Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод. Тригонометрические тождества

    Тригонометрические функции - Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

    Tan

    Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

    Косинус - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

    Котангенс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

    Секанс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

    История тригонометрии - Геодезические измерения (XVII век) … Википедия

    Формула тангенса половинного угла - В тригонометрии, формула тангенса половинного угла связывает тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла: Различные вариации этой формулы выглядят следующим образом … Википедия

    Тригонометрия - (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как… … Википедия

    Решение треугольников - (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Треугольник может располагаться на… … Википедия

Книги

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Пускай кому- то мил английский, Кому – то химия важна, Без математики же всем нам Но ни туда и ни сюда Нам уравнения, как поэмы А синусы поддерживают дух Нам косинусы, будто песни, А формулы тригонометрии Ласкают слух!

Тема урока: “ Основные тригонометрические тождества. Решение задач”. Знать: Уметь: Цель урока:

ЗНАЮ! УМЕЮ! РЕШУ! Я

Что называется единичной окружностью? х у α R

Какие направления поворота единичного радиуса известны? х у α R

В каких единицах измеряется угол поворота единичного радиуса? х у α R

Что такое угол в один радиан? Сколько приблизительно градусов содержит угол в 1 радиан? х у α R

Сформулируйте правила перевода из градусной меры угла в радианную меру и наоборот.

Сформулируйте правила перевода из градусной меры угла в радианную меру и наоборот. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Какие тригонометрические функции вы знаете?

Какие тригонометрические функции вы знаете? От чего зависит значение тригонометрических функций?

Углом какой четверти является угол α , если: α =15° α =190° α =100°

Углом какой четверти является угол α , если: α =-20° α =-110° α =289°

Работа в группах Правила работы в группе: Группа совместно обсуждает и решает, выдвигает идеи или опровергает их. Каждый член группы должен работать в полную меру своих сил. Во время работы с уважением относитесь к товарищам: принимая или отвергая идею, делайте это вежливо. Помните, что каждый имеет право на ошибку. Помните, что успех группы зависит от того, насколько каждый проявит свои достоинства.

Работа в группах

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Таблица значений тригонометрической функции

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 через K 8 L 9 через и M 10 через и N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критерии оценивания: 10 заданий – оценка « 5 » . 8-9 заданий – оценка « 4 » . 5-7 заданий – оценка « 3 » . 1-4 заданий – оценка « 2 » . Установить соответствие между левой и правой частью тождества.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 через A 8 K 9 через и H 10 через и D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критерии оценивания: 10 заданий – оценка « 5 » . 8-9 заданий – оценка « 4 » . 5-7 заданий – оценка « 3 » . 1-4 заданий – оценка « 2 » . Установить соответствие между левой и правой частью тождества.

Основное тригонометрическое тождество «тригонометрическая единица»

Основное тригонометрическое тождество «тригонометрическая единица» Косинус квадрат Очень рад. К нему едет брат Синус квадрат! Когда они встретятся Окружность удивиться: Выйдет целая семья, То есть единица!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) при α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4. 5. tg α∙ ctg α 6. (ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α и с т П к у 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Получите имя математика, в книге которого впервые встречается термин – «тригонометрия». 1 2 3 4 5 6 7 8 П и т и с к у с 2-2 cos(-60 0)

Питискус

Аль-Батуни Аль-Хорезми

Бхаскара Насиреддин Туси

Леонард Эйлер

По заданному значению тригонометрической функции найдите значение другой функции Четверть Дано: Найти: Решение: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

По заданному значению тригонометрической функции найдите значение другой функции Четверть Дано: Найти: Решение: I sinα= 0,6

По заданному значению тригонометрической функции найдите значение другой функции Четверть Дано: Найти: Решение: II cosα= sinα = =

По заданному значению тригонометрической функции найдите значение другой функции Четверть Дано: Найти: Решение: III tgα= ctgα ctgα = = =

По заданному значению тригонометрической функции найдите значение другой функции Четверть Дано: Найти: Решение: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

Применение тригонометрии в жизни человека.

Домашнее задание Сообщение: «Тригонометрия в жизни человека» № 304 с.111

y=sinx Спасибо за урок!

1 sin 240° 8 cos 290 ° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (-300 °) 14 tg Определите знак выражения - - - - - - + + + + + + + +


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

В презентации представлены решения ключевых задач школьного курса математики на нахождение всех видов расстояний и углов в пространстве по алгоритму, что позволяет использовать ее как при изучен...

Презентация к уроку:"Угол между плоскостями.Решение задачи различными методами"

Данная презентация может использоваться для наглядности на уроках повторения, для подготовки к ЕГЭ при решении задач типа С-2....


В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

СХОЖИЕ СТАТЬИ