Важнейшим параметром, характеризующим механические, звуковые, электрические, электромагнитные и все другие виды колебаний, является период - время, в течение которого совершается одно полное колебание. Если, например, маятник часов-ходиков делает за 1 с два полных колебания, период каждого колебания равен 0,5с. Период колебаний больших качелей около 2 с, а период колебаний струны может составлять от десятых до десятитысячных долей секунды.

Рисунок 2.4 - Колебание

где: φ – фаза колебания, I – сила тока, Ia – амплитудное значение силы тока (амплитуда)

Т – период колебания силы тока (период)

Другим параметром, характеризующим колебания, является частота (от слова «часто») - число, показывающее, сколько полных колебаний в секунду совершают маятник часов, звучащее тело, ток в проводнике и т.п. Частоту колебаний оценивают единицей, носящей название герц (сокращенно пишут Гц): 1 Гц-это одно колебание в секунду. Если, например, звучащая струна совершает 440 полных колебаний в 1 с (при этом она создает тон «ля» третьей октавы), говорят, что частота ее колебаний 440 Гц. Частота переменного тока электроосветительной сети 50 Гц. При этом токе электроны в проводах сети в течение секунды текут попеременно 50 раз в одном направлении и столько же раз в обратном, т.е. совершают за 1 с 50 полных колебаний.

Более крупные единицы частоты - килогерц (пишут кГц), равный 1000 Гц и мегагерц (пишут МГц), равный 1000 кГц или 1 000 000 Гц.

Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины при колебательном или волновом движении. Неотрицательная скалярная величина, измеряется в единицах, зависящих от типа волны или колебания.

Рисунок 2.5 - Синусоидальное колебание.

где, y - амплитуда волны, λ - длина волны.

Например:

амплитуда для механического колебания тела (вибрация), для волн на струне или пружине - это расстояние и записывается в единицах длины;

амплитуда звуковых волн и аудио-сигналов обычно относится к амплитуде давления воздуха в волне, но иногда описывается как амплитуда смещения относительно равновесия (воздуха или диафрагмы говорящего). Её логарифм обычно измеряется в децибелах (дБ);

для электромагнитного излучения амплитуда соответствует величине электрического и магнитного поля.

Форма изменения амплитуды называется огибающей волной .

Звуковые колебания

Как возникают звуковые волны в воздухе? Воздух состоит из невидимых глазам частиц. При ветре они могут переноситься на большие расстояния. Но они, кроме того, могут и колебаться. Например, если в воздухе сделать резкое движение палкой, то мы почувствуем легкий порыв ветра и одновременно услышим слабый звук. Звук это - результат колебаний частиц воздуха, возбужденных колебаниями палки.

Проведем такой опыт. Оттянем струну, например, гитары, а потом отпустим ее. Струна начнет дрожать - колебаться около своего первоначального положения покоя. Достаточно сильные колебания струны заметны на глаз. Слабые колебания струны можно только почувствовать как легкое щекотание, если прикоснуться к ней пальцем. Пока струна колеблется, мы слышим звук. Как только струна успокоится, звук затихнет. Рождение звука здесь - результат сгущения и разрежения частиц воздуха. Колеблясь из стороны в сторону, струна теснит, как бы прессует перед собой частицы воздуха, образуя в некотором его объеме области повышенного давления, а сзади, наоборот, области пониженного давления. Это и есть звуковые волны . Распространяясь в воздухе со скоростью около 340 м/с , они несут в себе некоторый запас энергии. В тот момент, когда до уха доходит область повышенного давления звуковой волны, она надавливает на барабанную перепонку, несколько прогибая ее внутрь. Когда же до уха доходит разреженная область звуковой волны, барабанная перепонка выгибается несколько наружу. Барабанная перепонка все время колеблется в такт с чередующимися областями повышенного и пониженного давления воздуха. Эти колебания передаются по слуховому нерву в мозг, и мы воспринимаем их как звук. Чем больше амплитуды звуковых волн, тем больше энергии несут они в себе, тем громче воспринимаемый нами звук.

Звуковые волны, как и водяные или электрические колебания, изображают волнистой линией - синусоидой. Ее горбы соответствуют областям повышенного давления, а впадины-областям пониженного давления воздуха. Область повышенного давления и следующая за нею область пониженного давления образуют звуковую волну.

По частоте колебаний звучащего тела можно судить о тоне или высоте звука. Чем больше частота, тем выше тон звука, и наоборот, чем меньше частота, тем ниже тон звука. Наше ухо способно реагировать на сравнительно небольшую полосу (участок) частот звуковых колебаний - примерно от 20 Гц до 20 кГц . Тем не менее эта полоса частот вмещает всю обширнейшую гамму звуков, создаваемых голосом человека, симфоническим оркестром: от очень низких тонов, похожих на звук жужжания жука, до еле уловимого высокого писка комара. Колебания частотой до 20 Гц, называемые инфразвуковыми , и свыше 20 кГц, называемые ультразвуковыми , мы не слышим. А если бы барабанная перепонка нашего уха оказалась способной реагировать и на ультразвуковые колебания, мы могли бы тогда услышать писк летучих мышей, голос дельфина. Дельфины издают и слышат ультразвуковые колебания с частотами до 180 кГц.

Но нельзя путать высоту, т.е. тон звука с его силой. Высота звука зависит не от амплитуды, а от частоты колебаний. Толстая и длинная струна музыкального инструмента, например, создает низкий тон звука, т.е. колеблется медленнее, чем тонкая и короткая струна, создающая высокий тон звука (рис. 1).

Рисунок 2.6 - Звуковые волны

Чем больше частота колебаний струны, тем короче звуковые волны и выше тон звука.

В электро - и радиотехнике используют переменные токи частотой от нескольких герц до тысяч гигагерц. Антенны широковещательных радиостанций, например, питаются токами частотой примерно от 150 кГц до 100 МГц.

Эти быстропеременные колебания, называемые колебаниями радиочастоты, и являются тем средством, с помощью которого осуществляется передача звуков на большие расстояния без проводов.

Весь огромный диапазон переменных токов принято подразделять на несколько участков - поддиапазонов.

Токи частотой от 20 Гц до 20 кГц, соответствующие колебаниям, воспринимаемым нами как звуки разной тональности, называют токами (или колебаниями) звуковой частоты , а токи частотой выше 20 кГц - токами ультразвуковой частоты .

Токи частотой от 100 кГц до 30 МГц называют токами высокой частоты ,

Токи частотой выше 30 МГц - токами ультравысокой и сверхвысокой частоты.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными . Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические , затухающие , нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом .

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Гармонические колебания – колебания, совершаемые по законам синуса и косинуса. На следующем рисунке представлен график изменения координаты точки с течением времени по закону косинуса.

картинка

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:

x = Xm*cos(ω0*t).

Период колебаний

Период колебаний – это время совершения одного полного колебания. Период колебания обозначается буквой Т. Единицы измерения периода соответствуют единицам времени. То есть в СИ - это секунды.

Частота колебаний – количество колебаний совершенных в единицу времени. Частота колебаний обозначается буквой ν. Частоту колебаний можно выразить через период колебания.

ν = 1/Т.

Единицы измерения частоты в СИ 1/сек. Эта единица измерения получила название Герца. Число колебаний за время 2*pi секунд будет равняться:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота колебаний

Данная величина называется циклической частотой колебаний. В некоторой литературе встречается название круговая частота. Собственная частота колебательной системы – частота свободных колебаний.

Частота собственных колебаний рассчитывается по формуле:

Частота собственных колебаний зависит от свойств материала и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем больше частота собственных колебаний. Чем больше масса груза, тем меньше частота собственных колебаний.

Эти два вывода очевидны. Чем более жесткая пружина, тем большее ускорение она сообщит телу, при выведении системы из равновесия. Чем больше масса тела, тем медленнее будет изменяться это скорость этого тела.

Период свободных колебаний :

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Примечателен тот факт, что при малых углах отклонения период колебания тела на пружине и период колебания маятника не будут зависеть от амплитуды колебаний.

Запишем формулы периода и частоты свободных колебаний для математического маятника.

тогда период будет равен

T = 2*pi*√(l/g).

Данная формула будет справедлива лишь для малых углов отклонения. Из формулы видим, что период колебаний возрастает с увеличением длины нити маятника. Чем больше будет длина, тем медленнее тело будет колебаться.

От массы груза период колебаний совершенно не зависит. Зато зависит от ускорения свободного падения. При уменьшении g, период колебаний будет увеличиваться. Данное свойство широко используют на практике. Например, для измерения точного значения свободного ускорения.

Многообразие колебательных процессов, которые окружают нас, так значительно, что просто удивляешься - а есть что-нибудь, что не колеблется? Вряд ли, ведь даже совершенно неподвижный предмет, скажем камень, который тысячи лет лежит неподвижно, все равно совершает колебательные процессы - он периодически нагревается днем, увеличиваясь, а ночью остывает и уменьшается в размерах. И самый близкий пример - деревья и ветви - неутомимо колеблются всю свою жизнь. Но то - камень, дерево. А если точно так же колеблется от напора ветра 100 этажное здание? Известно, например, что верхушка отклоняется туда-сюда на 5-12 метров, ну чем не маятник высотой 500 м. А насколько увеличивается в размерах подобное сооружение от перепадов температур? Сюда же можно причислить и вибрации корпусов машин и механизмов. Только подумайте, самолет, в котором вы летите, непрерывно колеблется. Не передумали летать? Не стоит, потому что колебания - это сущность окружающего нас мира, от них нельзя избавиться - их можно только учитывать и применять “пользы ради”.

Как водится, изучение самых сложных областей знания (а простыми они не бывают) начинается со знакомства с простейшими моделями. И нет более простой и понятной для восприятия модели колебательного процесса, чем маятник. Именно здесь, в кабинете физики, мы впервые слышим такую загадочную фразу - “период колебаний математического маятника”. Маятник - это нить и груз. И что ж это за такой особенный маятник - математический? А все очень просто, для этого маятника предполагается, что его нить не имеет веса, нерастяжима, а колеблется под действием Дело в том, что обычно, рассматривая некий процесс, например, колебания, нельзя абсолютно полностью учесть физические характеристики, например, вес, упругость и т.д. всех участников эксперимента. В то же время влияние некоторых из них на процесс пренебрежительно мало. Например, априори понятно, что вес и упругость нити маятника при определенных условиях не оказывают заметного влияния на период колебаний математического маятника, как ничтожно малые, поэтому их влияние исключают из рассмотрения.

Определение маятника, едва ли не самое простое из известных, звучит так: период - это время, за которое совершается одно полное колебание. Давайте сделаем метку в одной из крайних точек движения груза. Теперь каждый раз, когда точка закрывается, делаем отсчет количества полных колебаний и засекаем время, скажем, 100 колебаний. Определить длительность одного периода совсем несложно. Проделаем этот эксперимент для колеблющегося в одной плоскости маятника в следующих случаях:

Разная начальная амплитуда;

Разная масса груза.

Мы получим потрясающий на первый взгляд результат: во всех случаях период колебаний математического маятника остается неизменным. Иными словами, начальная амплитуда и масса материальной точки на длительность периода влияния не оказывают. Для дальнейшего изложения есть только одно неудобство - т.к. высота груза при движении меняется, то и возвращающая сила по траектории переменная, что неудобно для расчетов. Слегка схитрим - качнем маятник еще и в поперечном направлении - он начнет описывать конусообразную поверхность, период Т его вращения останется прежним, скорость V - постоянная, по которой движется груз S = 2πr, а возвращающая сила направлена по радиусу.

Тогда вычислим период колебаний математического маятника:

Т = S/V = 2πr/v

Если длина нити l значительно больше размеров груза (хотя бы в 15-20 раз), и угол наклона нити небольшой (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила P равна центростремительной силе F:
Р = F = m*V*V/r

С другой стороны, момент возвращающей силы и груза равны, и тогда

P * l = r *(m*g), откуда получаем, если учесть, что P = F, следующее равенство: r * m * g/l = m*v*v/r

Совсем нетрудно найти скорость маятника: v = r*√g/l.

А теперь вспоминаем самое первое выражение для периода и подставляем значение скорости:

Т=2πr/ r*√g/l

После тривиальных преобразований формула периода колебаний математического маятника в окончательном виде выглядит так:

Т = 2 π √ l/g

Теперь уже ранее экспериментально полученные результаты независимости периода колебаний от массы груза и амплитуды получили свое подтверждение в аналитическом виде и совсем не кажутся такими “потрясающими”, как говорится, что и требовалось доказать.

Кроме всего прочего, рассматривая последнее выражение для периода колебания математического маятника, можно видеть прекрасную возможность для измерения ускорения силы тяжести. Для этого достаточно собрать некий эталонный маятник в любой точке Земли и провести измерение периода его колебаний. Вот так, совсем неожиданно, простенький и незамысловатый маятник подарил нам великолепную возможность исследования распределения плотности земной коры, вплоть до поиска залежей земных ископаемых. Но это уже совсем другая история.

Определение

Период - это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.

Обозначают период буквой $T$.

где $\Delta t$ - время колебаний; $N$ - число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k\ $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.

Допустим, что масса пружины мала в сравнении с массой груза, при описании колебаний ее учитывать не будем. Началом отсчета будем считать точку на оси координат (X), которая совпадает с положением равновесия груза. В этом положении пружина уже имеет удлинение, которое обозначим $b$. Растяжение пружины происходит из-за действия на груз силы тяжести, следовательно:

Если груз смещают дополнительно, но закон Гука еще выполняется, то сила упругости пружины становится равна:

Ускорение груза запишем, помня, что движение происходит по оси X, как:

Второй закон Ньютона для груза принимает вид:

Учтем равенство (2), формулу (5) преобразуем к виду:

Если ввести обозначение: ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$, то уравнение колебаний запишем как:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(7\right),\]

где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

Формулы периода колебаний пружинного маятника

Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($\nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Выше мы получали для пружинного маятника ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:

Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Примеры задач на период колебаний

Пример 1

Задание. Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с. Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?

Решение. Так как период - это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:

Вычислим период:

Частота - величина обратная периоду, следовательно:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.2\right).\]

Вычислим частоту колебаний:

\[\nu =\frac{1}{0,2}=5\ \left(Гц\right).\]

Ответ. $1)\ T=0,2$ с; 2) 5Гц

Пример 2

Задание. Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:

При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:

Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Ответ. $T=2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1{+k}_2}}$