Траектория движения искусственного спутника земли (ИСЗ) называется его орбитой.
Орбита – это плоская кривая 2 порядка (окружность или эллипс), в одной из фокусов которой находится центр масс, притягивающий тело. Движение спутника происходит в плоскости, сохраняющей свою пространственную ориентацию.
Две плоскости (плоскость орбиты, плоскость экватора), эллипс
G – действительный фокус, где находится центр масс (Земля).
G’ – мнимый фокус.
S – спутник (где-то на орбите)
r – радиус-вектор спутника (GS)
|r| - геоцентрическое расстояние (число)
Система координат X,Y,Z – это абсолютная (звездная) система координат – это декартова система координат, неподвижная относительно звезд.
Ось Z направлена вдоль оси вращения земли и указывает на север.
Плоскость OXY совпадает с плоскостью экватора.
П – перигей – ближайшая к притягивающему центру масс точка орбиты.
А – апогей – наиболее удаленная от притягивающего центра масс точка орбиты.
АП – это линия апсид – линия, проходящая через фокусы и соединяющая апогей и перигей
Угол v – это истинная аномалия – угол между линией апсид и радиус-вектором
ВН – это линия узлов – линия пересечения плоскости орбиты с плоскостью экватора.
В – восходящий узел орбиты – это точка, в которой орбита пересекает плоскость экватора в приближении спутника с юга на север
Н – нисходящий узел орбиты – это точка, в которой орбита пересекает плоскость экватора в приближении спутника с севера на юг.
i – наклонение орбиты – угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора.
omega – долгота восходящего узла – угол между положительным направлением абсциссы (осью x) и линией углов в сторону восходящего узла.
u – аргумент широты спутника – это угол между линией узлов и радиус-вектором
omegasmall – аргумент перигея – это угол между линией узлов и линией апсид направлении перигея.
O – делит апсид пополам, перпендикулярно ей к орбите – C.
AO = a – большая полуось эллипса.
CO = b – малая полуось эллипса.
e – эксцентриситет эллипса – показывает степень сжатия эллипса.
e=sqrt(1-(a2/b2)) – степень сжатия. 0=окружность.
T – период обращения – время между двумя последовательными прохождениями спутником одной и той же точки орбиты.
Виды орбит ИСЗ
1. Полярные орбиты, i~90o; такие спутники могут быть использованы для съемки любой точки планеты, но вывод спутника на такую орбиту сложен и очень затратен
2. Экваториальные орбиты i~0o; плоскости орбиты и экватора практически совпадают. Полюса и средние широты не снять.
3. Круговые орбиты. e=0. Одинаковая высота полета, будет один масштаб.
4. Стационарные орбиты. i~0, e=0; Экваториальная и круговая. Период обращения таких спутников равен периоду обращения земли. Неподвижен относительно поверхности земли.
5. Орбиты солнечно-синхронные. Им свойственно обеспечение одинаковой освещенности земной поверхности вдоль трассы полета космического аппарата. Параметры орбиты выбираются таким образом, чтобы плоскость орбиты поворачивалась вокруг земной оси, причем угол спутникового разворота по знаку и величине равен угловому перемещению земли вокруг солнца.
6. Незамкнутые, т.е. парабола или гипербола вместо эллипса. Используется для вывода космических аппаратов.
Виды изображений
Изображение – это функция двух переменных f(x,y), определенная в некоторой области C плоскости Oxy и имеющая известное множество своих значений.
Черно-белая фотография: f(x,y)>=0; 0<=x<=a; 0<=y<=b; где f(x,y) – яркость изображения в точке x,y; a – ширина кадра, b – высота.
С учетом особенностей функции f разделяют следующие классы изображений:
1. Полутоновые (серые) – Ч/Б (градации серого) фотография – множество значений функции в области C может быть дискретным f e {f0,f1,…,fn, n>1} либо непрерывным {0<=f<=fmax}. Цветные изображения относятся сюда же, т.к. несколько монохромных цветовых компонент задают цвет (аналоговые, цифровые)
2. Бинарные (двухуровневые) изображения. f e {0,1};
3. Линейные – изображение представляет собой одну кривую или их множество.
4. Точечные изображения – изображение представляет собой k точек с координатами (xi,yi), а яркость fi e ;
| 2 | | |
Гравитационная постоянная Земли и заданное значение большой полуоси =2.6560031*10^7 эллиптической орбиты в метрах определяют период обращения ИСЗ по орбите T в секундах (Т/3600 - в часах):
4.30778135*10^4.
Из равенства центростремительного ускорения ускорению силы тяготения легко получаются расчетные соотношения для основных параметров орбиты:
линейная скорость
Рассчитаем линейную скорость ИСЗ
3.873956985*10^3.
Максимальное расстояние прямой радиовидимости (между судном и ИСЗ вблизи линии горизонта) определяется по формуле
2.578457546*10^7 ,
где - радиус шаровой модели Земли.
Показать, что прямая радиовидимость одного ИСЗ имеет место с точек земной поверхности, образующих шаровой сегмент, максимальная геоцентрическая угловая ширина которого равна
Построение эскиза орбит и положения спутников
Эскиз соответствует картине расположения орбит, Земли и НИСЗ, видимой наблюдателем с "бесконечно" удаленной точки северного конца оси вращения Земли. Все НИСЗ и орбиты находятся на сфере радиуса а. На эскизе a=6-8см. Радиус Земли примерно в 4 раза меньше. Экваториальное сечение орбит и Земли - на рис.2. Нижний конец вертикальной прямой, проходящей через центр Земли пусть направлен на точку весеннего равноденствия (созвездие Овна). Нижняя точка пересечения этой вертикали и внешней окружности пусть представляет восходящий узел первой (нулевой) орбиты (тогда верхняя точка пересечения - нисходящий узел).
Для эскиза примем, что угол наклонения орбит (между плоскостью орбиты и экваториальной плоскостью) равен 60; тогда все кратчайшие расстояния от точек орбиты до оси узлов при проектировании на экваториальную плоскость "сократятся" вдвое, поскольку cos(60)=0.5.
Для определения проекции спутника, которому соответствует фаза u (угол между радиусами-векторами ИСЗ и восходящего угла), достаточно отложить с помощью транспортира этот угол на внешней окружности (в направлении движения ИСЗ) и из полученной точки опустить перпендикуляр на ось узлов; средняя точка этого перпендикуляра и есть искомая проекция. Задаваясь достаточным количеством точек, получим проекцию орбиты - эллипс, малая полуось которого вдвое меньше радиуса a круговой орбиты. В "Глонасс" и "Навстар" используется соответственно 3 и 6 орбит; угол между соседними восходящими углами соответственно 120 и 60.
Внешняя окружность делится на шесть одинаковых частей (в "Навстар" имеет место совмещение пар осей узлов).
В учебных примерах примем, что в "Глонасс" 24 ИСЗ, в "Навстар" 18 ИСЗ, соответственно по 8 и 3 на орбите. Номер орбиты соответствует номеру восходящего узла, отмечаемого против часовой стрелки. Если номера ИСЗ обозначить через "м" (причем соответственно 1м24 и 1м18), то номер орбиты равен наибольшему целому числу в частном от деления м-1 на соответственно 8 и 3.
Угловой промежуток между ИСЗ одинаков - соответственно 45 и 120 эскиз строится на момент, когда фаза первого ИСЗ на первой орбите равна н10. При переходе с орбиты на соседнюю орбиту вводится дополнительная фаза соответственно 15 и 40.На орбите положение ИСЗ можно указать крупной точкой, от которой проводится стрелка, соответствующая направлению движения. Возле этих точек указывается номер ИСЗ; номер подчеркивается, если ИСЗ находится над экваториальной плоскостью.
Законы Кеплера
Законы Кеплера - три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом /→ 0, где,,
Массы планеты и Солнца соответственно.
Первый закон Кеплера (закон эллипсов):
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При, и, следовательно, эллипс превращается в окружность.
Доказательство первого закона Кеплера
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму.
Вспомним, что в полярных координатах:
В координатной форме запишем:
Подставляя и во второе уравнение, получим
которое упрощается
После интегрирования запишем выражение
для некоторой константы, которая является удельным угловым моментом ().Пусть
Уравнение движения в направлении становится равным
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с
расстоянием как
где G - универсальная гравитационная константа и M - масса звезды.
В результате
Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:
для произвольных констант интегрирования e и θ0.
Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:
Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Второй закон Кеплера (закон площадей):
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Доказательство второго закона Кеплера
По определению угловой момент L точечной частицы с массой m и скоростью v записывается в виде:
где - радиус-вектор частицы аимпульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором r за времяdt из геометрических соображений равна
где представляет собой угол между направлениями r иv .
По определению
В результате мы имеем
Продифференцируем обе части уравнения по времени^
поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что L , а следовательно и
пропорциональная ей скорость заметания площади - константа.
Третий закон Кеплера (гармонический закон)^
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.
где T1 иT2 - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, аa1 иa2 - длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен - в действительности в него входит и масса планеты/
где M - масса Солнца, аm1 иm2 - массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Параметры орбиты в плоскости:
В небесной механике это траектория небесного тела в гравитационном поле другого тела, обладающего значительно большей массой (планеты, кометы, астероида в поле звезды). В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс, траектория может иметь форму конического сечения (окружности, эллипса, параболы или гиперболы). При этом его фокус совпадает с центром масс системы.
Кеплеровы орбиты
Долгое время считалось, что планеты должны иметь круговую орбиту. После долгих и безуспешных попыток подобрать круговую орбиту для Марса, Кеплер отверг данное утверждение и, впоследствии, используя данные измерений, сделанных Тихо Браге, сформулировал три закона (см. Законы Кеплера), описывающих орбитальное движение тел.
Кеплеровыми элементами орбиты являются:
фокальный параметр, большая полуось, радиус перицентра, радиус апоцентра - определяют размер орбиты,
эксцентриситет (е) - определяет форму орбиты,
наклонение орбиты (i),
долгота восходящего узла () - определяет положение плоскости орбиты небесного тела в пространстве,
аргумент перицентра () - задаёт ориентацию аппарата в плоскости орбиты (часто задают направление на перицентр),
момент прохождения небесного тела через перицентр (To) - задаёт привязку по времени.
Эти элементы однозначно определяют орбиту независимо от её формы (эллиптической, параболической или гиперболической). Основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, плоскость галактики, плоскость земного экватора и т. д. Тогда элементы орбиты задаются относительно выбранной плоскости.
