Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: (a + b) · c = a · c + b · c (a , b и c – некоторые числа). В этой записи выражение (a + b) · c является как раз произведением многочлена (a + b) на одночлен c . Правая же часть равенства a · c + b · c - это сумма произведений одночленов a и b на одночлен c .

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Определение 1

Для осуществления действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

• записать произведение многочлена и одночлена, которые необходимо перемножить;
• умножить каждый член многочлена на заданный одночлен;
• найти сумму полученных произведений.

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена − 4 · x 2 + x − 2 и одночлена 7 · y запишем как (− 4 · x 2 + x − 2) · 7 · y , а произведение многочлена a 5 · b − 6 · a · b и одночлена − 3 · a 2 составим в виде: (a 5 · b − 6 · a · b) · (− 3 · a 2) .

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2 · x 2 + x + 3) · 5 · x , тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена 2 · x 2 + x + 3 с одночленом 5 · x , получая таким образом: 2 · x 2 · 5 · x = 10 · x 3 , x · 5 · x = 5 · x 2 и 3 · 5 · x = 15 · x . Результатом станут одночлены 10 · x 3 , 5 · x 2 и 15 · x .

Последнее действие согласно правилу - сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена 2 · x 2 + x + 3 и одночлена 5 · x запишем так: (2 · x 2 + x + 3) · 5 · x = 2 · x 2 · 5 · x + x · 5 · x + 3 · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x . Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: (2 · x 2 + x + 3) · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Пример 1

Необходимо найти произведение: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .

Решение

Первый шаг правила уже выполнен – произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член многочлена на заданный одночлен. В данном случае удобно сначала перевести десятичные дробив обыкновенные. Тогда получим:

1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = 1 , 4 · x 2 · - 2 7 · x - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = = - 1 , 4 · 2 7 · x 2 · x + 3 , 5 · 2 7 · x · y = - 7 5 · 2 7 · x 3 + 7 5 · 2 7 · x · y = - 2 5 · x 3 + x · y

Ответ: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = - 2 5 · x 3 + x · y .

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

Пример 2

Заданы многочлен 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 и одночлен − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a . Необходимо найти их произведение.

Решение

Мы видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших вычислений приведем их в стандартный вид:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0 , 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 · a) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Теперь осуществим перемножение одночлена a 2 · b на каждый член многочлена 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 · b · (1 + 4 · a − 2 · a 2) = a 2 · b · 1 + a 2 · b · 4 · a + a 2 · b · (− 2 · a 2) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Мы могли бы не приводить исходные данные к стандартному виду: решение при этом оказалось бы более громоздким. При этом последним шагом возникал бы необходимость приведения подобных членов. Для понимания приведем решение по этой схеме:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0 , 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Ответ: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.

Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:

По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия - а именно привести его к стандартному виду.

Рассмотрим пример:

Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.

Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:

Перейдем к решению примеров:

Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.

Пример 2 - выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:

Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.

Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.

Задача1 - упростить выражение:

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.

Задача 2 - упростить и вычислить:

Пример 1:;

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

При умножении многочлена на одночлен мы будем пользоваться одним из законов умножения. Он получил в математике название распределительного закона умножения. Распределительный закон умножения :

1. (a + b)*c = a*c + b*c

2. (a - b)*c = a*c - b*c

Для того чтобы произвести умножение одночлена на многочлен, достаточно каждый из членов многочлена умножить на одночлен. После этого полученные произведения сложить. На следующем рисунке представлена схема умножения одночлена на многочлен.

Порядок умножения неважен, если, например, надо умножить многочлен на одночлен, то поступать нужно точно таким же образом. Таким образом, нет разницы между записями 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) и (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.

Произведем умножение многочлена и одночлена, записанных выше. И покажем на конкретном примере, как это правильно делать:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

Используя распределительный закон умножения, составим произведение:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.

В полученной сумме приведем каждый из одночленов к стандартному виду и получим:

20*x^3*y - 16*x^2*y.

Это и будет произведением одночлена на многочлен: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.

Примеры:

1. Умножим одночлен 4*x^2 на многочлен (5*x^2+4*х+3). Используя распределительный закон умножения, составим произведение. Имеем
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*х) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

Это и будем произведением одночлена на многочлен: (4*x^2)*(5*x^2+4*х+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

2. Умножить одночлен (-3*x^2) на многочлен (2*x^3-5*x+7).

Использую распределительный закон умножения, составим произведение. Имеем:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

В полученной сумме каждый из одночленов приведем к его стандартному виду. Получим:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

Это и будем произведением одночлена на многочлен: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

Цель :

1. Обеспечить усвоение первоначальных знаний по теме «Умножение одночлена на многочлен»;
2. Развивать аналитико-синтезирующее мышление;
3. Воспитывать мотивы учения и положительного отношения к знаниям.

Сплочение коллектива класса.

Задачи :

1. Познакомиться с алгоритмом умножения одночлена на многочлен;
2. Отрабатывать практическое применение алгоритма.

Оборудование : карточки с заданиями, компьютер, интерактивный проектор.

Тип урока : комбинированный.

Ход урока

I. Организационный момент:

Здравствуйте ребята, садитесь.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела «Многочлены» и тема нашего урока «Умножение одночлена на многочлен». Откройте тетради и запишите число и тему урока «Умножение одночлена на многочлен».

Задача нашего урока вывести правило умножения одночлена на многочлен и учиться применять его на практике. Знания, полученные сегодня необходимы вам на протяжении изучения всего курса алгебры.

У вас на столах лежат бланки в которые мы будем заносить ваши баллы, набранные на протяжении всего урока, и по итогам будет выставлена оценка. Баллы мы будем изображать в виде смайликов. (Приложение 1 )

II. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

При изучении новой темы нам потребуются знания, которые вы получили на предыдущих уроках.

Учащихся выполняют задания по карточкам по теме «Степень и ее свойства». (5-7 минут)

Фронтальная работа:

1) Даны два одночлена: 12p 3 и 4p 3

а) сумму;
б) разность;
в) произведение;
д) частное;
е) квадрат каждого одночлена.

2) Назовите члены многочлена и определите степень многочлена:

а)5ab – 7a 2 + 2b – 2,6
б)6xy 5 + x 2 y - 2

3) Нам сегодня потребуется распределительное свойство умножения.

Давайте сформулируем это свойство и запись в буквенном виде.

III. Этап усвоения новых знаний.

Мы с вами повторили правило умножения одночлена на одночлен, распределительное свойство умножения. А теперь давайте усложним задачу.

Разделитесь на 4 группы. У каждой группы на карточках 4 выражения. Попробуйте восстановить недостающее звено в цепи и пояснить свою точку зрения.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ………………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a – 7) = …………………...…..= 10a 4 + 15a 3 – 35a 2
• 3y(9y 3 – 4y 2 – 6) = ………………………. =27y 4 – 12y 3 – 18y
• 6b 4 (6b 2 + 4b – 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 – 30b 4

(Один представитель от каждой группы выходит к экрану, записывает недостающую часть выражения и поясняет свою точку зрения.)

Попробуйте сформулировать правило (алгоритм) умножения многочлена на одночлен.

Какое выражение получается в результате выполнения данных действий?

Чтобы проверить себя откройте учебник стр. 126 и прочитайте правило (1 человек читает вслух).

Совпадают ли наши выводы с правилом в учебнике? Запишите правило умножения одночлена на многочлен в тетрадь.

IV. Закрепление:

1. Физкультминутка:

Ребята, сядьте поудобнее, закройте глаза, расслабьтесь, сейчас мы отдыхаем, мышцы расслаблены, мы изучаем тему «Умножение одночлена на многочлен».

И так мы помним правило и повторяем за мной: чтобы умножить одночлен на многочлен нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и записать сумму полученных выражений. Открываем глаза.

2. Работа по учебнику № 614 у доски и в тетрадях;

а) 2х(х 2 – 7х - 3) = 2х 3 – 14х 2 – 6х
б) -4в 2 (5в 2 – 3в - 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 – а 2 + а)(- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 – 5а 4
г) (у 2 – 2,4у + 6)1,5у = 1,5у 3 – 3,6у 2 + 9у
д) -0,5х 2 (-2х 2 – 3х + 4) = х 4 + 1,5х 3 – 2х 2
е) (-3у 2 + 0,6у)(- 1,5у 3) = 4,5у 5 - 0,9у 4

(При выполнении номера анализируются наиболее типичные ошибки)

3. Соревнование по вариантам (расшифровка пиктограммы). (Приложение 2)

1 вариант:		2 вариант:
1) -3х 2 (- х 3 + х - 5) 2) 14 x (3 xy 2 – x 2 y + 5) 3) -0,2 m 2 n (10 mn 2 – 11 m 3 – 6) 4) (3a 3 – a 2 + 0,1a)(-5a 2) 5) 1/2 с (6 с 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1,4p 3 (3q – pq + 5p) 7) 10x 2 y(5,4xy – 7,8y – 0,4) 8) 3 а b(a 2 – 2ab + b 2)		1) 3а 4 х(а 2 – 2ах + х 3 - 1) 2) -11a(2a 2 b – a 3 + 5b 2) 3) -0,5 х 2 y(х y 3 – 3 х + y 2) 4) (6b 4 – b 2 + 0,01)(-7b 3) 5) 1/3m 2 (9m 3 n 2 – 15mn) 6) 1,6c 4 (2c 2 d – cd + 5d) 7) 10p 4 (0,7pq – 6,1q – 3,6) 8) 5xy(x 2 – 3xy + x 3)

Задания представлены на индивидуальных карточках и на экране. Каждый учащийся выполняет свое задание, находит букву и записывает ее на экране напротив того выражения, которое он преобразовывал. Если получен правильный ответ, то получится слово: молодцы! умники 7а