Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform).

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.

Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s k = s(kDt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения s k:

s k = s(kDt) Û TZ = s k z k = S(z). (8.3.1)

где z = s+jw = r×exp(-jj) - произвольная комплексная переменная. Полином S(z) называют z-образом или z-изображением функции s(kDt). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек.

Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину z n означает задержку сигнала на n интервалов: z n S(z) Û s(k-n).

Свойства z-преобразования.

Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.

Линейность : Если S(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).

Y(z) = y(k)×z k = x(k-n)×z k =z n x(k-n)×z k - n = z n x(m)×z m = z n X(z).

Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель z n вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Для z-преобразования действительны все известные теоремы о спектрах. В частности, свертка двух сигналов отображается в z-области произведением их z-образов, и наоборот:

s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k)·h(k) Û S(z) * H(z).

При z = exp(-jwDt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kDt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента w).

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.3.1). Спектральной оси частот w на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.

Подстановка значения какой-либо частоты w в z = exp(-jwDt) отображается точкой на окружности. Частоте w = 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста w N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0).

Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни a i , и переписать полином в виде произведения двучленов:

S(z) = a 0 (z-a 1)(z-a 2)...,

где а 0 - последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемые z-преобразования, играющие по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.

Определение z-преобразования

Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:

Назовём эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности . Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа. В математике z-преобразование называют также производящей функцией исходной последовательности.

На основании формулы (1.46) можно непосредственно найти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчётов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует . Если же, например, , то

Сходимость ряда

Если в ряде (1.46) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию

при любых . Здесь и – постоянные вещественные числа.

Тогда ряд (1.46) сходится при всех значениях z, таких, что . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Рассмотрим, например, дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд

является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце . Суммируя прогрессию, получим:

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а – некоторое вещественное число. Здесь:

Данное выражение имеет смысл в некоторой кольцевой области .

Z-преобразование непрерывных функций

Полагая, что отсчёты есть значения непрерывной функции в точках , любому сигналу можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:

Например, если , то соответствующее z-преобразование

является аналитической функцией при .

Обратное z-преобразование

Пусть p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> – функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области . Замечательное свойство z-преобразования состоит в том, что функция определяет всю бесконечную совокупность отсчётов . Действительно, умножим обе части ряда (1.46) на множитель :

Затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы :

Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, против часовой стрелки.

Для решения уравнения (1.50) воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части выражения (1.50) обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m , поэтому

Формула (1.51) называется обратным z-преобразованием.

Пример

Задано z-преобразование вида . Найти коэффициенты дискретного сигнала , отвечающего этой функции.

Прежде всего, определим, что функция аналитична во всей плоскости, за исключением точки , поэтому она действительно может быть z-преобразованием некоторого дискретного сигнала.

Перед тем, как решать данную задачу, вспомним из курса высшей математики методику решения криволинейных интегралов с использованием теории вычетов и теоремы Коши о вычетах. Пусть точка есть изолированная особая точка функции . Вычетом функции в точке называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:

В качестве контура g можно взять окружность с центром в точке достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции

И не содержала внутри других особых точек функции . Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности точки : . Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Если точка есть полюс n -го порядка функции , то

В случае простого полюса ()

Если функция в окрестности точки представима как частное двух аналитических функций

причем , т.е. есть простой полюс функции , то

Обращаясь к формуле (1.48), находим, что

при любых idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид:

Связь с преобразованием Лапласа и Фурье

Определим при сигнал вида идеальной МИП:

Преобразовав его по Лапласу, получим изображение при любых постоянных a и b. Доказать данное свойство можно путём подстановки суммы в формулу (1.46). – последовательность чисел, общий член которой равен:

Подобную дискретную свёртку в отличие от круговой иногда называют линейной свёрткой.

Вычислим z-преобразование дискретной свёртки:

Свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение их z-преобразований.

Вернемся к формуле дискретного преобразования Фурье:

В теории дискретных систем принято использовать несколько иную форму записи, связанную с введением Z – преобразования. Сделаем такую подстановку:

.

Тогда вышеприведенная формула значительно упростится:

.

Вновь полученная функция X(z) переменной z называется Z – изображением или Z – образом дискретного сигнала x(k).

Z – преобразования для дискретных сигналов и систем играют ту же роль, что и преобразование Лапласа для аналоговых систем. Поэтому рассмотрим ряд примеров определения Z – изображений некоторых типичных дискретных сигналов.

1.Единичный импульс (рис. 9.14) является дискретным аналогом δ - импульса и представляет собой единичный отчет с единичным значением:

Z – преобразование единичного импульса находится как

как и для δ - импульса Дирака.

2. Дискретный единичный скачок (рис. 9.15) - это полный аналог функции включения Хевисайда:

Z – образ единичного скачка найдется как

Полученная сумма – это сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с начальным членом, равным 1, и знаменателем
. Сумма членов ряда составляет:

.

3. Дискретная экспонента (рис. 9.16) - это сигнал, определяемый выражением:

При
дискретная экспонента является убывающей (рис. 9.16), при
- возрастающей, при
- знакопеременной.Z – образ такой экспоненты

Как и в предыдущем случае, мы получили геометрическую прогрессию с нулевым членом, равным единице, но со знаменателем
. Бесконечная сумма членов прогрессии определяетZ – образ экспоненты:

4. Дискретная затухающая гармоника . В противоположность предыдущим примерам запишем ее в общем виде:

где α – коэффициент затухания гармоники,

ω – частота гармоники,

φ – начальная фаза колебаний,

- период дискретизации.

Введем следующие обозначения:

На рис.9.17 представлен график дискретной затухающей гармоники при следующих данных: а=0.9,
, φ=π/9. С учетом принятых обозначений выражение для дискретной затухающей гармоники можно представить в виде:

.

При получении Z – образа гармоники следует выразить функцию косинуса через сумму двух комплексных экспонент. Тогда, проделав целый ряд алгебраических и тригонометрических преобразований, в конце концов, можно будет получить следующее выражение:

.

Из приведенных примеров видно, что Z – образы большинства дискретных сигналов представляют собой дробно-рациональные функции от переменной
. ПроисхождениеZ – преобразования от преобразования Лапласа и Фурье приводит к тому, что Z – преобразование имеет и похожие свойства.

1. Линейность.

Z – преобразование линейно, так что если имеются два сигнала , то сумма этих сигналов
имеетZ – образ
.

2. Временная задержка дискретного сигнала .

Если дискретный сигнал x(k), имеющий Z – образ X(z), задержать на m шагов дискретизации
, то задержанный сигналy(k)=x(k-m) имеет Z – образ
. Выражение
можно рассматривать как оператор задержки сигнала на один шаг дискретизации.

3. Свертка дискретных сигналов .

По аналогии со сверткой аналоговых сигналов

,

Фурье – образ которой равен произведению Фурье – образов сворачиваемых сигналов, свертка двух дискретных сигналов определяется как

.

Z – образ свертки двух сигналов равен произведению Z – образов исходных дискретных сигналов

4. Умножение на дискретную экспоненту .

Если дискретный сигнал
, имеющийZ – образ
, умножается на экспоненту
, тоZ – образ произведения примет вид
.

Рассмотренные свойства Z – преобразования позволяют во многих случаях без особого труда найти Z – образ заданного сигнала или решить обратную задачу – по известному Z – образу сигнала найти его представление во времени.

Лекция 8. Цифровые САУ

Основные положения и определения

Система называется цифровой, если в контуре имеется хотя бы один импульсный элемент. На рисунке 8.1 приведена цифровая САУ на базе микроконтроллера, т.е. функции сумматора и регулятора реализуются программным путем в микроконтроллере, с выхода которого сигналы поступают на объект управления с известной ПФ.

Рисунок 8.1 – Структурная схема цифровой системы

Микроконтроллер приближенно можно описать ПФ запаздывающего звена

Рисунок 8.2 – Выходная характеристика запаздывающего звена

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) это модуляция, при которой амплитуда импульса модулированного сигнала У пропорциональна величине информационного сигнала Х, подаваемого на вход модулятора.

Рисунок 8.3 – Виды АИМ

Существует 2 вида АИМ: первого и второго рода. В АИМ 1-го рода амплитуда модулированного сигнала в течение длительности импульса τ повторяет информационный сигнал Х. При АИМ 2-го рода амплитуда импульса в течение длительности импульса τ постоянна. Например, в АЦП используется АИМ 2-го рода.

Рисунок 8.4 – Временная диаграмма работы АЦП

В АЦП преобразование происходит в 2 этапа: дискретизация по времени с периодом Т и квантование по уровню аналогового сигнала.

Поэтому блок АЦП можно представить в виде 2-х элементов: импульсного элемента, осуществляющего дискретизацию по времени и формирователя импульсов, выполняющий квантование по уровню (рисунок 8.5,а). Цифровая система (ЦС), содержащее АЦП, приведена на рисунке 8.5,б.

Рисунок 8.5 – Структурная схема ЦС с АЦП

При увеличении разрядности АЦП (числа квантований) ошибка между значением цифрового сигнала и аналогового уменьшается.

Таблица 8.1 - Относительные ошибки АЦП

Решетчатая функция. Например, .

Разностное уравнение 1-го порядка;

Разностное уравнение 2-го порядка;

Разностное уравнение k-го порядка.

Z-преобразование

Для описания ЦС используется z-преобразование. Для этого необходимо перейти из области t в область р, а затем в область Z.

Преобразование Лапласа имеет вид

.

Приближенно интеграл можно представить в виде суммы

.

Примем , тогда

или

. (8.1)

Пример 1. Найти z-изображение .

.

В правой части уравнения сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен

.

Таблица 8.2 – Примеры перехода из t в Z и P области

F(t)	Р-преобразование	Z-преобразование
1(t) t t 2 exp(-at)	1/р 1 /p 2 1 /p 3 1/(p+a)	z / z-1 Tz / (z-1) 2 T 2 z(z+1) /(z-1) 3 z/ (z-e -at)

Пример 2. Дана x(t) = 1(t). Требуется получить z-изображение другим способом.

Как и при первом способе, получим изображение единичной функции в виде ряда Тейлора

x(z) = 1 + z -1 + z -2 +…..+z - n .

Умножим на z -1 обе части уравнения

x(z) ∙ z -1 = z -1 + z -2 + z - n -1 ,

и вычтем из первого выражения x(z), полученное x(z) ∙ z -1 .

x(z) – x(z) ∙ z -1 = 1.

Пример 3. Дана функция x(t)= t ∙ 1(t). Получить z-изображение.

x(z) ∙ z -1 = Tz -2 + 2Tz -3 + …;

Теоремы Z- преобразования

1) Суммирование и вычитание. Если f 1 (t) и f 2 (t) имеют z-преобразование, то

2) Умножение на константу. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то

3) Сдвиг во временной области. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то

Пример 4. Найти z- преобразование единичной ступенчатой функции 1(t) при задержке ее на один период квантования Т.

4) Об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если f(t) имеет изображение f(z), то

5) Теорема о начальном значении. Если f(t) имеет z- преобразование F(z) и если существует предел , то

Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z = ∞.

6) Теорема о конечном значении. Если f(t) имеет z-преобразование F(z) и если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее, то

Пример 5. Найти конечное значение f(nT) для заданного z-преобразования

Приведем заданную функцию к виду

Определим корни знаменателя, т.е. определим полюса ПФ. Поскольку функция не имеет полюсов на единичной окружности, то

7) Теорема дифференцирования. Если z-преобразование функции f(t,a) есть F(z,a), где а – независимая переменная или константа, то

Пример 6. Определить z-преобразование функции f(t) = te -α t с помощью теоремы дифференцирования.

Обратное z- преобразование

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование для непрерывных функций является однозначным. Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(nT), который равен f(t) только в моменты t = nT.

Рисунок 8.6 иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/(z-1) и соответствует последовательности единичных импульсов. Обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единицы в моменты t=0,T,2T. Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений этого метода.

Ряд Фурье

Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье

где Асо - период дискретизации по частоте:

Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):

где: At - период дискретизации по времени:

х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):

к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.

На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:

Т Аса = Q At.

Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.

Z-преобразование и его свойства

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.

Пусть имеется некоторая числовая последовательность

Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.

Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же

то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.

Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование

являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем

На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.

Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим

Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что

Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем

Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.

Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).

Преобразование Лапласа от него имеет вид

Если формально положить z = ехр(/?Д),

то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.

Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение

будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.

• 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
• 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
• 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)

Контрольные вопросы

Записать преобразование Лапласа.

Записать преобразование Фурье.

Записать ряд Фурье.

Записать Z-преобразование.

Записать обратное Z-преобразование.

Записать свойства Z-преобразования.