Произведением двух событий и называют событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, появление герба в трех одновременных бросках монеты.

Условная вероятность

Условной вероятностью называют вероятность наступления события, вычисленную в предположении, что событие уже наступило:

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых.

Искомая условная вероятность

Условная вероятность события при условии, что событие уже наступило, по определению, равна

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство. По определению условной вероятности,

Замечание. . Событие равносильно событию. Следовательно,

и. (***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились(в случае появления трех событий:

Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй и третий шары. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие), при втором - черный (событие) и при третьем - синий (событие).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная при предположении, что в первом испытании появился белый шар (условная вероятность)

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором - черный (условная вероятность)

Искомая вероятность

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В . Для обозначения такой условной вероятности используются символы: р А (В ) или р (В / А ).

Замечание 2 . В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.

Пример . В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.

Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р (А ) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р (В )=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р (В ) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А ) или синий (событие ). Тогда в первом случае р А (В ) = 2 / 4, а во втором (В ) = 3 / 4.

Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

р (А ∙ В ) = р (А ) ∙ р А (В ) . (1.7)

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n 1 – число исходов, благоприятствующих событию А , которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара (выборка S = 3). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).

Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:

Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А 1 – первый извлечённый шар красный, А 2 – второй извлечённый шар красный, А 3 – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А 1 ∙ (А 2 / А 1) ∙ А 3 / (А 1 ∙ А 2), т.е.

Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа ” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?

Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:

р (В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.

Определение. Событие В называется независимым от события А , если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми (зависимыми), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/ A ) = р (В ) или = р (В ), а для зависимых событий р (В/ A )

Определение. Произведением или пересечением событий А и В называют событие, состоящее в одновременном наступлении событий и А, и В. Обозначение произведения: АВ или А В.

Пример . Двукратное попадание в цель есть произведение двух событий. Ответ на оба вопроса билета на экзамене есть произведение двух событий.

События А и В называют несовместными , если их произведение – событие невозможное, т.е. АВ = V.

События А – выпадение герба и В – выпадение цифры при однократном бросании монеты наступить одновременно не могут, их произведение событие невозможное, события А и В несовместные.

Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию.

Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация произведения(а) и суммы(б) двух совместных событий

Пусть событие А – множество точек области А; событие В – множество точек области В. Заштрихованная область соответствует событию АВ на рис.6.4,а; событию на рис.6.4,б.

Для несовместных событий А и В имеем: АВ=V (рис.6.5,а). Событию А+В соответствует заштрихованная область на рис.6.5,б.

Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация произведения(а) и суммы(б) двух несовместных событий

События и называют противоположными , если они несовместны и в сумме составляют достоверное событие, т.е.

Например, произведем один выстрел по цели: событие – стрелок попал в цель, не попал; подброшена монета: событие – выпадение орла, − выпадение цифры; школьники пишут контрольную работу: событие – ни одной ошибки в контрольной работе, − есть ошибки в контрольной работе; студент пришел сдавать зачет: событие А − сдал зачет, − не сдал зачет.

В классе есть мальчики и девочки, отличники, хорошисты и троечники, изучающие английский и немецкий язык. Пусть событие M – мальчик, О – отличник, А – изучающий английский язык. Может ли случайно вышедший из класса ученик быть и мальчиком, и отличником, и изучающим английский язык? Это и будет произведение или пересечение событий МОА.

Пример . Бросают игральный кубик – куб, сделанный из однородного материала, грани которого занумерованы. Наблюдают за числом (числом очков), выпадающим на верхней грани. Пусть событие А – появление нечетного числа, событие В – появление числа, кратного трем. Найти исходы, составляющие каждое из событий: U, А, А+В, АВ и указать их смысл.

Решение . Исход – появление на верхней грани любого из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Множество всех исходов составляет пространство элементарных событий Ясно, что событие , событие

Событие − появление либо нечетного числа, либо числа, кратного трем. При перечислении исходов учтено, что каждый исход в множестве может содержаться только один раз.

Событие − появление и нечетного числа и числа, кратного трем.

Пример. Проверено домашнее задание у трех студентов. Пусть событие − выполнение задания -м студентом, Каков смысл событий: и ?

Решение. Событие − выполнение задания хотя бы одним студентом, т.е. или любым одним студентом (или первым, или вторым, или третьим), или любыми двумя, или всеми тремя.

Событие − задание не выполнено ни одним студентом: ни первым, ни вторым, ни третьим. Событие − выполнение задания тремя студентами: и первым, и вторым, и третьим.

При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называется зависимым от события В. Два события А и В называются независимыми , если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого, зависимыми – в противном случае. События называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы друг от друга.

Теорема. (Умножения вероятностей ) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А·В)=Р(А)·Р(В)

Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.

Пример . Студент сдает три экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго 0,65, третьего – 0,35. Найти вероятность того, что он не сдаст хотя бы один экзамен.

Решение : Обозначим А – событие студент не сдал хотя бы один экзамен. Тогда Р(А) = 1- Р(ùА), где ùА – противоположное событие студент сдал все экзамены. Поскольку сдача каждого экзамена не зависит от других экзаменов, то Р(А)=1-Р(ùА)= 1- 0,9*0,65*0,35=0,7953.

Определение . Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А при условии появления В и обозначается Р В (А) или Р(А/В).

Теорема Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)

Пример . Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?

Решение : Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда А·В – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):

Р(А·В) = Р(А)·РА(В) = (4/34)*(30/33)= 20/187

Заметим, что полученная в решении вероятность ≈0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!

Теорема . (Расширенная теорема сложения ) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения):

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В).

Пример . Два студента решают задачу. Вероятность того, что первый студент решит задачу (событие А), равна 0,9; вероятность того, что второй студент решит задачу (событие В), равна 0,8. Какова вероятность того, что задача будет решена?

При отыскании вероятностей событий использовалось классическое определение вероятности.

Часто бывает так, что вероятность некото-рого события можно найти, зная вероятности других событий, связанных с этим со-бытием.

Теорема сложения вероятностей.

?Теорема 2.6. (Теорема сложения вероятностей ). Вероят-ность суммы (объедине-ния; появления одного из них, безраз-лично какого) двух произвольных событий равна сумме вероят-ностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появле-ния, т.е. P (A +B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ).

Следствие 1. Вероятность суммы (объединения) попарно не-совместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. P (A 1 +A 2 +...+A n ) = = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n ).

Следствие 2. Пусть A 1 , A 2 , ... , A n - полная группа попарно несовместных собы-тий. Тогда P (A 1)+P (A 2)+ ... +P (A n ) = 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных собы-тий равна единице, т.е. P (A ) + P (`A ) = 1.

Пример 2.10. В урне 5 белых, 6 черных и 9 красных шаров. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый шар окажется черным или красным?

Решение. Здесь имеется всего 20 элементарных исходов, из кото-рых появлению черного шара бла-гоприятствует 6, а появлению крас-ного - 9. Поэтому вероятность со-бытия A - появление черного шара: P (A ) = 6/20, а вероятность события B - появление красного шара: P (A ) = 9/20. Поскольку собы-тия A и B несовме-стны (вынимается всего один шар), то P (A +B ) = P (A ) + P (B ) = 6/20 + 9/20 = 0,75. Ответ : 0,75.

? Условная вероятность события B (P A (B)) - вероятность события B, вычислен-ная при условии, что событие A уже про-изошло . Если A и B - независимые события, то P A (B ) = P (B ), P B (A ) = P (A ).

Теорема умножения вероятностей.

?Теорема 2.7. (Теорема умножения вероятностей ). Вероят-ность произведения (пе-ресечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при усло-вии, что первое собы-тие уже наступило, т.е. P (AB ) = P (A )·P A (B ) = P (B )·P B (A ).

Пример 2.11. На полке стоят 11 научно-популярных книг и 5 ху-дожественных. Какова вероят-ность того, что две подряд наугад взятые книги окажутся художественными?

Решение. Рассмотрим два события B 1 и B 2: B 1 - при первом испы-та-нии взята художественная книга, B 2 - при втором испытании взята ху-дожественная книга. По теореме 2.7 вероятность такого собы-тия равна P (B 1 B 2)=P (B 1)·P B 1 (B 2). Вероятность события B 1 P (B 1) = 5/16. По-сле первого испытания на полке останется 15 книг, из которых 4 ху-доже-ственные, по-этому условная веро-ятность P B 1 (B 2) = 4/15. Отсюда искомая вероятность равна: P (B 1 B 2) = . Ответ : 1/12.

Следствие 1. Вероятность совместного появления несколь-ких событий равна про-изведению вероятности одного из них на условные вероят-ности всех остальных, при-чем вероятность ка-ждого последующего события вычис-ляют при условии, что все предыдущие события уже наступили, т.е. P (A 1 ·A 2 ·...·A n ) = P (A 1)·P A 1 (A 2) P A 1A 2 (A 3). · ... ·P A 1 A 2… An -1 (A n ).

Пример 2.12. Из десяти карточек составлено слово «МАТЕМА-ТИКА». Из них школьник нау-дачу выбирает поочередно четыре кар-точки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что по-лучится слово «ТЕМА»?

Решение. Введем события A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , состоящие в том, что пер-вая выбранная буква - Т, вторая - Е, тре-тья - М и четвертая - А. Нам нужно найти вероят-ность произведения этих событий. По след-ствию 1 из тео-ремы 2.7 имеем:

P (A 1 ·A 2 ·A 3 ·A 4) = P (A 1)·P A 1 (A 2)·P A 1A 2 (A 3)·P A 1A 2A 3 (A 4) = Ответ : 1/420.

Следствие 2. Если A 1 ,A 2 ,...,A n - независимые события, то ве-роятность их произве-дения (совместного появления) равна про-изведению вероятностей этих собы-тий, т.е. P (A 1 ·A 2 · ... ·A n ) = P (A 1)·P (A 2)· ... ·P (A n ).

Пример 2.13. Два стрелка независимо один от другого де-лают по одному выстрелу по од-ной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком - 0,7, вторым - 0,8. Какова вероят-ность того, что ми-шень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил пер-вый стрелок, а событие В - в том, что ми-шень поразил второй стрелок. По условию Р (А ) = 0,7 и Р (В ) =0,8.

1-й способ . Рассмотрим противоположные события:`A - промах первого стрелка,`B - промах вто-рого. По следствию 3 из тео-ремы 2.6 получаем Р (`A ) = 1-0,7 = 0,3 и Р (`B ) = 1-0,8 = 0,2. Произведение собы-тий `A ·`B означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи собы-тия А и В являются незави-симыми, поэтому и противоположные со-бытия`A и`B также будут независимыми. По следствию 2 из теоремы 2.7 получаем вероят-ность того, что оба стрелка промахнутся: Р(`А·`В) = 0,3·0,2 = 0,06. Нас же интересу-ет вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. По-этому искомую вероят-ность мы находим по следствию 3 из теоремы 2.6: 1 - 0,06 = 0,94.

2-й способ . Искомая событие (мишень будет поражена хотя бы од-ним стрелком) есть сумма собы-тий A и B . По теореме 2.6. P (A +B ) = P (A ) + P (B ) - P (AB ) = 0,7 + 0,8 - 0,7·0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94. Ответ : 0,94.

Пример 2.14 . В студенческой группе 25 человек. Какова вероят-ность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадают?

Решение . Вероятность того, что дни рождения у двух произвольно взятых людей совпадают, равна 1/365 (считаем, что попадания дня рождения на любой день в году - равновозможные случаи). Тогда ве-роятность того, что дни рожде-ния двух людей не совпадают, т.е. веро-ятно-сть противопо-ложного события равна 1-1/365 = 364/365. Вероят-ность того, что день рожде-ния третьего отличается от дней рождения двух предыдущих, составит 363/365 (363 случая из 365 благо-приятст-вуют этому событию). Рассуждая аналогично, находим, что для 25-го члена группы эта веро-ятность равна 341/365. Далее найдем вероят-ность того, что дни рождения всех 25 членов группы не совпадают. По-скольку все эти события (несовпадение дня рождения каждого оче-редного члена группы с днями ро-ждения преды-дущих) независимы, то по следствию 2 из теоремы 2.7 получаем:

P (A 2 A 3 ... A 25) = · · ... · » 0,43.

Это вероятность того, что дни рождения у всех 25 человек не сов-падают. Ве-роятность противопо-ложного события будет вероятностью того, что хотя бы у двоих дни рождения совпадают, т.е. иско-мой веро-ятностью P » 1-0,43 = 0,57. Ответ : » 0,57.

Формула полной вероятно-сти.

?Теорема 2.8. Пусть B 1 , B 2 , …, B n - полная группа попарно не-совместных событий. Ве-роятность события A , которое может наступить лишь при условии наступления од-ного из событий B 1 , B 2 , …, B n , равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собы-тия A , т.е.

P(A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + … + P (B n )·P Bn (A ).

Эта формула называется формулой полной вероятно-сти . События B 1 , B 2 , …, B n , удовлетворяющие условию теоремы 2.8, называют гипотезами .

Пример 2.15. Турист равновероятно выбирает один из трех маршру-тов: конный, водный и горный. Вероятность, что он успешно преодолеет путь при выборе конного способа передвижения, равна 0,75, при выборе водного пути - 0,8, при выборе горного маршрута - 0,55. Найдите вероятность, что турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута.

Решение . Введем события: A - «Турист успешно преодолеет весь путь при любом выборе маршрута», B 1 , B 2 , B 3 - выбран соответственно, конный, водный и горный маршрут. Поскольку выбор маршрута равновероятен, то вероятно-сти выбора каждого маршрута P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3. По условию P B 1 (A ) = 0,75; P B 2 (A ) = 0,8; P B 3 (A ) = 0,55. Тогда по формуле полной вероятности: P (A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + P (B 3)·P B 3 (A ) = (1/3)·0,75 + (1/3) ·0,8 + (1/3)0,55 = 0,7.

Ответ : 0,7.

?Теорема 2.9. Условная вероятность любой гипотезы B i (i = 1, 2, … ,n ) вычисляется по формуле Бейеса :

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как ста-но-вится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A .

Пример 2.16. Имеется три набора микросхем, первый из которых содержит 100, второй 300 и тре-тий 600 микросхем. Вероятность того, что микросхема, взятая наугад из первого набора, исправна, равна 0,9, а для второго и третьего наборов - соответственно 0,85 и 0,8. Какова вероятность того, что: а) произвольно взятая микросхема исправна: б) исправная микросхема извлечена из второго на-бора?

Решение . а) В данном случае имеется три гипотезы, вероятности которых P (B 1) = 0,1, P (B 2) = 0,3, P (B 3) = 0,6. Пользуясь формулой полной вероятности, находим P (A ) = P (B 1)·P B 1 (A ) + P (B 2)·P B 2 (A ) + P (B 3)·P B 3 (A ) = 0,1·0,9 + 0,3·0,85 + 0,6·0,8 = 0,825.

б) Допустим, что искомое событие A произошло - извлечена ис-правная микросхема. Найдем ве-ро-ятность P A (B 2) того, что эта микро-схема извлечена из второго набора. Согласно формулы Бейеса,

Ответ : а) 0,825; б) 17/55.

Пример 2.17. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по ма-тематике, трое подготовились от-лично, четверо - хорошо, двое - удовлетворительно, а один совсем не готовился. В билетах 20 вопро-сов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 во-просов, хорошо - на 16 вопросов, удовлетворительно - на 10, и непод-готовившийся - на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 во-проса из 20. Ученик, приглашенный первым, ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

P A (B 1). По фор-муле Бейеса P A (B 1) = » 0,58.

Как видим, искомая вероятность сравнительно не велика, Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнитель-ных вопросов. Ответ : 0,58.