В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку , всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано - это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного - это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

Комплексные или мнимые числа впервые появились в известном сочинении Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» 1545 года. По мнению автора, эти числа не были пригодны к употреблению. Однако это утверждение было позднее опровергнуто. В частности, Бомбелли в 1572 году при решении кубического уравнения обосновал пользу мнимых чисел. Он составил основные правила действий с комплексными числами.

И все же долгое время в математическом мире не было единого представления о сущности комплексных чисел.

Впервые символ мнимых чисел был предложен выдающимся математиком Эйлером. Предложенная символика выглядела следующим образом: i = sqr -1 , где i - imaginarius , что означает фиктивный. В заслугу Эйлера также входит идея об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Итак, необходимость в числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Графическая запись комплексных чисел имеет вид: a + bi , где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, т.e. i 2 = -1 . Число a называется абсциссой, a b - ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a - bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Существует ряд правил, связанных с комплексными числами:

• Во-первых, действительное число а может быть записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a - 0 i . К примеру, 5 + 0 i и 5 - 0 i означают одно и то же число 5 .
• Во-вторых, комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .
• В третьих, два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В ином случае комплексные числа не равны.

К основным действиям над комплексными числами относятся:

В геометрическом представлении комплексные числа в отличие от действительных, которые изображаются на числовой прямой точками, отмечаются точками на координатной плоскости. Возьмем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на осях. В этом случае комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b . Такая система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа является длина вектора OP, изображающего комплексное число комплексной плоскости. Модуль комплексного числа a + bi записывается в виде |a + bi| или буквой r и равен: r = |a + ib| = sqr a 2 + b 2 .

У сопряженных комплексных чисел имеется одинаковый модуль.

При изучении свойств квадратного уравнения ставилось ограничение - для дискриминанта меньше нуля решения не существует. Сразу оговаривалось, что речь идет о множестве вещественных чисел. Пытливый ум математика заинтересуется - какой секрет содержится в оговорке о вещественных значениях?

Со временем математики ввели понятие комплексных чисел, где за единицу принимается условное значение корня второй степени из минус единицы.

Историческая справка

Математическая теория развивается последовательно, от простого к сложному. Разберемся, как возникло понятие, получившее название "комплексное число", и зачем оно нужно.

С незапамятных времен основу математики составлял обычный счет. Исследователям было известно только натуральное множество значений. Сложение и вычитание при этом производилось просто. По мере усложнения хозяйственных отношений вместо сложения одинаковых значений начали применять умножение. Появилась обратная операция к умножению - деление.

Понятие натурального числа ограничивало использование арифметических операций. На множестве целых значений невозможно решать все задачи деления. привела сначала к понятию рациональных значений, а потом и к иррациональным значениям. Если для рационального можно указать точное расположение точки на линии, то для иррациональных такую точку указать невозможно. Можно только приблизительно указать интервал нахождения. Объединение рациональных и иррациональных числе образовали вещественное множество, которое можно представить как некоторую линию с заданным масштабом. Каждый шаг по линии - это натуральное число, а между ними располагаются рациональные и иррациональные значения.

Началась эпоха теоретической математики. Развитие астрономии, механики, физики требовало решения все более сложных уравнений. В общем виде были найдены корни квадратного уравнения. При решении более сложного кубического многочлена ученые столкнулись с противоречием. Понятие кубического корня из отрицательного имеет смысл, а для квадратного получается неопределенность. При этом квадратное уравнение - только частный случай кубического.

В 1545 году итальянец Дж. Кардано предложил ввести понятие мнимого числа.

Таким числом стал корень второй степени из минус единицы. Окончательно термин комплексного числа сформировался только через триста лет, в работах известного математика Гаусса. Он предложил формально распространить на мнимое число все законы алгебры. Вещественная прямая расширилась до плоскости. Мир стал больше.

Основные понятия

Вспомним ряд функций, которые имеют ограничения на вещественном множестве:

• y = arcsin(x), определена в интервале значений между отрицательной и положительной единицей.
• y = ln(x), имеет смысл при положительных аргументах.
• квадратный корень y = √x, рассчитывается только для x ≥ 0.

Обозначением i = √(-1), введем такое понятие, как мнимое число, это позволит снять все ограничения с области определения вышеприведенных функций. Выражения типа y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) приобретают смысл в некотором пространстве комплексных чисел.

Алгебраическую форму можно записать в виде выражения z = x + i×y на множестве вещественных значений x и y, а i 2 = -1.

Новое понятие снимает все ограничения на использование любой алгебраической функции и своим видом напоминает график прямой в координатах вещественных и мнимых значений.

Комплексная плоскость

Геометрическая форма комплексных чисел наглядно позволяет представить многие их свойства. По оси Re(z) отмечаем вещественные значения x, по Im(z) - мнимые величины y, тогда точка z на плоскости будет отображать требуемое комплексное значение.

Определения:

• Re(z) - реальная ось.
• Im(z) - означает мнимую ось.
• z - условная точка комплексного числа.
• Численное значение длины вектора от нулевой точки до z, называется модулем.
• Реальная и мнимая оси разбивают плоскость на четверти. При положительном значении координат - I четверть. При аргументе реальной оси меньше 0, а мнимой больше 0 - II четверть. Когда координаты отрицательные - III четверть. Последняя, IV четверть содержит множество положительных реальных значений и отрицательных мнимых величин.

Таким образом на плоскости со значениями координат x и y всегда можно наглядно изобразить точку комплексного числа. Символ i вводится для отделения реальной части от мнимой.

Свойства

1. При нулевом значении мнимого аргумента получаем просто число (z = x), которое располагается на реальной оси и принадлежит вещественному множеству.
2. Особый случай, когда значение реального аргумента становится нулевым, выражение z = i×y соответствует расположению точки на мнимой оси.
3. Общий вид z = x + i×y будет при ненулевых значениях аргументов. Означает расположение точки, характеризующей комплексное число, в одной из четвертей.

Тригонометрическая запись

Вспомним полярную систему координат и определение sin и cos. Очевидно, что с помощью этих функций можно описать расположение любой точки на плоскости. Для этого достаточно знать длину полярного луча и угол наклона к вещественной оси.

Определение. Запись вида ∣z ∣, умноженное на сумму тригонометрических функций cos(ϴ) и мнимой части i ×sin(ϴ), называется тригонометрическим комплексным числом. Здесь применяется обозначение угол наклона к вещественной оси

ϴ = arg(z), а r = ∣z∣, длина луча.

Из определения и свойств тригонометрических функций, следует очень важная формула Муавра:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Используя эту формулу, удобно решать многие системы уравнений, содержащие тригонометрические функции. Особенно когда возникает задача возведения в степень.

Модуль и фаза

Для завершения описания комплексного множества предложим два важных определения.

Зная теорему Пифагора, легко вычислить длину луча в полярной системе координат.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), такая запись на комплексном пространстве носит название "модуль" и характеризует расстояние от 0 до точки на плоскости.

Угол наклона комплексного луча к вещественной прямой ϴ принято называть фазой.

Из определения видно, что реальная и мнимая части описываются с помощью циклических функций. А именно:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Обратно, фаза имеет связь с алгебраическими значениями через формулу:

ϴ = arctan(x / y) + µ, поправка µ вводится для учета периодичности геометрических функций.

Формула Эйлера

Математики часто употребляют показательную форму. Числа комплексной плоскости записывают в виде выражения

z = r × e i × ϴ , которая вытекает из формулы Эйлера.

Такая запись получила широкое распространение для практического вычисления физических величин. Форма представления в виде показательных комплексных чисел особенно удобна для инженерных расчетов, где возникает необходимость рассчитать цепи с синусоидальными токами и необходимо знать значение интегралов функций с заданным периодом. Сами расчеты служат инструментом при конструировании различных машин и механизмов.

Определение операций

Как уже отмечалось, на комплексные числа распространяются все алгебраические законы работы с основными математическими функциями.

Операция суммы

При сложении комплексных значений их реальная и мнимая части также складываются.

z = z 1 + z 2 , где z 1 и z 2 - комплексные числа общего вида. Преобразуя выражение, после раскрытия скобок и упрощения записи, получим реальный аргумент х=(x 1 + x 2), мнимый аргумент y = (y 1 + y 2).

На графике это выглядит как сложение двух векторов, по известному правилу параллелограмма.

Операция вычитания

Рассматривается как частный случай сложения, когда одно число положительное, другое отрицательное, то есть находящееся в зеркальной четверти. Алгебраическая запись выглядит как разность реальных и мнимых частей.

z = z 1 - z 2 , или, учитывая значения аргументов, аналогично операции сложения, получаем для реальных значений х = (x 1 - x 2) и мнимых y = (y 1 - y 2).

Умножение на комплексной плоскости

Используя правила работы с многочленами, выведем формулу для решения комплексных чисел.

Следуя общим алгебраическим правилам z=z 1 ×z 2 , расписываем каждый аргумент и приводим подобные. Реальную и мнимую части можно записать так:

• х = х 1 × x 2 - y 1 × y 2 ,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Красивее смотрится, если будем использовать показательные комплексные числа.

Выражение выглядит так: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Деление

При рассмотрении операции деления, как обратной к операции умножения, в показательной форме записи получаем простое выражение. Деление значения z 1 на z 2 есть результат деления их модулей и разности фаз. Формально, при использовании показательной формы комплексных чисел это выглядит так:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

В виде алгебраической записи операция деления чисел комплексной плоскости записывается немного сложнее:

Расписывая аргументы и проводя преобразования многочленов, легко получить значения х = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , соответственно y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , правда, в рамках описываемого пространства это выражение имеет смысл, если z 2 ≠ 0.

Извлекаем корень

Все вышеописанное можно применять при определении более сложных алгебраических функций - возведение в любую степень и обратную к ней - извлечение корня.

Пользуясь общим понятием возведения в степень n, получаем определение:

z n = (r × e i ϴ) n .

Используя общие свойства, перепишем в виде:

z n = r n × e i ϴ n .

Получили простую формулу возведения в степень комплексного числа.

Из определения степени получаем очень важное следствие. Четная степень мнимой единицы всегда равна 1. Любая нечетная степень мнимой единицы всегда равно -1.

Теперь изучим обратную функцию - извлечение корня.

Для простоты записи примем n = 2. Квадратным корнем w комплексного значения z на комплексной плоскости C принято считать выражение z = ±, справедливое для любого вещественного аргумента большего или равного нулю. При w ≤ 0 решения не существует.

Посмотрим на самое простое квадратное уравнение z 2 = 1. Используя формулы комплексных чисел, перепишем r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Из записи видно, что r 2 = 1 и ϴ = 0, следовательно, имеем единственное решение, равное 1. Но это противоречит понятию, что z = -1, тоже соответствует определению квадратного корня.

Разберемся, что мы не учитываем. Если вспомним тригонометрическую запись, то восстановим утверждение - при периодическом изменении фазы ϴ комплексное число не меняется. Обозначим символом p значение периода, тогда справедлива запись r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , откуда 2ϴ = 0 + p, или ϴ = p / 2. Следовательно, справедливо e i 0 = 1 и e i p /2 = -1. Получили второе решение, что соответствует общему пониманию квадратного корня.

Итак, чтобы найти произвольный корень из комплексного числа, будем действовать по процедуре.

• Запишем показательную форму w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k - произвольное целое число.
• Искомое число тоже представим по форме Эйлера z = r × e i ϴ .
• Воспользуемся общим определением функции извлечения корня r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Из общих свойств равенства модулей и аргументов, запишем r n = ∣w∣ и nϴ = arg (w) + p×k.
• Итоговая запись корня из комплексного числа описывается формулой z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
• Замечание. Значение ∣w∣, по определению, является положительным вещественным числом, значит, корень любой степени имеет смысл.

Поле и сопряжение

В завершение дадим два важных определения, которые оказывают мало значения для решения прикладных задач с комплексными числами, но существенны при дальнейшем развитии математической теории.

Говорят, что выражения сложения и умножения образуют поле, если удовлетворяют аксиомам для любых элементов комплексной плоскости z:

1. От перемены мест комплексных слагаемых комплексная сумма не меняется.
2. Верно утверждение - в сложном выражении любую сумму двух чисел можно заменить на их значение.
3. Существует нейтральное значение 0, для которого верно z + 0 = 0 + z = z.
4. Для любого z существует противоположность - z, сложение с которым дает ноль.
5. При перемене мест комплексных множителей комплексное произведение не меняется.
6. Умножение двух любых чисел можно заменить на их значение.
7. Существует нейтральное значение 1, умножение на которое не меняет комплексное число.
8. Для каждого z ≠ 0, есть обратное значение z -1 , умножение на которое дает в результате 1.
9. Умножение суммы двух чисел на третье равносильно операции умножение каждого их них на это число и сложение результатов.
10. 0 ≠ 1.

Числа z 1 = x + i×y и z 2 = x - i×y называются сопряженными.

Теорема. Для сопряжения верно утверждение:

• Сопряжение суммы равно сумме сопряженных элементов.
• Сопряжение произведения равно произведению сопряжений.
• равно самому числу.

В общей алгебре такие свойства принято называть автоморфизмом поля.

Примеры

Следуя приведенным правилам и формулам комплексных чисел, легко можно ими оперировать.

Рассмотрим простейшие примеры.

Задача 1. Используя равенство 3y +5 x i= 15 - 7i, определить x и y.

Решение. Вспомним определение комплексных равенств, тогда 3y = 15, 5x = -7. Следовательно, x = -7 / 5, y = 5.

Задача 2. Вычислить значения 2 + i 28 и 1 + i 135 .

Решение. Очевидно, 28 - четное число, из следствия определения комплексного числа в степени имеем i 28 = 1, значит, выражение 2 + i 28 = 3. Второе значение, i 135 = -1, тогда 1 + i 135 = 0.

Задача 3. Вычислить произведение значений 2 + 5i и 4 + 3i.

Решение. Из общих свойств умножения комплексных чисел получаем (2 + 5i)Х(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Новое значение будет -7 + 26i.

Задача 4. Вычислить корни уравнения z 3 = -i.

Решение. Вариантов, как найти комплексное число, может быть несколько. Рассмотрим один из возможных. По определению, ∣ - i∣ = 1, фаза для -i равна -р / 4. Исходное уравнение можем переписать в виде r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , откуда z = e - p / 12 + pk/3 , для любого целого k.

Множество решений имеет вид (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Зачем нужны комплексные числа

История знает множество примеров, когда ученые, работая над теорией, даже не задумываются о практическом применении своих результатов. Математика - это прежде всего игра ума, жесткое следование причинно-следственным связям. Почти все математические построения сводятся к решению интегральных и дифференциальных уравнений, а те, в свою очередь, с некоторым приближением, решаются нахождением корней многочленов. Здесь мы впервые встречаемся с парадоксом мнимых чисел.

Ученые естествоиспытатели, решая совершенно практические задачи, прибегая к решениям различных уравнением, обнаруживают математические парадоксы. Интерпретация этих парадоксов приводит к совершенно удивительным открытиям. Двойственная природа электромагнитных волн один из таких примеров. Комплексные числа в понимании их свойств играют решающую роль.

Это, в свою очередь, нашло практическое применение в оптике, радиоэлектронике, энергетике и многих других технологических сферах. Еще один пример, гораздо более тяжелый для понимания физических явлений. Антиматерия была предсказана на кончике пера. И только через много лет начинаются попытки ее физического синтезирования.

Не надо думать, что только в физике существуют такие ситуации. Не менее интересные открытия совершаются в живой природе, при синтезировании макромолекул, во время изучения искусственного разума. И все это благодаря расширению нашего сознания, уходу от простого сложения и вычитания натуральных величин.

Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.

П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

И выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).