Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

1. Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковые знаменатели, то этот шаг алгоритма опускают.
2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 1. Выполнить действия:

а) ; б) ; в) .

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в уроке "Основное свойство алгебраической дроби". Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме - это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.
Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.

Для дробей и общим знаменатель есть число 15 - оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).

Для дробей и общим знаменателем является одночлен . Он делится и на и на , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 - наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби - с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей и общим знаменателем служит произведение - оно делится и на знаменатель и на знаменатель.
При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.
Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Разложить все знаменатели на множители (числовые коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены).

Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге.

Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель (степень переменной, двучлен, трехчлен) имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся.

Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель.

Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей и общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен . Дело в том, что и 30, и 60, и можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей и общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена , может быть и и . Чем же одночлен лучше, чем , чем ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм - это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби и , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным множителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби - число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей и является одночлен . Дополнительный множитель для первой дроби равен (поскольку ), для второй дроби он равен 2 (поскольку ). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

.

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Разложить все знаменатели на множители.

Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.

Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.

Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.
Имеем

Первый знаменатель берем целиком, а из второго - добавляем множитель , которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель .

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Знаменатели	Общий знаменатель	Дополнительные множители

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.
В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3. Упростить выражение

Решение. Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители и (или ), из третьего - недостающий множитель (поскольку третий знаменатель содержит множитель ).

Знаменатели	Общий знаменатель	Дополнительные множители

Обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а », значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные .

Вычитание алгебраических дробей

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с », значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d) » числитель второй дроби «(a − b) ». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок .

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю .

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a » и «3 » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15 » и «3 » — это «15 ».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a » и «5 » есть только
   один одночлен — «а ».
3. Перемножим НОК из п.1 «15 » и одночлен «а » из п.2. У нас получится «15a ». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a »?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a », значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3 », чтобы получить «15a »?» Ответ — на «5a ».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a » и числитель, и знаменатель .

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики» .

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим знаменатели «(x − y) » и «(x + y) » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y) » и «(x + y) ». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y) » — общий знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения .

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p 2 − 36) ». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов .

После разложения многочлена «(p 2 − 36) » на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6) » видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6) ». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6) ».

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Пример 1. Выполнить действия:

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b 3 . Он делится и на 4b 2 и на 6b 3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей

общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4 . Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3 , чем 48а 2 b 4 ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3 . Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 2. Упростить выражение

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.

Имеем
4а 2 - 1 = (2а - 1) (2а + 1),
2а 2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель

a(2a - 1) (2a +1).

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.

В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3 . Упростить выражение

Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ;

2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а);

3) 6а 4 -6а 3 b = 6а 3 (а- b).

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3).

Алгебраические дроби

Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.

Второй этап.
Выполним преобразования:

Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).

Как выполнять сложение алгебраических (рациональных) дробей?

Чтобы сложить алгебраические дроби, нужно:

1) Найти наименьший этих дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби (для этого надо новый знаменатель разделить на старый).

3) Дополнительный множитель умножить на числитель и знаменатель.

4) Выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями

(чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же).

Примеры сложения алгебраических дробей.

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. В данном случае он равен ab.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый. ab:a=b, ab:(ab)=1.

В числителе есть общий множитель a. Выносим его за скобку и сокращаем дробь на a:

Знаменатели данных дробей — многочлены, поэтому их нужно их попытаться . В знаменателе первой дроби есть общий множитель x, во второй — 5. Выносим их за скобки:

Общий знаменатель состоит из всех входящих в знаменателе множителей и равен 5x(x-5).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый.

(Если не нравится деление, можно поступить иначе. Рассуждаем так: на что нужно умножить старый знаменатель, чтобы получить новый? Чтобы из x(x-5) получить 5x(x-5), надо первое выражение умножить на 5. Чтобы из 5(x-5) получить 5x(x-5), надо 1-е выражение умножить на x. Таким образом, дополнительный множитель к первой дроби равен 5, ко второй — x).

В числителе — полный квадрат разности. Сворачиваем его по формуле и сокращаем дробь на (x-5):

Знаменатель первой дроби — многочлен. На множители он не раскладывается, поэтому общий знаменатель данных дробей равен произведению знаменателей m(m+3):

Многочлены, стоящие в знаменателях дробей, . В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, в знаменателе второй дроби — 2:

В знаменателе первой дроби в скобках — разность квадратов.

Видеоурок «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями» является наглядным пособием, с помощью которого дается теоретический материал, подробно объясняются алгоритмы и особенности выполнения операций вычитания, сложения дробей, имеющих различные знаменатели. С помощью пособия учителю легче сформировать умение учеников выполнять операции с алгебраическими дробями. В ходе видеоурока рассматривается ряд примеров, решение которых описывается подробно, обращая внимание на важные детали.

Применение видеоурока на уроке математики дает возможность учителю быстрее достичь учебных целей, повысить эффективность обучения. Наглядность демонстрации помогает ученикам запомнить материал, более глубоко его освоить, поэтому видео может использоваться, сопровождая объяснение учителя. Если же данное видео используется как часть урока, то освобождается время учителя для усиления индивидуальной работы и использования других инструментов обучения для повышения эффективности обучения.

Демонстрация начинается с представления темы видеоурока. Отмечается, что выполнение операций вычитания, сложения алгебраических дробей аналогично выполнению операций с обыкновенными дробями. Напоминается механизм вычитания, сложения для обыкновенных дробей - приводятся дроби к общему знаменателю, после выполняются непосредственно сами операции.

Озвучивается и описывается на экране алгоритм вычитания, сложения алгебраических дробей. Он состоит из двух шагов - приведение дробей к одинаковым знаменателям и затем выполнение сложения (или вычитания) дробей с равными знаменателями. Применение алгоритма рассматривается на примере нахождения значений выражений a/4b 2 -a 2 /6b 3 , а также x/(х+у)-x/(х-у). Отмечается, что для решения первого примера необходимо привести обе дроби к одному знаменателю. Этим знаменателем будет 12b 3 . Приведение данных дробей к знаменателю 12b 3 подробно рассматривалось в прошлом видеоуроке. В результате преобразования получается две дроби с равными знаменателями 3ab/12b 3 и 2a 2 /12b 3 . Эти дроби складываются согласно правилу сложения дробей с равными знаменателями. После сложения числителей дробей в результате получается дробь (3ab+2a 2)/12b 3 . Далее описывается решение примера х/(x+у)-x/(х-у). После приведения дробей к одному знаменателю получаются дроби (х 2 -ху)/(х 2 -у 2) и (х 2 +ху)/(х 2 -у 2). Согласно правилу вычитания дробей с равными знаменателями, производим операцию с числителями, после чего получается дробь -2ху/(х 2 -у 2).

Отмечается, что самым трудным шагом в решении задач на сложение, вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, является приведение их к общему знаменателю. Делаются подсказки, как легче выработать навыки в решении этих задач. Разбирается общий знаменатель дроби. Он состоит из числового коэффициента с переменной, возведенной в степень. Видно, что выражение может делиться на знаменатели первой и второй дробей. При этом числовой коэффициент 12 является наименьшим общим кратным числовых коэффициентов дробей 4 и 6. А переменную b содержат оба знаменателя 4b 2 и 6b 3 . При этом в общем знаменателе содержится переменная в наибольшей степени среди знаменателей исходных дробей. Также рассматривается нахождение общего знаменателя для х/(x+у) и x/(х-у). Отмечается, что общий знаменатель (x+у)(x-у) делится на каждый знаменатель. Итак, решение задачи сводится к нахождению наименьшего общего кратного имеющихся числовых коэффициентов, а также нахождению высшего показателя степени для буквенной переменной, встречающейся несколько раз. Затем после сбора данных частей в общее произведение получается общий знаменатель.

Озвучивается и формулируется на экране алгоритм нахождения для нескольких дробей общего знаменателя. Этот алгоритм состоит из четырех этапов, в первом из которых знаменатели раскладываются на множители. На втором этапе алгоритма отыскивается наименьшее общее кратное имеющихся данных коэффициентов, входящих в состав знаменателей дробей. На третьем этапе составляется произведение, в состав которого входят буквенные множители разложений знаменателей, при этом буквенный показатель, присутствующий в нескольких знаменателях, выбирается в наибольшей степени. На четвертом этапе числовые и буквенные множители, найденные на предыдущих этапах, собираются в одно произведение. Это и будет общий знаменатель. К рассмотренному алгоритму делается замечание. В примере нахождения общего знаменателя дробей a/4b 2 и a 2 /6b 3 отмечается, что кроме 12b 3 есть и другие знаменатели 24b 3 и 48a 2 b 3 . И для каждого множества дробей можно найти много общих знаменателей. Однако знаменатель 12b 3 является наиболее простым и удобным, поэтому его называют также наименьшим общим знаменателем исходных дробей. Дополнительные множители представляют собой результат частного общего знаменателя и исходного знаменателя дроби. Подробно демонстрируется с помощью анимации, как числитель, знаменатель дробей умножается на дополнительный множитель.

Дальше предлагается рассмотреть алгоритм приведения к общему знаменателю алгебраических дробей в более простой форме, чтобы он был более понятным для учеников. Он также состоит из четырех этапов, в первом из которых разложение знаменателей на множители. Затем предлагается из первого знаменателя выписать все множители, из остальных знаменателей произведение дополнить недостающими множителями. Таким образом находится общий знаменатель. Находятся дополнительные множители к каждой дроби из тех множителей знаменателя, что не попали в общий знаменатель. Четвертым шагом является определение для каждой дроби нового числителя, являющегося произведением старого числителя и дополнительного множителя. Потом каждая дробь записывается с новым числителем и знаменателем.

В следующем примере описывается упрощение выражения 3а/(4а 2 -1)-(а+1)/(2а 2 +а). На первом этапе решения знаменатели каждой дроби раскладывается на множители. Для произведений общим множителем является (2а+1). Дополнив произведение оставшимися множителями (2а-1) и а, получается общий знаменатель вида а(2а-1)(2а+1). Строится вспомогательная таблица, в которой указываются общий знаменатель, знаменатели, дополнительные множители. На втором этапе решения каждый числитель умножается на дополнительный множитель, выполняется вычитание. В результате получается дробь (а 2 -а+1)/а(2а-1)(2а+1).

В примере 3 рассматривается упрощение выражения b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Решение также разбирается по этапам, обращается внимание на существенные особенности выполнения операций, подробно описывается приведение дробей к общему знаменателю, выполнение операций с числителем. В результате вычислений и после преобразования получается дробь (2а 3 +6а 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 .

Видеоурок «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями» может послужить средством повышения эффективности урока математики по данной теме. Пособие пригодится учителю, осуществляющему дистанционное обучение, для наглядного представления учебного материала. Ученикам видеоурок может быть рекомендованным для самостоятельного обучения, так как в нем подробно и понятно объясняются особенности выполнения изучаемых операций.