Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.
В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.
При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.
Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).
Для данного рисунка образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:
По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.
Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.
Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.
При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.
Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).
Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).
Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).
Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.
Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.
Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.
При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников
В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора
В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.
45. Через вершину конуса проведено сечение под углом 30° к высоте конуса. Вычислить площадь сечения, если высота конуса равна а радиус основания равен 5 см. (24 см 2).
46. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое. Площадь меньшего из сечений равна Q. Угол между плоскостями сечений равен 60°. Найти площадь осевого сечения.
47. Найти радиус шара, объем которого равен объему тела, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, длина которой равна 2а.
Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4p и 10p. Высота конуса равна 4. Найти площадь поверхности усеченного конуса. (64p).
49. Известно, что две взаимно перпендикулярные образующие конуса делят окружность его основания на дуги 120° и 240°. Найти объем конуса, если его высота равна Н.
50. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна ℓ и наклонена к основанию под углом a. 
51. Равнобедренный треугольник, у которого основание равно а угол при вершине 120°, вращается вокруг прямой, содержащей основание. Найти площадь поверхности тела вращения. (16p).
52. Объем конуса равен V. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найти объем средней отсеченной части.
53. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар радиуса r = 2 см. Найти объем конуса. (24p см 3).
54. В конус с радиусом основания 2 см вписан шар радиуса 1 см. Найти объем конуса.
Найти полную поверхность цилиндра, в осевом сечении которого квадрат, если его боковая поверхность равна 80. (120).
56. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь боковой поверхности конуса равна 12p. Найти площадь осевого сечения конуса. .
57. Образующая усеченного конуса равна ℓ и составляет с плоскостью основания угол a. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найти площадь боковой поверхности конуса. .
Диагонали ромба равны 6 и 8. Этот ромб вращается вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найти площадь поверхности полученного тела. (96p).
Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144p и 25p. Найти площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 17. (676p).
Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10p и 24p. Найти площадь сферы, если расстояние между плоскостями равно 7 и центры сечений лежат на одном радиусе. (676p).
61. Высота усеченного конуса равна 5, а диагональ осевого сечения - 13. Радиусы оснований относятся как 1:2. Найти объем конуса.
62. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 10, АС = 12. Треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину С и перпендикулярной АС. Найти объем тела вращения. (576p).
63. Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь боковой поверхности конуса равна 3p. Найти объем конуса.
64. Сечение цилиндра, параллельное его оси, отсекает от окружности основания дугу 120°. Радиус основания цилиндра равен R, а угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найти объем цилиндра.
65. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее на расстояние, равное 15. Диагональ получившегося сечения равна 20, а радиус основания цилиндра равен 17. Найти объем цилиндра.
66. Радиус основания конуса равен 4, а его высота - 10. В этот конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковой поверхности конуса, а нижнее лежит в плоскости его основания. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Найти объем цилиндра.
67. Через точку, не лежащую на сфере, проведены две плоскости, касающиеся сферы. Найти расстояние от центра сферы до линии пересечения плоскостей, если угол между плоскостями равен 60°, а площадь сферы 32p.
68. Через точку на поверхности шара проведены две плоскости, пересекающие его. Обе плоскости удалены от центра сферы на расстояние угол между ними равен 60°. Найти площади получившихся сечений.
69. Два цилиндра, радиусы которых относятся как 2:3, имеют равные объемы. Найти отношение площадей боковых поверхностей данных цилиндров.
70. Из круга вырезан сектор, представляющий собой четверть круга. Из этого сектора и из оставшейся части круга изготовлены боковые поверхности двух конусов. Найти отношение высот этих конусов.
На гранях двугранного угла взяты две точки, удаленные от ребра двугранного угла на 6 см и 10 см. Известно, что одна из этих точек удалена от второй грани на 7,5 см. Найти расстояние от второй точки до противоположной грани двугранного угла. (4,5 см).
72. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость a. Сторона АВ составляет с этой плоскостью угол 30°. Найти угол между плоскостью ромба и плоскостью a, если острый угол ромба равен 45°. (45°).
73. Из точки М к плоскости a проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость a углы 30°. Угол между наклонными равен 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки М до плоскости a равен (4 см).
74. Плоскости a и b параллельны. Из точки М (плоскости a и b расположены по одну сторону от точки М) проведены две прямые. Первая прямая пересекает плоскости a и b соответственно в точках А и В, а вторая прямая - в точках С и D, причем AM = CD, MC = 16, AB = 25. Расстояние от точки М до плоскости a равно 12. Найти расстояние между плоскостями. (15).
75. Точка М расположена между параллельными плоскостями a и b. Через точку М проведены две прямые. Первая прямая пересекает плоскость a в точке А, а плоскость b - в точке В. Вторая прямая пересекает эти плоскости соответственно в точках С и D; МA = МD, MC = 32, МB = 50. Расстояние от точки М до плоскости a равно 24. Найти расстояние между плоскостями. (54).
76. В треугольнике АВС АВ = ВС = 25, АС = 48, BD - перпендикуляр к плоскости АВС. BD = Найти расстояние от точки D до прямой АС. (8).
77. ABCD - ромб со стороной, равной а, ÐА = 60°, АМ^АВС, АМ = 0,5а. Найти расстояние от точки М до прямой СD. (a).
78. треугольнике АВС АC = BC = m, ÐАCD = 120°, РА^АВС. Точка Р удалена на расстояние, равное m, от прямой ВС. Найти расстояние от точки Р до плоскости АВС.
Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и 32 см. Найти расстояние от точки М до плоскости трапеции. (0).
80. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол трапеции равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстояние, равное и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найти расстояние от точки М до сторон трапеции. (0).
81. Через середину отрезка с концами в точках Р(-1; 2; 5) и Q(3; -4; 1) проведена плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через точки А (0; -2; -1) и В (3; 2; -1). Составить уравнение плоскости. (3x + 4y +1 = 0).
82. Высота АА 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вдвое больше каждой из сторон основания. Найти угол между прямыми BD 1 и АМ, где М - точка пересечения диагоналей грани DСC 1 D 1 .
83. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; точка К - середина ребра AA 1 , L - центр грани CC 1 D 1 D. Найти угол между плоскостями BKL и АD 1 С.
84. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ = 4, AD = 6, AA 1 = 2. Точки F и K расположены на ребрах AD и B 1 C 1 соответственно, причем AF:FD = C 1 K:KB 1 = 1:2, P - точка пересечения диагоналей грани ABCD. Найти угол между прямыми PK и B 1 F.
85. Дан тетраэдр ABCD. Все плоские углы при вершине D - прямые; DA = 1, DB = 2, DC = 3. Найти медиану тетраэдра, проведенную из вершины D.
86. Даны точки А (1; 0; 1), В (-2; 2; 1), С (2; 0; 3) и D (0; 4; -2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС. (2x + 3y - z - 14 = 0).
87. Найти площадь сечения куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер B 1 C 1 и C 1 D 1 , если ребро куба равно а.
88. Дан равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ). А (1; -2; 1), В (3; 2; -3). Вершина С лежит на оси ординат. Найти площадь треугольника АВС. (9).
89. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 2, а боковое ребро - 4. Е - середина CD и K - середина C 1 С. DK пересекает D 1 C в точке Р. Найти расстояние между серединой М отрезка B 1 Е и точкой Р.
90. Точки А (1; 1; 5), В (4; 7; 5), С (8; 5; 5), D (5; -1; 5) являются вершинами прямоугольника АВСD. Найти больший угол между диагоналями прямоугольника. 
91. (Л4, № 14.76.50). В параллелограмме АВСD известны координаты трех вершин А (3; 1; 2), В (0; -1; -1), С (-1; 1; 0). Найти длину диагонали BD.
CV 92.
(Л4, № 14.76.51). Доказать, что точки А (1; -1; 1), В (1; 3; 1), С (4; 3; 1), D (4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить длины его диагоналей и координаты точки их пересечения. 
93. Вершинами треугольника являются точки А(2; -3; 0), В(2; -1; 1), С(0; 1; 4). Найти величину угла, образуемого медианой ВD и основанием АС. (45°)
94. Треугольная пирамида задана вершинами А(3; 0; 1), В(-1; 4; 1), С(5; 2; 3), D(0; -5; 4). Вычислить длину вектора , если G - точка пересечения медиан грани BCD.
95. Объем прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равен 3. Определить координаты вершины A 1 , если координаты вершин одного из оснований призмы известны: А (1; 0; 1), В (2; 0; 0), С (0; 1; 0).
22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
24. В треугольнике известна сторона а и прилежащие к ней два острых угла, которые равны и. Этот треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину третьего угла перпендикулярно к его биссектрисе. Определите объем тела вращения.
25. В треугольнике известны сторона с и два прилежащих острых угла, которые равны и. Этот треугольник вращается около прямой, которая проходит через вершину третьего угла параллельно известной стороне. Определите объем тела вращения.
26. В конус вписана правильная шестиугольная пирамида с высотой 4 см и плоским углом при вершине . Найдите полную поверхность конуса.
Варіант 15
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, разность между которыми равна 5 см. Проекции этих наклонных на плоскость соответственно равны 18 см и 7 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости.
2. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, которое равно 16 см. Расстояние между вершинами этих треугольников равно 13 см. Боковая сторона одного треугольника равна 17 см. Другой треугольник - прямоугольный. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.
3. В прямоугольном треугольнике с катетом 15 см и гипотенузой 25 см из вершины прямого угла восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 5 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей гипотенузу.
4. Из точки А проведена наклонная АВ к плоскости под углом 45°. В плоскостипроведена прямая ВС, которая образует угол 45° с проекцией наклонной АВ на плоскость. Основаниеперпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость удалено от прямой ВС на 6 см. Найдитедлину наклонной АВ и угол между прямыми АВ и ВС.
5. Равные равнобедренные треугольникиАВС и BCD имеют общее основание ВС, а их плоскости образуют угол 120°. Найдите боковые стороны, треугольников ABC и BCD, если их основания равны по 3 см, а расстояние между точками А и D равно см.
6. В одной из граней двугранного угла, равного 45°, проведена прямая, образующая с другой гранью угол 30°. Найдите величину угла, который образует прямая с ребром двугранного угла.
7. Постройте сечение прямой четырехугольной призмы , плоскостью, проходящей через точки М, N и К, которые лежат соответственно на ребрах АА, DD и CC.
8. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2; 2) и В (-2; 1; 4).
9. Дан тетраэдр ABCD, ,=,,=, К - внутренняя точка ребра СВ. Выразите вектор, через векторы.
10. Векторы (n; -2; 1) и (n; 1; -n) перпендикулярны. Найдите n.
11. Перпендикулярен ли вектор , где А(- 1; 5; - 2), В(0; 3; 4) и плоскость 2х – 4y + 12z - 1 = 0? Почему?
12. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Диагональ боковой грани, что содержит гипотенузу данного треугольника, образует с его плоскостью угол. Диагональ боковой грани, что содержит прилежащий к углукатет, равнаl. Определить объем призмы.
13. Площади диагональных сечений наклонного параллелепипеда 105 сми 135 см, площади боковых граней относятся как 4:7. Найти площадь боковой поверхности.
14. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8м и 5м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения.
15. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h и образует с апофемой угол . Найдите полную поверхность пирамиды.
16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b, а двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды.
17. В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная к противолежащей боковой грани. Найдите площадь сечения, если радиус вписанного шара равенr.
18. Площадь боковой поверхности конуса относится к площади его основания, как m:n, высота конуса равна h. Найдите площадь осевого сечения конуса.
19. В усеченном конусе образующая равна 10 см, а радиусы оснований 1 см и 7 см. Найдите радиус цилиндра такой же высоты, полная поверхность которого равновелика полной поверхности усеченного конуса.
20. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r .
21. В основании прямой призмы лежит ромб с тупым углом . Сечение, проведенное через большую диагональ нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания наклонено к плоскости основания под углом. Площадь сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.
22. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Через противолежащий углукатет нижнего основания и вершину углаверхнего основания проведено сечение. Перпендикуляр, проведенный из вершины угланижнего основания к этому сечению равенb и образует с плоскостью основания угол . Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около призмы.
23. Найдите объем правильной треугольной призмы, если радиус описанной около нее сферы равен R. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.
24. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат со стороной а. Найдите объем параллелепипеда
При обозначениях рис. объем шара равен 4 / 3 π R 3 , а объем конуса AСВ равен 1 / 3 πr 2 СО 1 = 1 / 3 πr 2 H.
По условию
1 / 3 πr 2 H = 1 / 4 4 / 3 π R 3
т. е. r 2 H = R 3 . Еще одну зависимость между r и R мы получим из прямоугольного треугольника CAD; именно, АО 1 2 =CO 1 DO 1 т. е. r 2 = H (2R - Н). Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим R 3 - 2H 2 R + H 3 = 0. Хотя это уравнение третьей степени относительно неизвестного R, но одно его решение R = H сразу усматривается (его можно было угадать и непосредственно по условию, так как конус, у которого радиус основания и высота равны радиусу шара, составляет по объему 1 / 4 шара). Следовательно (по теореме Безу), левую часть можно разложить на множители, один из которых равен R - H. Для этого достаточно разделить R 3 - 2H 2 R + H 3 на R - H или применить такое преобразование:
R 3 - 2H 2 R + H 3 = (R 3 - H 2 R) - (H 2 R - H 3) = R (R- Н) (R + H) - H 2 (R - H) =
=(R - H) (R 2 + RH - H 2)=0.
Уравнение R 2 + RH - H 2 = 0 имеет один положительный корень
(отрицательный корень 
не годится).
Геометрически это означает, что радиус шара равен большей части высоты конуса, разделенной в крайнем и среднем отношении.
Ответ: Задача имеет два решения: V = 4 / 3 π H 3 и V = 4 / 3 π (√5 - 2) H 3 .
