Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым.
Именно так и были введены понятия синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.
Теоремы косинусов и синусов
Но косинусы и синусы могут применяться не только в прямоугольных треугольниках. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов.
Теорема косинусов довольно проста: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними».
Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему часто расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».
Производные
Производная - математический инструмент, показывающий, как быстро меняется функция относительно изменения ее аргумента. Производные используются , геометрии, и , ряде технических дисциплин.
При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса - синус, но со знаком «минус».
Применение в математике
Особенно часто синусы и косинусы используются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними.
Удобство синусов и косинусов нашло свое отражение и в технике. Углы и стороны было просто оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая сложные фигуры и объекты на «простые» треугольники. Инженеры и , часто имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили немало времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов.
Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов разных углов. В советское время некоторые преподаватели заставляли своих подопечных страницы таблиц Брадиса наизусть.
Радиан - угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.
Градус (в геометрии) - 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.
π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).
Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Угол х (в градусах) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Угол х (в радианах) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cos α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (t g α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (c t g α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от - ∞ до + ∞ .
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1 , 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 (x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 (x , y). sin α = y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α - это абсцисса точки A 1 (x , y). cos α = х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 (x , y) к ее абсциссе. t g α = y x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A 1 (x , y) к ее ординате. c t g α = x y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0 , 1) и (0 , - 1). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α .
Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)
При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности - точка A c координатами (1 , 0).
Положительному числу t
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t . Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A (1 , 0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 (x , y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 (x , y) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 (x , y) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.
Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \(AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \(AB \) и \(BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \(BC \) , то катет \(AB \) – это прилежащий катет, а катет \(BC \) - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике:
\[ \sin \beta =\dfrac{BC}{AC} \]
Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике:
\[ \cos \beta =\dfrac{AB}{AC} \]
Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике:
\[ tg\beta =\dfrac{BC}{AB} \]
Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике:
\[ ctg\beta =\dfrac{AB}{BC} \]
Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:
Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;
Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.
В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:
Рассмотрим, к примеру, косинус угла \(\beta \) . По определению, из треугольника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \(\beta \) и из треугольника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.
Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!
Для треугольника \(ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .
\(\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\dfrac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\dfrac{3}{4}=0,75\end{array} \)
Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \(\beta \) .
Ответы: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac{4}{3} \) .
Единичная (тригонометрическая) окружность
Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \(1 \) . Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.
Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \(x \) (в нашем примере, это радиус \(AB \) ).
Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \(x \) и координата по оси \(y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \(ACG \) . Он прямоугольный, так как \(CG \) является перпендикуляром к оси \(x \) .
Чему равен \(\cos \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Всё верно \(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC} \) . Кроме того, нам ведь известно, что \(AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \(AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:
\(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{AG}{1}=AG \) .
А чему равен \(\sin \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Ну конечно, \(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC} \) ! Подставим значение радиуса \(AC \) в эту формулу и получим:
\(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{CG}{1}=CG \)
Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \(C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) - это просто числа? Какой координате соответствует \(\cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \(x \) ! А какой координате соответствует \(\sin \alpha \) ? Всё верно, координате \(y \) ! Таким образом, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \) .
А чему тогда равны \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \(tg \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{x}{y} \) .
А что, если угол будет больше ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:
Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник \({{A}_{1}}{{C}_{1}}G \) : угол (как прилежащий к углу \(\beta \) ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \({{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:
\(\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\dfrac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\dfrac{x}{y}\end{array} \)
Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \(y \) ; значение косинуса угла – координате \(x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.
Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \(x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.
Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \(360{}^\circ \) или \(2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \(390{}^\circ \) или на \(-1140{}^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \(390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \(30{}^\circ \) или \(\dfrac{\pi }{6} \) .
Во втором случае, \(-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \(-60{}^\circ \) или \(-\dfrac{\pi }{3} \) .
Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \(360{}^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.
Ниже на рисунке изображён угол \(\beta =-60{}^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \(-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \(\beta +360{}^\circ \cdot m \) или \(\beta +2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число)
\(\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array} \)
Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:
\(\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array} \)
Вот тебе в помощь единичная окружность:
Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:
\(\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg\alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \)
Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \(90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2} \) соответствует точка с координатами \(\left(0;1 \right) \) , следовательно:
\(\sin 90{}^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90{}^\circ =x=0 \) ;
\(\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) - не существует;
\(\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{1}=0 \) .
Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \(180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ)\ \) соответствуют точки с координатами \(\left(-1;0 \right),\text{ }\left(0;-1 \right),\text{ }\left(1;0 \right),\text{ }\left(0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.
Ответы:
\(\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\dfrac{0}{-1}=0 \)
\(\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) - не существует
\(\sin \ 270{}^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270{}^\circ =0 \)
\(\text{tg}\ 270{}^\circ =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) - не существует
\(\text{ctg}\ 270{}^\circ =\dfrac{0}{-1}=0 \)
\(\sin \ 360{}^\circ =0 \)
\(\cos \ 360{}^\circ =1 \)
\(\text{tg}\ 360{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \)
\(\text{ctg}\ 360{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) - не существует
\(\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1 \)
\(\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0 \)
\(\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) - не существует
\(\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \) .
Таким образом, мы можем составить следующую табличку:
Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:
\(\left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg \alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!} \)
А вот значения тригонометрических функций углов в и \(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4} \) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:
Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:
Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (\(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\dfrac{\pi }{3} \) ), а также значение тангенса угла в \(30{}^\circ \) . Зная эти \(4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:
\(\begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\dfrac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array} \)
\(\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) , зная это можно восстановить значения для \(\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ \) . Числитель «\(1 \) » будет соответствовать \(\text{tg}\ 45{}^\circ \ \) , а знаменатель «\(\sqrt{\text{3}} \) » соответствует \(\text{tg}\ 60{}^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \(4 \) значения из таблицы.
Координаты точки на окружности
А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:
Нам дано, что точка \(K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \(1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \(P \) , полученной поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусов.
Как видно из рисунка, координате \(x \) точки \(P \) соответствует длина отрезка \(TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \(UK \) соответствует координате \(x \) центра окружности, то есть равна \(3 \) . Длину отрезка \(KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:
\(\cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .
Тогда имеем, что для точки \(P \) координата \(x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .
По той же логике находим значение координаты y для точки \(P \) . Таким образом,
\(y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .
Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:
\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \) , где
\({{x}_{0}},{{y}_{0}} \) - координаты центра окружности,
\(r \) - радиус окружности,
\(\delta \) - угол поворота радиуса вектора.
Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:
\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.
Игры с линейкой и карандашом
Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону - гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.
Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.
В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.
Найти синус для угла больше 90°
Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.
Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям
Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.
Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.
Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс - функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.
Как находить синус по трём сторонам треугольника
Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.
Урок по теме «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»
Цели урока:
образовательные – ввести понятие синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, исследовать зависимости и соотношения между этими величинами;
развивающие – формирование понятия о синусе, косинусе, тангенсе как функциях от угла, области определения тригонометрических функций, развитие логического мышления, развитие правильной математической речи;
воспитательные – развитие навыка самостоятельной работы, культуры поведения, аккуратности в ведении записей.
Ход урок:
1. Организационный момент
«Образование – это не количество прослушанных уроков, а количество понятых. Так что, если хотите идти вперед, то поспешайте медленно и будьте внимательны»
2. Мотивация урока.
Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но возвысите свою душу».
Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!
3. Актуализация опорных знаний.
Какие могут быть углы?
Что такое треугольники?
Основные элементы определяющие треугольник?
Какие бывают треугольники в зависимости от сторон?
Какие бывают треугольники в зависимости от углов?
Что такое катет?
Что такое гипотенуза?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Какие соотношения между сторонами и углами этого треугольника вы знаете?
Зачем надо знать соотношения между сторонами и углами?
Какие задачи из жизни могут привести к необходимости вычислять неизвестные стороны в треугольнике?
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».
В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При строительстве пирамид в Египте именно так изготавливали прямоугольные треугольники. Наверно поэтому прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 и назвали египетским треугольником.
4. Изучение нового материала.
В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.
Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?
Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете такие задачи решать.
Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины.
Для этого нам нужна теоретическая база.
Выделите красным цветом угол А и катет ВС.
Выделите зеленым цветом катет АС.
Вычислим, какую часть составляет противолежащий катет для острого угла А к его гипотенузе, для этого составим отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Это отношение носит особое название – такое, что каждый человек в каждой точке планеты понимает, что речь идет о числе, представляющем отношение противолежащего катета острого угла к гипотенузе. Это слово синус. Запишите его. Так как слово синус без названия угла теряет всякий смысл, то математическая запись такова:
Теперь составьте отношение прилежащего катета к гипотенузе для острого угла А:
Это отношение имеет название косинус. Его математическая запись:
Рассмотрим еще одно отношение для острого угла А: отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
Это отношение носит название тангенс. Его математическая запись:
5. Закрепление нового материала.
Давайте закрепим наши промежуточные открытия.
Синус – это …
Косинус – это …
Тангенс – это..
| sin A = | sin О = | sin A 1 = |
| cos A = | cos О = | cos A 1 = |
| tg A = | tg О = | tg A 1 = |
Решить устно № 88, 889, 892(работа в парах).
Использование полученных знаний для решения практической задачи:
«С башни маяка высотой 70 м виден корабль под углом 3 к горизонту. Каково
расстояние от маяка до корабля?»
Задача решается фронтально. В ходе обсуждения делаем чертеж и необходимые записи на доске и в тетрадях.
При решении задачи используются таблицы Брадиса.
Рассмотреть решение задачи с.175.
Решить №902(1).
6. Физминутка для глаз.
Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …
Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.
7. Самостоятельная работа учащихся.
Решить № .
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Что вы узнали нового? На уроке:
вы рассматривали …
вы анализировали …
вы получили …
вы сделали вывод …
вы пополнили словарный запас следующими терминами …
Мировая наука начиналась с геометрии. Человек не может по настоящему развиваться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия возникла не только из практических, но и духовных потребностей человека.
Вот как поэтично объяснилась в любви к геометрии
Геометрию люблю…
Геометрию учу, потому что я люблю
Геометрия нужна, без нее нам никуда.
Синус, косинус, окружность – все здесь важно,
Все здесь нужно,
Только надо очень четко все учить и познавать,
Делать вовремя заданья и контрольные решать.
