen in Primfaktoren angegeben, und es werden Beispiele für das Zerlegen von Zahlen unter Verwendung dieses Algorithmus gegeben. Es werden auch alternative Methoden in Betracht gezogen, mit denen Sie kleine ganze Zahlen mithilfe von Teilbarkeitskriterien und dem Einmaleins schnell in Primfaktoren zerlegen können.

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Was bedeutet es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen?

Schauen wir uns zunächst an, was Primfaktoren sind.

Es ist klar, dass, da das Wort „Faktoren“ in diesem Satz vorhanden ist, das Produkt einiger Zahlen stattfindet, und das klärende Wort „Primzahl“ bedeutet, dass jeder Faktor eine Primzahl ist. Zum Beispiel gibt es in einem Produkt der Form 2 7 7 23 vier Primfaktoren: 2 , 7 , 7 und 23 .

Was bedeutet es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen?

Das bedeutet, dass die gegebene Zahl als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden muss und der Wert dieses Produkts gleich der ursprünglichen Zahl sein muss. Betrachten Sie als Beispiel das Produkt der drei Primzahlen 2 , 3 und 5 , es ist gleich 30 , also ist die Zerlegung der Zahl 30 in Primfaktoren 2 3 5 . Üblicherweise schreibt man die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren als Gleichheit, in unserem Beispiel also so: 30=2 3 5 . Unabhängig davon betonen wir, dass Primfaktoren in der Erweiterung wiederholt werden können. Dies wird an folgendem Beispiel deutlich: 144=2 2 2 2 3 3 . Aber die Darstellung der Form 45=3 15 ist keine Zerlegung in Primfaktoren, da die Zahl 15 zusammengesetzt ist.

Es stellt sich folgende Frage: „Und welche Zahlen lassen sich in Primfaktoren zerlegen“?

Auf der Suche nach einer Antwort darauf stellen wir die folgende Argumentation vor. Primzahlen gehören per Definition zu denen größer als eins. Angesichts dieser Tatsache und kann argumentiert werden, dass das Produkt mehrerer Primfaktoren eine positive ganze Zahl größer als eins ist. Daher findet eine Faktorisierung nur für positive ganze Zahlen statt, die größer als 1 sind.

Aber sind alle ganzen Zahlen größer als ein Faktor Primfaktoren?

Es ist klar, dass es keine Möglichkeit gibt, einfache ganze Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Dies liegt daran, dass Primzahlen nur zwei positive Teiler haben, eins und sich selbst, sodass sie nicht als Produkt von zwei oder mehr Primzahlen dargestellt werden können. Wenn eine ganze Zahl z als Produkt der Primzahlen a und b dargestellt werden könnte, dann würde uns das Konzept der Teilbarkeit erlauben zu schließen, dass z sowohl durch a als auch durch b teilbar ist, was aufgrund der Einfachheit der Zahl z unmöglich ist. Es wird jedoch angenommen, dass jede Primzahl selbst ihre Zerlegung ist.

Was ist mit zusammengesetzten Zahlen? Zerlegen sich zusammengesetzte Zahlen in Primfaktoren und unterliegen alle zusammengesetzten Zahlen einer solchen Zerlegung? Eine bejahende Antwort auf eine Reihe dieser Fragen gibt der Fundamentalsatz der Arithmetik. Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl a, die größer als 1 ist, in das Produkt der Primfaktoren p 1 , p 2 , ..., p n zerlegt werden kann, während die Entwicklung die Form a=p 1 p 2 hat. .p n , und dies ist die Zerlegung eindeutig, wenn wir die Reihenfolge der Faktoren nicht berücksichtigen

Kanonische Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren

Bei der Erweiterung einer Zahl können Primfaktoren wiederholt werden. Sich wiederholende Primfaktoren können mit kompakter geschrieben werden. Der Primfaktor p 1 komme s 1 mal in der Zerlegung der Zahl a vor, der Primfaktor p 2 - s 2 mal und so weiter, p n - s n mal. Dann kann die Primfaktorzerlegung der Zahl a geschrieben werden als a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Diese Form des Schreibens ist die sog Kanonische Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren.

Geben wir ein Beispiel für die kanonische Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren. Teilen Sie uns die Zerlegung mit 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, seine kanonische Form ist 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2.

Die kanonische Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren ermöglicht es Ihnen, alle Teiler der Zahl und die Anzahl der Teiler der Zahl zu finden.

Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren

Um die Aufgabe, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, erfolgreich zu bewältigen, müssen Sie die Informationen im Artikel Einfache und zusammengesetzte Zahlen sehr gut beherrschen.

Das Wesen des Prozesses der Erweiterung einer positiven ganzen Zahl und größer als eine Zahl a wird aus dem Beweis des Hauptsatzes der Arithmetik deutlich. Die Bedeutung besteht darin, nacheinander die kleinsten Primteiler p 1 , p 2 , …, p n Zahlen a, a 1 , a 2 , …, a n-1 zu finden, wodurch Sie eine Reihe von Gleichungen a=p 1 a 1 erhalten , wobei a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , wobei a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , wobei a n =a n -1:p n . Wenn a n = 1 erhalten wird, dann liefert uns die Gleichheit a = p 1 ·p 2 ·…·p n die erforderliche Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren. Auch hier ist darauf hinzuweisen p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Es bleibt, bei jedem Schritt die kleinsten Primteiler zu finden, und wir werden einen Algorithmus haben, um eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen. Die Primzahlentabelle hilft uns dabei, Primteiler zu finden. Lassen Sie uns zeigen, wie man es verwendet, um den kleinsten Primteiler der Zahl z zu erhalten.

Wir nehmen der Reihe nach Primzahlen aus der Tabelle der Primzahlen (2 , 3 , 5 , 7 , 11 usw.) und dividieren die gegebene Zahl z durch sie. Die erste Primzahl, durch die z ohne Rest teilbar ist, ist ihr kleinster Primteiler. Wenn die Zahl z eine Primzahl ist, dann ist ihr kleinster Primteiler die Zahl z selbst. Es sollte hier auch daran erinnert werden, dass, wenn z keine Primzahl ist, ihr kleinster Primteiler die Zahl nicht überschreitet, woher - z . Wenn also unter den Primzahlen, die nicht größer als , kein einziger Teiler der Zahl z war, dann können wir schlussfolgern, dass z eine Primzahl ist (mehr darüber steht im Theorieteil unter der Überschrift, dass diese Zahl eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist). ).

Lassen Sie uns zum Beispiel zeigen, wie man den kleinsten Primteiler der Zahl 87 findet. Wir nehmen die Nummer 2. Teilen Sie 87 durch 2, erhalten wir 87:2=43 (Rest. 1) (ggf. siehe Artikel). Das heißt, wenn 87 durch 2 geteilt wird, ist der Rest 1, also ist 2 kein Teiler der Zahl 87. Wir nehmen die nächste Primzahl aus der Tabelle der Primzahlen, das ist die Zahl 3 . Teilen wir 87 durch 3, erhalten wir 87:3=29. 87 ist also ohne Rest durch 3 teilbar, also ist 3 der kleinste Primteiler von 87.

Beachten Sie, dass wir im allgemeinen Fall, um die Zahl a zu faktorisieren, eine Tabelle von Primzahlen bis zu einer Zahl nicht weniger als benötigen. Wir müssen uns bei jedem Schritt auf diese Tabelle beziehen, also müssen wir sie zur Hand haben. Um beispielsweise die Zahl 95 zu faktorisieren, benötigen wir eine Tabelle mit Primzahlen bis 10 (da 10 größer als ist). Und um die Zahl 846 653 zu zerlegen, benötigen Sie bereits eine Tabelle mit Primzahlen bis 1.000 (da 1.000 größer als ist).

Wir haben jetzt genug Informationen, um zu schreiben Algorithmus zum Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren. Der Algorithmus zum Erweitern der Zahl a lautet wie folgt:

• Wenn wir die Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen nacheinander sortieren, finden wir den kleinsten Primteiler p 1 der Zahl a, danach berechnen wir a 1 = a:p 1 . Wenn a 1 = 1 , dann ist die Zahl a eine Primzahl und selbst ihre Zerlegung in Primfaktoren. Wenn a 1 gleich 1 ist, dann haben wir a = p 1 ·a 1 und gehen zum nächsten Schritt.
• Wir finden den kleinsten Primteiler p 2 der Zahl a 1 , sortieren dazu die Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen der Reihe nach, beginnend mit p 1 , danach berechnen wir a 2 =a 1:p 2 . Ist a 2 = 1, so hat die gewünschte Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren die Form a = p 1 ·p 2 . Wenn a 2 gleich 1 ist, dann haben wir a = p 1 ·p 2 ·a 2 und gehen zum nächsten Schritt.
• Wenn wir die Zahlen aus der Primzahlentabelle durchgehen, beginnend mit p 2 , finden wir den kleinsten Primteiler p 3 der Zahl a 2 , danach berechnen wir a 3 = a 2:p 3 . Ist a 3 = 1, so hat die gewünschte Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren die Form a = p 1 ·p 2 ·p 3 . Wenn a 3 gleich 1 ist, dann haben wir a = p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 und gehen zum nächsten Schritt.
• Finde den kleinsten Primteiler p n der Zahl a n-1 durch Sortieren der Primzahlen, beginnend mit p n-1 , sowie a n =a n-1:p n , und a n ist gleich 1 . Dieser Schritt ist der letzte Schritt des Algorithmus, hier erhalten wir die erforderliche Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Alle Ergebnisse, die bei jedem Schritt des Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren erhalten werden, werden der Übersichtlichkeit halber in Form der folgenden Tabelle dargestellt, in der die Zahlen a, a 1, a 2, ..., a n nacheinander geschrieben sind links vom vertikalen Balken und rechts vom Balken - die entsprechenden kleinsten Primteiler p 1 , p 2 , …, p n .

Es bleiben nur einige Beispiele für die Anwendung des erhaltenen Algorithmus auf die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren zu betrachten.

Beispiele für Primfaktorzerlegung

Jetzt werden wir im Detail analysieren Beispiele für Primfaktorzerlegung. Beim Zerlegen wenden wir den Algorithmus aus dem vorherigen Absatz an. Beginnen wir mit einfachen Fällen und werden sie nach und nach verkomplizieren, um alle möglichen Nuancen zu bewältigen, die bei der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren auftreten.

Beispiel.

Zerlege die Zahl 78 in Primfaktoren.

Entscheidung.

Wir beginnen mit der Suche nach dem ersten kleinsten Primteiler p 1 der Zahl a=78 . Dazu fangen wir an, die Primzahlen aus der Tabelle der Primzahlen der Reihe nach zu sortieren. Wir nehmen die Zahl 2 und teilen sie durch 78, wir erhalten 78:2=39. Die Zahl 78 wurde ohne Rest durch 2 geteilt, also ist p 1 \u003d 2 der erste gefundene Primteiler der Zahl 78. In diesem Fall a 1 =a:p 1 =78:2=39 . So kommen wir zu der Gleichung a=p 1 ·a 1 mit der Form 78=2·39 . Offensichtlich unterscheidet sich eine 1 = 39 von 1 , also gehen wir zum zweiten Schritt des Algorithmus.

Nun suchen wir den kleinsten Primteiler p 2 der Zahl a 1 =39 . Wir beginnen mit der Aufzählung von Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen, beginnend mit p 1 =2 . Teilen Sie 39 durch 2, wir erhalten 39:2=19 (Rest 1). Da 39 nicht ohne Rest durch 2 teilbar ist, ist 2 nicht ihr Teiler. Dann nehmen wir die nächste Zahl aus der Tabelle der Primzahlen (die Zahl 3) und teilen sie durch 39, wir erhalten 39:3=13. Daher ist p 2 \u003d 3 der kleinste Primteiler der Zahl 39, während a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Wir haben die Gleichheit a=p 1 p 2 a 2 in der Form 78=2 3 13 . Da a 2 =13 von 1 verschieden ist, gehen wir zum nächsten Schritt des Algorithmus.

Hier müssen wir den kleinsten Primteiler der Zahl a 2 =13 finden. Auf der Suche nach dem kleinsten Primteiler p 3 der Zahl 13 sortieren wir die Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen der Reihe nach, beginnend mit p 2 =3 . Die Zahl 13 ist nicht durch 3 teilbar, da 13:3=4 (Rest. 1), auch 13 ist nicht durch 5, 7 und 11 teilbar, da 13:5=2 (Rest. 3), 13:7=1 (Res. 6) und 13:11=1 (Res. 2) . Die nächste Primzahl ist 13, und 13 ist durch sie ohne Rest teilbar, daher ist der kleinste Primteiler p 3 der Zahl 13 die Zahl 13 selbst, und a 3 = a 2:p 3 = 13:13 = 1 . Da a 3 =1 ist, ist dieser Schritt des Algorithmus der letzte, und die gewünschte Zerlegung der Zahl 78 in Primfaktoren hat die Form 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Antworten:

78=2 3 13 .

Beispiel.

Drücken Sie die Zahl 83.006 als Produkt von Primfaktoren aus.

Entscheidung.

Beim ersten Schritt des Algorithmus zum Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren finden wir p 1 =2 und a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , also 83 006=2 41 503 .

Im zweiten Schritt finden wir heraus, dass 2 , 3 und 5 keine einfachen Teiler der Zahl a 1 =41 503 sind, und die Zahl 7 ist, da 41 503: 7=5 929 . Wir haben p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Also 83 006 = 2 7 5 929 .

Der kleinste Primteiler von a 2 =5 929 ist 7 , da 5 929:7=847 . Somit ist p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , also 83 006 = 2 7 7 847 .

Weiterhin finden wir, dass der kleinste Primteiler p 4 der Zahl a 3 =847 gleich 7 ist. Dann a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , also 83 006=2 7 7 7 121 .

Nun finden wir den kleinsten Primteiler der Zahl a 4 =121, es ist die Zahl p 5 =11 (da 121 durch 11 teilbar und nicht durch 7 teilbar ist). Dann a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 und 83 006=2 7 7 7 11 11 .

Schließlich ist der kleinste Primteiler von a 5 =11 p 6 =11 . Dann a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Da a 6 =1 ist, ist dieser Schritt des Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren der letzte, und die gewünschte Zerlegung hat die Form 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Das erhaltene Ergebnis lässt sich als kanonische Zerlegung der Zahl in Primfaktoren schreiben 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Antworten:

83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 991 ist eine Primzahl. Tatsächlich hat es keinen Primteiler, der nicht größer ist als ( kann grob geschätzt werden als , da es offensichtlich ist, dass 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Antworten:

897 924 289 = 937 967 991 .

Verwenden von Teilbarkeitstests für die Primfaktorzerlegung

In einfachen Fällen können Sie eine Zahl in Primfaktoren zerlegen, ohne den Zerlegungsalgorithmus aus dem ersten Absatz dieses Artikels zu verwenden. Wenn die Zahlen nicht groß sind, reicht es oft aus, die Zeichen der Teilbarkeit zu kennen, um sie in Primfaktoren zu zerlegen. Wir geben Beispiele zur Verdeutlichung.

Zum Beispiel müssen wir die Zahl 10 in Primfaktoren zerlegen. Aus dem Einmaleins wissen wir, dass 2 5=10 und die Zahlen 2 und 5 offensichtlich Primzahlen sind, also ist die Primfaktorzerlegung von 10 10=2 5 .

Ein anderes Beispiel. Mit dem Einmaleins zerlegen wir die Zahl 48 in Primfaktoren. Wir wissen, dass sechs acht gleich achtundvierzig ist, also 48=6 8. Allerdings sind weder 6 noch 8 Primzahlen. Aber wir wissen, dass zweimal drei sechs ist und zweimal vier acht, also 6=2 3 und 8=2 4 . Dann 48=6 8=2 3 2 4 . Es bleibt zu bedenken, dass zweimal zwei vier ist, dann erhalten wir die gewünschte Zerlegung in Primfaktoren 48=2 3 2 2 2 . Schreiben wir diese Zerlegung in der kanonischen Form: 48=2 4 ·3 .

Aber wenn Sie die Zahl 3400 in Primfaktoren zerlegen, können Sie die Zeichen der Teilbarkeit verwenden. Die Zeichen der Teilbarkeit durch 10, 100 erlauben uns zu behaupten, dass 3400 durch 100 teilbar ist, während 3400 = 34 100 und 100 durch 10 teilbar ist, während 100 = 10 10, also 3400 = 34 10 10. Und auf der Grundlage des Zeichens der Teilbarkeit durch 2 kann argumentiert werden, dass jeder der Faktoren 34, 10 und 10 durch 2 teilbar ist, erhalten wir 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Alle Faktoren in der resultierenden Erweiterung sind einfach, daher ist diese Erweiterung die erforderliche. Es bleibt nur, die Faktoren so umzuordnen, dass sie in aufsteigender Reihenfolge gehen: 3 400 = 2 2 2 5 5 17 . Wir schreiben auch die kanonische Zerlegung dieser Zahl in Primfaktoren auf: 3 400=2 3 5 2 17 .

Bei der Zerlegung einer gegebenen Zahl in Primfaktoren kannst du wiederum sowohl die Teilbarkeitszeichen als auch das Einmaleins verwenden. Stellen wir die Zahl 75 als Produkt von Primfaktoren dar. Das Zeichen der Teilbarkeit durch 5 erlaubt uns zu behaupten, dass 75 durch 5 teilbar ist, während wir 75 = 5 15 erhalten. Und aus dem Einmaleins wissen wir, dass 15=3 5 , also 75=5 3 5 . Das ist die gewünschte Zerlegung der Zahl 75 in Primfaktoren.

Referenzliste.

• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Winogradov I.M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
• Kulikov L. Ya. ua Aufgabensammlung der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der fiz.-mat. Spezialgebiete pädagogischer Institute.