1.21. 3АТУХАЮЩИЕ, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический дек ремент затухания. Добротность колеба тельной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.
Механические затухающие колебания.
Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.
Силы, действующие на маятник :
Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.
Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:
Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:
ma = F упр. + F сопр.
Учитывая,
что
и
,
запишем второй закон Ньютона в виде:
. (21.1)
Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.
В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
.
(21.2)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:
.
Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:
,
.
Подставим выражения в дифференциальное уравнение:
Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:
.
Обозначим
величину
.
Решением
уравнения
являются
функции
,
.
Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:
Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2):
Частота затухающих колебаний :
(физический
смысл имеет только вещественный корень,
поэтому
).
Период затухающих колебаний :
(21.5)
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Для механической системы пружинного маятника имеем:
,
.
Амплитуда затухающих колебаний :
Для пружинного маятника .
Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2.
Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.
Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний
Характеристики затухающих колебаний.
1. Коэффициент затухания β .
Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:
Пусть за
время τ
амплитуда колебаний уменьшится в “e
” раз (“е” – основание натурального
логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны,
,
а с другой стороны, расписав амплитуды
А зат. (t)
и А зат. (t+τ),
имеем
.
Из этих соотношений следует βτ
= 1, отсюда
.
Промежуток времени τ , за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.
Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.
2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.
Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:
,
где А зат. (t) и А зат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).
3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:
.
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то
При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна
,
где N e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.
Так, добротность пружинного маятника - .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы - безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.
4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω 0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω зат. = 0, а Т зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.
При ω 0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими . Для пружинного маятника условие ω 0 = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:
.
Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени
Вынужденные колебания.
Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой
Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными .
Общие признаки вынужденных механических колебаний.
1. Рассмотрим
вынужденные механические колебаний
пружинного маятника, на который действует
внешняя (вынуждающая
)
периодическая сила
.
Силы, которые действуют на маятник,
однажды выведенный из положения
равновесия, развиваются в самой
колебательной системе. Это сила упругости
и
сила сопротивления
.
Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
(21.6)
Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
Обозначим (β – коэффициент затухания ), (ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:
(21.7)
Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений
.
–общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:
Где
.
Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.
Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .
Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:
где А ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ 0 –сдвиг фаз , т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А ампл. , и сдвиг фаз φ 0 зависят от параметров системы (β, ω 0) и от частоты вынуждающей силы Ω.
Период вынужденных колебаний равен (21.9)
График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.
Рис.21.3. График вынужденных колебаний
Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.
Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.
1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:
,
.
Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.
Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .
Рисунок 21.4.
, (21.10)
. (21.11)
Учитывая значение , ,, получим формулы для φ 0 и А ампл. механической системы:
,
.
2. Исследуем
зависимость амплитуды вынужденных
колебаний от частоты вынуждающей силы
и величины силы сопротивления в
колеблющейся механической системе, по
этим данным построим график
.
Результаты исследования отражены в
Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой
частоте вынуждающей силы
амплитуда
колебаний резко возрастает. И это
возрастание тем больше, чем меньше
коэффициент затухания β.
При
амплитуда
колебаний становится бесконечно большой
.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.
(21.12)
Кривые
на Рисунке 21.5 отражают зависимость
и
называются амплитудными
резонансными кривыми
.
Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Амплитуда резогансных колебаний примет вид:
Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями .
В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.
|
|
|
Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником. |
Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.
Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими .
Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими . При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения
где r– коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид:
или
(21)
где
- коэффициент затухания,
- собственная круговая частота свободных
колебаний при отсутствии сил трения.
Общим
решением уравнения (21) в случае малых
затуханий (
)
является:
Оно отличается от гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний:
(23)
является
убывающей функцией времени, а круговая
частота
связана с собственной частотой
и коэффициентом затухания
соотношением:
. (24)
Период затухающих колебаний равен:
. (25)
Зависимость смещения Х от tзатухающих колебаний представлена на рис.4.
C
тепень
убывания амплитуды определяется
коэффициентом затухания
.
За
время
амплитуда (23) уменьшается в е ≈ 2,72
раз. Это время
естественного затухания называютвременем релаксации
. Следовательно,
коэффициент затухания есть величина,
обратная времени релаксации:
.(26)
Скорость уменьшения амплитуды колебаний
характеризуется логарифмическим
декрементом затухания
.
ПустьА(t)
и А(t+T)
– амплитуды двух последовательных
колебаний, соответствующих моментам
времени, отличающимся на один период.
Тогда отношение:
(27)
называется декрементом затухания , который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения:
(28)
называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, N e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. за время релаксации.
Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Скорость
уменьшения энергии колебательной
системы характеризуется добротностью
Q.Добротность колебательной системы
- величина, пропорциональная отношению
полной энергии Е(t)
колебательной системы к энергии (-
Е),
теряемой за период Т:
(29)
Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид:
(30)
Так
как энергия пропорциональна квадрату
амплитуды, энергия затухающих колебаний
уменьшается пропорционально величине
,
можно написать:
.
(31)
Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид:
Здесь учтено, что при малых затуханиях (1): 1-е -2 2.
Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за время релаксации.
Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q~ 10 2 , а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигаетQ~ 10 8 .
В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω 0 период становится бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении β период Т становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай движения изображен на рис.5. Критическое затухание (успокоение) происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах, например, в баллистических гальванометрах.
В
ЫНУЖДЕННЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
И РЕЗОНАНС
Если
на тело с массой m
действуют упругая сила F у
= -kX,
сила трения
и
внешняя периодическая сила
,
то оно совершает вынужденные колебания.
В этом случае дифференциальное уравнение
движения имеет вид:
где
,
-
коэффициент затухания,
- собственная частота свободных
незатухающих колебаний тела,F 0
– амплитуда, ω – частота периодической
силы.
В
начальный момент времени работа внешней
силы превосходит энергию, которая
расходуется на трение (рис. 6). Энергия
и амплитуда колебаний тела будет
возрастать до тех пор, пока вся сообщаемая
внешней силой энергия не будет целиком
расходоваться на преодоление трения,
которое пропорционально скорости.
Поэтому устанавливается равновесие,
при котором сумма кинетической и
потенциальной энергии оказывается
постоянной. Это условие характеризует
стационарное состояние системы.
В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:
X
= AСos(ωt
+ φ). (34)
В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза вынужденных колебаний зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:
, (35)
. (36)
Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис.7, 8).
Характерной
особенностью вынужденных колебаний
является наличие резонанса. Явление
резкого возрастания амплитуды вынужденных
колебаний при приближении частоты
вынуждающей силы к собственной частоте
свободных незатухающих колебаний тела
ω 0 носит названиемеханического
резонанса
. Амплитуда колебаний
тела при резонансной частоте
достигает
максимального значения:
(37)
По
поводу резонансных кривых (см. рис. 7)
сделаем следующие замечания. Если ω→
0, то все кривые (см. также (35)) приходят
к одному и тому же, отличному от нуля,
предельному значению
,
так называемомустатистическому
отклонению
.
Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически
стремятся к нулю.
При условии малого затухания (β 2 ‹‹ω 0 2) резонансная амплитуда (см.(37))
(37а)
При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению:
из
которого видно, что относительное
увеличение амплитуды колебаний при
резонансе определяется добротностью
колебательной системы. Здесь добротность
является, по сути, коэффициентом усиления
отклика
системы
и при малом затухании может достигать
больших значений.
Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, в акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс можетпривести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.
СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Источником внешней периодической силы может служить вторая колебательная система, упруго связанная с первой. Обе колебательные системы могут действовать одна на другую. Так, например, случай двух связанных маятников (рис. 9).
Система
может совершать как синфазные (рис. 9б),
так и противофазные (рис. 9с) колебания.
Такие колебания называются нормальным
типом или нормальной модой колебаний
и характеризуются своей собственной
нормальной частотой. При синфазных
колебаниях смещения маятников во все
моменты времени Х 1
= Х 2 ,
а частота ω 1
точно такая же, как частота отдельно
взятого маятника
.
Это объясняется тем, что легкая пружина
находится в свободном состоянии и не
оказывает никакого влияния на движение.
При противофазных колебаниях во все
моменты времени – Х 1
= Х 2 .
Частота таких колебаний больше и равна
,
так как пружина, обладающая жесткостьюk
и осуществляющая связь, все время
находится то в растянутом, то в сжатом
состоянии.
Л
юбое
состояние нашей связанной системы, в
том числе и начальное смещение Х (рис.
9а), можно представить в виде суперпозиции
двух нормальных мод:
Если
привести систему в движение из начального
состояния Х 1
= 0,
,
Х 2
= 2А,
,
то смещения маятников будут описываться выражениями:
На
рис. 10 представлено изменение смещения
отдельных маятников во времени.
Частота колебаний маятников равна средней частоте двух нормальных мод:
, (39)
а их амплитуда изменяется по закону синуса или конуса с меньшей частотой, равной половине разности частоты нормальных мод:
. (40)
Медленное
изменение амплитуды с частотой, равной
половине разности частот нормальных
мод, называется “
биениями
”
двух колебаний с почти одинаковыми
частотами. Частота “биений” равна
разности ω 1
–ω 2
частот, (а не половине этой разности),
поскольку максимум амплитуды 2А
достигается дважды за период,
соответствующий частоте
Отсюда период биений оказывается равным:
(41)
При биениях между маятниками происходит обмен энергией. Однако полный обмен энергией возможен только тогда, когда обе массы одинаковы и отношение (ω 1 +ω 2 / ω 1 -ω 2) равно целому числу. Необходимо отметить один важный момент: хотя отдельные маятники могут обмениваться энергией, обмен энергией между нормальными модами отсутствует.
Наличие таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию, составляют основу волнового движения.
Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, увлекает за собой и приводит в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Благодаря наличию упругих связей между частицами колебания распространяются с характерной для данной среды скоростью по всей среде.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной .
Различают два основных типа волн: продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, а в поперечных – перпендикулярно к направлению распространения волны. Не во всякой упругой среде возможно распространение поперечной волны. Поперечная упругая волна возможна лишь в таких средах, в которых имеет место упругая деформация сдвига. Например, в газах и жидкостях распространяются только продольные упругие волны (звук).
Геометрическое место точек среды, до которых к данному моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны . Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникали. В зависимости от формы фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические и т.д.
Уравнение
плоской волны, распространяющейся без
потерь в однородной среде, имеет
вид: 
, (42)
где
ξ(Х,t)
– смещение частиц среды с координатой
Х от положения равновесия в момент
времени t,
А – амплитуда,
- фаза волны,
- круговая частота колебания частиц
среды,v
– скорость распространения волны.
Длиной волны λ называется расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2π, другими словами, длиной волны называется путь, проходимый любой фазой волны за один период колебаний:
фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы:
λ
/ Т (44)
Волновое число – число длин волн, укладывающихся на длине 2π единиц:
k = ω / v = 2π / λ. (45)
Подставляя эти обозначения в (42), уравнение плоской бегущей монохроматической волны можно представить в виде:
(46)
Отметим, что уравнение волны (46) обнаруживает двойную периодичность по координате и времени. Действительно, фазы колебаний совпадают при изменении координаты на λ и при изменении времени на период Т. Поэтому изобразить графически волну на плоскости нельзя. Часто фиксируют время t и на графике представляют зависимость смещения ξ от координаты Х, т.е. мгновенное распределение смещений частиц среды вдоль направления распространения волны (рис.11). Разность фаз Δφ колебаний точек среды зависит от расстояния ΔХ =Х 2 – Х 1 между этими точками:
(47)
Если волна распространяется противоположно направлению Х, то уравнение обратной волны запишется в виде:
ξ (Х,t) = АСos(ωt + kX). (48)
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ – это результат особого вида интерференции волн. Они образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.
Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях, имеют вид:
ξ 1 =АСos(ωt – kX)
ξ 2 = AСos(ωt + kX). (49)
Складывая эти уравнения по формуле суммы косинусов и учитывая, что k = 2π / λ, получим уравнение стоячей волны:
. (50)
Множитель
Сos
ωt
показывает, что в точках среды возникает
колебание той же частоты ω
с амплитудой
,
зависящей от координаты Х рассматриваемой
точки. В точках среды, где:
, (51)
амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями .
Из
выражения (51) можно найти координаты
пучностей: 
(52)
В
точках, где 
(53)
амплитуда колебаний обращается в нуль.
Эти точки называютсяузлами
.
Координаты
узлов: 
. (54)
Р
асстояния
между соседними пучностями и соседними
узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние
между узлом и соседней пучностью равно
λ / 4. При переходе через узел множитель
меняет знак, поэтому фазы колебаний по
разные стороны от узла отличаются на
π, т.е. точки, лежащие по разные стороны
от узла, колеблются в противофазе. Точки,
заключенные между двумя соседними
узлами, колеблются с разными амплитудами,
но с одинаковыми фазами.
Распределение
узлов и пучностей в стоячей волне зависит
от условий, имеющих место на границе
раздела двух сред, от которой происходит
отражение. Если отражение волны происходит
от среды более плотной, то фаза колебаний
в месте отражения волны меняется на
противоположную или, как говорят,
теряется половина волны. Поэтому, в
результате сложения колебаний
противоположных направлений смещение
на границе равно нулю, т.е. имеет место
узел (рис. 12).
При отражении волны от границы менее
плотной среды фаза колебаний в месте
отражения остается без изменения и у
границы складываются колебания с
одинаковыми фазами – получается
пучность.
В стоячей волне нет перемещения фаз, нет распространения волны, нет переноса энергии, с чем и связано название такого типа волн.
Уменьшение энергии колебательной системы приводит к постепенному уменьшению амплитуды колебаний, ибо
В этом случае говорят, что колебания затухают .
Аналогичная ситуация складывается в колебательном контуре. Реальная катушка, входящая в состав контура, всегда обладает активным сопротивлением . При протекании тока на активном сопротивлении катушки будет выделяться джоулево тепло . Энергия контура при этом будет уменьшаться, что будет приводить к уменьшению амплитуды колебаний заряда, напряжения и силы тока.
Наша задача – выяснить по какому закону происходит уменьшение амплитуды колебаний, по какому закону изменяется сама колеблющаяся величина, с какой частотой происходят затухающие колебания, как долго колебания «затухают».
§1 Затухание колебаний в системах с вязким трением
Рассмотрим колебательную систему, в которой действует сила вязкого трения. Примером такой колебательной системы может служить математический маятник, совершающий колебания в воздушной среде.
В этом случае при выведении системы из положения равновесия на
маятник будут действовать две силы: квазиупругая сила и сила сопротивления (сила вязкого трения).
Второй закон Ньютона запишется следующим образом:
(1)
Мы знаем, что при малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна скорости движения:
Учтем, что проекция скорости есть первая производная от координаты тела, а проекция ускорения – вторая производная от координаты:
Тогда уравнение (2) примет вид:
получим уравнение движения в следующем виде:
(3)
где d - коэффициент затухания, он зависит от коэффициента трения r,
w 0 - циклическая частота идеальных колебаний (в отсутствие трения).
Прежде чем решать уравнение (3), рассмотрим колебательный контур. Активное сопротивление катушки включено последовательно с емкостью С и индуктивностью L.
Запишем второй закон Кирхгофа
Учтем, что , 
, .
Тогда второй закон Кирхгофа примет вид:
Разделим обе части уравнения на :
Введем обозначения
Окончательно получаем
Обратите внимание на математическую тождественность дифференциальных уравнений (3) и (3’). В этом нет ничего удивительного. Мы уже показывали абсолютную математическую тождественность процесса колебания маятника и электромагнитных колебаний в контуре. Очевидно, процессы затухания колебаний в контуре и в системах с вязким трением тоже происходят одинаково.
Решив уравнение (3), мы получим ответы на все поставленные выше вопросы.
Решение этого уравнения нам известно
Тогда для искомого уравнения (3) получаем окончательный результат
Нетрудно видеть, что заряд конденсатора в реальном колебательном контуре будет изменяться по закону
Анализ полученного результата:
1 В результате совместного действия квазиупругой силы и силы сопротивления система может совершать колебательное движение. Для этого должно выполняться условие w 0 2 - d 2 > 0. Иными словами, трение в системе должно быть невелико.
2 Частота затухающих колебаний w не совпадает с частотой колебаний системы в отсутствие трения w 2 = w 0 2 - d 2 < w 0 2 . С течение времени частота затухающих колебаний остается неизменной.
Если коэффициент затухания d мал, то частота затухающих колебаний близка к собственной частоте w 0 .
Это убывание амплитуды происходит по экспоненциальному закону.
4 Если w 0 2 - d 2 < 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида
(4)
где 
.
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция (4) действительно является решением уравнения (3). Очевидно, что сумма двух экспоненциальных функций не является периодической функцией. С физической точки зрения это означает, что колебания в системе не возникнут. После выведения системы из положения равновесия она будет медленно в него возвращаться. Такой процесс называется апериодическим
.
§2 Как быстро затухают колебания в системах с вязким трением?
Декремент затухания
значение величины . Видно, что величина d характеризует быстроту затухания колебаний. По этой причине d называют коэффициентом затухания.
Для электрических колебаний в контуре коэффициент затухания зависит от параметров катушки: чем больше активное сопротивление катушки, тем быстрее убывают амплитуды заряда на конденсаторе, напряжения, силы тока.
Функция является произведением убывающей показательной функции и гармонической функции , поэтому функция не является гармонической.
Но обладает определенной степенью «повторяемости», заключающейся в том, что максимумы, минимумы, нули функции наступают через равные промежутки времени. График функции представляет собой синусоиду, ограниченную двумя экспонентами.
 |
Найдем отношение двух последовательных амплитуд, разделенных промежутком времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания
Обратите внимание, что результат не зависит от того, какие два последовательных периода вы рассматриваете – в начале колебательного движения или по прошествии какого-то времени. За каждый период амплитуда колебаний меняется не на одинаковую величину, а в одинаковое количество раз !!
Нетрудно видеть, что за любые разные промежутки времени амплитуда затухающих колебаний уменьшается в одинаковое количество раз.
Время релаксации
Временем релаксации называется время , за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз:
Тогда 
.
Отсюда нетрудно установить физический смысл коэффициента затухания:
Таким образом, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации . Пусть, например, в колебательном контуре коэффициент затухания равен . Это значит, что через время с амплитуда колебаний уменьшится в е раз.
Логарифмический декремент затухания
Часто быстроту затухания колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания. Для этого берут натуральный логарифм от отношения амплитуд, разделенных промежутком времени в период.
 |
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
Пусть N – число колебаний, совершаемых системой за время релаксации, то есть число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Очевидно, .
Видно, что логарифмический декремент затухания - есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшается в е раз.
Допустим, , это значит, что по прошествии 100 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.
Добротность колебательной системы
Кроме логарифмического декремента затухания и времени релаксации, быстроту затухания колебаний можно характеризовать такой величиной, как добротность колебательной системы . Под добротностью
Можно показать, что для слабо затухающих колебаний
Энергия колебательной системы в произвольный момент времени равна . Потери энергии за период можно найти как разность энергии в момент времени и энергии через время, равное периоду:
Тогда
Показательную функцию можно разложить в ряд 
при << 1. после подстановки получаем .
При выводе нами было наложено ограничение << 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.
Формулы, полученные нами для добротности системы, пока ни о чем не говорят. Допустим, расчеты дают значение добротности Q = 10. Что это означает? Как быстро затухают колебания? Это хорошо или плохо?
 |
Обычно условно считают, что колебания практически прекратились, если их энергия уменьшилась в 100 раз (амплитуда – в 10). Выясним, какое количество колебаний совершила система к этому моменту:
Можем ответить на поставленный ранее вопрос: N = 8.
Какая колебательная система лучше – с большой или малой добротностью? Ответ на этот вопрос зависит от того, что вы хотите получить от колебательной системы.
Если вы желаете, чтобы система совершила как можно больше колебаний до остановки, добротность системы нужно увеличивать. Как? Поскольку добротность определяется параметрами самой колебательной системы, то необходимо правильно эти параметры подобрать.
Например, маятник Фуко, установленный в Исаакиевском соборе, должен был совершать слабо затухающие колебания. Тогда
Самый простой способ увеличить добротность маятника – сделать его тяжелее.
В практике нередко возникают и обратные задачи: необходимо по возможности быстрее погасить возникшие колебания (например, колебание стрелки измерительного прибора, колебания кузова автомобиля, колебания судна и т.д.) приспособления, позволяющие увеличить затухание в системе, называются демпферами (или амортизаторами). Например, амортизатор автомобиля в первом приближении представляет собой цилиндр, заполненный маслом (вязкой жидкостью), в котором может двигаться поршень, имеющий ряд мелких отверстий. Шток поршня соединен с кузовом, а цилиндр – с осью колеса. Возникшие колебания кузова быстро затухают, так как движущийся поршень встречает на своем пути большое сопротивление со стороны вязкой жидкости, заполняющей цилиндр.
§ 3 Затухание колебаний в системах с сухим трением
Принципиально иначе происходит затухание колебаний, если в системе действует сила трения скольжения. Именно она является причиной остановки пружинного маятника, совершающего колебания вдоль какой-либо поверхности.
 |
Допустим, пружинный маятник, расположенный на горизонтальной поверхности, привели в колебательное движение, сжав пружину и отпустив груз, то есть из крайнего положения. В процессе движения груза из одного крайнего положения в другое на него действуют сила тяжести и сила реакции опоры (по вертикали), сила упругости и сила трения скольжения (вдоль поверхности).
Заметим, что в процессе движения слева направо сила трения неизменна по направлению и модулю.
Этот позволяет утверждать, что в течение первой половины периода пружинный маятник находится в постоянном силовом поле.
Смещение положения равновесия можно рассчитать из условия равенства равнодействующей нулю в положении равновесия:
 |
Важно, что в течение первой половины периода колебания маятника гармонические !
При движении в обратном направлении – справа налево- сила трения изменит направление, но в течение всего перехода будет оставаться постоянной по модулю и направлению. Эта ситуация опять таки соответствует колебаниям маятника в постоянном силовом поле. Только теперь это поле другое! Оно изменило направление. Следовательно, положение равновесия при движении справа налево тоже изменилось. Теперь оно сместилось вправо на величину Dl 0 .
Изобразим зависимость координаты тела от времени. Поскольку за каждую половину периода движение представляет собой гармоническое колебание, то график будет представлять собой половинки синусоид, каждая из которых построена относительно своего положения равновесия. Мы будем производить операцию «сшивания решений».
Покажем, как это делается на конкретном примере.
Пусть масса груза, прикрепленного к пружине, равна 200 г, жесткость пружины 20 Н/м, коэффициент трения между грузом и поверхностью стола 0,1. Маятник привели в колебательное движение, растянув пружину на
 |
6,5 см.
В отличие от колебательных систем с вязким трением в системах с сухим трением амплитуда колебаний убывает с течением времени по линейному закону – за каждый период она уменьшается на две ширины зоны застоя.
Другая отличительная особенность - колебания в системах с сухим трением даже теоретически не могут происходить бесконечно долго. Они прекращаются, как только тело останавливается в «зоне застоя».
§4 Примеры решения задач
Задача 1 Характер изменения амплитуды затухающих колебаний в системах с вязким трением
Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t 1 = 5 мин уменьшилась в 2 раза. За какое время t 2 амплитуда колебаний уменьшится в 8 раз? Через какое время t 3 можно считать, что колебания маятника прекратились?
Решение:
Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением време-
ни уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.
1 Запишем закон изменения амплитуда два раза
2 Решаем уравнения совместно. Логарифмируем каждое уравнение и получаем
Делим второе уравнение не первое и находим время t 2
4
После преобразований получаем
Делим последнее уравнение на уравнение (*)
Задача 2 Период затухающих колебаний в системах с вязким трением
Определите период затухающих колебаний системы Т, если период собственных колебаний Т 0 = 1 с, а логарифмический декремент затухания . Сколько колебаний совершит эта система до полной остановки?
Решение:
1 Период затухающих колебаний в системе с вязким трением больше периода собственных колебаний (при отсутствии трения в системе). Частота затухающих колебаний, наоборот, меньше частоты собственных и равна 
, где - коэффициент затухания.
2 Выразим циклическую частоту через период. и учтем, что логарифмический декремент затухания равен :
3 После преобразований получаем 
.
Энергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника
После преобразований получаем
5 Выражаем коэффициент затухания через логарифмический декремент , получаем
Число колебаний, которое совершит система до остановки, равно 
Задача 3 Число колебаний, совершаемых маятником до уменьшения амплитуды в два раза
Логарифмический декремент затухания маятника равен q = 3×10 -3 . Определите число полных колебаний, которое должен совершить маятник, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в 2 раза.
Решение:
3 Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем
Находим число колебаний 
Задача 4 Добротность колебательной системы
Определите добротность маятника, если за время, в течение которого было совершено 10 колебаний, амплитуда уменьшилась в 2 раза. Через какое время маятник остановится?
Решение:
1 Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением времени уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.
Поскольку амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, получаем
2 Время колебаний можно представить как произведение периода колебаний на их количество :
Подставляем полученное значение времени в выражение (*)
3 Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем Логарифмический декремент затухания равен
4 Добротность колебательной системы
Энергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника
После преобразований получаем
Находим время, через которое колебания прекратятся 
.
Задача 5 Колебания магнита
Вася Лисичкин, известный на всю школу экспериментатор, решил заставить колебаться магнитную фигурку любимого литературного героя Колобка по стенке холодильника. Он прикрепил фигурку к пружине жесткостью k = 10 H/м, растянул ее на 10 см и отпустил. Сколько колебаний совершит Колобок, если масса фигурки m = 10 г, коэффициент трения между фигуркой и стенкой равен μ = 0,4 , а оторвать ее от стенки можно силой F = 0,5 Н.
Решение:
1 При движении из крайнего нижнего в крайнее верхнее положение, когда скорость груза направлена вверх, сила трения скольжения направлена вниз и численно равна 
. Таким образом, пружинный маятник находится в постоянном силовом поле, созданном силами тяжести и трения. В постоянном силовом поле у маятника смещается положения равновесия:
где - растяжение пружины в новом «положении равновесия».
2 При движении из крайнего верхнего в крайнее нижнее положение, когда скорость груза направлена вниз, сила трения скольжения направлена вверх и численно равна 
. Таким образом, пружинный маятник опять-таки находится в постоянном силовом поле, созданном силами тяжести и трения. В постоянном силовом поле у маятника смещается положения равновесия:
где - деформация пружины в новом «положении равновесия», знак «-» говорит, что в этом положении пружина сжата.
3 Зона застоя ограничена деформациями пружины от - 1 см до 3 см и составляет 4 см. Середина зоны застоя, в которой деформация пружины равна 1 см, соответствует положению груза, в котором сила трения отсутствует. В зоне застоя сила упругости пружины по модулю меньше равнодействующей максимальной силы трения покоя и силы тяжести. Если маятник останавливается в зоне застоя, колебания прекращаются.
4 За каждый период деформация пружины уменьшается на две ширины зоны застоя, т.е. на 8 см. После одного колебания деформация пружины станет равной 10 см – 8 см = 2 см. Это означает, что после одного колебания фигурка Колобка попадает в зону застоя и ее колебания прекращаются.
§5 Задания для самостоятельного решения
Тест «Затухающие колебания»
1 Под затуханием колебаний понимают…
А) уменьшение частоты колебаний; Б) уменьшение периода колебаний;
В) уменьшение амплитуды колебаний; Г) уменьшение фазы колебаний.
2 Причина затухания свободных колебаний –
А) действие на систему случайных факторов, тормозящих колебания;
Б) действие периодически изменяющейся внешней силы;
В) наличие в системе силы трения;
Г) постепенное уменьшение квазиупругой силы, стремящейся вернуть маятник в положение равновесия.
?А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см;
Г) Ответ дать не возможно, поскольку неизвестно время .
6 Два одинаковых маятника, находясь в разных вязких средах, совершают колебания. Амплитуда этих колебаний меняется с течением времени так, как показано на рисунке. В какой среде трение больше?
7 Два маятника, находясь в одинаковых средах, совершают колебания. Амплитуда этих колебаний меняется с течением времени так, как показано на рисунке. Какой маятник имеет большую массу?
В) Ответ дать невозможно, поскольку по осям координат не проставлен масштаб и выполнить расчеты нельзя.
8 На каком рисунке правильно показана зависимость координаты затухающих колебаний в системе с вязким трением от времени?
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) Все графики верные.
9 Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими затухание колебаний в системах с вязким трением, и их определением и физическим смыслом. Заполните таблицу
А) Это отношение амплитуд колебаний через время, равное периоду;
Б) Это натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний через время, равное периоду;
В) Это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз;
Г) 
Д) 
Е) 
Ж) Эта величина обратна числу колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз;
З) Эта величина показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний.
10 Составьте правильное утверждение.
Под добротностью понимают…
А) увеличенное в 2p раз отношение полной энергии системы E к энергии W , рассеянной за период;
Б) отношение амплитуд через промежуток времени, равный периоду;
В) количество колебаний, которое совершает система к тому моменту, когда амплитуда уменьшится в е раз.
Добротность рассчитывают по формуле…
А) Б) В)
Добротность колебательной системы зависит от…
А) энергии системы;
Б) потерь энергии за период;
В) параметров колебательной системы и трения в ней.
Чем больше добротность колебательной системы, тем …
А) медленнее затухают колебания;
Б) быстрее затухают колебания.
11 Математический маятник приводят в колебательное движение, отклонив подвес от положения равновесия в первом случае на 15°, во втором – на 10°. В каком случае маятник совершит больше колебаний до остановки?
А) Когда подвес отклонили на 15°;
Б) Когда подвес отклонили на 10°;
В) В обоих случаях маятник совершит одинаковое число колебаний.
12 К двум нитям одинаковой длины прикрепили шарики одинакового радиуса – алюминиевый и медный. Маятники приводят в колебательное движение, отклонив их на одинаковые углы. Какой из маятников совершит большее количество колебаний до остановки?
А) Алюминиевый; Б) Медный;
В) Оба маятника совершат одинаковое количество колебаний.
13 Пружинный маятник, расположенный на горизонтальной поверхности, привели в колебания, растянув пружину на 9 см. После совершения трех полных колебаний маятник оказался на расстоянии 6 см от положения недеформированной пружины. На каком расстоянии от положения недеформированной пружины окажется маятник после следующих трех колебаний?
А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см.
Затухающие колебания
Затухающие колебания пружинного маятника
Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.
В акустике: затухание - уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
Затухающие колебания пружинного маятника
Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m . Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).
Корни которого вычисляются по следующей формуле
Решения
В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.
- Апериодичность
Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:
В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.
- Граница апериодичности
Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:
В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом - экспоненциальное затухание.
- Слабое затухание
Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня
Тогда решением исходного дифференциального уравнения является
Где - собственная частота затухающих колебаний.
Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий:
См. также
- Декремент затухания
Литература
Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Затухающие колебания" в других словарях:
Затухающие колебания - Затухающие колебания. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, амплитуда которых A уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии: превращения энергии колебаний в тепло в результате трения в механических системах (например, в точке подвеса… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp (?t) (? показатель затухания из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Большой Энциклопедический словарь
Колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается, напр. колебания маятника, испытывающего сопротивление воздуха и трение в подвесе. Все свободные колебания, происходящие в природе, являются в большей или меньшей мере З. К. Электрические З. К.… … Морской словарь
затухающие колебания - Механические колебания с уменьшающимися во времени значениями размаха обобщенной координаты или ее производной по времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … Справочник технического переводчика
Затухающие колебания - (ВИБРАЦИЯ) колебания (вибрация) с уменьшающимися значениями размаха … Российская энциклопедия по охране труда
Собственные колебания системы, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = А0ехр(?α t) (α показатель затухания) из–за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Энциклопедический словарь
Затухающие колебания - 31. Затухающие колебания Колебания с уменьшающимися значениями размаха Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Собственные колебания системы, амплитуда А к рых убывает со временем t по закону экспоненты A(t) = = Аоехр(at) (a показатель затухания) из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механич. 3. к. и омическому сопротивлению для эл … Естествознание. Энциклопедический словарь
затухающие колебания - silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas
затухающие колебания - slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; dying oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas
