Доклады БГУИР
УДК 621.396.96
СОПОСТАВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ, ОСНОВАННЫХ НА КРИТЕРИИ НЕЙМАНА-ПИРСОНА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КРИТЕРИИ ОТНОШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
А С. ХРАМЕНКОВ, С.Н. ЯРМОЛИК
Военная академия Республики Беларусь Минск, 220057, Беларусь
Рассмотрена возможность использования последовательного критерия отношения вероятностей Вальда в интересах решения задачи радиолокационного обнаружения сигналов. Приведены условия, позволяющие производить сравнение эффективности функционирования процедур обнаружения, основанных на критерии Неймана-Пирсона и последовательном критерии Вальда. Показано, что рассматриваемые критерии принятия решений обладают оптимальными свойствами, однако средняя длительность последовательной процедуры обнаружения оказывается меньше, чем заранее фиксированная длительность процедуры обнаружения для критерия Неймана-Пирсона. Отмеченный факт позволяет оптимизировать время радиолокационного обзора, при сохранении требуемых характеристик обнаружения. Реализация адаптивного просмотра пространства радиолокационного наблюдения предполагает использование принудительного ограничения максимального времени на принятие решения.
Ключевые слова: последовательный критерий отношения вероятностей (ПКОВ) Вальда, критерий Неймана-Пирсона, радиолокационное обнаружение.
Введение и постановка задачи
Задача радиолокационного обнаружения заключается в установлении факта наличия или отсутствия цели в элементе разрешения пространства наблюдения. Решение о наличии (А\) или отсутствии (А*0) цели принимается при двух взаимоисключающих условиях: А -присутствие только помеховых колебаний или А1 - присутствие аддитивной смеси сигнала с помехой. Последствия принимаемых решений могут быть весьма различными, поэтому каждому решению соответствует определенная плата (цена) : Сп, С00 - цены правильных обнаружения и необнаружения соответственно, С01, С10 - цены пропуска цели и ложной тревоги. Систему обнаружения характеризуют средним риском, который определяет среднее значение ожидаемых потерь: Я = СпР(А)О + С01Р(А)В + С10Р(А)Р + С00Р(А)Р, где Р(А), Р(А) - априорные вероятности наличия и отсутствия цели; О, О - условные вероятности
правильного обнаружения и пропуска цели; Р, Р - условные вероятности ложной тревоги и правильного необнаружения.
Выбор оптимального решающего правила производится путем минимизации величины среднего риска. Устройство обнаружения, оптимальное по критерию минимума среднего риска, для принятия решения об обнаружении должно формировать отношение
правдоподобия (ОП) Л(Г) = р (Г)/р (Г) и сравнивать его с порогом Л, =---10--
Р(Л1)(С01 - С11)
(где р (Г), р (Г) - плотности вероятностей выборки, формируемой при отсутствии и при
наличии полезного сигнала соответственно). Если A(f) >Л„, то принимается решение о наличии цели (Л1 *), если A(f) <Л„ - решение об ее отсутствии (Л *) Оптимальность рассмотренного решающего правила не нарушится, если ОП заменить монотонной функцией (например, функцией логарифма): ln A(f) = ln [д (f)/p0(f)], при соответствующей коррекции порога обнаружения (ln Л). Таким образом, ОП или его монотонная функция определяют структуру обнаружителя и алгоритм оптимальной обработки реализации принятого сигнала.
Следует отметить, что имеющуюся априорную неопределенность при расчете порога обнаружения преодолевают использованием частных критериев оптимальности . Применительно к устройствам радиолокационного обнаружения наиболее распространен критерий Неймана-Пирсона. Данный критерий предполагает обеспечение фиксированного значения вероятности ложной тревоги F = const (ошибки первого рода а) путем соответствующего выбора порога обнаружения. Рассматриваемый критерий обеспечивает наибольшую условную вероятность правильного обнаружения D = 1 - р (где Р - вероятность ошибки второго рода или вероятность пропуска цели) из всех обнаружителей, у которых условная вероятность ложной тревоги не больше заданной вероятности F . Отметим, что использование критерия Неймана-Пирсона предполагает обеспечение фиксированной длительности процедуры принятия решения. Вместе с этим, определенный интерес для радиолокации представляет последовательный алгоритм обнаружения Вальда , позволяющий в ряде случаев минимизировать время принятия решений. Целесообразно рассмотреть возможность использования последовательного критерия отношения вероятностей (ПКОВ) Вальда в интересах решения задачи радиолокационного обнаружения сигналов. При этом необходимо сравнить эффективность функционирования процедур обнаружения, основанных на критерии Неймана-Пирсона и последовательном критерии Вальда.
Последовательный критерий отношения вероятностей
В рамках последовательного анализа наиболее важным является ПКОВ, предложенный А. Вальдом . Особенность последовательной процедуры обнаружения Вальда заключается в том, что количество наблюдений, необходимых для принятия решения, не фиксируется заранее, а определяется ходом реализации наблюдаемого процесса . Испытания проводятся последовательно до момента выполнения условия завершения эксперимента. Процедура испытаний на каждом шаге наблюдения предполагает вычисление ОП A(f) и сравнение его с двумя пороговыми уровнями - останавливающими границами (рис. 1).
Рис. 1. Последовательная процедура принятия решения на основе критерия Вальда
Нижний и верхний пороги обнаружения определяются требуемыми вероятностями ложной тревоги и пропуска цели : Л, = р/(1 - а), Л* = (1 - р)/а.
В случае выполнения неравенства Л(Г) >Л* наблюдение прекращается принятием решения о наличии цели в элементе разрешения: А* *. Решение об отсутствии цели (А *) принимается в случае непревышения нижнего порога обнаружения: Л(Г) <Л„. Если сформированное значение ОП находится между верхним и нижним пороговыми уровнями (Л <Л(Г) <Л*), осуществляется переход к расчету значения ОП для расширенного входного вектора наблюдаемых отсчетов Г " = {Г, /п+^ и испытания повторяются до принятия окончательного решения. Необходимо отметить, что при вычислении решающей статистики
переход к использованию логарифма ОП (1п Л(Г)) позволяет операцию умножения заменить более простой операцией суммирования.
При обработке радиолокационных сигналов решение о наличии или отсутствии цели в элементе разрешения принимается на основании анализа случайной величины ^ - квадрата модуля корреляционного интеграла (КИ), зависящего от реализации принятого сигнала и монотонно связанного с логарифмом ОП . ПКОВ может быть применен в радиолокационных обнаружителях, где в качестве достаточной статистики используется случайная величина ^. В этом случае пороги, предложенные Вальдом , требуют
соответствующей коррекции: ^ = 1пЛ„ -а, 2* = 1пЛ*-а, где а = 1п-^ ^^ - смещение,
обусловленное переходом к использованию достаточной статистики; Кф - корреляционная матрица радиолокационного фона; Яс+ф - корреляционная матрица аддитивной смеси сигнала и радиолокационного фона.
Примером реализации ПКОВ в рамках радиолокационного обнаружителя флуктуирующих сигналов может служить обобщенная схема, представленная на рис. 2.
П «сброс »
г Оптимальное
Устройство обработки
одиночного сигнала
% V Запоминающее Пороговое
устройство устройство
Рис. 2. Схема последовательного радиолокационного обнаружителя
На вход устройства оптимальной обработки сигналов последовательно поступают принимаемые случайные реализации f . В общем случае их количество определяется ходом процедуры обнаружения и является случайным.
После 1-го шага процедуры обнаружения на выходе устройства оптимальной обработки формируется случайная величина ^ - текущее значение решающей статистики, пропорциональное логарифму ОП. На выходе запоминающего устройства (ЗУ) формируется накопленное значение статистики: 11 = ^ . Пороговое устройство принимает решение: принять окончательное решение с остановкой процесса наблюдения или произвести следующее наблюдение. В случае продолжения наблюдений с останавливающими порогами сравниваются накопленные значения логарифма ОП, рассчитываемые на последующих шагах наблюдения: 12 = 1 + , 1, ..., 2п = 2я1 + ^ . Проверка продолжается до пересечения решающей статистикой одного из останавливающих порогов обнаружения. В этом случае импульсом «сброс» обнуляется ЗУ.
Следует отметить, что рассматриваемая процедура последовательного обнаружения представляет собой аналог некогерентного накопления случайного числа результатов оптимальной обработки.
Сравнение эффективности функционирования радиолокационных обнаружителей, основанных на критерии Неймана-Пирсона и последовательном критерии Вальда
Качество функционирования обнаружителя определяется обеспечиваемыми характеристиками обнаружения. Характеристики радиолокационного обнаружения это зависимости вероятностей правильных решений от величины отношения сигнал-помеха, рассчитываемые при обеспечении фиксированного значения вероятности ложных тревог . Кроме вероятностных показателей качества важной характеристикой последовательного обнаружителя является среднее время принимаемых решений .
Условные вероятности принимаемых последовательных решений могут быть
определены следующим образом: р= | р1(1п, а = |р0(1п, где р1(1п) (р0(1п)) -
закон распределения результирующей статистики при наличии (отсутствии) полезного сигнала в принятой реализации. Геометрическая интерпретация условных вероятностей для одномерного случая с точностью до постоянного коэффициента а представлена на рис. 3.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация вероятностей принимаемых решений
Аналитический расчет условных вероятностей принимаемых решений предполагает интегрирование законов распределения случайных величин, лежащих в основе принимаемых решений. В общем случае получение квадрата модуля КИ сводится к когерентному весовому суммированию дискретных значений принятой реализации, образованию квадрата модуля полученной суммы и некогерентному накоплению продетектированных результатов когерентной обработки. При этом закон распределения результирующей статистики 1п определяется рядом факторов :
Законом распределения слагаемых (^);
Количеством накапливаемых случайных величин (п);
Коэффициентом взаимной корреляции слагаемых (гг).
При рассмотрении нормальных распределений отраженного сигнала и помех на входе устройства обработки, закон распределения слагаемых ^ характеризуется распределением Эрланга, порядок которого определяется количеством накапливаемых случайных величин п.
Количество накапливаемых случайных величин п определяется длительностью последовательной процедуры. Ее увеличение приводит к нормализации результирующего закона распределения. При наличии сильной корреляции слагаемых (г2 ^ 1) закон
распределения суммы определяется законом распределения отдельных слагаемых. По мере снижения коэффициента корреляции происходит эволюционный процесс нормализации результирующей суммы.
С учетом вышеизложенного очевидно, что законы распределения результирующей статистики р0 (Хп) и р (Хп) характеризуются различными средними значениями и отличаются порядком распределения.
Сложность аналитического определения закона распределения результирующей статистики обуславливает целесообразность использования методов математического моделирования для сопоставления эффективности процедур обнаружения, основанных на критерии Неймана-Пирсона и последовательном критерии Вальда. Проводимый анализ предполагает обеспечение одинаковых условий функционирования рассматриваемых обнаружителей. Следует предположить, что наличие преимуществ у последовательного обнаружителя способно проявиться следующим образом :
Сокращение среднего объема выборки для ПКОВ по сравнению с критерием Неймана-Пирсона при одинаковых значениях вероятностей ложной тревоги, пропуска цели и расчетного значения отношения сигнал-шум;
Уменьшение требуемого отношения сигнал-шум для ПКОВ при фиксированных значениях вероятностей ложной тревоги и пропуска цели, когда средний объем выборки равен фиксированному объему выборки для критерия Неймана-Пирсона.
Наиболее предпочтительным для радиолокации является сокращение длительности процедуры обнаружения. В связи с этим покажем справедливость 1 -го утверждения.
Для простоты анализа предположим, что на всем интервале наблюдения осуществляется исключительно когерентная обработка принятой реализации. В этом случае закон распределения величины ^ характеризуется экспоненциальным законом распределением.
Рассмотрим обнаружитель радиолокационных флуктуирующих сигналов, основанный на критерии Неймана-Пирсона, который обеспечивает вероятность правильного обнаружения Оп =1-ри и вероятность ложной тревоги Е =аи. Указанные вероятности обеспечиваются использованием требуемого порога обнаружения X, и формированием необходимого отношения сигнал-помеха р=N -у на выходе когерентного накопителя (где N & -фиксированная длительность процедуры обнаружения, у - отношение сигнал-помеха по одиночному радиоимпульсу).
Обеспечение идентичности характеристик последовательного обнаружителя Вальда предполагает создание соответствующих условий функционирования. С этой целью верхний останавливающий порог X* (ав) выбирается так, чтобы обеспечить заданную вероятность ошибки первого рода а = ат = Е. При этом рассматриваемый верхний порог Вальда совпадает с выбранным порогом обнаружения Неймана-Пирсона X* (ав) = .
Нижний останавливающий порог (Рв) в последовательной процедуре выбирается так, чтобы обеспечить требуемое значение вероятности ошибки второго рода рв = рт = 1 - для текущего отношения сигнал-помеха у. Необходимо отметить, что изменение у в процессе наблюдения приводит к соответствующим изменениям, что обуславливает
соответствующую корректировку нижнего порога (рис. 4).
Рис. 4. Выбор порогов обнаружения при использовании последовательного критерия
С учетом вышеизложенного, для сравнения последовательного обнаружителя с обнаружителем Неймана-Пирсона использована следующая схема (рис. 5).
Оптимальное устройство обработки пачки сигналов
Оптимальное устройство обработки одиночного сигнала
Устройство формирования порога 2,
Пороговое устройство
I А 7 , Запоминающее устройство 1 ч Пороговое устройство
р Устройство в формирования
порога 2,(Рв)
Рис. 5. Схема сравнения обнаружителя Неймана-Пирсона и обнаружителя Вальда
Методом математического моделирования процедуры последовательного обнаружения с указанными останавливающими порогами были получены расчетные значения характеристик обнаружения (рис. 6). Полученные графики полностью аналогичны характеристикам обнаружения для критерия Неймана-Пирсона, что обусловлено идентичностью условий функционирования сравниваемых обнаружителей.
П «сдаос»
Последовательный критерий
Критерий Неймана-Пирсона
Рис. 6. Характеристики обнаружения последовательного критерия и критерия Неймана-Пирсона
Аналогичные результаты получаются и при использовании некогерентного накопления. Отличия заключаются лишь в форме кривой обнаружения (рис. 5).
Таким образом, ПКОВ, как и процедура обнаружения с фиксированным объемом выборки, обладает оптимальными свойствами. При этом оценка средней длительности последовательной процедуры при отсутствии цели (п0) оказываются меньшей, чем фиксированная длительность выборки (N) для эквивалентного по вероятностям ошибок критерия Неймана-Пирсона (рис. 7). Наличие выигрыша в средней продолжительности процедуры принятия решений обусловлено трансформацией закона распределения квадрата модуля КИ 1п. При этом величина выигрыша зависит от числа накапливаемых сигналов и.. Отмеченный результат согласуется с утверждением о временном преимуществе последовательного критерия, приведенным в , поскольку при радиолокационном обзоре в подавляющем большинстве элементов разрешения цель отсутствует.
Рис. 7. Средняя длительность последовательной процедуры (N = 6)
Полученная зависимость средней длительности процедуры при наличии полезного сигнала и (у) имеет характерный максимум (рис. 7), называемый резонансом длительности . Необходимо отметить, что в районе точки резонанса длительность последовательной процедуры в ряде опытов может оказаться больше, чем фиксированная длительность N процедуры Неймана-Пирсона (рис. 8).
0 200 400 600 800 N
Рис. 8. Оценка мгновенных значений длительности последовательной процедуры (N = 6)
Отмеченная особенность неизбежно приведет к затягиванию процедуры радиолокационного обнаружения. В таких случаях возникает необходимость прерывания процедуры наблюдения на определенном шаге с принятием результирующего решения в пользу наличия или отсутствия цели в анализируемом элементе разрешения. Рассматриваемую процедуру называют усечением последовательного анализа . Следует отметить, что на
практике, прежде всего из-за ограниченности времени наблюдения, в устройствах радиолокационного обнаружения могут применяться только усеченные последовательные процедуры. При этом единого мнения в получении оптимальных методов усечения последовательной процедуры обнаружения пока не существует. Вмести с этим, достаточно эффективными для практического использования являются методы усечения С. Айвазяна и метод Г. Лордена .
Заключение
В работе рассмотрена возможность применения последовательного критерия отношения вероятностей Вальда в радиолокационных обнаружителях. Показаны преимущества рассматриваемого критерия относительно критерия Неймана-Пирсона, отмечены его недостатки, связанные с возможностью затягивания радиолокационного обзора, и предложены способы их устранения. Рассмотрены условия, при которых возможно сопоставление двух анализируемых критериев. Методом математического моделирования показано, что в рабочем диапазоне значений отношений сигнал-шум при идентичных характеристиках обнаружения средняя длительность последовательной процедуры меньше, чем длительность процедуры с фиксированным объемом выборки. Показана целесообразность использования последовательных процедур радиолокационного обнаружения с усечением.
Следует отметить, что последовательный критерий отношения вероятностей может использоваться при решении задач радиолокационного распознавания наблюдаемых объектов. В этом случае процедура усечения позволяет последовательно исключать из рассмотрения классы объектов, принадлежность наблюдаемой реализации к которым наиболее сомнительна. Последовательное накопление информации позволяет повысить достоверность результатов классификации объектов. Полученные результаты показывают целесообразность использования методов последовательного анализа при решении задач радиолокационного наблюдения.
THE COMPARATIVE ANALYSIS OF RADAR-TRACKING SEARCHERS BASED ON NEIMAN-PIERSON CRITERION AND SEQUENTIAL PROBABILITY RATIO TEST
AS. KHRAMENKOV, S.N. YARMOLIK
Use capability the sequential probability ratio test for radar detection is consider. Necessary conditions for comparison Neiman-Pierson criterion and sequential probability ratio test are given.
Список литературы
1. ОхрименкоА. Основы радиолокации и радиоэлектронная борьба. Ч.1. Основы радиолокации. М., 1983.
2. Вальд А. Последовательный анализ. М., 1960.
3. Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении машин. М., 1971.
4. Сколник М. Справочник по радиолокации в 4 томах. Том 1. Основы радиолокации. М., 1976.
5. Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А., и др. Теория обнаружения сигналов. М., 1984.
6. Айвазян С.А. // Теория вероятностей и ее применения. 1965, №4. С 713-725.
Критерий Неймана-Пирсона применяется в двоичных системах в ситуациях, когда невозможно определить априорные вероятности отдельных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы. Такая ситуация типична для радиолокации, где осуществляется зондирование пространства узким радиолучом и прием отраженного от цели сигнала. При этом имеют место две ситуации: 1) наличие цели – колебание на входе приемника содержит сигнал в аддитивной смеси с помехой (с неизвестной априорной вероятностью P (b 1)), 2) отсутствие цели – на входе приемника действует одна помеха (с вероятностью P (b 0) = 1 – P (b 1)). Задача приема – обнаружение сигнала на фоне помех. При ее реализации возможны два вида ошибок:
1) пропуск цели (цель есть, но отраженный сигнал не обнаружен) с условной вероятностью ;
2) ложная тревога (цель отсутствует, но принято решение о наличии отраженного сигнала) с условной вероятностью .
Очевидно, что последствия этих ошибок сильно различаются.
В таком случае целесообразно стремиться к уменьшению условной вероятности ошибки, вызывающей особо тяжелые последствия (пропуск цели), что можно сделать только за счет увеличения вероятности ошибки другого вида (ложной тревоги). Ясно, что это можно делать до определенной степени, т. к. слишком большая вероятность ложной тревоги приведет к ощутимым экономическим потерям и к подрыву доверия к системе в целом. Разумный выход – зафиксировать вероятность ложной тревоги на выбранном уровне ε
, (6.8)
и затем минимизировать вероятность пропуска цели
Минимизация (6.9) при заданной величине (6.8) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства
,
где λ(ε) – пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу оптимального приема дискретных сообщений.
2. Дайте геометрическую трактовку задаче оптимального приема дискретных сообщений.
3. Что называют правилом решения (решающей схемой) демодулятора?
4. Что такое идеальный (оптимальный) приемник дискретных сообщений?
5. Что понимают под потенциальной помехоустойчивостью приема дискретных сообщений?
6. В чем суть теории потенциальной помехоустойчивости? Когда и кем были заложены ее основы?
7. Какой смысл вкладывают в понятие критерия качества приема дискретных сообщений? Перечислите известные Вам критерии.
8. В чем суть критерия идеального наблюдателя (критерия Котельникова)?
9. Укажите особенности критерия Котельникова.
10. Что представляет собой критерий максимального правдоподобия? Как он соотносится с критерием Котельникова?
Критерий Неймана-Пирсона
Пусть Зададимся допустимым значением вероятности, после чего будем искать такую границу между образами, при которой достигается минимум.
Пусть требуется. Нужно решить задачу нахождения
Ясно, что решение удовлетворяет условию Действительно, при возрастает, то есть становится не минимально возможным, а при нарушается ограничение. Как и в минимаксном методе, найти аналитически удаётся лишь в простейших случаях.
Последовательные процедуры распознавания
Если в ранее рассмотренных методах распознавания принятие решения о принадлежности объекта тому или иному образу осуществлялось сразу по всей совокупности признаков, то в данном разделе мы обсудим случай последовательного их измерения и использования.
Пусть. Сначала у объекта измеряется и на основании этой информации решается вопрос об отнесении этого объекта к одному из образов. Если это можно сделать с достаточной степенью уверенности, то другие признаки не измеряются и процедура распознавания заканчивается. Если же такой уверенности нет, то измеряется признак и решение принимается по двум признакам: и. Далее процедура либо прекращается, либо измеряется признак, и так до тех пор, пока либо будет принято решение об отнесении объекта к какому-либо образу, либо будут исчерпаны все признаков.
Такие процедуры чрезвычайно важны в тех случаях, когда измерение каждого из признаков требует существенных затрат ресурсов (материальных, временных и пр.).
Пусть и известны где Заметим, что если известно распределение то известны и все распределения меньшей размерности (так называемые маргинальные распределения). Например,
Пусть измерено признаков. Строим отношение правдоподобия Если, то объект относим к образу, если, то к образу. Если же, то измеряется признак и вычисляется отношение правдоподобия и т.д.
Понятно, что пороги и связаны с допустимыми вероятностями ошибок распознавания. Добиваясь выполнения неравенства, мы стремимся к тому, чтобы вероятность правильного отнесения объекта первого образа к была в раз больше, чем ошибочное отнесение объекта второго образа к, то есть или. Поскольку, то (верхний порог). Аналогичные рассуждения проводим для определения. Добиваясь выполнения неравенства, мы стремимся к тому, чтобы вероятность правильного отнесения объекта второго образа к была в раз больше, чем неправильного отнесения объекта первого образа к, то есть
(нижний порог).
В последовательной процедуре измерения признаков очень полезным свойством этих признаков является их статистическая независимость. Тогда и нет необходимости в хранении (а главное - в построении) многомерных распределений. К тому же есть возможность оптимизировать порядок следования измеряемых признаков. Если их ранжировать в порядке убывания классификационной информативности (количество различительной информации) и последовательную процедуру организовать в соответствии с этой ранжировкой, можно уменьшить в среднем количество измеряемых признаков.
Мы рассмотрели случай с (два образа). Если, то отношений правдоподобия может строиться, например такого вида: Останавливающая граница (порог) для -го образа выбирается равной Если, то -й образ отбрасывается и строится отношений правдоподобия и порогов. Процедура продолжается до тех пор, пока останется неотвергнутым только один образ или будут исчерпаны все признаков. Если в последнем случае остались неотвергнутыми более чем один образ, решение принимается в пользу того из них, для которого отношение правдоподобия максимально.
Если образов два () и число признаков не ограничено, то последовательная процедура с вероятностью 1 заканчивается за конечное число шагов. Доказано также, что при заданных и рассмотренная процедура при одинаковой информативности различных признаков даст минимум среднего числа шагов. Для последовательную процедуру ввёл Вальд и назвал её последовательным критерием отношения вероятностей (п.к.о.в.).
Для оптимальность процедуры не доказана.
При известных априорных вероятностях можно реализовать байесовскую последовательную процедуру, а если известны затраты на измерения признаков и матрица штрафов за неверное распознавание, то последовательную процедуру можно остановить по минимуму среднего риска. Суть здесь заключена в сравнении потерь, вызванных ошибками распознавания при прекращении процедуры, и ожидаемых потерь после следующего измерения плюс затраты на это измерение. Такая задача решается методом динамического программирования, если последовательные измерения статистически независимы. Более подробные сведения об оптимизации байесовской последовательной процедуры можно почерпнуть в рекомендованной литературе .
Пусть параметрическое семейство F есть семейство абсолютно непрерывных распределений, и распределениепри гипотезе H j , задается плотностью распределения вероятностейj=0,1. Пусть при любом значении x, принадлежащем множеству возможных значений наблюдаемой случайной величины, выполняется условие:, j=0,1 . Рассмотрим статистику
Будем строить критерий, основанный на статистике l(X) , называемой статистикой отношения правдоподобия .
Cтатистика l(X) может принимать значения
Где x i ? R 1 , i=1,...,n.
Из вероятностного смысла плотности распределения естественно ожидать, что большие значения статистики l(X) скорее всего будут свидетельствовать против основной гипотезы H 0 . Поэтому критическую область естественно задать в виде больших значений статистики l(X):
Где?- вероятность ошибки 1-го рода.
Обозначим через вероятность. Покажем, что с ростом аргументафункцияможет только убывать, при этом. Действительно
Из полученного соотношения (1) следует, что, поэтому, когда.
Чтобы критерий имел заданную вероятность ошибки 1-го рода?, граничная постояннаядолжна удовлетворять условию:
Если существует такое значение =, при котором, то критерий, задаваемый граничной константой, имеет заданную вероятность ошибки 1-го рода. Построенный критерий однозначно определяет вероятность ошибки второго рода?:
Имеет место следующее утверждение.
Лемма Неймана-Пирсона. Среди всех критериев уровня значимости?
для проверки двух простых параметрических гипотез H 0 и H 1
критерий Неймана-Пирсона, задаваемый критической областью
где граничная константа определяется из соотношения (2),
является наиболее мощным.
Доказательство.
Пусть - произвольный критерий уровня значимости?для проверки простых гипотез H 0 и H 1 , отличный от. Его мощность при альтернативе равна
Для критерия Неймана-Пирсона мощность при альтернативе равна
По определению множества вне этого множества (первый интеграл в соотношении (3))
а для элементов множества (второй интеграл в соотношении (3))
Поэтому из соотношения (3) получаем, что
Oба критерия иимеют один и тот же уровень значимости?,
. (Они оба равны?)
Это значит, что оба интеграла в соотношении (4) отличаются от?
на одну и ту же величину
следовательно, они равны, поэтому для любого критерия уровня значимости?, отличного от критерия Неймана-Пирсона, имеет место неравенство
а это означает, что критерий Неймана-Пирсона является наиболее мощным критерием.
Последствия ошибок первого и второго рода часто оказываются соверенно различными. Например, проверяется наличие у человека некоторого опасного заболевания. Неправильное заключение о наличии на самом деле не существующего заболевания приводит к необходимости применения вредных для больного лекарств. С другой стороны, неудача в попытке обнаружить имеющееся заболевание может привести к трагическим последствиям.
Другое обстоятельство, которое часто влияет на выбор уровня значимости - это наше отношение к гипотезе до проведения эксперимента. Если мы твердо верим в истинность гипотезы, то потребуются убедительные свидетельства против неё для того, чтобы мы отказались от своей уверенности. Соответственно уровень значимости будет выбран весьма малым, так как низкий уровень значимости приводит к тому, что гипотеза отвергается при таких комбинациях результатов наблюдений, вероятность которых мала, то есть появление этих результатов крайне неправдоподобно при справедливости проверяемой гипотезы. Заметим, что задача выбора значения уровня значимости критерия?- это не математическая задача.
