Введение
Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка
где - комплексное переменное,
Параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.
Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.
Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.
Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
2) теплопроводность в цилиндрических объектах;
3) формы колебания тонкой круглой мембраны;
4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.
Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.
1) Изучить уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.
2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.
3) Решить дифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.
Функции Бесселя с целым положительным значком
Для рассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций, достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, который соответствует случаю, когда параметр в уравнении (1) равен нулю или целому положительному числу.
Исследование данного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся к произвольным значениям, и может служить хорошим введением в эту общую теорию.
Покажем, что одним из решений уравнения
0, 1, 2, …, (1.1)
является функция Бесселя первого рода порядка, которая для любых значений определяется как сумма ряда
При помощи признака Даламбера легко убедиться, что рассматриваемый ряд сходится на всей плоскости комплексного переменного и, следовательно, представляет целую функцию от.
Если обозначить левую часть уравнения (1.1) через и ввести сокращенную запись коэффициентов ряда (1.2), положив
то в результате подстановки получим
откуда следует так как выражение в фигурных скобках равно нулю. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию.
Простейшими функциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя порядка нуль и единица:
Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Для доказательства предположим, что а -- целое положительное число, умножим ряд (1.2) на и продифференцируем по. Мы получим тогда
Аналогичным образом, умножая ряд на находим
Выполнив дифференцирование в равенствах (1.4 - 1.1) и разделив на множитель, приходим к формулам:
откуда непосредственно следует:
Полученные формулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя.
Первое из соотношений дает возможность выразить функцию произвольного порядка через функции порядков нуль и единица, что существенным образом сокращает работу по составлению таблиц функций Бесселя.
Второе соотношение позволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя. Для это соотношение должно быть заменено формулой
непосредственно вытекающей из определения данных функций.
Функции Бесселя первого рода просто связаны с коэффициентами разложения функции в ряд Лорана ):
Коэффициенты этого разложения могут быть вычислены путем перемножения степенных рядов:
и объединения членов, содержащих одинаковые степени. Выполнив это, получим:
откуда следует, что рассматриваемое разложение может быть записано в виде
Функция называется производящей функцией для функций Бесселя с целым значком; найденное соотношение (1.12) играет важную роль в теории этих функций.
Для получения общего интеграла уравнения (1.1), дающего выражение произвольной цилиндрической функции с целым значком, необходимо построить второе решение уравнения, линейно независимое с. В качестве такого решения может быть взята функция Бесселя второго рода, исходя из определения которой нетрудно получить для аналитическое выражение в виде ряда
(- постоянная Эйлера) и, в случае, первую из сумм надлежит положить равной нулю.
Функция регулярна в плоскости с разрезом. Существенная особенность рассматриваемого решения состоит в том, что оно обращается в бесконечность, когда. Общее выражение цилиндрической функции для представляет линейную комбинацию построенных решений
где и - произвольные постоянные,
Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.
Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.
Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, называется уравнением Бесселя . Число \(v\) называется порядком уравнения Бесселя .
Данное дифференциальное уравнение было названо в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя , который подробно исследовал его и показал (в \(1824\) году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя .
Конкретное представление общего решения зависит от числа \(v.\) Далее мы отдельно рассмотрим два случая:
Порядок \(v\) является нецелым числом;
Порядок \(v\) является целым числом.
Случай 1. Порядок \(v\) является нецелым числом
Полагая, что число \(v\) является нецелым и положительным, общее решение уравнения Бесселя можно записать в виде \ где \({C_1},\) \({C_2}\) − произвольные постоянные, а \({J_v}\left(x \right),\) \({J_{ - v}}\left(x \right)\) − функции Бесселя первого рода .
Функцию Бесселя первого рода можно представить в виде ряда, члены которого выражаются через так называемую гамма-функцию : \[{J_v}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p + v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p + v}}} .\] Гамма-функция является расширением факториальной функции с множества целых на множество действительных чисел. В частности, она обладает следующими свойствами: \[ {\Gamma \left({p + 1} \right) = p!,}\;\; {\Gamma \left({p + v + 1} \right) = \left({v + 1} \right)\left({v + 2} \right) \cdots \left({v + p} \right)\Gamma \left({v + 1} \right).} \] Аналогичным образом записываются функции Бесселя первого рода отрицательного порядка (с индексом \(-v\)). Здесь мы предполагаем, что \(v > 0.\) \[{J_{ - v}}\left(x \right) = \sum\limits_{p = 0}^\infty {\frac{{{{\left({ - 1} \right)}^p}}}{{\Gamma \left({p + 1} \right)\Gamma \left({p - v + 1} \right)}}{{\left({\frac{x}{2}} \right)}^{2p - v}}} .\] Функции Бесселя вычисляются в большинстве математических пакетов. Для примера вид функций Бесселя первого рода порядка от \(v = 0\) до \(v = 4\) показан на рисунке \(1.\) Эти функции можно вычислить также и в MS Excel.
Случай 2. Порядок \(v\) является целым
Если порядок \(v\) дифференциального уравнения Бесселя является целым, то функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right)\) становятся зависимыми друг от друга. В этом случае общее решение уравнения будет описываться другой формулой: \ где \({Y_v}\left(x \right)\) − функция Бесселя второго рода . Иногда это семейство функций называют также функциями Неймана или функциями Вебера .
Функцию Бесселя второго рода \({Y_v}\left(x \right)\) можно выразить через функции Бесселя первого рода \({J_v}\left(x \right)\) и \({J_{ - v}}\left(x \right):\) \[{Y_v}\left(x \right) = \frac{{{J_v}\left(x \right)\cos \pi v - {J_{ - v}}\left(x \right)}}{{\sin \pi v}}.\] Графики функций \({Y_v}\left(x \right)\) для нескольких первых порядков \(v\) представлены выше на рисунке \(2.\)
Примечание : В действительности общее решение дифференциального уравнения Бесселя можно выразить через функции Бесселя первого и второго рода также и для случая нецелого порядка \(v.\)
Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
1. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя , которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой \(x\) на \(-ix.\) Это уравнение имеет вид: \[{x^2}y"" + xy" - \left({{x^2} + {v^2}} \right)y = 0.\] Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода : \[ {y\left(x \right) = {C_1}{J_v}\left({ - ix} \right) + {C_2}{Y_v}\left({ - ix} \right) } = {{C_1}{I_v}\left(x \right) + {C_2}{K_v}\left(x \right),} \] где \({I_v}\left(x \right)\) и \({K_v}\left(x \right)\) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.2.
Дифференциальное уравнение Эйри
, известное в астрономии и физике, записывается в виде:
\
Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка \(\pm \large\frac{1}{3}\normalsize:\)
\[
{y\left(x \right) }
= {{C_1}\sqrt x {J_{\large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right) + {C_2}\sqrt x {J_{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}\left({\frac{2}{3}i{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right).}
\]
3.
Дифференциальное уравнение вида
\[{x^2}y"" + xy" + \left({{a^2}{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\]
отличается от уравнения Бесселя лишь множителем \({a^2}\) перед \({x^2}\) и имеет общее решение в следующем виде:
\
4.
Похожее дифференциальное уравнение
\[{x^2}y"" + axy" + \left({{x^2} - {v^2}} \right)y = 0\]
также сводится к уравнению Бесселя
\[{x^2}z"" + xz" + \left({{x^2} - {n^2}} \right)z = 0\]
с помощью подстановки
\
Здесь параметр \({n^2}\) обозначает
\[{n^2} = {v^2} + \frac{1}{4}{\left({a - 1} \right)^2}.\]
В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой
\.\]
Специальные функции Бесселя широко используются в решении задач математической физики, например, при исследовании
распространения волн;
теплопроводности;
колебаний мембран
