Surjektion, Injektion und Bijektion

Die Regel, die die Abbildung f: X (oder die Funktion /) definiert, kann konventionell durch Pfeile dargestellt werden (Abb. 2.1). Wenn es in der Menge Y mindestens ein Element gibt, auf das keiner der Pfeile zeigt, dann deutet dies darauf hin, dass der Wertebereich der Funktion f nicht die gesamte Menge Y ausfüllt, d.h. f(X) C Y.

Wenn der Wertebereich / mit Y übereinstimmt, d.h. f(X) = Y, dann heißt eine solche Funktion surjektiv) oder kurz Surjektion, und die Funktion / soll die Menge X auf die Menge Y abbilden (im Gegensatz zum allgemeinen Fall der Abbildung der Menge X in die Menge Y nach Definition 2.1). Also ist / : X eine Surjektion, wenn Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. In diesem Fall führt in der Abbildung mindestens ein Pfeil zu jedem Element der Menge Y (Abb. 2.2). In diesem Fall können mehrere Pfeile zu einigen Elementen von Y führen. Wenn nicht mehr als ein Pfeil zu irgendeinem Element y € Y führt, dann heißt / eine Injektionsfunktion oder Injektion. Diese Funktion ist nicht unbedingt surjektiv, d.h. die Pfeile führen nicht zu allen Elementen der Menge Y (Abb. 2.3).

• Die Funktion /: X -Y Y ist also eine Injektion, wenn zwei verschiedene Elemente aus Surjektion, Injektion und Bijektion. Reverse-Mapping. Die Zusammensetzung von Abbildungen ist ein Produkt von Mengen. Zeitplan anzeigen. Die Abbildung /:X->Y heißt bijektiv oder Bijektion, wenn jedes Element von y 6 Y das Abbild eines einzigen Elements aus Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Tatsächlich stellt die Funktion / in diesem Fall eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Mengen X und Y her und wird daher oft als Eins-zu-eins-Funktion bezeichnet. Offensichtlich ist eine Funktion / genau dann bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. In diesem Fall verbinden die Pfeile (Abb. 2.4) paarweise jedes Element von X mit jedem Element von Y. Darüber hinaus können keine zwei Elemente von X durch einen Pfeil mit demselben Element von Y verbunden werden, da / injektiv ist und Aufgrund der Eindeutigkeitsanforderung des Bildes in Definition 2.1 der Abbildung können keine zwei Elemente aus Y durch Pfeile mit demselben Element aus X verbunden werden. Jedes Element von X nimmt an einer paarweisen Verbindung teil, da X der Definitionsbereich der Funktion / ist. Schließlich nimmt jedes Element aus Y auch an einem der Paare teil, da / surjektiv ist. Die Rollen von Abbildungen (Funktionen), die eine solche Inversion ermöglichen, werden im Folgenden eine wichtige Rolle spielen.

Im Einzelfall können die Mengen X und Y zusammenfallen (X = Y). Dann bildet die bijektive Funktion die Menge X auf sich selbst ab. Die Bijektion einer Menge auf sich selbst wird auch Transformation genannt. 2.3. Inverse Abbildung Sei /:X -? Y ist eine bestimmte Bijektion und sei y € Y. Bezeichnen wir mit /_1(y) das einzige Element x € X, für das /(r) = y gilt. Daher definieren wir eine Abbildung 9: Y Xу, die wiederum eine Bijektion ist. Dies wird als inverse Abbildung oder inverse Bijektion nach / bezeichnet. Oft wird sie auch einfach Umkehrfunktion genannt und mit /"* bezeichnet. In Abb. 2.5 ist die Funktion d genau die Umkehrung von /, d. h. d = f"1.

Beispiele für Lösungen bei Problemen

Die Abbildungen (Funktionen) / und sind zueinander invers. Es ist klar, dass, wenn eine Funktion keine Bijektion ist, ihre Umkehrfunktion nicht existiert. Wenn / nicht injektiv ist, kann ein Element y € Y mehreren Elementen x aus der Menge X entsprechen, was der Definition einer Funktion widerspricht. Wenn / nicht surjektiv ist, dann gibt es Elemente in Y, für die es in X keine Urbilder gibt, d. h. Für diese Elemente ist die Umkehrfunktion nicht definiert. Beispiel 2.1. A. Sei X = Y = R – eine Menge reeller Zahlen. Die Funktion /, definiert durch die Formel y = For - 2, i,y € R, ist eine Bijektion. Die Umkehrfunktion ist x = (y + 2)/3. B. Die reelle Funktion f(x) = x2 einer reellen Variablen x ist nicht surjektiv, da negative Zahlen aus Y = R keine Bilder von Elementen aus X = K sind, da /: Γ -> Y. Beispiel 2.2. Sei A" = R und Y = R+ die Menge der positiven reellen Zahlen. Die Funktion f(x) = ax, a > 0, af 1, ist eine Bijektion. Die Umkehrfunktion ist Z"1 (Y) = 1°8a Y

• Surjektion, Injektion und Bijektion. Reverse-Mapping. Die Zusammensetzung von Abbildungen ist ein Produkt von Mengen. Zeitplan anzeigen. 2.4. Zusammensetzung von Abbildungen Wenn f:X-*Y und g:Y-*Zy, dann wird die Abbildung (p:X -+Z, definiert für jedes a: 6 A" durch die Formel =, eine Zusammensetzung (Überlagerung) von Abbildungen genannt (Funktionen) / und d> oder eine komplexe Funktion und wird mit rho/ bezeichnet (Abb. 2.6).
• Somit implementiert eine komplexe Funktion vor f die Regel: i Anwenden / zuerst und dann di, d.h. in der Zusammenstellung der Operationen „Vorher / müssen Sie mit der Operation / beginnen, die sich rechts befindet. Beachten Sie, dass die Zusammensetzung Abb. 2.6 Abbildungen sind assoziativ, d. h. wenn /: Überprüfen wir dies wie folgt: Auf jedem wK „oaicecmee X“ ist eine Abbildung 1x -X es lässt alles an seinem Platz.

Wenn also eine zur Bijektion / inverse Bijektion ist: bzw. Umgekehrt, wenn die Abbildungen f: Wenn / eine Bijektion von A auf Y und $ eine Bijektion von Y auf Z ist, dann ist gof offensichtlich eine Bijektion von Abbildungsgraph Denken Sie daran, dass zwei zueinander senkrechte Koordinatenachsen mit einem für beide Achsen gleichen Maßstab ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem auf der Ebene definieren (Abb. 2.7). Der Punkt O des Schnittpunkts der Koordinatenachsen wird als Ursprung* von bezeichnet Koordinaten.

Jeder Punkt M kann einem Paar (i, y) reeller Zahlen zugeordnet werden, wobei x die Koordinate des Punktes Mx auf der Koordinatenachse Ox und y die Koordinate des Punktes Mu auf der Koordinatenachse Oy ist. Die Punkte Mx und Mu sind die Basen der Senkrechten, die vom Punkt M auf der Ox- bzw. Oy-Achse fallen. Die Zahlen x und y werden als Koordinaten des Punktes M (im ausgewählten Koordinatensystem) bezeichnet, und x wird als Abszisse von Punkt M bezeichnet, und y ist die Ordinate dieses Punktes. Es ist offensichtlich, dass jedes Paar (a, b) reeller Zahlen a, 6 6R einem Punkt M auf der Ebene entspricht, dessen Koordinaten diese Zahlen sind. Und umgekehrt entspricht jeder Punkt M der Ebene einem Paar (a, 6) reeller Zahlen a und 6. Im allgemeinen Fall definieren Paare (a, b) und (6, a) unterschiedliche Punkte, d. h. Es ist wichtig, welche der beiden Zahlen a und b bei der Bezeichnung des Paares an erster Stelle steht. Es handelt sich also um ein geordnetes Paar. In dieser Hinsicht gelten die Paare (a, 6) und (6, a) als gleich und definieren denselben Punkt auf der Ebene, wenn nur a = 6. Surjektion, Injektion und Bijektion. Reverse-Mapping.

Die Zusammensetzung von Abbildungen ist ein Produkt von Mengen. Zeitplan anzeigen. Die Menge aller Paare reeller Zahlen sowie die Menge der Punkte in der Ebene wird mit R2 bezeichnet. Diese Bezeichnung ist mit dem in der Mengenlehre wichtigen Konzept eines direkten (oder dek-artov) Produkts von Mengen verbunden (oft spricht man einfach von einem Produkt von Mengen). Definition 2.2. Das Produkt der Mengen A und B ist die Menge Ax B möglicher geordneter Paare (x, y), wobei das erste Element aus A und das zweite aus B entnommen wird, sodass die Gleichheit zweier Paare (x, y) und gilt (&", y") bestimmt die Bedingungen x = x" und y = y7. Paare (i, y) und (y, x) gelten als unterschiedlich, wenn xy. Dies ist besonders wichtig zu beachten, wenn die Mengen A und B fallen zusammen. Daher ist im allgemeinen Fall A x B f B x A, d. h. das Produkt beliebiger Mengen, nicht kommutativ, sondern distributiv in Bezug auf die Vereinigung, den Durchschnitt und die Differenz von Mengen: wobei eine der drei genannten bezeichnet wird Operationen. Das Produkt von Mengen unterscheidet sich erheblich von den angegebenen Operationen an zwei Mengen. Das Ergebnis der Ausführung dieser Operationen ist eine Menge, deren Elemente (sofern sie nicht leer ist) zu einer oder beiden der ursprünglichen Mengen gehören. Die Elemente des Produkts von Mengen gehören zur neuen Menge und stellen Objekte einer anderen Art dar als die Elemente der ursprünglichen Mengen. Ähnlich wie Definition 2.2

Wir können das Konzept eines Produkts aus mehr als zwei Mengen einführen. Die Mengen (A x B) x C und A*x (B x C) werden identifiziert und einfach mit A x B x C bezeichnet, also. Funktioniert Ah Au Ah Ah Ah Ah usw. in der Regel mit A2, A3 usw. bezeichnet. Offensichtlich kann die Ebene R2 als Produkt R x R zweier Kopien der Menge der reellen Zahlen betrachtet werden (daher die Bezeichnung der Punktmenge der Ebene als Produkt zweier Punktmengen auf der Zahlengeraden). Die Punktmenge im geometrischen (dreidimensionalen) Raum entspricht dem Produkt R x R x R von drei Kopien der Punktmenge auf der Zahlenlinie, bezeichnet mit R3.

• Das Produkt von n Mengen reeller Zahlen wird mit Rn bezeichnet. Diese Menge stellt alle möglichen Sammlungen (xj, X2, xn) von n reellen Zahlen X2) xn £ R dar, und jeder Punkt x* aus Rn ist eine solche Sammlung (xj, x, x*) von reellen Zahlen
• Das Produkt von n beliebigen Mengen ist eine Menge geordneter Sammlungen von n (im Allgemeinen heterogenen) Elementen. Für solche Mengen werden die Namen tuple oder n-ka verwendet (ausgesprochen „enka“). Beispiel 2.3. Sei A = (1, 2) und B = (1, 2). Dann kann die Menge A x B identifiziert werden mit vier Punkte der Ebene R2, deren Koordinaten bei der Auflistung der Elemente dieser Menge angegeben werden. Wenn C = ( 1,2) und D = (3,4), dann Beispiel 2.4 Let Then Die geometrische Interpretation der Mengen E x F und F x E ist in Abb. 2.8 dargestellt. # Für die Abbildung /:X können wir eine Menge geordneter Paare (r, y) erstellen, die eine Teilmenge des direkten Produkts X x Y ist.
• Eine solche Menge nennt man den Graphen der Abbildung f (oder den Graphen der Funktion i*“ – Beispiel 2.5. Im Fall von XCR und Y = K gibt jedes geordnete Paar die Koordinaten eines Punktes auf der Ebene R2 an. If X ist ein Intervall der Zahlengeraden R, dann kann der Graph der Funktion eine bestimmte Gerade darstellen (Abb. 2.9). Beispiel 2.6 Es ist klar, dass mit XCR2 und Y = R der Graph der Funktion eine bestimmte Menge von Punkten in R3 ist , die eine bestimmte Oberfläche darstellen kann (Abb. 2.10).

Wenn Abb. 2.11) . # Alle genannten Beispiele für Funktionsgraphen sind die wichtigsten Objekte der mathematischen Analyse und werden in Zukunft ausführlich besprochen.

Betrachten wir einen weiteren wichtigen Sonderfall des allgemeinen Konzepts der Korrespondenz – die Abbildung von Mengen. Wenn konform R zwischen Sätzen X Und Y Elementbild AX kann leer sein oder mehrere Elemente enthalten.

Beziehung zwischen Elementen von Mengen X Und Y angerufen Anzeige X VY , wenn jedes Element X Von vielen X nur ein Element der Menge stimmt überein Y. Dieses Element heißt ElementbildX mit dieser Anzeige: f(x). Auf einem Diagramm einer solchen Abbildung von jedem Punkt der Menge X Es kommt nur ein Pfeil heraus (Abb. 29).

Betrachten Sie das folgende Beispiel . Lassen X- viele Studierende im Publikum, und Y- viele Stühle im selben Saal. Übereinstimmung mit „Student“ X Auf einem Stuhl sitzen bei» Sätze Anzeige X VY. Studentenbild X ist ein Stuhl.

Lassen X = Y = N- eine Menge natürlicher Zahlen. Passende „Dezimalschreibweise einer Zahl“ X besteht aus bei Ziffern“ bestimmt die Anzeige N V N. Bei dieser Anzeige entspricht die Zahl 39 der Zahl 2 und die Zahl 45981 der Zahl 5 (39 ist eine zweistellige Zahl, 45981 ist eine fünfstellige Zahl).

Lassen X- viele Vierecke, Y- viele Kreise. Passendes „Viereck“ X in einen Kreis eingeschrieben bei» ist keine Anzeige X V Y, da es Vierecke gibt, die nicht in einen Kreis eingeschrieben werden können. Aber in diesem Fall sagt man, dass das Ergebnis eine Abbildung aus der Menge ist X in die Menge Y.

Wenn Anzeige X V Y so dass jedes Element j Von vielen
Y stimmt mit einem oder mehreren Elementen überein X Von vielen X, dann heißt eine solche Abbildung Anzeige des Sets X für vieleY.

Ein Haufen X wird als Definitionsbereich der Abbildung bezeichnet f: XY, und eine Menge Y- die Ankunftsregion dieser Zuordnung. Ausschnitt aus dem Ankunftsbereich bestehend aus allen Bildern j Von vielen Y, wird als Mapping-Wertesatz bezeichnet F.

Wenn y=f(x), dann heißt x Prototyp des Elements y wenn angezeigt F. Die Menge aller Urbilder eines Elements bei Sie nennen es einen vollständigen Prototyp: F(y).

Es gibt folgende Arten von Displays: injektiv, surjektiv und bijektiv.

Wenn der vollständige Prototyp jedes Elements ist jJ enthält höchstens ein Element (darf leer sein), dann werden solche Mappings aufgerufen injektiv.

Zeigt an XY so dass f(X)=Y werden Mappings genannt X für die ganze Menge Y oder surjektiv(von jedem Punkt der Menge X Es kommt ein Pfeil heraus und nach dem Ändern der Richtung an jedem Punkt des Sets X endet) (Abb. 31).

Wenn eine Abbildung injektiv und surjektiv ist, nennt man sie eins-zu-eins oder bijektiv.

Anzeige einstellen X heißt Menge bijektiv, wenn jedes Element XX entspricht einem einzelnen Element jJ, und jedes Element jJ passt nur zu einem Element XX(Abb. 32) .

Bijektive Abbildungen erzeugen gleiche Mengen : X~Y.

Beispiel . Lassen - X viele Mäntel im Kleiderschrank, Y- viele Haken da. Ordnen wir jedem Mantel den Haken zu, an dem er hängt. Diese Korrespondenz ist eine Abbildung X ZollY. Es ist injektiv, wenn an keinem Haken mehr als ein Mantel hängt oder einige Haken frei sind. Diese Zuordnung ist surjektiv, wenn alle Haken belegt sind oder an einigen mehrere Mäntel hängen. Es ist bijektiv, wenn an jedem Haken nur ein Mantel hängt.

Eine wichtige Rolle in der Mathematik spielt die Herstellung von Verbindungen zwischen zwei Mengen und damit verbunden die Betrachtung von Objektpaaren, die aus Elementen der ersten Menge und den entsprechenden Elementen der zweiten Menge gebildet werden. Von besonderer Bedeutung ist die Abbildung von Mengen.

Seien beliebige Mengen. Anzeige Sätze X einzustellen Y Jede Regel wird aufgerufen F, wonach jedes Element der Menge einem ganz bestimmten (einzelnen) Element der Menge zugeordnet ist.

Die Tatsache, dass F Es gibt eine Zuordnung, kurz geschrieben in der Form: .

Die Bezeichnung wird auch verwendet. Am häufigsten werden Displays mit Buchstaben bezeichnet F, Q, F.

Also, um die Anzeige des Sets einzustellen X In einer Menge muss jedes Element genau einem Element zugeordnet sein.

Wenn das Element X aus X passendes Element aus Y, dann rufen sie an Wegelemente , A X – Prototyp des Elements wenn angezeigt, was als geschrieben wird.

Aus der Definition einer Zuordnung folgt, dass jedes Element aus X Das Bild ist einzigartig, aber für ein Element kann es viele oder gar keine Prototypen geben. Die Menge aller Urbilder eines Elements wird als dessen bezeichnet ein kompletter Prototyp und wird mit bezeichnet. Auf diese Weise, .

Das Bild einer Teilmenge von A und das inverse Bild einer Teilmenge von IN wenn angezeigt:

Zum Beispiel, lass und eine Abbildung sein A V A, passend zu jedem Element A aus A Rest der Division A durch die Zahl 4. Dann haben wir:

Abhängig von den Eigenschaften, Bildern und Prototypen werden Abbildungen unterschieden: surjektiv, injektiv und bijektiv.

Die Zuordnung wird aufgerufen surjektiv , wenn diese. Jedes Element von zeigt mindestens ein Element von an X, oder für irgendein .

Die Zuordnung wird aufgerufen injektiv , wenn verschiedene Elemente der Menge X werden verschiedenen Elementen der Menge zugeordnet, d. h. , oder ist entweder leer oder ein Singleton-Set für irgendein . Man nennt auch injektive Abbildungen Investitionen .

Die Zuordnung wird aufgerufen bijektiv , oder eins zu eins eine Abbildung darauf, ob es surjektiv und injektiv ist, d.h. wenn es für irgendein einen Singleton-Satz gibt. In diesem Fall können wir Zuordnungen definieren, indem wir for any Folgendes eingeben: . Es heißt umkehren k und wird als bezeichnet.

Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Arten von Zuordnungen veranschaulichen.

Surjektiv Injektiv Bijektiv

Abbildung 12

Anzeige einstellen A in sich gerufen Transformation der Menge A. Bijektive Mengentransformation A angerufen Ersatz setzen A.

Ein Beispiel für die Substitution einer Menge ganzer Zahlen ist die durch Gleichheit definierte Abbildung.

Beachten Sie auch die Zuordnung des Sets A V IN auch genannt Funktion , am Set definiert A mit Werten in der Menge IN. In diesem Fall wird das Element aufgerufen Bedeutung Funktionen Punkt A. Die Menge selbst A angerufen Region Definitionen Funktionen, und die Menge ist der Wertebereich der Funktion.

Eine Funktion wird oft als Variable behandelt, von der Werte übernommen werden IN und so abhängig von der Variablen X, Werte nehmen von A, das zu jedem Wert A variable Größe X entspricht einem ganz bestimmten Wert von . Gleichzeitig schreiben sie und statt „Funktion“ sagen sie „Funktion“.

Betrachten wir verschiedene Zuordnungen und definieren wir ihre Typen.

1) Lass X– eine Reihe von Kreisen auf einer Ebene. Indem wir jeden Kreis seinem Mittelpunkt zuordnen, erhalten wir die Abbildung X An . Diese Abbildung ist nicht injektiv, da derselbe Punkt der Mittelpunkt unendlich vieler Kreise sein kann. Aber es ist surjektiv, da jeder Punkt der Mittelpunkt eines Kreises ist. Daher ist die inverse Korrespondenz überall definiert, surjektiv, aber nicht funktional.

2) Die Korrespondenz ist eine numerische Funktion, die für die gesamte Menge der reellen Zahlen definiert ist. Die Wertemenge dieser Funktion ist eine Menge nicht negativer Zahlen. Da ist die Funktion nicht surjektiv. Es ist nicht injektiv, da . Daher gibt es keine Umkehrfunktion.

3) Die Abbildung ist surjektiv und injektiv: Für jedes gibt es eine und nur eine Zahl, so dass . Diese Zahl ist .

4) Die Abbildung (- die Menge der nichtnegativen Zahlen) einer Menge in sich selbst ist überall definiert, injektiv, aber nicht surjektiv. Tatsächlich ist es für den Bruch erfüllt.

Daher ist die Wertemenge dieser Funktion das Intervall. Die Umkehrfunktion ist für dieses Intervall definiert und nimmt nicht negative Werte an.

5) Die durch die Regel definierte Abbildung ist eine injektive Abbildung. Es ist nicht bijektiv, weil . Wenn wir die Abbildung jedoch auf die gleiche Weise definieren, erhalten wir eine bijektive Abbildung. . ; aus der Surjektivität folgt nur die Surjektivität, und aus der Injektivität folgt nur die Injektivität.

3. Wenn und sind Mengentransformationen A, dann ist ihre Zusammensetzung auch eine Transformation der Menge A.

Einführung in die Mengenlehre und Kombinatorik

Praktische Arbeit Nr. 8. Kartierungen. Arten von Displays

Fragen zur Arbeit

1. Was ist eine „Set-to-Set-Zuordnung“?
2. Was ist in dieser Abbildung ein „Bild“, was ein „Prototyp“?
3. Was ist voll F - Bild, was vollständig ist F - Prototyp, wenn angezeigt F?
4. Benennen Sie die Arten von Zuordnungen, geben Sie ihre Definitionen an und nennen Sie Beispiele.
5. Welche zwei Mengen sollen äquivalent sein? Nenne Beispiele.
6. Welche Menge heißt abzählbar? Nenne Beispiele.

Beispiele für Aufgabenlösungen

Beispiel 1. Sei A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N und B =(0; 1) Z Lassen Sie uns jede Zahl zuordnen x A sein Rest, wenn man ihn durch 2 dividiert.

Entspricht das einer Zuordnung? Um welchen Typ handelt es sich bei dieser Anzeige? Welches Element ist das Bild von Element 6, 7? Finden wir das vollständige Umkehrbild von Element 1.

Lösung. Stellen wir die gegebene Korrespondenz mithilfe eines Diagramms dar:

Wir sehen das:

1) jedes Element der Menge A , ist der Ausgangspunkt;

2) Für jeden Ursprungspunkt gibt es nur einen Ankunftspunkt. (Das bedeutet, dass die angegebene Korrespondenz eine Abbildung der Menge ist A, um B einzustellen);

3) Jedes Element der Menge IN ist der Ankunftsort. (Das ist also eine Zuordnung „zu“).

Da gibt es viele IN Es gibt ein Element (z. B. 0), für das der Prototyp kein Element ist A , dann ist diese Zuordnung nicht eins zu eins.

Das Bild der Zahl 6 ist die Zahl 0 IN , das Bild der Zahl 7 ist die Zahl 1 IN . Vollständiger Prototyp der Nummer 1 IN es gibt eine Reihe von Zahlen (1; 3; 5; 7; 9) A .

Beispiel 2. Sei X Satz ebener Dreiecke, Y = R. Wählen wir eine Maßeinheit für Längen und weisen wir jedem Dreieck eine Zahl zu – den Umfang dieses Dreiecks. Wird es sich bei diesem Match um ein Mapping handeln? Um welchen Typ handelt es sich bei der angegebenen Anzeige? Was ist der vollständige Prototyp der Nummer? bei R?

Lösung. Jedes Dreieck auf einer Ebene hat einen eindeutig definierten Umfang. Daher jedes Dreieck aus der Menge X entspricht einer einzelnen Zahl aus R , d.h. diese Korrespondenz ist eine Abbildung X nach R . In diesem Fall können zwei verschiedene Dreiecke den gleichen Umfang haben. Mit anderen Worten: Die Zuordnung erfolgt nicht eins zu eins. Darüber hinaus gibt es kein Dreieck, dessen Umfang einer negativen Zahl entspricht, d.h. die Zuordnung ist keine „nach“-Zuordnung. Lassen bei R. Dann:

1. bei > 0, das vollständige Bild ist die Menge aller Dreiecke in der Ebene, deren Umfang gleich der Zahl ist bei , diese Menge ist unendlich.
2. bei ≤ 0, das vollständige Bild ist eine leere Menge.

Beispiel 3. X = (0; 1; 2; 3; 4) N, Y = Z. Abbildung f der Menge X auf die Menge Y wie folgt gegeben:

Lassen Sie uns den Typ dieser Zuordnung bestimmen und ihr Diagramm erstellen.

Lösung. Für jede x X lass uns das Bild y Y finden. Die entsprechenden Ergebnisse schreiben wir in die Tabelle:

y=f(x)	–2

Mehrere Anzeigewerte f ist eine Menge

A = (–2; 1; 4; 7; 10) Y und B ≠ Y . Jedes Element y B in X Es gibt nur einen Prototyp. Wir haben also eine Eins-zu-eins-Abbildung der Menge X, um Y festzulegen.

Wertepaare (x; y ) aus der Tabelle bildet ein Diagramm dieser Zuordnung f: X→Y . In einem rechteckigen Koordinatensystem sieht dieser Graph so aus:

Beispiel 4. Gegeben sind zwei Wortgruppen: X = (rot; blau; grün; gelb) und Y = (Krawatte; Licht; Schal; Laken). Sind diese Mengen gleichwertig?

Lösung. Diese Mengen sind äquivalent, da für sie eine Eins-zu-Eins-Zuordnung „zu“ erstellt werden kann.

Zum Beispiel:

Beispiel 5. Gegebene Mengen: A = ( x | x = 2 n , n N ) und

B = ( x | x = , n N ). Sind diese Mengen gleichwertig?

Lösung. Diese Mengen sind äquivalent, da es möglich ist, eine Eins-zu-Eins-Zuordnung der Menge auszuwählen A, um B einzustellen.

Zum Beispiel: f: A B

x = 2 n y = .

Übungen

1. Zwischen der Namensmenge X = (Andrey; Boris; Mikhail; Alexey; Konstantin; Vasily; Valentina; Clara; Semyon; Maria; Sophia; Oleg; Trofim4 Yuri; Yakov) und ein Set Y (Buchstaben des russischen Alphabets) Es wurde eine Korrespondenz erstellt, bei der jedem Namen sein erster Buchstabe zugeordnet ist. Wird dieses Spiel angezeigt? X nach Y ? Wenn ja, welcher Typ? Finden Sie das Bild des Sets X . Finden Sie vollständige Prototypen von Briefen A, B, K, L. Erstellen Sie ein Diagramm der angegebenen Korrespondenz.

2. Jeder Punkt M des Segments AB Passen wir die Projektion an M zu dieser Zeile L . Wird es sich bei diesem Match um ein Mapping handeln? Welcher? Beschreiben Sie den Definitionsbereich, den Wertebereich dieser Abbildung.

3. Stellen Sie X ein besteht aus allen Quadraten auf der Ebene und der Menge Y aus allen Kreisen auf derselben Ebene. Ordnen wir jedem Quadrat einen darin eingeschriebenen Kreis zu. Ist das Mapping Mapping? X nach Y?

4. Ist es möglich, die Anzeige wie folgt einzustellen: set Und von Segmenten, auf Y – aus Dreiecken; Ist jedes Segment einem Dreieck zugeordnet, für das dieses Segment die Mittellinie ist?

5. Stimmt die Compliance? f: Z Z

X y = –5 x + 2

Gibt es eine Zuordnung „zu“?

6. Sei X – Menge reeller Zahlen. Jede Zahl x X Passen wir das Quadrat an. Kann man diese Korrespondenz als reversible Abbildung bezeichnen?

7. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar sind:

a) die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen;

b) die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen;

c) die Menge der Quadrate der natürlichen Zahlen;

d) die Menge der natürlichen Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind;

e) die Menge der Würfel der natürlichen Zahlen.

8. Es sind zwei Sätze gegeben: A = (Paris; Moskau; Warschau; Krakau; London; Saransk; Wladimir; Marseille) und B = (Frankreich; Russland; England; Polen; Schweden; Österreich). Stellen wir die Entsprechung zwischen ihnen her: „Stadt x A im Land gelegen" Lassen Sie uns Diagramme dieser Korrespondenz erstellen. Wird es sich bei diesem Match um ein Mapping handeln? Welche Art?

9. Sind die Sets A äquivalent zu Abbildungen von Siedlungen auf der Karte und dem Set? B besiedelte Gebiete des auf der Karte angezeigten Gebiets?

Individuelle Aufgabe

1. Wählen Sie eine Anzeige aus den angegebenen Übereinstimmungen aus. Geben Sie ihren Typ an und erstellen Sie ein Diagramm.

2. Zeichnen Sie Diagramme der folgenden Beziehungen in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Z . Finden Sie für jede Relation heraus, ob es sich um eine Zuordnung handelt Z zu Z, Zuordnung von Z zu Z , Eins-zu-Eins-Zuordnung, Overlay:

1) x + y = 3; 7) bei< х + 2;

2) x – y ≤ 5; 8) y ≤ x + 2;

3) x + y = 4, x > 0; 9) y = 4;

4) x = y, – 4 ≤ x ≤ 6; 10) xy = 24, –6 ≤ x ≤ 6.

5) = y, – 4 ≤ x ≤ 6;

6) x > y ;

Selbstkontrollaufgaben

Verknüpfen Sie die folgenden Mengenpaare mit einem „=“-Zeichen, wenn sie gleich sind, und einem „~“-Zeichen, wenn sie äquivalent sind:

1) A - die Seitenmenge eines Dreiecks,

IN - Winkelsatz eines Dreiecks;

2) A - viele Buchstaben im Wort „Ohr“,

B = (o; k; s; l);

3) A – viele Ringe auf einem Baumstumpf,

IN – viele Jahre am Baum gelebt;

4) viele Kontinente auf der Erde und viele Staaten

Anzeige - eines der Grundkonzepte der Mathematik. Eine Abbildung ist eine beliebige Regel oder ein Gesetz der Korrespondenz zwischen Mengen. Seien und seien beliebige nichtleere Mengen. Man sagt, dass eine Abbildung einer Menge auf eine Menge gegeben ist (Notation: oder), wenn jedem Element der Menge (eine Entsprechung zu einem einzelnen, eindeutig definierten Element der Menge () zugeordnet ist.

Das Element heißt Weg Element, wenn es angezeigt wird, und das Element wird aufgerufen Prototyp Element in dieser Anzeige. Das angezeigte Bild einer Menge von Elementen ist die Menge aller Elemente des Typs, die zum Wertebereich gehören. Die Menge aller Elemente (), deren Bilder den Wertebereich bilden, heißt Prototyp Satz von Elementen (). Die Menge heißt Definitionsbereich Anzeige.

Die Zuordnung wird aufgerufen surjektiv M , wenn jedes Element der Menge (mindestens ein inverses Bild der Menge hat (, d. h. , oder.

Die Zuordnung wird aufgerufen injektiv, wenn jedes Element der Menge (das Bild nur eines Elements der Menge ist (, d. h. die Bilder von zwei beliebigen verschiedenen Elementen der Menge sind unterschiedlich, d. h. es folgt.

Die Zuordnung wird aufgerufen bijektiv oder eins zu eins, wenn es sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. Jedes Element der Menge ist das Abbild eines und nur eines Elements der Menge.

Gleichwertigkeit zwei Abbildungen und bedeutet per Definition, dass ihre entsprechenden Bereiche zusammenfallen (und), und.

Arbeiten zwei Zuordnungen und kann als eine Zuordnung definiert werden, die jedes Element der Menge einem Element der Menge zuordnet.

Eine Abbildung von einer Menge auf eine Menge wird ansonsten als Funktion auf einer Menge mit Werten in der Menge bezeichnet. Fallen die Mengen zusammen, so spricht man von der bijektiven Abbildung der Menge auf sich selbst Transformation Massen. Die einfachste Mengentransformation ist identisch- ist wie folgt definiert: . Man nennt es auch eine Identitätszuordnung, die jedes Element auf sich selbst bezieht einzel Transformation. Wenn Transformationen und gegeben sind, dann wird die Transformation aufgerufen, die sich aus der sequentiellen Ausführung von zuerst der Transformation und dann der Transformation ergibt arbeiten Transformationen Und: .

Für Transformationen derselben Menge gelten folgende Gesetze:

Das Kommutativgesetz zur Durchführung von Transformationen ist im allgemeinen Fall nicht erfüllt, d. h. .

Wenn zwischen zwei Sätzen, können wir festlegen bijektiv Mapping (um eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihren Elementen herzustellen), dann werden solche Mengen aufgerufen Äquivalent oder gleich mächtig. Endliche Mengen sind nur dann äquivalent, wenn die Anzahl ihrer Elemente gleich ist.

Auch unendliche Mengen können miteinander verglichen werden.

Zwei Mengen haben die gleiche Kardinalität oder werden als äquivalent (Notation) bezeichnet, wenn zwischen ihren Elementen eine Eins-zu-eins-Entsprechung hergestellt werden kann, d. h. wenn es möglich ist, eine Regel anzugeben, nach der jedes Element einer der Mengen genau einem Element der anderen Menge zugeordnet ist.

Wenn eine solche Abbildung nicht möglich ist, dann haben die Mengen unterschiedliche Kardinalitäten; Es stellt sich heraus, dass im letzteren Fall, egal wie wir versuchen, die Elemente beider Mengen in Übereinstimmung zu bringen, immer zusätzliche Elemente übrig bleiben und darüber hinaus immer aus derselben Menge, zu der ein höherer Wert der Kardinalzahl gehört ist zugeordnet oder sie sagen, dass dieses Set hat mehr Macht. Eine unendliche Menge und eine Teilmenge davon können äquivalent sein. Eine der Menge der natürlichen Zahlen äquivalente Menge wird als abzählbare Menge bezeichnet. Damit eine Menge zählbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass jedem Element der Menge seine Ordnungszahl zugeordnet ist. Aus jeder unendlichen Menge ist es möglich, eine abzählbare Teilmenge auszuwählen. Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar oder endlich. Eine abzählbare Menge ist die am primitivsten organisierte unendliche Menge. Das kartesische Produkt zweier abzählbarer Mengen ist abzählbar. Die Vereinigung einer endlichen oder unendlichen Anzahl endlicher oder abzählbarer Mengen ist eine endliche oder abzählbare Menge.