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In diesem Artikel werden wir uns ansehen lineare Funktion, der Graph einer linearen Funktion und ihre Eigenschaften. Und wie üblich werden wir einige Probleme zu diesem Thema lösen.

Lineare Funktion heißt Funktion der Form

In der Funktionsgleichung wird die Zahl, mit der wir multiplizieren, Steigungsfaktor genannt.

Beispielsweise in der Funktionsgleichung ;

in der Funktionsgleichung ;

in der Funktionsgleichung ;

in der Funktionsgleichung.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

ein . Um eine Funktion zu plotten, benötigen wir die Koordinaten von zwei Punkten, die zum Graphen der Funktion gehören. Um sie zu finden, müssen Sie zwei x-Werte nehmen, sie in die Gleichung der Funktion einsetzen und daraus die entsprechenden y-Werte berechnen.

Um beispielsweise die Funktion zu zeichnen, ist es bequem, und zu nehmen, dann sind die Ordinaten dieser Punkte gleich und .

Wir erhalten die Punkte A(0;2) und B(3;3). Lassen Sie uns sie verbinden und den Graphen der Funktion erhalten:

2 . In der Funktionsgleichung ist der Koeffizient für die Steigung des Funktionsgraphen verantwortlich:

Title="(!LANG:k>0">!}

Der Koeffizient ist für die Verschiebung des Diagramms entlang der Achse verantwortlich:

Title="(!LANG:b>0">!}

Die folgende Abbildung zeigt die Funktionsgraphen; ;

Beachten Sie, dass in all diesen Funktionen der Koeffizient Über Null Rechts. Außerdem wird die gerade Linie umso steiler, je größer der Wert ist.

In allen Funktionen - und wir sehen, dass alle Graphen die OY-Achse im Punkt (0;3) schneiden

Betrachten Sie nun die Funktionsgraphen; ;

Diesmal in allen Funktionen der Koeffizient weniger als Null, und alle Funktionsgraphen sind schief Nach links.

Beachten Sie, dass die Linie umso steiler wird, je größer |k| ist. Der Koeffizient b ist derselbe, b=3, und die Graphen kreuzen wie im vorherigen Fall die OY-Achse im Punkt (0;3)

Betrachten Sie die Graphen von Funktionen; ;

Nun sind in allen Funktionsgleichungen die Koeffizienten gleich. Und wir haben drei parallele Linien.

Aber die Koeffizienten b sind unterschiedlich, und diese Graphen schneiden die OY-Achse an verschiedenen Punkten:

Der Graph der Funktion (b=3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;3)

Der Graph der Funktion (b=0) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;0) – dem Ursprung.

Der Graph der Funktion (b=-2) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;-2)

Wenn wir also die Vorzeichen der Koeffizienten k und b kennen, können wir uns sofort vorstellen, wie der Graph der Funktion aussieht.

Wenn ein k<0 и b>0 , dann sieht der Graph der Funktion so aus:

Wenn ein k>0 und b>0 , dann sieht der Graph der Funktion so aus:

Wenn ein k>0 und b<0 , dann sieht der Graph der Funktion so aus:

Wenn ein k<0 и b<0 , dann sieht der Graph der Funktion so aus:

Wenn ein k=0 , dann verwandelt sich die Funktion in eine Funktion und ihr Graph sieht so aus:

Die Ordinaten aller Punkte des Funktionsgraphen sind gleich

Wenn ein b=0, dann geht der Graph der Funktion durch den Ursprung:

Das direkter Proportionalitätsgraph.

3 . Separat bemerke ich den Graphen der Gleichung. Der Graph dieser Gleichung ist eine zur Achse parallele Gerade, deren Punkte alle eine Abszisse haben.

Der Gleichungsgraph sieht beispielsweise so aus:

Beachtung! Die Gleichung ist keine Funktion, da verschiedene Werte des Arguments demselben Wert der Funktion entsprechen, der nicht entspricht.

4 . Bedingung für Parallelität zweier Linien:

Funktionsgraph parallel zum Graphen der Funktion, Wenn

5. Die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

Funktionsgraph senkrecht zum Graphen der Funktion ich für

6. Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

mit OY-Achse. Die Abszisse jedes Punktes, der zur OY-Achse gehört, ist gleich Null. Um den Schnittpunkt mit der OY-Achse zu finden, müssen Sie daher x in der Funktionsgleichung durch Null ersetzen. Wir erhalten y=b. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OY-Achse hat Koordinaten (0;b).

Mit OX-Achse: Die Ordinate jedes Punktes, der zur OX-Achse gehört, ist Null. Um den Schnittpunkt mit der OX-Achse zu finden, müssen Sie daher in der Funktionsgleichung null anstelle von y einsetzen. Wir erhalten 0=kx+b. Von hier. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OX-Achse hat Koordinaten (; 0):

Betrachten Sie die Problemlösung.

ein . Erstellen Sie ein Diagramm der Funktion, wenn bekannt ist, dass sie durch den Punkt A (-3; 2) verläuft und parallel zur Linie y \u003d -4x verläuft.

Es gibt zwei unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung: k und b. Daher sollten im Text der Aufgabe zwei Bedingungen stehen, die den Graphen der Funktion charakterisieren.

a) Aus der Parallelität des Funktionsgraphen zur Geraden y=-4x folgt k=-4. Das heißt, die Funktionsgleichung hat die Form

b) Es bleibt uns, b zu finden. Es ist bekannt, dass der Graph der Funktion durch den Punkt A (-3; 2) geht. Wenn ein Punkt zum Graphen einer Funktion gehört, erhalten wir beim Einsetzen seiner Koordinaten in die Funktionsgleichung die richtige Gleichheit:

daher b=-10

Also müssen wir die Funktion plotten

Punkt A(-3;2) ist uns bekannt, nehmen Sie Punkt B(0;-10)

Legen wir diese Punkte in die Koordinatenebene und verbinden sie mit einer geraden Linie:

2. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte A(1;1) geht; B(2;4).

Wenn die Gerade Punkte mit gegebenen Koordinaten durchläuft, dann erfüllen die Koordinaten der Punkte die Geradengleichung. Das heißt, wenn wir die Koordinaten der Punkte in die Gleichung einer geraden Linie einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit.

Ersetzen Sie die Koordinaten jedes Punktes in der Gleichung und erhalten Sie ein System linearer Gleichungen.

Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten Gleichung des Systems und erhalten . Setzen Sie den Wert von k in die erste Gleichung des Systems ein und erhalten Sie b=-2.

Also die Geradengleichung.

3 . Plot-Gleichung

Um herauszufinden, bei welchen Werten der Unbekannten das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, müssen Sie jeden Faktor mit Null gleichsetzen und berücksichtigen jeder Multiplikator.

Diese Gleichung hat keine Einschränkungen für ODZ. Lassen Sie uns die zweite Klammer faktorisieren und jeden Faktor mit Null gleichsetzen. Wir erhalten ein Gleichungssystem:

Wir konstruieren Graphen aller Gleichungen der Menge in einer Koordinatenebene. Dies ist der Graph der Gleichung :

4 . Erstellen Sie einen Graphen der Funktion, wenn sie senkrecht zur Geraden steht und durch den Punkt M (-1; 2) geht.

Wir werden keinen Graphen erstellen, wir werden nur die Gleichung einer geraden Linie finden.

a) Da der Graph der Funktion, wenn er senkrecht auf der Geraden steht, also von hier aus. Das heißt, die Funktionsgleichung hat die Form

b) Wir wissen, dass der Graph der Funktion durch den Punkt M (-1; 2) geht. Setze seine Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. Wir bekommen:

Von hier.

Daher sieht unsere Funktion so aus: .

5 . Zeichnen Sie die Funktion

Vereinfachen wir den Ausdruck auf der rechten Seite der Funktionsgleichung.

Wichtig! Bevor wir den Ausdruck vereinfachen, suchen wir seine ODZ.

Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, also title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Dann wird unsere Funktion:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Das heißt, wir müssen einen Funktionsgraphen erstellen und zwei Punkte darauf ausstechen: mit Abszissen x=1 und x=-1:

LINEARE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN I

§ 3 Lineare Funktionen und ihre Graphen

Betrachten Sie die Gleichheit

beim = 2X + 1. (1)

Jeder Wert eines Buchstabens X diese Gleichheit verbindet eine wohldefinierte Bedeutung des Buchstabens beim . Wenn zum Beispiel x = 0, dann beim = 20 + 1 = 1; Wenn X = 10, dann beim = 2 10 + 1 = 21; beim X \u003d - 1 / 2 wir haben y \u003d 2 (- 1 / 2) + 1 \u003d 0 usw. Wenden wir uns einer weiteren Gleichheit zu:

beim = X 2 (2)

Jeder Wert X diese Gleichheit, wie Gleichheit (1), ordnet einen wohldefinierten Wert zu beim . Wenn zum Beispiel X = 2, dann beim = 4; beim X = - 3 erhalten wir beim = 9 usw. Gleichheiten (1) und (2) verbinden die beiden Größen X und beim so dass jeder Wert von einem von ihnen ( X ) ist mit einem wohldefinierten Wert einer anderen Größe ( beim ).

Wenn jeder Wert der Menge X entspricht einem wohldefinierten Wert der Menge beim, dann dieser Wert beim heißt eine Funktion von X. Wert X heißt Funktionsargument beim.

Somit definieren die Formeln (1) und (2) zwei verschiedene Funktionen des Arguments X .

Argumentfunktion X , mit der Form

y = ax + b , (3)

wo a und b - einige gegebene Nummern, angerufen linear. Jede der Funktionen kann als Beispiel für eine lineare Funktion dienen:

y = x + 2 (a = 1, b = 2);
beim = - 10 (a = 0, b = - 10);
beim = - 3X (a = - 3, b = 0);
beim = 0 (a = b = 0).

Wie aus dem Kurs der VIII. Klasse bekannt, Funktionsgraph y = ax + b ist eine Gerade. Deshalb heißt diese Funktion linear.

Erinnern Sie sich, wie der Graph einer linearen Funktion aufgebaut ist y = ax + b .

1. Funktionsgraph y = b . Beim a = 0 lineare Funktion y = ax + b hat die Form y = b . Sein Graph ist eine gerade Linie parallel zur Achse X und Querachse beim am Punkt mit der Ordinate b . In Abbildung 1 sehen Sie den Graphen der Funktion y = 2 ( b > 0), und in Abbildung 2 - Graph der Funktion beim = - 1 (b < 0).

Wenn nicht nur a , aber auch b gleich Null ist, dann die Funktion y=ax+b hat die Form beim = 0. In diesem Fall fällt sein Graph mit der Achse zusammen X (Abb. 3.)

2. Funktionsgraph y=ah . Beim b = 0 lineare Funktion y = ax + b hat die Form y=ah .

Wenn ein a =/= 0, dann ist sein Graph eine Gerade, die durch den Ursprung geht und zur Achse geneigt ist X in einem Winkel φ , dessen Tangens ist a (Abb. 4). Um eine gerade Linie zu bauen y=ah es genügt, einen seiner Punkte zu finden, der sich vom Ursprung unterscheidet. Angenommen, zum Beispiel in Gleichheit y=ah X = 1, erhalten wir beim = a . Daher ist Punkt M mit den Koordinaten (1; a ) liegt auf unserer Linie (Abb. 4). Wenn wir nun eine Gerade durch den Ursprung und den Punkt M ziehen, erhalten wir die gewünschte Gerade y = Axt .

Abbildung 5 zeigt als Beispiel eine gerade Linie. beim = 2X (a > 0) und in Abbildung 6 - eine gerade Linie y = -x (a < 0).

3. Funktionsgraph y = ax + b .

Lassen b > 0. Dann die Linie y = ax + b y=ah auf der b Einheiten auf. Als Beispiel zeigt Abbildung 7 die Konstruktion einer Geraden beim = x / 2 + 3.

Wenn ein b < 0, то прямая y = ax + b durch Parallelverschiebung der Geraden erhalten y=ah auf der - b Einheiten runter. Als Beispiel zeigt Abbildung 8 die Konstruktion einer Geraden beim = x / 2 - 3

Direkte y = ax + b kann auch anders gebaut werden.

Jede Linie wird vollständig durch ihre zwei Punkte bestimmt. Also, um die Funktion zu plotten y = ax + b Es reicht aus, zwei beliebige Punkte zu finden und dann eine gerade Linie durch sie zu ziehen. Lassen Sie uns dies am Beispiel der Funktion erläutern beim = - 2X + 3.

Beim X = 0 beim = 3, während X = 1 beim = 1. Daher liegen zwei Punkte: M mit Koordinaten (0; 3) und N mit Koordinaten (1; 1) - auf unserer Linie. Wenn wir diese Punkte auf der Koordinatenebene markieren und mit einer geraden Linie verbinden (Abb. 9), erhalten wir einen Graphen der Funktion beim = - 2X + 3.

Anstelle der Punkte M und N könnte man natürlich auch die anderen beiden Punkte nehmen. Zum Beispiel als Werte X wir könnten nicht wie oben 0 und 1 wählen, sondern 1 und 2,5. Dann für beim wir würden die Werte 5 bzw. - 2 erhalten Anstelle der Punkte M und N hätten wir die Punkte P mit Koordinaten (- 1; 5) und Q mit Koordinaten (2,5; - 2). Diese beiden Punkte sowie die Punkte M und N bestimmen vollständig die gewünschte Linie beim = - 2X + 3.

Übungen

15. Erstellen Sie in derselben Abbildung Funktionsgraphen:

a) beim = - 4; b) beim = -2; in) beim = 0; G) beim = 2; e) beim = 4.

Schneiden sich diese Graphen mit den Koordinatenachsen? Wenn sie sich schneiden, geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte an.

16. Zeichnen Sie in derselben Abbildung Funktionsgraphen:

a) beim = x / 4 ; b) beim = x / 2; in) beim =X ; G) beim = 2X ; e) beim = 4X .

17. Erstellen Sie in derselben Abbildung Funktionsgraphen:

a) beim = - x / 4 ; b) beim = - x / 2; in) beim = - X ; G) beim = - 2X ; e) beim = - 4X .

Erstellen Sie Graphen dieser Funktionen (Nr. 18-21) und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte dieser Graphen mit den Koordinatenachsen.

18. beim = 3+ X . 20. beim = - 4 - X .

19. beim = 2X - 2. 21. beim = 0,5(1 - 3X ).

22. Zeichnen Sie eine Funktion

beim = 2x - 4;

Finden Sie anhand dieser Grafik heraus: a) für welche Werte x y = 0;

b) bei welchen Werten X Werte beim negativ und bei was - positiv;

c) bei welchen Werten X Mengen X und beim haben die gleichen Zeichen;

d) bei welchen Werten X Mengen X und beim unterschiedliche Vorzeichen haben.

23. Schreiben Sie die Gleichungen der Linien, die in den Abbildungen 10 und 11 gezeigt werden.

24. Welche der Ihnen bekannten physikalischen Gesetze werden durch lineare Funktionen beschrieben?

25. Wie man eine Funktion graphisch darstellt beim = - (Axt + b ), wenn der Graph der Funktion gegeben ist y = ax + b ?

Aufgaben zu den Eigenschaften und Graphen einer quadratischen Funktion verursachen, wie die Praxis zeigt, ernsthafte Schwierigkeiten. Das ist ziemlich seltsam, denn die quadratische Funktion wird in der 8. Klasse bestanden, und dann wird das gesamte erste Viertel der 9. Klasse durch die Eigenschaften der Parabel "erpresst" und ihre Graphen für verschiedene Parameter gebaut.

Dies liegt daran, dass die Schüler, die gezwungen sind, Parabeln zu bauen, praktisch keine Zeit für das "Lesen" von Diagrammen aufwenden, dh sie üben nicht, die aus dem Bild erhaltenen Informationen zu verstehen. Anscheinend wird davon ausgegangen, dass ein kluger Student, nachdem er zwei Dutzend Diagramme erstellt hat, selbst die Beziehung zwischen den Koeffizienten in der Formel und dem Aussehen des Diagramms entdeckt und formuliert. In der Praxis funktioniert dies nicht. Für eine solche Verallgemeinerung ist ernsthafte Erfahrung in mathematischer Mini-Forschung erforderlich, die die meisten Neuntklässler natürlich nicht haben. In der Zwischenzeit schlagen sie in der GIA vor, die Vorzeichen der Koeffizienten genau nach dem Zeitplan zu bestimmen.

Wir werden Schülern nicht das Unmögliche abverlangen und einfach einen der Algorithmen zur Lösung solcher Probleme anbieten.

Also eine Funktion der Form y=ax2+bx+c heißt quadratisch, ihr Graph ist eine Parabel. Wie der Name schon sagt, ist die Hauptkomponente Axt 2. Also a nicht gleich Null sein sollen, die restlichen Koeffizienten ( b und mit) kann gleich Null sein.

Mal sehen, wie die Vorzeichen ihrer Koeffizienten das Aussehen der Parabel beeinflussen.

Die einfachste Abhängigkeit für den Koeffizienten a. Die meisten Schüler antworten selbstbewusst: "Wenn a> 0, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

BEIM dieser Fall a = 0,5

Und jetzt für a < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

In diesem Fall a = - 0,5

Einfluss des Koeffizienten mit auch leicht genug zu folgen. Stellen Sie sich vor, wir wollen den Wert einer Funktion an einem Punkt finden X= 0. Setzen Sie Null in die Formel ein:

j = a 0 2 + b 0 + c = c. Es stellt sich heraus, dass y = c. Also mit ist die Ordinate des Schnittpunktes der Parabel mit der y-Achse. In der Regel ist dieser Punkt auf der Karte leicht zu finden. Und bestimmen Sie, ob es über Null oder unter Null liegt. Also mit> 0 bzw mit < 0.

mit > 0:

y=x2+4x+3

mit < 0

y = x 2 + 4x - 3

Dementsprechend, wenn mit= 0, dann geht die Parabel zwangsläufig durch den Ursprung:

y=x2+4x

Schwieriger mit dem Parameter b. Der Punkt, an dem wir es finden, hängt nicht nur davon ab b sondern auch von a. Dies ist die Spitze der Parabel. Seine Abszisse (Achsenkoordinate X) wird durch die Formel gefunden x in \u003d - b / (2a). Auf diese Weise, b = - 2x Zoll. Das heißt, wir gehen wie folgt vor: Auf dem Diagramm finden wir die Spitze der Parabel, bestimmen das Vorzeichen ihrer Abszisse, das heißt, wir schauen rechts von Null ( x ein> 0) oder nach links ( x ein < 0) она лежит.

Dies ist jedoch noch nicht alles. Wir müssen auch auf das Vorzeichen des Koeffizienten achten a. Das heißt, um zu sehen, wohin die Zweige der Parabel gerichtet sind. Und erst danach, laut Formel b = - 2x Zoll Vorzeichen bestimmen b.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Äste nach oben gerichtet a> 0, die Parabel schneidet die Achse beim unter Null bedeutet mit < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ein> 0. Also b = - 2x Zoll = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, mit < 0.

Definition linearer Funktionen

Wir führen die Definition einer linearen Funktion ein

Definition

Eine Funktion der Form $y=kx+b$, wobei $k$ nicht Null ist, wird als lineare Funktion bezeichnet.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $k$ heißt Steigung der Geraden.

Für $b=0$ heißt die lineare Funktion direkte Proportionalitätsfunktion $y=kx$.

Betrachten Sie Abbildung 1.

Reis. 1. Die geometrische Bedeutung der Steigung der Geraden

Betrachten Sie das Dreieck ABC. Wir sehen, dass $BC=kx_0+b$. Finden Sie den Schnittpunkt der Linie $y=kx+b$ mit der Achse $Ox$:

\ \

Also $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Finden wir das Verhältnis dieser Seiten:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Andererseits ist $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Somit kann folgendes Fazit gezogen werden:

Fazit

Geometrische Bedeutung des Koeffizienten $k$. Die Steigung der Geraden $k$ ist gleich der Tangente der Steigung dieser Geraden an die Achse $Ox$.

Untersuchung der linearen Funktion $f\left(x\right)=kx+b$ und ihres Graphen

Betrachten Sie zuerst die Funktion $f\left(x\right)=kx+b$, wobei $k > 0$ ist.

1. $f"\links(x\rechts)=(\links(kx+b\rechts))"=k>0$. Daher nimmt diese Funktion über den gesamten Definitionsbereich zu. Es gibt keine Extrempunkte.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Diagramm (Abb. 2).

Reis. 2. Graphen der Funktion $y=kx+b$, für $k > 0$.

Betrachten Sie nun die Funktion $f\left(x\right)=kx$, wobei $k

1. Der Umfang sind alle Zahlen.
2. Der Umfang sind alle Zahlen.
3. $f\links(-x\rechts)=-kx+b$. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
4. Für $x=0,f\links(0\rechts)=b$. Für $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ und $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\links(x\rechts)=(\links(kx\rechts))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Daher hat die Funktion keine Wendepunkte.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Diagramm (Abb. 3).