Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим учащимся, насколько вы сумеете организовать учебную деятельность школьников, способствующую их развитию. Первые задачи хороши для фронтальной работы с классом,. После работы с ними учащиеся выучиваются лучше различать прямую и обратную пропорциональность, испытывают меньше затруднений с задачами на простое тройное правило.
278 .* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой задачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания. Наводящие вопросы даны в разделе «Ответы и советы». Записав кратко условие задачи:
кур дней яиц
12 12 х,
в ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). В результате число яиц равно:
x = 3·4·4 = 48.
279 .* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?
280 .* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.
а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?
б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?
в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?
281 .* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?
б) 10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?
282 .* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?
283 .* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого . Некто имел 100 р . в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
284 .* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона . Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
285 .* Старинная задача . Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?
286 .* У хозяйки спросили:
Хорошо ли несутся Ваши куры?
Считайте сами, - был ответ, - полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.
Сколько яиц несут куры в день?
287 .* а) В первой бригаде землекопов 4 человека - они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек - они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?
б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?
288 .* Старинные задачи. а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?
б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?
Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.
289 .* Из «Арифметики» А.П. Киселева .
а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. Насколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?
290 .* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м , глубина 18 дм ?
Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении - в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.
Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.
96 26 40 12 20 12
х 39 80 10 10 18
Длина канала увеличится от
увеличения числа человек в 39 / 26 раза, х = 96 · 39 / 26
от увеличения числа дней в 80 / 40 раза х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40
и от уменьшения ширины в 20 / 10 раза; х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40 .
Длина канала уменьшится от
уменьшения числа часов в 12 / 10 раза и х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10
и от увеличения глубины в 18 / 12 раза: х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12 .
Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.
Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим учащимся.
Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой задачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания, записав кратко условие задачи:
Кур Дней Яиц
3 33
12 12 х
В ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 4 4 = 48.
2. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?
3. Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду четырех классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?
4. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
5. (Старинная задача.) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?
Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.
6. (Из «Арифметики» АЛ. Киселева.) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
7. (Старинная задача.) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?
Добро нести, добру учить,
Добиться цели через трудности
Любовью истине служить –
Я называю это мудростью.
А. В. Елисов.
Сдача выпускниками основной школы экзамена по математике в новой форме и выпускниками средней школы - в форме ЕГЭ поставила перед учителями ряд вопросов: Как обучать в новых условиях? Как организовать свой урок так, чтобы учащиеся после экзамена получали удовлетворение, а не говорили, что «мы таких задач не решали»? Очень актуальны слова Л.Г. Петерсон: «Сегодня ценность является не там, где мир воспринимается по схеме «знаю – не знаю, умею – не умею, владею – не владею», а где есть тезис «ищу и нахожу, думаю и узнаю, тренируюсь и делаю». На первый план выходит личность ученика, его отношение к миру, способность к культурному общению и рефлексии, адекватной самооценке и саморазвитию, нацеленность на созидание и добро».
Каким должен быть современный урок? Это прежде всего интересный урок. Лишь при этом можно поддерживать высокую мотивацию и эмоциональную окраску урока. Это и продуманная структура урока, и логика изучения нового материала, и разнообразие дидактического материала, и организация работы учащихся, и постоянные поиски форм и методов преподавания, и техническое оснащение урока.
С чего начинать? В начале каждого учебного года в 5-9 классах провожу входные мониторинговые контрольные работы для выявления остаточных знаний учащихся. По остаточным знаниям детей рассаживаю в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.
Чтобы достичь хороших результатов на каждом уроке провожу обязательный устный счет, обучающие самостоятельные работы, тесты. В 6 классе учащиеся должны хорошо усвоить тему с положительными и отрицательными числами, в 7- м – хорошо изучить формулы сокращенного умножения, в 8 –м- решение квадратных уравнений. Это глобальные темы, которые нельзя запускать. В 5-7 классах применяю рабочие тетради с тестовыми заданиями, а также сборники заданий с тестами. Знакомство учащихся с алгоритмами решения задач осуществляется на уроке – лекции. Ребята имеют отдельную тетрадь, в которую записывают предписания и образец выполнения задания. Дальнейшая отработка выполняется на практических занятиях при различных формах работы (фронтальной, групповой, индивидуальной). В целях оперативного контроля за усвоением алгоритма очень часто (каждый урок или через урок) провожу небольшие самостоятельные работы, цель которых – не выставление оценок, а выявление тех учащихся, которые что-то не поняли. Этим ребятам оказывается оперативная помощь консультантами или объясняю ещё раз, вызывая к доске. При организации работы в группах, часть учащихся получает задания, направленные на достижение обязательных результатов обучения, причём, некоторые имеют перед собой образец выполнения задания, а другие – только алгоритм, более сильные учащиеся получают задания на продвинутом уровне. На таком уроке моя работа сосредоточена на более слабых учениках, в сильной группе, как правило, всегда коллективными усилиями находят верное решение, самостоятельно применяя знания и приёмы деятельности в новой ситуации. Оценивая учащихся, не спешу выставлять оценки в журнал, всегда даю возможность получить более высокую отметку и обязательно поправить "двойку”, для этого ученик должен сделать работу над ошибками самостоятельно или с помощью консультантов (с моей помощью), а затем решить аналогичное задание на уроке.
Главное, что со временем ребята перестают бояться "двоек”, смелее задают вопросы, справляются с задачами обязательного уровня. Обстановка на уроке доброжелательная, спокойная.
Обучение алгоритмам даёт возможность достичь обязательного уровня обучения наиболее слабым учащимся и не может привести стандартизации мышления и подавлению творческих сил детей, так как выработка различных автоматизированных действий (навыков) – необходимый компонент творческого процесса, без них он просто невозможен.
Обучение алгоритмам не сводится к их заучиванию, оно предполагает и самостоятельное открытие, построение и формирование алгоритмов, а это и есть творческий процесс. Наконец, алгоритмизация охватывает далеко не весь учебный процесс, а лишь те его компоненты, где она является целесообразной. Система алгоритмов – программ позволяет в определённой мере автоматизировать учебный процесс на этапе формирования навыков в решении типовых задач и создаёт широкие возможности для активной самостоятельной работы учащихся.
В конце 7-го класса и в 8 классе учащихся я знакомлю со сборником заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе Л. В. Кузнецовой, издательства "Просвещение" 2007-2009 годов. Этот сборник предназначен для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре в новой форме, который состоит из трех основных разделов и двух приложений.
В 9 классе разрабатываю свою систему подготовки учащихся к экзамену за курс основной школы.
В календарно-тематическое планирование уроков алгебры за 9-й класс вношу темы, которые нужно повторить
Основное свойство пропорции;
Задачи на составлении и решение пропорций;
Задачи на проценты;
Формулы сокращенного умножения;
Выражения и их преобразования
Уравнения и системы уравнений;
Неравенства и системы неравенств;
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Повторение провожу как на уроках, так и после уроков через системные консультации. На уроке, создав микроклимат в классе, отрабатываю алгоритмизацию действий; удерживая интерес учащихся к предмету, формирую мотивацию к обучению. Учащиеся хорошо усваивают обязательный минимум материала по математике, если пользуются методическими приемами:
Решение задач по образцу;
Рассмотрение различных подходов к решению одной и той же задачи;
Составление опорных схем и применение других наглядных средств обучения;
Правильный подбор тематики и уровня задач, придание им занимательной формы;
Использование соревнования, к которому побуждают следующие вопросы учителя: , Как решить быстрее?”, У кого решение получилось самое короткое?”. , Самое простое?”.
Провожу тематический контроль с помощью тестирования, соблюдая правила организации работы с тестами:
Учащиеся делают записи в картах ответов;
Учитель дает инструктаж, как правильно заполнить карту;
Время выполнения и нормы оценок должны быть объяснены ученику заранее.
На уроках использую карточки-консультанты, с помощью которых повторять изученный материал. В них содержатся все условные моменты изучаемой темы, а так же алгоритм решения заданий.
КАРТОЧКА-КОНСУЛЬТАНТ ПО ТЕМЕ
«СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Система линейных уравнений:
:
Способы ее решения
| Графический способ | Способ подстановки | Способ сложения |
| 1. В каждом уравнении выразить у через х 2. Построить график функции каждого уравнения 3. Определить координаты точки пересечения | 1. Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую. 2. Подставить полученные выражения и решить его. 3. Подставить найденное значение переменной и вычислить значение второй переменной. | 1. Уравнять модули коэффициентов какой-либо переменной. 2. Сложить (вычесть) получено уравнения системы. 3. Составить новую систему: одно уравнение новое: другое одно из старых. 4. Решить новое уравнение и найти значение одной переменной. 5. Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной. |
Ответ: х =_______ ; у =_______
В работе со слабоуспевающими детьми использую целый арсенал карточек, Работай по образцу!” , которые позволяют отработать алгоритм разнообразных действий и математических операций.
Задания по образцу.
| 1 выражение | 2 выражение | Произведение разности этих выражений на их сумму | Разность квадратов этих выражений |
| с 3у 0,5 х ав | с 5в 2у 2с | (с − х) (с + х) (3у - 5в) (3у + 5в) | С 2 − х 2 9у 2 - 25в 2 |
Учащиеся должны выполнять задания с пропусками. Пропускаются ключевые слова, правильное запоминание которых свидетельствует о понимании материала.
Задания с пропусками.
Квадратные корни.
Использовать тематические таблицы по разным разделам школьного курса. В каждой таблице кратко изложена теория конкретного вопроса (определения, теоремы, следствия, формулы); приводятся рисунки, графики, а так же примеры решения наиболее принципиальных задач.
Таблицы помогают систематизировать знания, быстро и полно повторить основные моменты той или иной темы.
Таблица. Квадратные корни .
| Определение арифметического корня  |  = 4, т.к. 4 0, 4 2 = 16;
−5, т.к. −5 0;
| 
2 0,8 |
| Тождества | Основные свойства |
|
| 
| 
|
7, т.к. 7 2 25;
не определён.
3;
0,9.
Сравнения, связанные с квадратными корнями
Если a b 0, то 
.
.
Если a 1, то a и 1.
Если 0 a 1, то a и 0 1.
| Вынесение из-под корня
| Внесение под корень
|
 ;
|  ;
|
, b 0
;
;
;Провожу уроки обобщения и систематизации знаний. Без уроков обобщения и систематизации знаний, называемых также уроками обобщающего повторения, нельзя считать процесс повторения учащимися учебного материала завершенным. Основное назначение этих уроков заключается в усвоении учащимися связей и отношений между понятиями, теориями, в формировании целостного представления у учащихся об изученном материале, его значимости и применения в конкретных условиях. Обобщение и повторение ориентированны на то, чтобы учащиеся успешно сдали экзамены по математике. Приведу пример обобщающего повторения по теме: «Решение текстовых задач».
Вопросы:
Простые задачи на пропорцию.
Сложные задачи на пропорцию.
Тест№1.
Нахождение числа по его процентам.
Нахождение процентного отношения.
Тест №2.
Сложные задачи на проценты. Задание.
Задачи на джвижение по реке.
Задачи на движение.
Тест №3.
Тест №4.
Задачи на умножение и деление натуральных чисел.
Задачи на части.
Задачи на совместную работу.
Решение задач с помощью уравнений.
Тест №5.
Разные задачи. Вопросы и задания.
Используемые источники :
Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл./ [Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]. М.: Просвещение, 2007.
Учебно-методическая газета Математика 2005 г., №№ 18,19, 20, 21, 22, 23;2007 г. №№ 18, 19; 2008 г. №№11, 12.
Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9. Москва. Просвещение. 2008 г. Составитель: Бурмистрова Т. А.
Простые задачи на пропорцию
Первые задачи предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на повторение понятий прямой и обратной пропорциональности.
При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле
стоимость = цена количество,
и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей.
1°. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их купили в 2 раза меньше?
2°. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых в 2 раза дороже?
3°. Имеются деньги на покупку 30 карандашей. Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?
Велосипедист за несколько часов проехал 36 км. Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч. За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
Перейдем к решению задач с помощью пропорций. Первая из них содержит целые значения величин, отношение которых тоже целое число.
6. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?
7. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?
В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?
9. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 40 км/ч?
10. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров?
В задаче 10, как и во многих других задачах, предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащиеся внимательнее относились к такого рода условиям.
Чтобы у них не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов - прямой или обратной пропорциональностью, - полезно рассмотреть провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер.
11. 1) За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?
Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?
Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.
Рассмотрим задачу, в которой зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность и считают верным ответ «за 4 недели».
12*. Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
Так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полностью покрылся лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину. То есть пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель?
8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?
(Старинная задача.) В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?
(Из «Арифметики» АЛ. Киселева?) 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?
Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?
Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?
Рассмотренных выше задач вполне достаточно, чтобы учащиеся научились различать прямую и об ратную пропорциональность, составлять пропорции] и решать их.
(Из «Арифметики» А.П. Киселева.) 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?
20*. (Старинная задача.) Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?
(Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.) Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, ня ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и я плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?
22*. (Старинная задача.) Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.
(Старинная задача.) Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая - из 30 человек - в 45 дней. Какая артель работает лучше?
Завершая разговор о задачах, решаемых с помощью пропорций, надо привести пример задачи, которая не решается «по-старому»
24. Некоторое расстояние пассажирский поезд проходит за 3 ч, а скорый поезд - за 2 ч. Однажды эти поезда одновременно вышли навстречу друг другу из двух городов. Пассажирский поезд прошел 120 км до встречи со скорым. Сколько километров прошел скорый поезд до встречи с пассажирским?
Здесь нельзя 120 км делить на 3 ч, так как за 3 ч пройдено некоторое другое расстояние. Запишем кратко условие задачи.
Время Расстояние
Скорый 2ч х км
Пассажирский Зч 120 км
Первый раз поезда прошли один и тот же путь, при этом скорость обратно пропорциональна времени, то есть скорость скорого поезда в раза больше скорости пассажирского.
А во второй раз постоянным было время движения, при этом расстояние прямо пропорционально скорости, то есть путь, пройденный скорым поездом, в раза больше пути, пройденного пассажирским поездом.
Составим пропорцию 
, решив которую получим х = 180. Скорый поезд до встречи с пассажирским прошел 180 км.
Сложные задачи на пропорцию
Кур Дней Яиц
3 33
12 12 х
4.
5. (Старинная задача.)
6.
7.
(Старинная задача.)
Тест 1
Вариант 1
В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй – в 2 раза. В какой библиотеке книг стало больше?
Б . Во второй библиотеке
В . Книг осталось поровну
Г
При покупке стиральной машины стоимостью 6500 р. покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу, дающую право на 5% скидки. Сколько он заплатит за машину?
На первый курс института может быть принято 180 человек. Число поданных заявлений составило 120% от количества мест на курсе. Сколько заявлений было подано?
Уровень воды в реке находился на отметке 2,4 м. В первые часы наводнения он повысился на 5%. Какой отметки при этом достигла вода в реке?
Вариант 2
В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй – в 1,5 раза. В какой библиотеке книг стало больше?
Б . Во второй библиотеке
В . Книг осталось поровну
Г . Для ответа не хватает данных
Плата за коммунальные услуги составляет 800 р. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%?
В декабре каждому сотруднику предприятия выплатили премию, составившую 130 его месячной заработной платы. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого равна 5500 р.?
Предприятие разместило в банке 5 млн р. под 8% годовых. Какая сумма будет на счету предприятия через год?
Б. 9 млн р. Г. 0,4 млн р.
Нахождение числа по его процентам
В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в
магазин?
Найдите число, 110% которого равны 33.
60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек - на выставку. Сколько учащихся в классе?
4. Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь 91 р. Сколько стоил товар до повышения цены?
5. Завод запланировал выпустить 10 000 машин. План перевыполнили на 2%. Сколько машин завод выпустил сверх плана? Сколько машин выпустил за вод?
Задачу 5 лучше решить двумя способами. Сначала отвечая на поставленные вопросы:
10 000 0,02 = 200 (маш.);
10 000 + 200 = 10 200 (маш.),
потом задав дополнительные вопросы:
- На сколько процентов завод выполнил план?
- На 100 + 2 = 102 (%).
- Сколько машин приходится на 102% ?
10 000-1,02 = 10200 (маш.)
Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?
100 - 80 = 20 (%) - массы травы составляет масса сена;
4 0,2 = 0,8 (т) - сена получится из 4 т травы;
4: 0,2 = 20 (т) - травы надо накосить.
Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений 19р. Определите его первоначальную цену.
15 + 19 = 34 (р.) - стоил альбом до второго
снижения цены;
100 - 15 = 85 (%) - приходится на 34 р.;
3) 
= 40 (р.) - стоил альбом первоначально.
Сложили три числа. Первое составило 25% суммы, а второе - 40%. Найдите третье число, если оно на 45 меньше второго.
100 - 25 - 40 = 35 (%) - суммы приходится
на третье число;
40 - 35 = 5 (%) - суммы приходится на 45;
3) 
= 315 - третье число.
30% класса и еще 5 человек пошли в кино, а 3 оставшиеся - класса и еще 8 человек - на экскурсию. Сколько человек в классе?
Одна треть рабочих предприятия имела отпуск летом, 35% остальных рабочих отдыхали осенью и еще 2314 человек отдыхали зимой и весной. Сколько рабочих на предприятии?
При продаже товара на 693 р. получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара.
Нахождение процентного отношения
Решая задачи из этого раздела, учащиеся должны освоить одну простую идею: чтобы найти процентное отношение двух чисел, т.е. сколько процентов первое число составляет от второго, можно выразить отношение первого числа ко второму в процентах.
Первые задачи такого типа должны быть простыми, то есть отношение чисел должно выражаться конечной десятичной дробью.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, можно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш оставляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?
Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?
Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?
В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? пасмурные дни?
5. На сколько процентов 50 больше 40? 40 меньше 50?
50 от 40 составляет 
, или 
% = 125% ;
50 больше, чем 40 на 125 - 100 = 25 (%);
40 от 50 составляет 
, или 
% = 80% ;
40 меньше, чем 50 на 100 - 80 = 20 (%).
6. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?
В задаче 6 учащимся бывает трудно определить, какое число принимать за 100% . Нужно обратить их внимание на то число, с которым сравнивают другое число. В этом помогает переформулировка задачи: «На сколько процентов 30 р. меньше, чем 40 р.?». Сравнивают с суммой 40 р., значит, 40 р. - это 100%.
Тест 2
Вариант 1
Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,7 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?
А. На 70% Б. На 30% В. На 7% Г. На 3%
А. Б. В. 0,08 Г. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Вариант 2
После уценки телевизора его новая цена составила 0,8 старой. Сколько процентов от старой цены составляет новая?
А. 0,8% Б. 8% В. 20% Г. 80%
Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты.
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%
Сложные задачи на пропорцию
Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим учащимся.
Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой за дачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания, записав кратко условие задачи:
Кур Дней Яиц
3 33
12 12 х
В ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 4 4 = 48.
2. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?
3. Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду четырех классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?
4. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
5. (Старинная задача.)
На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?
Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.
6. (Из «Арифметики» АЛ. Киселева.)
Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
7.
(Старинная задача.)
Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?
Задачи на движение по реке
Скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти, нужно применить освоенный ранее прием нахождения двух величин по их сумме и разности: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения.
1. На путь из пункта А
в пункт В
теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В каком направлении течет река?
Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения?
Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Определите: скорость катера по течению и против течения реки; путь катера по течению реки за 3 ч; путь катера против течения реки за 5 ч.
Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?
Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?
Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная
Приведенную ниже таблицу (с другими числовыми данными) удобно использовать для проведения самостоятельной работы.
Определите скорости и заполните таблицу:
| Собственная скорость | Скорость течения реки | Скорость по течению реки Т ечению реки | Скорость против течения |
|
| 1 | 12 км/ч | 4 км/ч | ||
| 2 | 25 км/ч | 28 км/ч | ||
| 3 | 24 км/ч | 20 км/ч |
||
| 4 | 5 км/ч | 17 км/ч | ||
| 5 | 3 км/ч | 16 км/ч |
||
| 6 | 48 км/ч | 42 км/ч |
Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч, а против течения - за 4 ч. Найдите скорость течения.
Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скорости против течения?
5 скоростью удаления.)
скоростью сближения.)
(Старинная задача.)
(Старинная задача.)
в пути первый поезд;
8. Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В
10. 1) Из пункта А в пункт В А и В равно 30 км?
Из пункта А в пункт В,
30-2 = 60 (км);
10 + 5 = 15 (км/ч);
60:15 = 4 (ч).
Задачи на движение
1. Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления.)
2.Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. На сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения.)
Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
1) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?
3) Два велосипедиста выехали одновременно встречу друг другу из двух сел, расстояние мел которыми 54 км. Скорость первого 12 км/ч, второго 15 км/ч. Через сколько часов они будут находить друг от друга на расстоянии 27 км?
Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?
(Старинная задача.) Некий юноша пошел Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юное проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
(Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше
второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
26 2 = 52 (версты) - на столько поезд отстал от первого;
39 - 26 = 13 (верст) - на столько второй поезд отставал за 1 ч от первого поезда;
52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;
39 4 = 156 (вёрст) - расстояние от Москвы до Твери.
8. Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода скорого поезда они встретятся?
9. Два поезда движутся навстречу друг другу -один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд прошел мимо него за 12 с. Какова длина первого поезда?
10. 1) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью.
Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?
1)30:10 = 3(ч); 4) 10 + 5 = 15 (км/ч);
5-3 = 15 (км); 5) 15: 15 = 1 (ч);
30 - 15 = 15 (км); 6) 3 + 1 = 4 (ч).
30-2 = 60 (км);
10 + 5 = 15 (км/ч);
60:15 = 4 (ч).
Тест №4
1. Найдите время, за которое велосипедист доберется из пункта А в пункт В
(см. схему на рисунке 1).
υ=12 км/ч
А|_________________________________________ В
s = 6 км
Рис. 1.
А
. 72 ч Б
. 0,5 ч В
. 2 ч
Г . 5 ч Д . ________________
Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, вышли одновременно в одном направлении два туриста. Скорость первого туриста 4 км/ч, а скорость идущего за ним следом – 6 км/ч. Через какое время второй турист догонит первого?
А . Через 1 ч Б . Через 2,5 ч В . Через 1
Г. Через 5 ч Д . ________________________
От одной станции до другой по течению реки лодка плыла 3 часа, а на обратный путь затратила 4 ч. Скорость течения реки 1 км/ч. Составьте уравнение для нахождения собственной скорости лодки, обозначив её через х км/ч.
Ответ: _____________________
Цели урока:
- решение более сложных задач на пропорциональные величины («Сложное тройное правило»);
- развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их способности рассуждать, ставить вопросы и отвечать на них, т.е речи обучаемых;
- расширение кругозора при решении старинных практических (или правдоподобных) задач;
- формирование представлений о богатстве культурно – исторического наследия человечества.
Ход урока
I. Организационный момент:
Сегодня приступаем к решению более сложных, но не менее интересных задач на пропорциональные величины.
Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для последующего изучения математики.
Позже с помощью пропорций вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.
С чего же начинали?
- Познакомились с понятиями «отношение»,
«пропорция»
(отношение - ………., пропорция - ………(ожидаются ответы учащихся) - Научились решать пропорции и выяснили, что основной способ их решения должен опираться на ……. (основное свойство пропорций)
- Научились выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними. (прямая или обратная зависимости)
- Научились делать краткую запись условия задачи
и составлять пропорцию (уменьшение величины
показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой
вверх)
Но не забываем, что - разбирали способ решение задач вообще без пропорций (применению этого приёма должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении задач: во сколько раз увеличилась или уменьшилась величина?)
Будем продвигаться вперёд от простого к сложному.
II. Устная работа.
1. Из данных величин выберите те, которые являются прямой или обратной пропорциональностью:
а) длина стороны квадрата и периметр.
б) длина стороны квадрата и его площадь.
в) длина и ширина прямоугольника при заданной площади.
г) скорость автомобиля и путь, который он проедет за определённое время.
д) скорость туриста, идущего с турбазы на станцию, и время, за которое он дойдёт до станции.
е) возраст дерева и его высота.
ж) объём стального шарика и его масса.
з) число прочитанных страниц в книге и число страниц, которые осталось прочитать.
(Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.).
2. Разберём задачу:
Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц.
3. Рассмотрим задачи («провокационного характера»):
а) За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа.
б) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов.
в) * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покроется лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
(Решение: так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полностью покроется лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину, т.е. пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель)
III. Решение задач:
(условие задач предоставлено на доске)
Краткое условие и два способа решения предлагается очень быстро сделать учащимся на доске.
1 способ:
2 способ: количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше
Х=30*15/8=56р25к
2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?
На доске записано незаконченное краткое условие:
Дополнить условие и решить задачу двумя способами.
I вариант: пропорцией
II вариант: без пропорций
В это же время двое учащихся работают у доски.
I.
II. Х = 20*6 = 120 работников
3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?
Старинная задача.
(запись на доске)
(заполнение краткой записи учащимися)
Решить эту задачу без пропорции:
(Количество месяцев увеличивается в раз, значит количество солдат уменьшается в раз.
560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)
В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».
Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».
Попробуем!!!
4. Возьмём задачу, которая предлагалась вам как дополнительная.
Задача из домашней работы.
Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
Ответ у задачи получается ………?
Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:
Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.
(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается
от увеличения дней работы 
(писцов)).
Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.
Одну задачу, с шестью величинами, возьмите в качестве необязательного домашнего задания те учащиеся, которые любят распутывать головоломные задачи.
6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..
Количество дней пользования керосином
увеличивается от увеличения количества керосина
в
раз
и от уменьшения ламп в раза.
Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.
Х = 48 * * : = 60 (дней)
Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.
IV. Итог урока.
Решали весь урок теперь уже почти забытые задачи. Двигались от простого к сложному. Было видно, что старинные задачи вызывают интерес, приятно наблюдать вашу упорную работу при решении задач, провели хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности.
Понятными кажутся объяснения, предлагаемые учителем, но вы должны и самостоятельно продвигаться вперёд.
V. Домашнее задание.
Синиц дней зерна
Х = 100: 10: 10 = 1кг
2. Старинная задача.
Дирхемов срок доход
3. * Дополнительная задача.
Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть
10 м, глубина 18 дм?
решение. 
Задачи на совместную работу и производительность
Задачи этого типа содержат обычно сведения о выполнении несколькими субъектами (рабочими, механизмами, насосами и т.п.) некоторой работы, объём которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, изготовление деталей, рытьё траншей, заполнение через трубы водоёма и т.д.). Предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т.е. с постоянной для каждого субъекта производительностью. Так как величина выполняемой работы (или объём заполняемого бассейна, например) нас не интересуют, то объём всей работы. или бассейна принимается за единицу. Время t , требующееся для выполнения всей работы, и Р - производитель ность труда, то есть величина работы, сделанной за единицу времени, связаны
соотношением P = 1 /t .Полезно знать стандартную схему решения типовых задач.
Пусть один рабочий выполняет некоторую работу за х часов, а другой - за у часов. Тогда за один час они выполнят соответственно 1/ x и 1/ y часть работы. Вместе за один час они выполнят 1/ x +1/ y часть работы. Следовательно, если они будут работать вместе, то вся работа будет выполнена за 1/ (1/ x + 1/ y )
Решение задач на совместную работу вызывает у учащихся трудности, поэтому при подготовке к экзамену можно начать с решения самых простых задач. Рассмотрим тип задач, при решении которых достаточно ввести только одну переменную.
Задача 1. Один штукатур может выполнить задание на 5 часов быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 часов. За сколько часов каждый из них выполнит задание?
Решение. Пусть первый штукатур выполняет задание за x часов, тогда второй штукатур выполнит это задание за x +5 часов. За 1 час совместной работы они выполнят 1/ x + 1/( x +5) задания. Составим уравнение
6×(1/ x + 1/( x +5))= 1 или x ² - 7 x -30 = 0. Решив данное уравнение,получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый штукатур может выполнить работу за 10 часов, а второй - за 15 часов.
Задача 2 . Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них на выполнение всей работы потребовалось на 10 дней больше, чем другому?
Решение . Пусть первый рабочий тратит на всю работу x дней, тогда второй- (x -10) дней. За 1 день совместной работы они выполняют 1/ x + 1/( x -10) задания. Составим уравнение
12×(1/ x + 1/( x -10)= 1 или x ²- 34 x +120=0. Решив данное уравнение, получим x =30 и x = 4. Условию задачи удовлетворяет только x =30 .Поэтому первый рабочий может выполнить работу за 30 дней, а второй – за 20 дней.
Задача 3. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее,чем вторым?
Решение. Пусть первый трактор тратит на выполнение задания x дней, тогда второй – x + 5 дней. За 4 дня совместной работы оба трактора вспахали 4×(1/ x + 1/( x +5)) задания, то есть 2/3 поля. Составим уравнение 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 или x ² -7 x -30 = 0. . Решив данное уравнение, получим x = 10 и x = -3. По условию задачи x – величина положительная. Следовательно, первый трактор может вспахать поле за 10 часов, а второй - за 15 часов.
Задача 4 . Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч. Таня – 4 страницы за 0,5 , а Оля- 3 страницы за 20 минут. Как девочкам распределить 54 страницы текста между собой, .чтобы каждая работала в течение одного и того же времени?
Решение . По условию Таня печатает 4 страницы за 0,5ч, т.е. 8 страниц за 1ч., а Оля – 9 страниц за 1ч. Обозначив за Х часов- время, в течение которого девочки работали, получим уравнение
10Х +8Х+9Х =54, откуда Х= 2.
Значит, Таня должна напечатать 20 страниц, Таня-16 страниц, а Оля 18 страниц.
Задача 5. На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждом аппарате в отдельности, если известно, что при работе на первом для этого потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?
Решение. Пусть Х мин - время, которое требуется на выполнение копии на первом аппарате, тогда Х+30 мин- время работы на втором аппарате. Тогда 1/Х копии выполняет первый аппарат за 1 мин, а 1/ (Х+30) копии- второй аппарат.
Составим уравнение: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, получим X ²-10 X -600= 0. Откуда Х =30 и Х = - 20. Условию задачи удовлетворяет Х= 30. Получили: 30 мин - время, за которое первый аппарат сделает копию, 60 мин- второй.
Задача 6. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?
Решение. Обозначив за Х дней- время, необходимое фирме А на выполнение заказа, тогда Х + 4 дней - время для фирмы В. При составлении уравнения необходимо учесть, что за 24 дня совместной работы будет выполнено не 1 заказ, а 5 заказов. Получим, 24× (1/ X + 1/( X +4)) = 5.Откуда следует 5 Х²- 28Х-96 = 0. Решив квадратное уравнение получаем, Х = 8 и Х = - 12/5. Первая фирма может выполнить заказ за 8 дней, фирма В – за 12 дней.
При решении следующих задач необходимо вводить более одной переменной и решать уже системы уравнений.
Задача 7 . Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?
Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй - за у часов. Из условия задачи имеем х = у -1. За 1 ч первый
рабочий выполнит 1/ x часть работы, а второй – 1/ y часть работы. Т .к. они работали вместе ¾ ч, то за это время они выполнили ¾ (1/ x + 1/ y )
часть работы. За 2и 1/4 ч работы второй выполнил 9/4× (1/ y ) часть работы. Т .к. вся работа выполнена, то составляем уравнение ¾ (1/ x +1/ y )+9/4×1/ y =1 или
¾ ×1/ x + 3 ×1/ y =1
Подставив значение x в это уравнение, получаем ¾× 1/ (y -1)+ 3×1/ y = 1. Сводим это уравнение к квадратному 4у 2 -19у + 12 = 0, которое имеетрешения у 1 = ч и у 2 = 4 ч. Первое решение не подходит (оба раб о чие только вместе работали ¾ ч!). Тогда у = 4 , а х = 3.
Ответ. 3 часа, 4 часа.
Задача 8. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен.
Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна.
За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
Решение.
Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за х мин, а из второго - за у 1 мин. Первый кран заполняет
часть бассейна, а второй
. За 10 мин из первого крана заполнится
часть бассейна, а за 20 мин из второго крана -
.
Т
.к. бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение:
. Аналогично составляем второе уравнение
(заполняется на весь бассейн, а только
его объема). Для упрощения решения задачи введём новые переменные:
Тогда имеем линейную систему уравнений:
10u + 20v =1 ,
,решение которой будет u = v = . Отсюда получаем ответ: x = мин, y =50 мин.
Задача 9 . Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся работу. Оба они выполнили только всей работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают её за 3 ч 36 мин?
Решение. Обозначим через х часов и у часов время, за которое выполняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда и
Те части работы, которые они выполняют за
1ч.
Работая (по условию)
времени, первый выполнит
часть работы. Останется невыполненной
часть работы, на которую первый затратил бы
часов. По условию второй работает 1
/3
этого времени. Тогда он выполнит
часть работы. Вдвоём они выполнили только
всей работы. Следовательно, получаем уравнение
.
Работая совместно, за
1
час оба сделают
+
часть работы. Так как по условию задачи они сделают эту работу за
3
ч
36
мин (то есть з
a
3
часа), то за
1
час они сделают
всей работы. Отсюда 1/
x
+ 1/
y
= 5/18.
Обозначив в первом уравнении
, получим квадратное уравнение
6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , корни которого равны t 1 =2/3 , t 2 =3/2. Так как неизвестно, кто работает быстрее, то рассматриваем оба случая.
а) t = => у = х. Подставляем у во второе уравнение: Очевидно, что это не является решением
задачи, так как вместе они делают работу больше чем за З ч.
б) t =3/2 => y =3/2 x . Из второго уравнения имеем 1/ x +2/3× 1/ x =5/18.Отсюда х=6, у =9.
Задача10. В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 m 3 воды. Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м 3 воды, проработав на 5 ч дольше, чем в первый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но сначала работали обе трубы, подав 21 м 3 воды. А затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м 3 воды. Найти производительность каждой трубы.
Решение. В данной задаче нет абстрактного понятия "объем водоема", а указываются конкретные объемы воды, которые поступают по трубам. Однако методика решения задачи фактически остается прежней.
Пусть меньшая и большая трубы перекачивают за 1 час х и у м 3 воды. Работая вместе, обе трубы подают х + у м 3 воды.
Следовательно, в первый день трубы работали 14/(x + y ) часов. Во второй день малая труба работала на 5 часов больше, т. е. 5+14/(x + y ) . За это
время она подала 14 м
3
воды. Отсюда получаем первое уравнение
14 или 5+14/(
x
+
y
)=14/
x
. В третий день обе трубы вместе работали21/(x
+
y
) часов, а затем большая труба работала 20/
x
часов. Суммарное время труб совпадает со временем работы первой трубы во второй день, т. е.
5+14/( x + y ) =21/( x + y )+ 20/ x . Так как левые части уравнения равны, то имеем . Освободившись от знаменателей, получаем однородное уравнение 20 x 2 +27 xy -14 y 2 =0. Разделив уравнение на y 2 и обозначив x / y = t , имеем 20 t 2 +27 t -14=0. Из двух корней этого квадратного уравнения (t 1 = , t 2 = ) по смыслу задачи подходит только t = . Следовательно, x = y . Подставив x в первое уравнение, находим y =5. Тогда x =2.
Задача 11. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за два дня. После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее первой в 5 раз. Сначала работала только первая бригада, а затем только вторая бригада, выполнив в полтора раза меньший объем работы, чем первая бригада. Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы, выполняемый первой бригадой за один день, больше объема работы, выполняемого за один день второй бригадой?
Решение. Эту задачу удобнее решать, если привести выполняемую работу к одному масштабу. Если обе бригады вырыли, работая вместе, первую траншею за 2 дня, то, очевидно, вторую траншею (в пять раз длиннее) они вырыли бы за 10 дней. Пусть первая бригада вырыла бы эту траншею за х дней, а вторая - за у, т.е. за 1 день первая вырыла бы часть траншеи, вторая - за 1/ y , а вместе -1/ x +1/ y часть траншеи.
Тогда имеем
.
Бригады при рытье второй траншеи работали раздельно. Если вторая бригада выполнила объем работы
m
, то (по условию задачи) - первая бригада
.
Так как
m
+
m
=
m
равно объему всей работы, принимаемому за единицу, то
m
=
.
Следовательно, вторая бригада выкопала
траншеи и затратила на это
у дней. Первая бригада выкопала
траншеи и затратила
х
дней. Отсюда имеем
или
х
=
35-
.
Подставляя х в первое уравнение, приходим к квадратному уравнению
2у
2
- 95у +1050 = 0, корнями которого будут у
1
=
и
у
2
= 30. Тогда соответственно
х
1
=
и
х
2
=15.
Из условия задачи
выбираем нужное: у = 30. Так как найденное значение относится ко второй траншее, то первую траншею (в пять раз короче) вторая бригада вырыла бы за 6 дней.
Задача 12. Три экскаватора участвовали в рытье котлована объемом 340 м 3 . За час первый экскаватор вынимает 40 м 3 фунта, второй - на с м 3 меньше первого, а третий - на 2с больше первого. Сначала работали одновременно первый и второй экскаваторы, и выкопали 140 м 3 грунта. Затем оставшуюся часть котлована выкопали, работая одновременно, первый и третий экскаваторы. Определить значения с (0<с<15), при котором котлован был выкопан за 4 ч, если работа велась без перерыва.
Решение. Так как первый экскаватор вынимает 40 м 3 грунта в час, то второй - (40-с) м 3 , а третий - (40+2с) м 3 фунта в час. Пусть первый и второй экскаваторы вместе работали х часов. Тогда из условия задачи следует (40+40-с)х = 140 или (80-с)х = 140. Если первый и третий экскаваторы работали вместе у часов, то имеем (40+40+2с)у = 340-140 или (80+2с)у - 200. Так как общее время работы равно 4 часам, то получаем для определения с следующее уравнение х + у = 4 или
Это уравнение равносильно квадратному уравнению с 2 -30с+ 200 = 0, решениями которого будут с 1 = 10 м 3 и с 2 = 20м 3 . По условию задачи подходит толь ко
с = 10 м 3 .
Задача 10. Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый начал работу сразу и выполнил ее за 8 ч. Второй же потратил сначала больше 2 ч на наладку приспособления, а затем с его помощью закончил работу на 3 ч раньше первого. Известно, что второй рабочий через час после начала своей работы обработал столько же деталей, сколько к этому моменту обработал первый. Во сколько раз приспособление увеличивает производительность станка (т.е. количество обрабатываемых деталей за час работы)?
Решение. Это пример задачи, в которой не все неизвестные надо находить.
Обозначим время наладки станка вторым рабочим через х (по условию х>2). Пусть необходимо было обработать каждому по n деталей.
Тогда первый рабочий в час обрабатывает деталей, а второй деталей. Оба рабочих одинаковое число деталей обработали через час после начала работы второго. Это означает, что Отсюда получаем уравнение для определения х: х 2 -4х + 3-0 корнями которого будут х 1 = 1 и х 2 = 3. Т. к.
х > 2 , то необходимое значение - это х = 3. Следовательно, второй рабочий обрабатывает в час деталей. Т. к. первый рабочий в час обрабатывает
деталей, то отсюда находим, что приспособление увеличивает производительность труда в = 4 раза.
Задача 1 3. Трое рабочих должны изготовить некоторое количество деталей. Сначала к работе приступил только один рабочий, а через некоторое время к нему присоединился второй. Когда 1/6 часть всех деталей была изготовлена, к работе приступил и третий рабочий. Работу они закончили одновременно, причем каждый изготовил одинаковое количество деталей. Сколько времени работал третий рабочий, если известно, что он работал на два часа меньше второго и что первый и второй, работая вместе, могли бы изготовить все требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем это бы сделал бы третий, работая отдельно?
Решение. Пусть первый рабочий работал х часов, а третий - у часов. Тогда второй рабочий работал на 2 часа больше, т. е. у+2 часа. Каждый из них изготовил равное количество деталей, т. е. по 1/3 всех деталей. Следовательно, все детали первый изготовил бы за 3х часов, второй за 3(у+2) часов, а третий - за 3у часов. Поэтому первый изготовляет в час часть всех деталей, второй - и третий - .
Так как все трое за время совместной работы изготовили всех деталей, то получаем первое уравнение (все трое вместе работали у часов)
. (1)
Первый и второй, работая вместе, изготовили бы вместе все детали на 9 часов раньше, чем это сделал бы третий рабочий, работая один. Отсюда получаем второе уравнение
.
(2)
Эти два уравнения легко приводятся к равносильной системе
Выражая из второго уравнения х и подставляя в первое уравнение, получаем у 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Это уравнение разлагается на множители (y - 9)(у + 2) 2 = 0.
Т. к. у > 0, то уравнение имеет только один нужный корень у = 9. Ответ: у = 9.
Задача 14. В котлован равномерно поступает вода, 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 часов, а 15 таких насосов - за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?
Решение. Пусть объем котлована V m 3 , а производительность каждого насоса - х м 3 в час. Вода в котлован поступает непрерывно. Т. к. неизвестно количество ее поступления, то обозначим через у м 3 в час - объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 часов откачают х = 120х воды. Это количество воды равно полному объему котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 часов. Весь этот объем равен V +12 y . Приравнивая эти объемы, составляем первое уравнение 120х = V + 12 y .
Аналогично составляется уравнение для 15 таких насосов: 15-6 x = V + 6 y или 90 x = V + 6 y . Из первого уравнения имеем V = 120х - 12у. Подставляя V во второе уравнение, получаем у = 5х.
Время, в течение которого будут действовать 25 таких насосов, неизвестно. Обозначим его через t . Тогда, учитывая условия задачи, по аналогии составляем последнее уравнение. Имеем 25 tx = V + ty . Подставляя в это уравнение у и V находим 25 tx = 120х -12 5х + t 5х или 20 tx = 60х. Отсюда получаем t = 3 часа. Ответ: за 3 часа.
Задача 15. Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединилась третья бригада, и через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, что вторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и третья бригады вместе могли бы выполнить всю работу за того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно?
Решение. Пусть всю работу, работая отдельно, первая, вторая и третья бригады выполняют соответственно за х, у и z дней. Тогда в день они выполняют часть работы. Преобразуя первое условие задачи в уравнение, считая, что весь объём работы равен единице, получаем
15 или
(1)
20
.
Так как вторая бригада вырабатывает 120% того, что делает первая (на 20% больше), то имеем или . (2)
Вторая и третья бригады выполнили бы всю работу за 1/ дней, а первая и третья – за 1/ дней. По условию первая величина равна
(3)
Второй, то есть 1/ . Отсюда получаем третье уравнение .В задаче требуется определить время выполнения всей работы тремя бригадами, работающими вместе, то есть величину 1/ .
Очевидно, что решать систему уравнений (1)-(3) удобнее, если ввести новые переменные:
,
Требуется найти величину
l /(u + v + w ) .Тогда имеем равносильную систему
Решая эту линейную систему, легко находим u = Тогда искомая величина равна 1/ Таким образом, работая вместе все три бригады выполнят всю работу за 16 дней.
Ответ: за 16 дней. Если бы производительность второй фабрики увеличилась в 2 раза, то она равнялась бы практически все типы встречающихся задач на производительность.
Задачи
Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них заболел, и другой окончил работу, проработав еще 9 дней. Во сколько дней ка ждый рабочий отдельно может выполнить всю работу?
Некоторое число рабочих выполнили работу за несколько дней. Если число рабочих увеличи тся на 3, то работа будет сделана на 2 дня скорее, а если число рабочих увеличится на 12, то на 5 дней скорее. Определить число рабочих и время, необходимое для выполнения этой работы.
Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч больше, чем второму для заполнения трех четвертей бассейна. За какое время может наполнить бассейн каждый насос в отдельности?
10. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала в течение 2 ч работали четыре крана одинаковой мощности, затем к ним присоединились еще два крана, но меньшей мощности, и через 3 ч после этого погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы за оставшейся работы. Производительность третьей бригады равна полусумме производительностей первой и второй бригад. Во сколько раз производительность второй бригады больше производительности третьей бригады?
15. Две бригады штукатуров, работая совместно, оштукатурили жилой дом за 6 дней. В другой раз они оштукатурили клуб и выполнили втрое больший объем работы, чем на штукатурке жилого дома. В клубе сначала работала первая бригада, а затем ее сменила вторая бригада и довела работу до конца, причем первая бригада выполнила объем работы вдвое больший, чем вторая. Клуб они оштукатурили за 35 дней. За сколько дней первая бригада смогла бы оштука турить жилой дом, если известно, что вторая бригада потратила бы на это более 14 дней?
Две бригады начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 ч на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 ч на одну деталь меньше, чем в первый день. Работу бригады начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?
Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Известно, что все трое вместе делают за час 20 деталей. К работе приступил сначала первый р абочий. Он сделал 20 деталей, затратив на их изготовление более 3 ч. Оставшуюся часть работы выполняли вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на изготовление всех 80 деталей?
Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую трубу, и на 30 ч быстрее, чем через третью трубу. Известно, что пр опускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 24 м 3 /ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб.
Два экскаватора, из которых первый имеет меньшую производительность, вырыли при с овместной работе котлован объемом 240 м 3 . Потом первый стал рыть второй котлован, а второй продолжал рыть первый. Через 7 ч после начала их работы объем первого котлована оказался на 480 м 3 больше объема второго котлована. На другой день второй экскаватор увеличил свою производительность на 10 м 3 /ч, а первый уменьшил на 10 м 3 /ч. Сначала они вместе вырыли котлован в 240 м 3 , после чего первый стал рыть другой котлован, а второй продолжал рыть первый. Теперь объем первого котлована стал на 480 м 3 больше объема второго котлована уже через 5 ч после начала работы экскаваторов. Сколько грунта в час вынимали экскаваторы в первый день работы?
Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 т зерна, а первая и третья вместе за 2 рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая автомашина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, со вершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей автомашине для перевозки того же количества зерна?
Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи одинакового попере чного сечения длиной в 960 ми 180 м. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых первый экскаватор прокладывал большую траншею. Второй же экскаватор начал работать на 6 дней позже первого, отрыл меньшую траншею, 3 дня ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нужно было тратить времени на ремонт, то работа была бы кончена за 21 день. Сколько метров траншеи может отрыть в день каждый экскаватор?
Три бригады вспахали два поля общей площадью 120 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней первой и второй бр игадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла бы вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивала вторая бригада?
К двум бассейнам подведены две трубы равного диаметра (к каждому бассейну своя труба). Через первую трубу налили в первый бассейн определенный объем воды и сразу после этого во второй бассейн через вторую трубу налили такой же объем воды, причем на все это ушло 16 ч. Если бы через первую трубу вода текла столько времени, сколько через вторую, а через вторую - столько времени, сколько через первую, то через первую трубу налили бы воды на 320 м 3 меньше, чем через вторую. Если бы через первую проходило бы на 10 м 3 меньше, а через вторую - на 10 м 3 больше воды, то, чтобы налить в бассейн (сначала в первый, а потом во второй) первоначальные объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода через каждую из труб?
Две автоколонны, состоящие из одинакового числа машин, перевозят груз. В каждой из авт околонн машины имеют одинаковую грузоподъемность и во время рейсов загружаются полностью. Грузоподъемность машин в разных колоннах различна, и за 1 рейс первая автоколонна перевозит на 40 т груза больше, чем вторая автоколонна. Если уменьшить число машин в первой автоколонне на 2, а во второй автоколонне - на 10, то первая автоколонна перевезет 90 т груза за 1 рейс, а вторая автоколонна перевезет 90 т груза за 3 рейса. Какова грузоподъемность машин второй автоколонны?
Один рабочий может изготовить партию деталей за 12 ч. Работу начал один рабочий, через час к нему присоединился еще один, еще через час - третий и т. д., пока работа не была выполнена. Сколько времени проработал первый рабочий? (Производительность труда всех рабочих одинакова.)
Бригада рабочих одинаковой квалификации должна была изготовить партию деталей. Снач ала к работе приступил один рабочий, через час к нему присоединился второй, еще через час - третий и т. д., до тех пор, пока к работе не приступила вся бригада. Если бы с самого начала работали все члены бригады, то работа была бы выполнена на 2 ч быстрее. Сколько рабочих в бригаде?
Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, нео бходимого двум другим, для того чтобы вырыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала работали все трое рабочих одновременно?
