3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС .

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3. Задан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью BDC 1 .

3.4. На ребре АВ куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C 1 , P , D , и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а .

3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость  так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью  , если АВ = а , AD = b . Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.

3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.

12.2. Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n -угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 12.9). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т. е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

(12.1)

где S бок P l – длина бокового ребра; S полн S осн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 12.10). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы :

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где S бок – площадь боковой поверхности; P – периметр перпендикулярного сечения; l – длина бокового ребра; S полн – площадь полной поверхности; S осн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q – площадь перпендикулярного сечения.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

(12.2)

где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(12.3)

где p – периметр основания; H – высота; d – диагональ; a , b , c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где d – диагональ куба; a – длина ребра.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения парал­лелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (12.3), т. е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (12.3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис.12.11).

Для того чтобы найти объем наклонной призмы, необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим А 1 А D :

так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (12.1):

Получаем ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.12)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 D 1 D , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку
то

Так как
то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Получаем ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.13).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, необходимо периметр основания умножить на высоту:
(формула (12.2)). Периметр основания р = АВ + ВС + + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Таким образом
Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 С 1 С – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 D 1 D получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е.
получаем:

Из первых двух равенств выразим
и подставим в третье. Получим:

и далее

Сечения геометрических фигур имеют разные формы. У параллелепипеда сечение неизменно представляет собой прямоугольник либо квадрат. Оно имеет ряд параметров, которые могут быть обнаружены аналитическим методом.

Инструкция

1. Через параллелепипед дозволено провести четыре сечения, которые представляют собой квадраты либо прямоугольники. Каждого он имеет два диагональных и два поперечных сечения. Как водится, они имеют различные размеры. Исключением является куб, у которого они идентичны.Перед тем как строить сечение параллелепипеда, составьте представление о том, что представляет собой эта фигура. Существует два вида параллелепипедов – обыкновенный и прямоугольный. У обыкновенного параллелепипеда грани располагаются под некоторым углом к основанию, а у прямоугольного они перпендикулярны ему. Все грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники либо квадраты. Из этого следует,что куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда.

2. У всякого сечения параллелепипеда есть определенные колляции. Основными из них являются площадь, периметр, длины диагоналей. Если из данные задачи знамениты стороны сечения либо какие-нибудь иные его параметры, этого довольно, дабы обнаружить его периметр либо площадь. По сторонам определяются также диагонали сечений. 1-й из этих параметров – площадь диагонального сечения.Для того дабы обнаружить площадь диагонального сечения, необходимо знать высоту и стороны основания параллелепипеда. Если даны длина и ширина основания параллелепипеда, то диагональ обнаружьте по теореме Пифагора:d=?a^2+b^2.Обнаружив диагональ и зная высоту параллелепипеда, вычислите площадь сечения параллелепипеда:S=d*h.

3. Периметр диагонального сечения тоже дозволено вычислять по двум величинам – диагонали основания и высоте параллелепипеда. В этом случае сначала обнаружьте две диагонали (верхнего и нижнего оснований) по теореме Пифагора, а после этого сложите с удвоенным значением высоты.

4. Если провести плоскость, параллельную ребрам параллелепипеда, дозволено получить сечение-прямоугольник, сторонами которого являются одна из сторон основания параллелепипеда и высота. Площадь этого сечения обнаружьте дальнейшим образом:S=a*h.Периметр этого сечения обнаружьте аналогичным образом по дальнейшей формуле:p=2*(a+h).

5. Конечный случай появляется, когда сечение проходит параллельно двум основаниям параллелепипеда. Тогда его площадь и периметр равны значению площади и периметра оснований, т.е.:S=a*b – площадь сечения;p=2*(a+b).

Раньше, чем перейти к нахождению высоты параллелепипеда, необходимо прояснить, что есть высота и что есть параллелепипед. В геометрии, высотой называют перпендикуляр, от вершины фигуры до ее основания либо отрезок, кратчайшим методом соединяющий верхнее и нижнее основания. Параллелепипед – это многогранник, имеющий два параллельных и равных многоугольника в качестве оснований, углы которых объединены отрезками. Параллелепипед составлен из шести параллелограммов, попарно параллельных и равных друг другу.

Инструкция

1. Высоты в параллелограмме может быть три, в зависимости от расположения фигуры в пространстве, чай повернув параллелепипед на бок, вы поменяете местами его основания и грани. Верхний и нижний параллелограммы – неизменно основания. Если боковые ребра фигуры перпендикулярны основаниям, то параллелепипед прямой, и всякое его ребро – готовая высота. Дозволено измерить.

2. Дабы из наклонного параллелепипеда получить прямой, того же размера, нужно продолжить боковые грани в одном направлении. После этого, возвести перпендикулярное сечение, от углов которого, отложить длину ребра параллелепипеда, и на этом расстоянии возвести второе перпендикулярное сечение. Два построенных вами параллелограмма, ограничат новейший параллелепипед, равновеликий первому. На грядущее следует подметить, что объемы равновеликих фигур идентичны.

3. Почаще вопрос о высоте нам встречается в задачах. Неизменно нам даны данные, дозволяющие вычислить её. Это может быть объем, линейные размеры параллелепипеда, длины его диагоналей.Так объем параллелепипеда равен произведению его основания на высоту, то есть, зная объем и размер основания, легко узнать высоту путем деления первого на второе. Если вы имеете дело с прямоугольным параллелепипедом, то есть такие, основание которого прямоугольник, вам могут попытаться усложнить задачу, в связи с его особенными качествами. Так в прямоугольном параллелепипеде, квадрат всякий его диагонали равен сумме квадратов 3 измерений параллелепипеда. Если в «дано» к задаче о прямоугольном параллелепипеде указаны длина его диагонали и длины сторон основания, то этих сведений довольно, дабы узнать размер желанной высоты.

Параллелепипед – частный случай призмы, у которой все шесть граней являются параллелограммами либо прямоугольниками. Параллелепипед с прямоугольными гранями называют также прямоугольным. У параллелепипеда имеется четыре пересекающиеся диагонали. Если даны три ребра а, b, с, обнаружить все диагонали прямоугольного параллелепипеда дозволено, исполняя добавочные построения.

Инструкция

1. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Запишите вестимые данные: три ребра а, b, с. Сначала постройте одну диагональ m. Для ее определения используем качество прямоугольного параллелепипеда, согласно которому все его углы являются прямыми.

2. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение проведите так, дабы вестимое ребро, желанная диагональ параллелепипеда и диагональ грани совместно образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

3. Обнаружьте построенную диагональ грани. Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Согласно теореме Пифагора n² = с² + b². Вычислите данное выражение и возьмите корень квадратный из полученного значения – это будет диагональ грани n.

4. Обнаружьте диагональ параллелепипеда m. Для этого в прямоугольном треугольнике а, n, m обнаружьте неведомую гипотенузу: m² = n² + a². Подставьте вестимые значения, после этого вычислите корень квадратный. Полученный итог и будет первой диагональю параллелепипеда m.

5. Аналогичным образом проведите ступенчато все остальные три диагонали параллелепипеда. Также для всей из них исполните добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Рассматривая образуемые прямоугольные треугольники и применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Видео по теме

Форму параллелепипеда имеют многие настоящие объекты. Примерами являются комната и бассейн. Детали, имеющие такую форму – не редкость и в промышленности. По этой причине зачастую появляется задача нахождения объема данной фигуры.

Инструкция

1. Параллелепипед представляет собой призму, основанием которой является параллелограмм. У параллелепипеда имеются грани – все плоскости, формирующие данную фигуру. Каждого у него насчитывается шесть граней, причем, все они являются параллелограммами. Его противоположные грани между собой равны и параллельны. Помимо того, он имеет диагонали, которые пересекаются в одной точке и в ней делятся напополам.

2. Параллелепипед бывает 2-х видов. У первого все грани являются параллелограммами, а у второго – прямоугольниками. Конечный из них именуется прямоугольным параллелепипедом. У него все грани прямоугольные, а боковые грани перпендикулярны к основанию. Если прямоугольный параллелепипед имеет грани, основы которых – квадраты, то он именуется кубом. В этом случае, его грани и ребра равны. Ребром именуется сторона всякого многогранника, к числу которых относится и параллелепипед.

3. Для того, дабы обнаружить объем параллелепипеда, нужно знать площадь его основания и высоту. Объем находится исходя из того, какой именно параллелепипед фигурирует в условиях задачи. У обычного параллелепипеда в основании находится параллелограмм, а у прямоугольного – прямоугольник либо квадрат, у которого неизменно углы прямые. Если в основании параллелепипеда лежит параллелограмм, то его объем находится дальнейшим образом:V=S*H, где S – площадь основания, H -высота параллелепипедаВысотой параллелепипеда обыкновенно выступает его боковое ребро. В основании параллелепипеда может лежать и параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Из курса планиметрии знаменито, что площадь параллелограмма равна:S=a*h, где h – высота параллелограмма, a – длина основания, т.е. :V=a*hp*H

4. Если имеет место 2-й случай, когда основание параллелепипеда – прямоугольник, то объем вычисляется по той же формуле, но площадь основания находится несколько другим образом:V=S*H,S=a*b, где a и b – соответственно, стороны прямоугольника и ребра параллелепипеда.V=a*b*H

5. Для нахождения объема куба следует руководствоваться примитивными логическими методами. От того что все грани и ребра куба равны, а в основании куба – квадрат, руководствуясь формулами, указанными выше, дозволено вывести следующую формулу:V=a^3

Во многих учебниках встречаются задания, связанные с построением сечений разных геометрических фигур, в том числе параллелепипедов. Для того дабы совладать с такой задачей, следует вооружиться некоторыми познаниями.

Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка;
• – линейка.

Инструкция

1. На листе бумаге начертите параллелепипед. Если в вашей задаче сказано, что параллелепипед должен быть прямоугольным, то сделайте его углы прямыми. Помните, что противоположные ребра обязаны быть параллельны друг другу. Назовите его вершины, скажем, S1, T1, T, R, P, R1, P1 (как показано на рисунке).

2. На краю SS1TT1 поставьте 2 точки: А и С, пускай точка А будет на отрезке S1T1, а точка С на отрезке S1S. Если в вашей задаче не сказано, где именно обязаны стоять эти точки, и не указано расстояние от вершин, поставьте их произвольно. Проведите прямую линию через точки А и С. Продолжите эту линию до пересечения с отрезком ST. Обозначьте место пересечения, пускай это будет точка М.

3. Поставьте точку на отрезке RT, обозначьте ее как точку В. Проведите прямую линию через точки М и В. Точку пересечения этой линии с ребром SP обозначьте как точку К.

4. Объедините точки К и С. Они обязаны лежать на одной грани PP1SS1. Позже этого через точку B проведите прямую линию, параллельную отрезку КС, продолжите линию до пересечения с ребром R1T1. Точку пересечения обозначьте как точку Е.

5. Объедините точки А и Е. Позже этого выделите получившийся многоугольник ACKBE иным цветом – это будет сечение заданного параллелепипеда.

Обратите внимание!
Помните, что при построении сечения параллелепипеда дозволено соединять между собой только те точки, которые лежат в одной плоскости, если имеющихся у вас точек неудовлетворительно для построения сечения, достраивайте их, путем продолжения отрезков до пересечения с гранью, на которой надобна точка.

Полезный совет
Каждого в параллелепипеде может быть построено 4 сечения: 2 диагональных и 2 поперечных. Для большей наглядности, выделите получившийся многоугольник-сечение, для этого можете примитивно обвести либо заштриховать его иным цветом.

Совет 6: Как обнаружить длину диагоналей параллелепипеда

Параллелепипедом именуется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, именуются его гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

Инструкция

1. У параллелепипеда дозволено возвести четыре пересекающиеся диагонали. Если знамениты данные 3 ребер а, b и с, обнаружить длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, исполняя добавочные построения.

2. Вначале нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все вестимые вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы сходственных фигур являются прямыми.

3. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда . Построение сделайте таким образом, дабы знаменитое ребро (а), незнакомая диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

4. Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n? = с? + b?), обнаружьте квадрат гипотенузы, после этого извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.

5. Обнаружьте диагональ самого параллелепипеда m. Для того, дабы обнаружить ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m? = n? + a?. Вычислите корень квадратный. Обнаруженный итог будет первой диагональю вашего параллелепипеда . Диагональ m.

6. Верно так же проведите ступенчато все остальные диагонали параллелепипеда , для всей из которых исполняйте добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей данного параллелепипеда .

7. Есть еще один метод, с поддержкой которого дозволено обнаружить длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов 3 его сторон. Из этого следует, что длину дозволено обнаружить сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет
Свойства параллелепипеда:- параллелепипед симметричен касательно середины его диагонали;- всякий отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею напополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею напополам;- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;- квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными колляциями: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда : полной и боковой.

Инструкция

1. Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в пространстве, различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта разница выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.

2. По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, дозволено выделить прямоугольный параллелепипед и особенно распространенную его разновидность – куб. Эти формы особенно зачастую встречаются в повседневной жизни и носят наименование стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам мебели, электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют весомое значение для обитателей и риелторов.

3. Обыкновенно считают площадь обеих поверхностей параллелепипеда , боковой и полной. Первая числовая колляция представляет собой общность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят наименование основных наравне с объемом:Sб = Р h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2 S, где So – площадь основания.

4. Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Сейчас теснее не надобно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр обнаружить значительно легче вследствие наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Выходит, для прямоугольного параллелепипеда :Sб = 2 с (a + b), где 2 (а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2 а b = 2 а с + 2 b с + 2 a b = 2 (а с + b с + а b).

5. У куба все ребра имеют идентичную длину, следственно:Sб = 4 а а = 4 а?;Sп = Sб + 2 а? = 6 а?.

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, представления куба и его геометрических свойств, а также с применением векторной алгебры. Могут потребоваться методы рения систем линейных уравнений.

Инструкция

1. Выберите данные задачи так, дабы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость? следует задать всеобщим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба абсолютно хватит координат всяких 3 его вершин. Возьмите, скажем, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.

2. Определитесь с планом последующей работы. Предстоит искать координаты точек Q, L, N, W, R пересечения сечения с соответствующими ребрами куба. Для этого придется находить уравнения прямых, содержащих эти ребра, и искать точки пересечения ребер с плоскостью?. Позже этого последует разбиение пятиугольника QLNWR на треугольники (см. рис. 2) и вычисление пощади всего из них с подмогой свойств векторного произведения. Методология всякий раз одна и та же. Следственно дозволено ограничиться точками Q и L и площадью треугольника?QLN.

3. Направляющий вектор h прямой, содержащий ребро М1М5 (и точку Q), обнаружьте как векторное произведение M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} и M2M3={x3-x2, y3-y2, z3-z2}, h={m1, n1, p1}=. Полученный вектор является направляющим и для всех прочих боковых ребер. Длину ребра куба обнаружьте как, скажем, ?=?((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Если модуль вектора h |h|??, то замените его соответствующим коллинеарным вектором s={m, n, p}=(h/|h|)?. Сейчас запишите уравнение прямой, содержащей М1М5 параметрически (см. рис. 3). Позже подстановки соответствующих выражений в уравнение секущей плоскости получите А(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Определите t, подставьте в уравнения для М1М5 и запишите координаты точки Q(qx, qy, qz) (рис. 3).

4. Видимо, что точка М5 имеет координаты М5(x1+m, y1+n, z1+p). Направляющий вектор для прямой, содержащей ребро М5М8 совпадает с М2М3={x3-x2, y3-y2,z3-z2}. После этого повторите предыдущие рассуждения касательно точки L(lx, ly, lz) (см. рис. 4). Все последующее, для N(nx, ny, nz) – точная копия это шага.

5. Запишите векторы QL={lx-qx, ly-qy, lz-qz} и QN={nx-qx, ny-qy, nz-qz}. Геометрический толк их векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах. Следственно площадь?QLN S1=(1/2)||. Следуйте предложенной методике и вычислите площади треугольников?QNW и?QWR – S1 и S2. Векторное произведение комфортнее каждого находить с поддержкой вектора-определителя (см. рис. 5). Запишите окончательный результат S=S1+S2+S3.

Совет 9: Как обнаружить площадь диагонального сечения призмы

Призма - это многогранник с двумя параллельными основаниями и боковыми гранями в форме параллелограмма и в числе, равном числу сторон многоугольника основания.

Инструкция

1. В произвольной призме боковые ребра расположены под углом к плоскости основания. Частным случаем является прямая призма. В ней боковые стороны лежат в плоскостях, перпендикулярных основаниям. В прямой призме боковые грани - прямоугольники, а боковые ребра равны высоте призмы.

2. Диагональное сечение призмы - часть плоскости, всецело заключенная во внутреннем пространстве многогранника. Диагональное сечение может быть ограничено двумя боковыми ребрами геометрического тела и диагоналями оснований. Видимо, что число допустимых диагональных сечений при этом определяется числом диагоналей в многоугольнике основания.

3. Либо границами диагонального сечения могут служить диагонали боковых граней и противоположные стороны оснований призмы. Диагональное сечение прямоугольной призмы имеет форму прямоугольника. В всеобщем случае произвольной призмы форма диагонального сечения – параллелограмм.

4. В прямоугольной призме площадь диагонального сечения S определяется по формулам:S=d*Hгде d - диагональ основания, H - высота призмы.Либо S=a*Dгде а - сторона основания, принадлежащая единовременно плоскости сечения, D - диагональ боковой грани.

5. В произвольной непрямой призме диагональное сечение - параллелограмм, одна сторона которого равна боковому ребру призмы, иная – диагонали основания. Либо сторонами диагонального сечения могут быть диагонали боковых граней и стороны оснований между вершинами призмы, откуда проведены диагонали боковых поверхностей. Площадь параллелограмма S определяется формулой: S=d*hгде d - диагональ основания призмы, h - высота параллелограмма - диагонального сечения призмы.Либо S=a*hгде а - сторона основания призмы, являющаяся и рубежом диагонального сечения, h - высота параллелограмма.

6. Для определения высоты диагонального сечения неудовлетворительно знать линейные размеры призмы. Нужны данные о наклоне призмы к плоскости основания. Последующая задача сводится к ступенчатому решению нескольких треугольников в зависимости от начальных данных об углах между элементами призмы.

«Золотое сечение» - Цель исследования: Вывести закон красоты мира с точки зрения математики. Адмиралтейство. Окно. Выполнила ученица 10 класса Сметанина Юлия. Покровский собор (храм Василия Блаженного). Золотое сечение в архитектуре. В математике пропорцией называется равенство двух отношений: a: b = c: d. Египетские пирамиды.

«Построение сечений» - Сечения выполняют в том же масштабе, что и изображение, к которому оно относится. Особенности выполнения сечений. Нанесение размеров. Обозначение сечений. Контур вынесенных сечений выполняют сплошной линией. Правила выполнения сечений. Сечения. Сечения на чертежах разделяют на вынесенные и наложенные.

«Параллелепипед 10 класс» - Угол равен 60?. 3.Четыре, если параллелепипед – куб. Угол равен 60?. 3.Равные квадраты, углы 90 ?. Форму ромбоэдра имеют кристаллы исландского шпата. Вариант 2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагонали параллелепипеда. Докажите параллельность прямых B1C и A1D. 2. Диагонали параллелепипеда равны. Параллелепипед.

«Объем параллелепипеда» - Так же поступаем и мы сейчас. В Древнем Вавилоне единицами объемов служили кубы. Теперь определим что же такое единицы объемов? Значит, по правилу вычисления объема, получаем: 3х3х3=27 (см3). Задание №2. Найдите объем куба, ребро которого равно 3 см. Единица объема равная 1 дм3 называется литром. Задание №1.

«Урок Прямоугольный параллелепипед» - Цель урока: Длина. Рефлексия. Найти площадь основания прямоугольного параллелепипеда. Построить прямоугольник заданной длины (а) и высоты (h). Развертка. Грани. Ребра. Физкультминутка. Алгоритм построения прямоугольного параллелепипеда. Длина в три раза меньше высоты, а ширина в 6 раз меньше высоты.

«Объем прямоугольного параллелепипеда» - Т е с т. (Геометрическая фигура). 6. У параллелепипеда все грани являются прямоугольниками. 3. У куба все грани являются квадратами. Ответьте на следующие вопросы: Квадраты. Назовите ребра, имеющие вершину E. Увеличится. Объемная. Задача 2: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3см, 6см и 6см.

Инструкция

Видео по теме

Источники:

• нахождение параллелепипеда

Форму имеют многие реальные объекты. Примерами являются комната и бассейн. Детали, имеющие такую форму - не редкость и в промышленности. По этой причине нередко возникает задача нахождения объема данной фигуры.

Инструкция

Параллелепипед представляет собой призму, основанием которой является параллелограмм. У параллелепипеда имеются грани - все плоскости, формирующие данную фигуру. Всего у него шесть граней, причем, все они являются параллелограммами. Его противоположные грани между собой равны и параллельны. Кроме того, он имеет диагонали, которые пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

Параллелепипед двух видов. У первого все грани являются параллелограммами, а у второго - прямоугольниками. Последний из них называется прямоугольным параллелепипедом. У него все грани прямоугольные, а боковые грани перпендикулярны к основанию. Если прямоугольный имеет грани, которых - квадраты, то он называется кубом. В этом случае, его грани и . Ребром называется сторона любого многогранника, к числу которых и параллелепипед.

Для того, чтобы , необходимо знать площадь его основания и высоту. Объем находится исходя из того, какой именно параллелепипед фигурирует в задачи. У обыкновенного параллелепипеда в основании находится параллелограмм, а у прямоугольного - прямоугольник или квадрат, у которого всегда углы прямые. Если в основании параллелепипеда параллелограмм, то его объем находится следующим образом:
V=S*H, где S - площадь основания, H -высота параллелепипеда
Высотой параллелепипеда обычно выступает его боковое ребро. В основании параллелепипеда может лежать и параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Из курса планиметрии известно, что площадь параллелограмма равна:
S=a*h, где h - высота параллелограмма, a - длина основания, т.е. :
V=a*hp*H

Если имеет место второй случай, когда основание параллелепипеда - прямоугольник, то объем вычисляется по той же формуле, но площадь основания находится несколько иным образом:
V=S*H,
S=a*b, где a и b - соответственно, стороны прямоугольника параллелепипеда.
V=a*b*H

Для нахождения объема куба следует руководствоваться логическими способами. Поскольку все грани и ребра куба равны, а в основании куба - квадрат, руководствуясь формулами, указанными выше, можно вывести следующую формулу:
V=a^3

Во многих учебниках встречаются задания, связанные с построением сечений различных геометрических фигур, в том числе параллелепипедов. Для того чтобы справиться с такой задачей, следует вооружиться некоторыми знаниями.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка;
• - линейка.

Инструкция

На листе бумаге начертите параллелепипед. Если в вашей задаче сказано, что параллелепипед должен быть прямоугольным, то сделайте его углы прямыми. Помните, что противоположные ребра должны быть параллельны друг другу. Назовите его вершины, например, S1, T1, T, R, P, R1, P1 (как показано на рисунке).

На грани SS1TT1 поставьте 2 : А и С, пусть точка А на S1T1, а точка С S1S. Если в вашей задаче не сказано, где именно должны стоять эти точки, и не указано от вершин, поставьте их произвольно. Проведите прямую линию А и С. Продолжите эту линию до пересечения с отрезком ST. Обозначьте пересечения, пусть это будет точка М.

Соедините точки К и С. Они должны лежать на одной грани PP1SS1. После этого через точку B проведите прямую линию, параллельную отрезку КС, продолжите линию до пересечения с ребром R1T1. Точку пересечения обозначьте как точку Е.

Обратите внимание

Помните, что при построении сечения параллелепипеда можно соединять между собой только те точки, которые лежат в одной плоскости, если имеющихся у вас точек недостаточно для построения сечения, достраивайте их, путем продолжения отрезков до пересечения с гранью, на которой нужна точка.

Полезный совет

Всего в параллелепипеде может быть построено 4 сечения: 2 диагональных и 2 поперечных. Для большей наглядности, выделите получившийся многоугольник-сечение, для этого можете просто обвести или заштриховать его другим цветом.

Источники:

• Построение сечений многогранников

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

Инструкция

У параллелепипеда можно четыре пересекающиеся диагонали. Если известны данные трех ребер а, b и с, найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, выполняя дополнительные построения.

Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда . Построение сделайте таким образом, чтобы известное ребро (а), неизвестная диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали треугольник а, n, m.

Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой другого прямоугольного b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме катетов (n² = с² + b²), найдите квадрат гипотенузы, затем извлеките корень квадратный из полученного значения – это и длина диагонали грани n.

Найдите диагональ самого параллелепипеда m. Для того, чтобы найти ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m² = n² + a². Вычислите корень квадратный. Найденный результат будет первой диагональю вашего параллелепипеда . Диагональ m.

Точно так же проведите последовательно все остальные диагонали параллелепипеда , для каждой из которых выполняйте дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Используя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей данного параллелепипеда .

Есть еще один способ, с помощью которого можно найти длину диагонали. Согласно одному из параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его сторон. Из этого следует, что длину можно найти сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет

Свойства параллелепипеда:

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали;

Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Источники:

• Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда
• свойство диагонали параллелепипеда

Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными характеристиками: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда : полной и боковой.

Инструкция

Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в , различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.

По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, можно выделить прямоугольный параллелепипед и наиболее распространенную его разновидность – куб. Эти формы наиболее часто встречаются в и носят стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам , электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют большое значение для обитателей и риелторов.

Обычно обеих поверхностей параллелепипеда , боковой и полной. Первая числовая представляет собой совокупность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят название основных наряду с объемом:Sб = Р h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2 S, где So – площадь основания.

Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Теперь уже не нужно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр найти гораздо легче наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Итак, для прямоугольного параллелепипеда :Sб = 2 с (a + b), где 2 (а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2 а b = 2 а с + 2 b с + 2 a b = 2 (а с + b с + а b).

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, понятия куба и его геометрических свойств, а также с использованием векторной алгебры. Могут понадобиться способы рения систем линейных уравнений.

Инструкция

Выберите условия задачи так, чтобы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость α следует задать общим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба хватит координат любых трех его вершин. Возьмите, например, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.