Учебно- методическая разработка урока математики в 5 классе по теме: Сравнение углов наложением.
Аръяхова Марина Владимировна,
Учитель математики МБОУ
«Чувашско-Дрожжановская средняя общеобразовательная школа»
План- конспект урока
Тема урока : Сравнение углов наложением
Тип урока : комбинированный.
Цели урока:
1.Образовательные:
Повторить определение угла и способы обозначения углов;
Повторить определение развернутого угла;
Сформировать умение сравнивать углы наложением.
2.Развивающие:
Развитие умения анализировать и делать выводы из теоретического материала, предложенного в учебнике;
Развитию монологической речи и диалога как формы обобщения и закрепления знаний
3. Воспитательные:
Воспитание культуры математической речи;
Воспитание культуры математической записи при решении задач;
Воспитание культуры использования на уроке геометрических инструментов.
Оборудование : проектор, экран, медиапрезентация, компьютер.
Ход урока:
1.Организационный момент .
- Проверка готовности учащихся к уроку, отметка в журнале отсутствующих учащихся.
Обмен рабочими тетрадями.
2.Актуализация знаний учащихся.
Устная работа .
Используя материалы слайдов №1, 2, 3, 4, 5 повторяем определение угла и виды углов.
Практическая работа.
Выполнить практическую работу, предложенную на слайде №6 по вариантам. Два сильных ученика выполняют то же задание на оборотной стороне доски . Далее самопроверка выполненных работ, для образца используются работы сильных учеников, выполненные на доске и предварительно проверенные учителем.
3.Изучение нового материала.
- Актуализация знаний с целью подготовки к изучению новой темы .
Устный опрос с использованием слайдов №7,8,9,10,11
Вспомнить способы сравнения двух отрезков
Какой из углов больше острый или тупой?
Какой из углов больше острый или прямой?
Какой из углов больше прямой или тупой?
- Постановка проблемного вопроса.
Как сравнить два угла, если они оба острые или оба тупые?
Учитель в ходе устной беседы подводит учащихся к основному выводу изучаемой темы. Для сравнения двух углов необходимо их наложить друг на друга. Если при наложении два угла совместятся то они равны. (слайд№13)
4. Закрепление изученной темы
- Фронтальная работа с классом
Устно выполните задание со слайда№14 и сделайте вывод
Выполните аналогичное задание по слайду№16.
- Работа по учебнику
Учащиеся самостоятельно выполняют упражнение № 516 с учебника, затем проверяют выполненное задание по слайду№18
Выполнение практической работы
Дети выполняют работу самостоятельно в тетрадях по слайду№19. Проверка практической работы выполняется путем взаимопроверки, правильный вариант выполнения дается на слайде№20
5. Подведение итогов урока .
6. Домашнее задание .
Написать мини-сочинение про приключение 4 углов острого, тупого, прямого и развернутого.
Использованная литература .
1. Математика 5 класс: И.И Зубарева,А.Г.Мордкович-М.:Мнемозина, 2012.
2. Алгебра открытые уроки: С.Н.Зеленская. Издательство «Учитель».
§ 1 Сравнение углов
В этом уроке научимся сравнивать и измерять углы.
Вспомним, что угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).
Давайте сравним два угла с помощью наложения и выясним, равны углы или нет.
Возьмём два угла.
Один угол закрасим в синий цвет, а другой - в красный и наложим красный угол на синий.
На рисунке видно, что синий угол больше, чем красный, но мы не знаем на сколько больше. Чтобы сравнивать углы, надо научиться точно их измерять.
Измеряют величину угла так же, как и любую другую величину.
Для этого выбирают единицу измерения (мерку) и узнают, сколько раз она содержится в измеряемой величине.
Представим себе такую ситуацию: Серёжа, Петя и Коля решили измерить угол, но мерку каждый решил сделать себе сам.
Что же получилось?
Оказалось, что один и тот же угол у Серёжи равен трём его меркам, у Пети - четырем меркам, а у Коли - шести меркам.
Кто из них прав?
Какой величины этот угол на самом деле?
В геометрии существует общепринятая, единая для всех, мерка - это 1/90 часть прямого угла. Эту мерку называют градусом и обозначают: 1°.
Таким образом, прямой угол равен 90°, а развёрнутый - 180°.
Любой острый угол будет меньше 90°, а любой тупой будет больше 90°.
При сложении углов их градусные меры складываются, а при вычитании - вычитаются, например:
Надо также запомнить, что сумма смежных углов всегда равна 180°.
§ 2 Транспортир. Измерение углов
Давайте попробуем решить задачу, используя наши знания.
Дан угол ОМР - он прямой, т.е. 90°, два луча разделили его на три угла.
Как видно из рисунка, один угол - 18 градусов, а другой - 23 градуса.
Нам нужно вычислить, чему равен угол КМN?
Чтобы найти величину угла КМN, нужно из градусной меры угла ОМР вычесть градусные меры углов КМР и NМО:
∠КМN = ∠ОМР - ∠КМР - ∠NМО = 90° - 18° - 23° = 49°
Угол КМN равен 49°.
Решим ещё одну задачу.
На рисунке мы видим, что ∠КОС - развёрнутый, значит, он равен 180°.
∠КОВ = 60° и ∠АОС = 60°.
Найдём величину ∠ВОА.
∠ВОА = ∠КОС - ∠КОВ - ∠АОС = 180° - 60° - 60° = 60°
∠ВОА = 60°
Чтобы измерить угол в градусах, необходимо знать, сколько раз в нем содержится мерка 1°. Для измерения углов в градусах используют специальный инструмент - транспортир.
Транспортир состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы), разделённого на градусы от 0 до 180. В некоторых моделях, например, круговой транспортир - от 0 до 360. Шкала транспортира располагается на полуокружности.
Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой, его называют центр транспортира.
Давайте измерим ∠МКТ.
Для этого наложим транспортир так, чтобы центр транспортира совпал с точкой К — началом луча КТ, а сам луч КТ прошел через начало отсчета шкалы транспортира. Градусную меру угла покажет штрих на шкале транспортира, через который проходит другая сторона угла.
Итак, ∠МКТ равен 32°.
С помощью транспортира можно не только измерять, но и строить углы.
Давайте построим угол, равный 110°, одной стороной которого служит луч ОА.
Сначала проведем луч ОА.
Затем наложим транспортир на наш луч так, чтобы центр транспортира совпал с точкой О — началом луча ОА, а сам луч ОА прошел через начало отсчета шкалы транспортира.
Поставим точку В против штриха шкалы транспортира с отметкой 110° и проведем луч ОВ.
Получим ∠АОВ, содержащий 110°.
Для удобства отсчет градусов по шкале транспортира идет в двух направлениях, и, когда мы измеряем или строим угол, всегда нужно помнить, что острый угол меньше 90°, а тупой больше 90°.
§ 3 Краткие итоги урока
Подведем итоги нашего урока:
1. Углы измеряют при помощи транспортира.
2. Чтобы измерить угол транспортиром, нужно:
· приложить центр транспортира к вершине угла;
· расположить транспортир так, чтобы одна сторона угла прошла через начало отсчета шкалы транспортира деление 0;
· посмотреть, через какое деление этой шкалы пройдет другая сторона угла;
· при измерении нужно помнить, что острый угол меньше 90°, а тупой больше 90°.
3. Чтобы построить угол определенной величины, нужно:
· провести луч;
· наложить на этот луч транспортир так, чтобы центр транспортира совпал с началом луча, а сам луч прошел через начало отсчета шкалы транспортира деление 0;
· поставить точку против штриха шкалы транспортира с отметкой нужной нам величины и провести через эту точку второй луч от начала исходного луча.
4. Прямой угол равен 90°, острый угол - меньше 90°, а тупой угол - больше 90°, развернутый угол равен 180°.
5. При сложении углов их градусные меры складываются, а при вычитании - вычитаются.
6. Сумма смежных углов всегда равна 180°.
Список использованной литературы:
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
- Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
- Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- Образовательные : усвоение и первичное закрепление навыка сравнивать и измерять углы;
- Развивающие : повышение уровня общего развития ученика, развитие у учащихся математической речи, аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, совершенствование умений самостоятельной работы;
- Воспитательные : формирование положительной мотивации учения, улучшение умения работать в коллективе.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
1. Вступительное слово.
Учитель: Добрый день, ребята! Проверьте, всё ли у вас готово к уроку: тетрадь и учебник, дневник и письменные принадлежности.
Сегодня с вами на уроке мы получим новые знания. Но как же сделать так, чтобы новый материал был не только понятен, но и прочно усвоен?
Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».
Ребята, а как вы думаете, что значит «поглощать знания с аппетитом»?
Ученик: Значит с большим желанием.
Учитель: Последуем этому совету писателя, постараемся быть внимательными, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они нам пригодятся в дальнейшем. Откроем тетради, подпишем число, классная работа.
2. Устный счёт с целью повторения.
Учитель: А для того, чтобы мы сегодня хорошо поработали, проведём небольшую разминку. Работаем следующим образом: устно считаем, письменно записываем ответы, потом проверяем.
Табл. 1. Задания для устного счета
Учитель: Ребята, мы каждый урок начинаем вот с такой математической разминки. Как вы думаете, мы с вами стали считать ещё лучше?
Ученик: ДА!!!
3. Фронтальный опрос с целью повторения.
Учитель: Ребята, я вам подготовила маленький ребус, разгадав который, вы узнаете, о чём сегодня мы будем говорить на уроке?
Посмотрите внимательно, какое здесь зашифровано слово?
Ученик: Угол.
Учитель: У нас получилось слово «угол». Значит, о чём мы с вами будем говорить сегодня на уроке?
Ученик: Об углах.
Учитель: А что же такое угол?
Ученик: Угол – геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами с общим началом.
Задание №1.
Назовите данный угол тремя разными способами.
Учитель: Ребята, а угол – это редкая геометрическая фигура или наоборот, мы её часто встречаем?
Ученик: Часто встречаем.
Учитель: Приведите примеры углов в нашей классной комнате.
Учитель: Какие виды углов мы с вами знаем?
Ученик: Острый, прямой, тупой, развёрнутый.
Задание №2.
Назовите все углы на рисунке и определите их вид.
4. Итог этапа.
Учитель: Подведём итог: что мы знаем об углах и что умеем делать с углами?
Ученик: Мы знаем, какая фигура называется углом, знаем виды углов, мы сможем начертить угол и дать ему название.
II. Формирование новых знаний и способов действия.
1. Сравнение углов.
Учитель: Ребята, посмотрите на парты, модели какой геометрической фигуры лежат перед вами?
У ребят на парте лежат 2 модели углов, один из которых больше, другой меньше.
Ученик: Это модели углов.
Учитель: Возьмите их в руки и посмотрите внимательно на них. Чем они ещё отличаются друг от друга, помимо того, что они разного цвета?
Ученик: Они разного размера.
Учитель: А как вы думаете, зачем я раздала вам модели углов? Что мы сегодня будем делать с углами?
Ученик: Сравнивать и измерять.
Учитель: Значит, какая у нас сегодня будет тема урока?
Ученик: Сравнение и измерение углов.
Учитель: Какие основные цели мы с вами поставим на уроке?
Ученик: Научиться сравнивать и измерять углы.
Учитель: Начнём со сравнения углов.
Но прежде, чем приступить к сравнению углов, мы должны с вами вспомнить, что значит сравнить геометрические фигуры?
Ученик: Это значит нужно установить, какая из геометрических фигур больше, а какая – меньше.
Учитель: А какие геометрические фигуры мы с вами уже умеем сравнивать?
Ученик: Отрезки.
Учитель: Какие 2 способа сравнения отрезков вам известны?
Ученик: Наложение и измерение величины.
Учитель: Поговорим о первом способе. В чём заключается способ наложения? Как сравнить геометрические фигуры, используя данный способ?
Ученик: Надо наложить одну геометрическую фигуру на другую, и посмотреть, какая из них больше, а какая – меньше.
Учитель: Подскажите, как сравнить мне 2 отрезка? Как правильно наложить их друг на друга?
Учитель держит 2 модели отрезков – один из них больше, другой – меньше. Ребята говорят, как их наложить один на другой и делают вывод, какой отрезок больше, какой – меньше.
Ученик: А как же нам применить это способ к сравнению углов? Как правильно наложить один угол на другой?
Учитель держит 2 модели углов – один из них больше, другой – меньше. Ребята говорят, как их наложить один на другой и делают вывод, какой угол больше, какой – меньше.
Учитель: Сделаем вывод: как правильно наложить один угол на другой?
Ученик:
- Совместить вершины углов.
- Совместить одну из сторон одного угла с одной из сторон другого угла.
Учитель: Сравнить углы методом наложения мы теперь сможем?
Ученик: ДА!!!
Учитель: Теперь у меня для вас такое задание: это задание лежит у вас на партах. Что требуется в этом задании?
Ученик: Сравнить углы.
Учитель: А сравнивать данные углы методом наложения нам будет удобно?
Ученик: Нет.
Учитель: Почему?
Ученик: Так как для начала нам нужно будет вырезать модели данных углов, а потом уже сравнивать.
Учитель: Но мы же не будем для всех углов из множества заданий вырезать модели углов. Это будет довольно долгая работа. А каким способом мы ещё можем сравнивать углы?
Ученик: Измерение величины угла.
2. Измерение углов.
Учитель: Как же нам измерить величину угла?
Опять обратимся к отрезкам. Что мы измеряли у отрезков?
Ученик: Длину.
Учитель: Что мы брали за единицу измерения длины отрезка?
Ученик: Единичный отрезок.
Учитель: С помощью какого инструмента мы проводили измерения?
Ученик: С помощью линейки.
Учитель: А как мы измеряли длину отрезка?
Ученик: Мы совмещали 0 на линейке с одним концом отрезка, а второй конец отрезка нам показывал длину отрезка.
Учитель: Подведём итог: назовите мне 3 вещи, которые нужно знать и уметь, чтобы измерить величину угла.
Ученик: Первое: единица измерения.
Учитель: А что такое единица измерения?
Ученик: Единица измерения – это геометрическая фигура, величину которой мы примем за единицу.
Ученик: Второе: инструмент для измерения.
И третье: научиться пользоваться этим инструментом при измерении величины угла.
Учитель: Пойдём по порядку и начнём разговор с единицы измерения величины угла. Всё внимание на доску.
Учитель демонстрирует видеоролик, расположенный на слайде №15 презентации.
Учитель: И так, что мы возьмём за единицу измерения величины угла?
Ученик: Угол величиной в 1 градус.
Учитель: Обратите внимание на запись данной единицы измерения.
Учитель: Так же нам нужен инструмент для измерения величины угла.
Кто-нибудь знает, что это за инструмент?
Ученик: Это транспортир.
Учитель: А что же собой представляет этот инструмент под названием транспортир? Всё внимание на доску.
Учитель демонстрирует видеоролик, расположенный на слайде №16 презентации.
Учитель: Повторим все вместе, как называется прибор для измерения величины углов.
Ученик: Транспортир (все вместе).
Учитель: Чем транспортир отличается от линейки? Сколько шкал у транспортира?
Ученик: Две шкалы – внутренняя и внешняя.
Учитель: Что представляет собой шкала транспортира?
Ученик: Полуокружность, разделённая на 180 равных частей.
Учитель: Почему при работе с транспортиром нужно быть внимательным?
Ученик: Так как у внутренней и внешней шкал начало отсчёта располагается с разных сторон. Поэтому надо быть внимательным, чтобы получить верный результат.
Учитель: Итак, единица измерения есть, прибор для измерения есть, что нам осталось узнать?
Ученик: Как пользоваться этим инструментом при измерении величины угла.
Всё внимание на доску.
Учитель демонстрирует видеоролик, расположенный на слайде №17 презентации.
Учитель: Сформулируйте алгоритм измерения величины углов.
Ученик:
- Вершину угла совместим с центром транспортира.
- Одну из сторон угла совместим с началом отсчёта на шкале.
- Другая сторона угла укажет величину угла в градусах.
Учитель: Вернёмся к нашему заданию. Вспомним, какое у нас было задание?
Ученик: Сравнить углы.
Учитель: Теперь мы сможем их сравнить более рациональным способом?
Ученик: ДА!
Учитель: И как мы их сравним?
Ученик: Измерим их величины.
Обратить внимание на запись результата измерения углов.
3. Самостоятельная работа исследовательского характера.
Учитель: Ребята, я для вас подготовила самостоятельную работу исследовательского характера. А почему она так называется?
Ученик: Потому что мы будем что-то исследовать.
Учитель: А что же мы будем исследовать? Прочитаем цель этой работы.
Ученик: Выявить взаимосвязь между величиной угла и видами угла.
Учитель: Прочитаем задания.
Ребята выполняют самостоятельную работу и делают вывод: величина острого угла меньше 90 градусов, величина прямого угла равна 90 градусам, величина острого угла меньше 180 градусов, но больше 90 градусов, величина развёрнутого угла равна 180 градусам.
4. Рефлексия.
- Какие цели ставили?
- Достигли ли вы этой цели?
- В чём испытали затруднение?
- Над чем стоит поработать?
5. Домашнее задание.
Академический школьный учебник Е. А. Бунимович «СФЕРЫ. Математика. Арифметика. Геометрия» 5 класс:
- Пункт 18.
- №264, №282
- Повышенный уровень - №279
В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.
Навигация по странице.
Определение угла.
Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .
Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.
Дадим сначала определение луча.
Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .
Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.
Теперь мы можем дать первое определение угла.
Определение.
Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .
Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.
Определение.
Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .
Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.
Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.
Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая - внешней.
Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.
Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.
Определение.
Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.
Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).
Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.
Определение.
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.
Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.
Определение.
Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
На рисунке изображены вертикальные углы.
Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.
Сравнение углов.
В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.
Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?
Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .
Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).
Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.
Измерение углов.
Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.
Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.
Одной из единиц измерения углов является градус .
Определение.
Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.
Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .
Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.
При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).
Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.
Определение.
Минута – это одна шестидесятая часть градуса.
Определение.
Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.
Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .
Определение.
Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.
Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна 
.
Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.
Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110
), то используют краткую запись вида 
и говорят: «Угол АОВ
равен ста десяти градусам».
Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.
Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .
Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.
Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС - смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .
Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.
Определение.
Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.
Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.
Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.
Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.
Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.
Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.
Обозначение углов на чертеже.
На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.
Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.
Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Давайте вспомним тему последних предыдущих уроков. (Новые единицы площади)
Какие новые единицы площади узнали? (Гектар, ар)
Трудно или легко усвоили новые единицы площади? Почему?
Сумели преодолеть трудности?
Как вы думаете, всё ли у нас получится при изучении следующей новой темы?
Давайте посмотрим?
1. Математический диктант.
- Уменьшить 160 на 90.
- Увеличить 490 на 50.
- Уменьшить 560 в 80 раз.
- Увеличить 70 в 9 раз.
- На сколько 820 больше 290?
- Во сколько раз 400 меньше 3600?
- Найти число, шестая часть которого равна 102.
- Найти четверть от 68.
(70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17)
На какие группы можно разбить данный ряд чисел? (По количеству цифр, по кратности 2, по кратности 10, по сумме цифр, цифры для записи чисел.)
На доске под полученными числами выставляются буквы.
70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17
Г Р Ф А У Н Л И
Расположите полученные числа в порядке возрастания и прочитайте получившееся слово. (ФНИГУРЛА)
Имеет оно смысл?
Зачеркните 2 буквы так, чтобы получился математический термин. (ФИГУРА)
2. Работа с геометрическими фигурами.
Назовите геометрические фигуры, которые видите на рисунке?
(На рисунке: точка, прямая, окружность, отрезок, угол, луч, четырёхугольник, ломаная )
Какие фигуры можно неограниченно продолжать? (Прямую, луч, стороны угла )
Если провести отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на ней, что получится? (Радиус )
Что интересного вы знаете о радиусе? (Все радиусы одной окружности равны. Радиус равен половине диаметра.)
Какая связь между многоугольником и ломаной линией? (Многоугольник – это замкнутая ломаная линия.)
Какие ещё плоские геометрические фигуры знаете? (Треуголник, прямоугольник, квадрат, овал и т.д.)
А пространственные фигуры? (Шар, куб, параллелепипед, цилиндр, конус, пирамида.)
3. Работа с углом.
Чем являются стороны угла? (Лучами.)
Если продолжить стороны угла, то получится тот же угол или другой? (Тот же.)
Какие бывают виды углов? (Прямые, острые, тупые.)
Покажите карандашами модель острого угла, тупого угла.
Представьте, что ваши карандаши – это стрелки часов. Выложите их на парте так, чтобы они показывали 1ч, 2ч, 3ч, 4ч, 5ч. Что происходит с углом между ними? (Увеличивается.)
Значит мы можем сказать, какой угол между стрелками часов больше, а какой -меньше? (Да.)
4. Практическая работа. Индивидуальное задание.
На столах у каждого ученика модель острого угла (жёлтого цвета), модель тупого угла (синего цвета). Модель острого угла по площади значительно превышает модель тупого угла.
Сравните углы с помощью наложения.
(Кто-то располагает синий внутри жёлтого, ориентируясь на площадь. Другие на основе продления сторон и что углы надо сравнивать на основе разворота).
Проблемная ситуация:
Почему, сравнивая одни и те же углы, получили разный результат?
Где и почему возникло затруднение?
Какое задание выполняли? (Сравнивали углы)
Почему вы не смогли обосновать свои позиции? (Нам неизвестен способ сравнения углов)
Что же нам нужно сделать – поставьте перед собой цель . (Нам надо построить алгоритм сравнения углов)
Сформулируйте тему урока . (Сравнение углов)
1. Подводящий диалог.
(Учащиеся выбирают способ действий, а потом на его основе выводят алгоритм)
Каким способом мы сравниваем что-то, например, говорим - один человек знает больше другого, или больше число, доля, дробь…
(Меньшее должно содержаться в большем, составлять его часть)
Значит, как нам надо наложить углы? (Чтобы один угол составлял часть другого)
Почему же нельзя синий угол разместить внутри жёлтого? (Стороны угла – это лучи. Если их продолжить, то видно, что синий угол не находится внутри жёлтого)
Дети получают модель синего угла по площади сравнимые с жёлтым.
Наложите синие углы друг на друга и убедитесь, что они равны.
2. Работа в группах.
Не наталкивает ли вас это на мысль, как надо наложить синий и жёлтый углы, чтобы узнать, какой же из них больше?
Посоветуйтесь в группах.
(Дети высказывают свои версии. Если эти версии не верны, то учитель или кто-то из детей их опровергают. Правильный способ наложения проговаривается и фиксируется алгоритм.)
3. Алгоритм.
1) Наложить углы так, чтобы одна их сторона совпала.
2) Если совпала другая, то углы равны; если нет, то меньше тот угол, сторона которого находится внутри другого.
4. Схема-опора.
5.Сопоставление вывода с текстом учебника . Стр. 1.
- Совпал ли наш вывод с текстом учебника?
Проговорите алгоритм сравнения углов.
1. Сравнивают в парах два произвольных угла, проговаривая алгоритм.
2. Задание № 4 на стр. 2.
Сравнивают углы с использованием схемы-опоры.
Что можете сказать о луче ОС? (Он разделил угол на два угла)
Что можете сказать об этих лучах? (Угол АОС меньше угла СОВ)
1. Задание № 8 на стр. 2 (сравнивают углы на глаз в учебнике) и разгадывают имя знаменитого правителя Древнего Египта – Хеопса. Вспоминают, что о нём знают из курса окружающего мира.
Можно ли найти углы у пирамиды Хеопса?
Что нового узнали об углах?
Проблемная ситуация.
Как вы думаете, это уже все известные знания об углах или нет?
1. Введение понятия «биссектриса» с использованием практической работы.
Перегните один из углов, лежащих на столе пополам. Разверните угол.
Что получили? (Линию, которая делит угол на два равных угла)
Как эта линия называется в математике? (Луч) Почему?
Для луча, проведённого внутри угла из его вершины, который делит угол пополам, есть особое название «биссектриса». (на доске)
2. Рассматривание чертежа в учебнике
Есть смешной, но помогающий запомнить новое понятие стишок:
«Биссектриса – это такая …, которая бегает по углам и делит угол … . (Дети договаривают рифму)
Каким способом разделили угол пополам? (Перегибанием)
Какое новое понятие узнали? (Биссектриса)
Как бы вы объяснили однокласснику, который пропустил урок, что такое биссектриса?
1. Примеры на нахождение части числа, выраженной дробью № 10 с. 3.
(Расшифровывают имя фараона, в честь которого была построена самая первая пирамида – Джосер)
2. Решение составных задач на нахождение части числа, выраженной дробью или в виде процентов.
а) о фараоне Тутмосе №11 на стр. 3.
б) о верблюде, который приспособлен длительное время обходиться без воды и пищи для передвижения по пустыне № 12(а) на ст. 3.
Назовите тему урока?
Как сравнивали углы?
Как узнать какой угол больше, а какой меньше?
Какое новое понятие узнали?
Как находили биссектрису угла? Почему?
Кому ещё необходима помощь по теме урока?
Смогли мы сразу понять новую тему? Почему?
Что нового узнали при решении задач?
Что из полученных знаний пригодится вам в жизни? Где?
Домашнее задание: 1) базовый уровень: повторить алгоритм сравнения углов, № 5 – практическая работа по делению угла на части и сравнения частей перегибанием; № 12(б) – задача на дроби;
2) повышенный уровень: № 7 – получение биссектрис углов треугольника и прямоугольника путём перегибания.
