В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров
Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.
Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
Примеры применения правила для обыкновенных дробей
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: 
.
При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: 
. Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .
Примеры применения правила для алгебраических дробей
От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.
При-мер 3. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .
При-мер 4. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние
Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .
При-мер 5. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние: .
При-мер 6. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
Примеры применения правила с последующим сокращением
В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
При-мер 7. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.
При-мер 8. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями
Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.
Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.
Опре-де-ле-ние
Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .
Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.
; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .
После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).
Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.
По-лу-ча-ем: 
.
Ответ: .
Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.
.
Ответ: .
Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :
1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.
2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).
3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.
4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.
Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.
Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.
Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .
Рассмотрим пример:
Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).
\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)
Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:
\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)
Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.
Рассмотрим пример:
Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).
У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)
Следующий пример:
\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)
Вычитание смешанного дроби из целого числа.
Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)
Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)
\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)
Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.
Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .
Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).
Общим знаменателем будет число 12.
\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)
Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.
Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),
а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:
\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)
Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)
Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)
\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)
б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)
\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)
Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)
Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)
\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)
б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)
\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)
Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)
а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)
б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)
Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)
\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)
Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)
\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)
На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями - одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.
Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.
Пример 1. Сложить дроби: .
Решение:
Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.
Определение
Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .
Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.
; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .
После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).
Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.
Получаем: 
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.
Пример 2. Сложить дроби: .
Решение:
Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.
.
Ответ: .
Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).
3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.
4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.
Пример 3. Сложить дроби: .
Решение:
Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.
Ответ: .
Пример 4. Вычесть дроби: .
Решение:
Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.
Ответ: .
Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 5. Упростить: .
Решение:
При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).
В данном конкретном случае:
Тогда легко определить общий знаменатель: 
.
Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:
Ответ: .
Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Пример 6. Упростить: .
Решение:
Ответ: .
Пример 7. Упростить: .
Решение:
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).
Пример 8. Упростить: .
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Понятие о НОК
Приведение дробей к одному знаменателю
Как сложить целое число и дробь
1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей - это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.
3 Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
- Разложить эти числа на простые множители
- Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
- Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
- Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
4Приведение дробей к одному знаменателю
Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:
Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.
5Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например.
Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:
В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 - 2 8 = 3 8 .
Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.
Определение 1
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b - c b = a - c b .
Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.
Возьмем конкретные примеры.
Пример 1
Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .
Решение
Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .
Наши подсчеты можно записать так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15
Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.
Пример 2
Найдите разность 37 12 - 15 12 .
Решение
Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .
Как найти разность дробей с разными знаменателями
Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:
Определение 2
Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.
Рассмотрим на примере, как это делается.
Пример 3
Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .
Решение
Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .
Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45
У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Краткая запись решения выглядит так: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45 .
Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.
Пример 4
Найдите разность 19 9 - 7 36 .
Решение
Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .
Считаем ответ: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36
Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - 1 11 12 .
Краткая запись всего решения - 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .
Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число
Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.
Пример 5
Найдите разность 83 21 – 3 .
Решение
3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 - 3 = 20 21 .
Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.
Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .
Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 - 3 = 20 21 .
Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа
Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.
Пример 6
Найдите разность: 7 - 5 3 .
Решение
Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 - 5 3 = 5 1 3 .
Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.
Определение 3
Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.
Пример 7
Вычислите разность 1 065 - 13 62 .
Решение
Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62
Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 - 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .
Получается, что 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .
Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .
Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6
Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.
Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.
Пример 8
Вычислите разность 644 - 73 5 .
Решение
Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.
Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Свойства вычитания при работе с дробями
Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.
Пример 9
Найдите разность 24 4 - 3 2 - 5 6 .
Решение
Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 - 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - 3 11 12 .
Краткая запись всего решения:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.
Пример 10
Н айдите разность 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .
Решение
Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Завершим расчеты: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
