Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Определение 1.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Определение 2.

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 - четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными.

Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.

Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.

В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как ; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f ) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f (х ) – чётная или нечётная, то её область определения D(f ) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f (– х ).

3. Сравнить f (– х ).и f (х ):

• если f (– х ).= f (х ), то функция чётная;
• если f (– х ).= – f (х ), то функция нечётная;
• если f (– х ) ≠ f (х ) и f (– х ) ≠ –f (х ), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у = .

Решение.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у =,

у = f (х ), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f (х ) = , у = f (х),

1) D(f ) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

а); б) у = х· (5 – х 2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х 2 · (2х – х 3), б) у =

3. На рис. построен график у = f (х ), для всех х , удовлетворяющих условию х ? 0.
Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – чётная функция.

3. На рис. построен график у = f (х ), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х ) = х (х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х ) = при х = 3.

7. Подведение итогов

Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной x {\displaystyle x} и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной y {\displaystyle y} . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции.

• В функцию подставьте положительные числовые значения x {\displaystyle x} и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция . Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x} :
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3} (1 , 3) {\displaystyle (1,3)} .
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (2 , 9) {\displaystyle (2,9)} .
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3} . Получили точку с координатами (− 1 , 3) {\displaystyle (-1,3)} .
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (− 2 , 9) {\displaystyle (-2,9)} .

Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.

• Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} , совпадает со значением y {\displaystyle y} , которое соответствует значению − x {\displaystyle -x} , функция является четной. В нашем примере с функцией f (x) = 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} мы получили следующие координаты точек:
  • (1,3) и (-1,3)
  • (2,9) и (-2,9)
• Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.

Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.

• Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} , значения y {\displaystyle y} будут различаться по знаку. Например, дана функция f (x) = x 3 + x {\displaystyle f(x)=x^{3}+x} . Подставьте в нее несколько значений x {\displaystyle x} :
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2} . Получили точку с координатами (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2}
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10} . Получили точку с координатами (-2,-10).
• Таким образом, f(x) = -f(-x), то есть функция нечетная.

Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция .

• В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} :
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 {\displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4} . Получили точку с координатами (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2} . Получили точку с координатами (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10} . Получили точку с координатами (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2} . Получили точку с координатами (2,-2).
• Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения y {\displaystyle y} для противоположных значений x {\displaystyle x} не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
• Обратите внимание, что функцию f (x) = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} можно записать так: f (x) = (x + 1) 2 {\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.