Материал из Википедии - свободной энциклопедии

U-критерий Манна - Уитни (англ. Mann - Whitney U-test ) - статистический критерий , используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ). Реже: критерий числа инверсий .

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Фрэнком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: $N=n\_1+n\_2,$ где $n\_1$ - количество элементов в первой выборке, а $n\_2$ - количество элементов во второй выборке.
2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм ($T\_x$), соответствующую выборке с $n\_x$ элементами.
3. Определить значение U-критерия Манна - Уитни по формуле: $U=n\_1\backslash cdot\; n\_2+\backslash frac\{n\_x\backslash cdot(n\_x+1)\}\{2\}-T\_x.$
4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных $n\_1$ и $n\_2$. Если полученное значение $U$ меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение $U$ больше табличного, принимается нулевая гипотеза . Достоверность различий тем выше, чем меньше значение $U$.
5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание $M(U)=\backslash frac\{n\_1\backslash cdot\; n\_2\}\{2\}$ и дисперсию $D(U)=\backslash frac\{n\_1\backslash cdot\; n\_2\backslash cdot\; (n\_1+n\_2+1)\}\{12\}$ и при достаточно большом объёме выборочных данных $(n\_1>19,\backslash ;n\_2>19)$ распределён практически нормально.

Таблица критических значений

См. также

• Критерий Краскела - Уоллиса - многомерное обобщение U-критерия Манна - Уитни.

Напишите отзыв о статье "U-критерий Манна - Уитни"

Примечания

Литература

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947. - № 18. - P. 50-60.
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. - 1945. - P. 80-83.
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. - Л., 1973.
• Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. - С-Пб., 2002.

Статистические показатели Описательная статистика Статистический вывод и проверка гипотез Общая оценка Корреляция и регрессия Графические методы

Отрывок, характеризующий U-критерий Манна - Уитни

Он забылся на одну минуту, но в этот короткий промежуток забвения он видел во сне бесчисленное количество предметов: он видел свою мать и ее большую белую руку, видел худенькие плечи Сони, глаза и смех Наташи, и Денисова с его голосом и усами, и Телянина, и всю свою историю с Теляниным и Богданычем. Вся эта история была одно и то же, что этот солдат с резким голосом, и эта то вся история и этот то солдат так мучительно, неотступно держали, давили и все в одну сторону тянули его руку. Он пытался устраняться от них, но они не отпускали ни на волос, ни на секунду его плечо. Оно бы не болело, оно было бы здорово, ежели б они не тянули его; но нельзя было избавиться от них.
Он открыл глаза и поглядел вверх. Черный полог ночи на аршин висел над светом углей. В этом свете летали порошинки падавшего снега. Тушин не возвращался, лекарь не приходил. Он был один, только какой то солдатик сидел теперь голый по другую сторону огня и грел свое худое желтое тело.
«Никому не нужен я! – думал Ростов. – Некому ни помочь, ни пожалеть. А был же и я когда то дома, сильный, веселый, любимый». – Он вздохнул и со вздохом невольно застонал.
– Ай болит что? – спросил солдатик, встряхивая свою рубаху над огнем, и, не дожидаясь ответа, крякнув, прибавил: – Мало ли за день народу попортили – страсть!
Ростов не слушал солдата. Он смотрел на порхавшие над огнем снежинки и вспоминал русскую зиму с теплым, светлым домом, пушистою шубой, быстрыми санями, здоровым телом и со всею любовью и заботою семьи. «И зачем я пошел сюда!» думал он.
На другой день французы не возобновляли нападения, и остаток Багратионова отряда присоединился к армии Кутузова.

Князь Василий не обдумывал своих планов. Он еще менее думал сделать людям зло для того, чтобы приобрести выгоду. Он был только светский человек, успевший в свете и сделавший привычку из этого успеха. У него постоянно, смотря по обстоятельствам, по сближениям с людьми, составлялись различные планы и соображения, в которых он сам не отдавал себе хорошенько отчета, но которые составляли весь интерес его жизни. Не один и не два таких плана и соображения бывало у него в ходу, а десятки, из которых одни только начинали представляться ему, другие достигались, третьи уничтожались. Он не говорил себе, например: «Этот человек теперь в силе, я должен приобрести его доверие и дружбу и через него устроить себе выдачу единовременного пособия», или он не говорил себе: «Вот Пьер богат, я должен заманить его жениться на дочери и занять нужные мне 40 тысяч»; но человек в силе встречался ему, и в ту же минуту инстинкт подсказывал ему, что этот человек может быть полезен, и князь Василий сближался с ним и при первой возможности, без приготовления, по инстинкту, льстил, делался фамильярен, говорил о том, о чем нужно было.
Пьер был у него под рукою в Москве, и князь Василий устроил для него назначение в камер юнкеры, что тогда равнялось чину статского советника, и настоял на том, чтобы молодой человек с ним вместе ехал в Петербург и остановился в его доме. Как будто рассеянно и вместе с тем с несомненной уверенностью, что так должно быть, князь Василий делал всё, что было нужно для того, чтобы женить Пьера на своей дочери. Ежели бы князь Василий обдумывал вперед свои планы, он не мог бы иметь такой естественности в обращении и такой простоты и фамильярности в сношении со всеми людьми, выше и ниже себя поставленными. Что то влекло его постоянно к людям сильнее или богаче его, и он одарен был редким искусством ловить именно ту минуту, когда надо и можно было пользоваться людьми.
Пьер, сделавшись неожиданно богачом и графом Безухим, после недавнего одиночества и беззаботности, почувствовал себя до такой степени окруженным, занятым, что ему только в постели удавалось остаться одному с самим собою. Ему нужно было подписывать бумаги, ведаться с присутственными местами, о значении которых он не имел ясного понятия, спрашивать о чем то главного управляющего, ехать в подмосковное имение и принимать множество лиц, которые прежде не хотели и знать о его существовании, а теперь были бы обижены и огорчены, ежели бы он не захотел их видеть. Все эти разнообразные лица – деловые, родственники, знакомые – все были одинаково хорошо, ласково расположены к молодому наследнику; все они, очевидно и несомненно, были убеждены в высоких достоинствах Пьера. Беспрестанно он слышал слова: «С вашей необыкновенной добротой» или «при вашем прекрасном сердце», или «вы сами так чисты, граф…» или «ежели бы он был так умен, как вы» и т. п., так что он искренно начинал верить своей необыкновенной доброте и своему необыкновенному уму, тем более, что и всегда, в глубине души, ему казалось, что он действительно очень добр и очень умен. Даже люди, прежде бывшие злыми и очевидно враждебными, делались с ним нежными и любящими. Столь сердитая старшая из княжен, с длинной талией, с приглаженными, как у куклы, волосами, после похорон пришла в комнату Пьера. Опуская глаза и беспрестанно вспыхивая, она сказала ему, что очень жалеет о бывших между ними недоразумениях и что теперь не чувствует себя вправе ничего просить, разве только позволения, после постигшего ее удара, остаться на несколько недель в доме, который она так любила и где столько принесла жертв. Она не могла удержаться и заплакала при этих словах. Растроганный тем, что эта статуеобразная княжна могла так измениться, Пьер взял ее за руку и просил извинения, сам не зная, за что. С этого дня княжна начала вязать полосатый шарф для Пьера и совершенно изменилась к нему.

По уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ).

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

Автоматический расчет U-критерия Манна - Уитни

Таблица критических значений

См. также

• Критерий Краскела - Уоллиса - многомерное обобщение U-критерия Манна - Уитни.

Литература

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947. - № 18. - P. 50-60.
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. - 1945. - P. 80-83.
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. - Л., 1973.
• Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. - С-Пб., 2002.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• U-954
• U-точка женщины

Смотреть что такое "U-критерий Манна - Уитни" в других словарях:

критерий Манна Уитни - — Тематики электросвязь, основные понятия EN Mann Whitney U test … Справочник технического переводчика

Критерий Манна-Уитни

Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Критерий Манна-Уитни-Уилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U-критерий Манна - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять… … Википедия

U-критерий Манна-Уитни - (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми … Википедия

Критерий согласия Колмогорова - или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

Критерий Краскела - Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

Критерий Кохрена - Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

Критерий Вальда - (максиминный критерий) один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на … Википедия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо количественно измеренного признака, при распределении вариант отличном от нормального . Более того, он позволяет выявлять различия между малыми выборками (когда n 1 , n 2 ³3 или n 1 =2, n 2 ³5). Этот метод определяет насколько слабо перекрещиваются (совпадают) значения между двумя выборками. Чем меньше перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны.

Чем меньше U эмп тем более вероятно, что различия достоверны.

Нулевая гипотеза: уровень признака в выборке 2 не ниже уровня признака в выборке 1.

Прежде чем проводить оценку критерием U необходимо провести ранжирование.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ранжирование – распределение вариант внутри вариационного ряда от меньших величин к большим.

Правила ранжирования:

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг, как правило, это 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений (если n=10, то наибольшее значение получит ранг 10).

2. Если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющийсобой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле: , где N- общее количество ранжируемых значений. Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

Пример .

Проранжируем следующий ряд.

По формуле проверим правильность ранжирования.

. Определим сумму рангов: 1+2,5+2,5+4+5+6+7=28.

Общая сумма рангов совпадает с расчетной. Следовательно мы правильно проранжировали.

Схема подсчета критерия Манна-Уитни:

Чем меньше значения U , тем достоверность различий выше и тем больше уверенности в отклонении нулевой гипотезы.

3 пример .

При заболеваниях сетчатки повышается проницаемость ее сосудов. Исследователи измерили проницаемость сосудов сетчатки у здоровых и у больных с ее поражением. Полученные результаты приведены в таблице.

Проверить, подтверждают ли эти данные гипотезу о различии в проницаемости сосудов сетчатки.

Нулевая гипотеза : проницаемость сосудов сетчатки при заболеваниях сетчатки у больных не больше, чем у здоровых, (нет статистического различия между двумя выборками).

Альтернативная гипотеза : проницаемость сосудов сетчатки при заболеваниях сетчатки у больных больше, чем у здоровых, (есть статистическое различие между двумя выборками).

Здоровые	больные
	Порядковый номер	Ранг	проницаемость сосудов сетчатки	Порядковый номер	Ранг
0,5			1,2		6,5
0,7		2,5	1,4
0,7		2,5	1,6
1,0		4,5	1,7
1,0		4,5	1,7
1,2		6,5	1,8
1,4			2,2		18,5
1,4			2,3
1,6			2,4
1,6			6,4
1,7
2,2		18,5	23,6

Контрольная работа

Методика «Домик»

Методика «Домик» (Н. И. Гуткина) представляет собой задание на срисовывание картинки с изображением дома, отдельные детали которого состоят из элементов прописных букв. Методика рассчитана на детей в возрасте 5-10 лет и может использоваться для определения готовности ребёнка к школе.

Цель исследования : определить способность ребёнка к копированию сложного образца.

Задание позволяет выявить умение ребёнка ориентироваться по образцу, точно его копировать, определить особенности развития непроизвольного внимания, пространственного восприятия, сенсомоторной координации и мелкой моторики рук.

Материалы : образец рисунка, лист бумаги, карандаш.

Ход исследования

Перед выполнением задания ребёнку даётся инструкция: «Перед тобой лежит лист бумаги и карандаш. Нарисуй на этом листе точно такую же картинку, как здесь (перед малышом кладётся лист с изображением дома). Не спеши, будь внимателен, постарайся, чтобы твой рисунок был точно таким же, как на образце. Если ты что-то нарисуешь не так, не стирай резинкой (проследить, чтобы у ребёнка не было резинки). Нужно поверх неправильного рисунка или возле него нарисовать правильно. Тебе понятно задание? Тогда приступай к работе».

По ходу выполнения задания необходимо зафиксировать:

1. Какой рукой рисует ребёнок (правой или левой).

2. Как он работает с образцом: как часто смотрит на него, проводит ли над рисунком-образцом линии, повторяющие контуры картинки, сравнивает ли нарисованное с образцом или рисует по памяти.

3. Быстро или медленно проводит линии.

4. Отвлекается ли во время работы.

5. Высказывания и вопросы во время рисования.

6. Сверяет ли после окончания работы свой рисунок с образцом.

Когда ребёнок сообщает об окончании работы, ему предлагается проверить, всё ли у него правильно. Если он увидит неточности в своём рисунке, то может их исправить, но это должно быть зафиксировано экспериментатором.

Обработка и анализ результатов

Обработка экспериментального материала проводится методом подсчёта баллов, которые начисляются за ошибки. Ошибки бывают такими.

1. Отсутствие любой детали картины (4 балла). На рисунке может отсутствовать забор (одна или две половины), дым, труба, крыша, штриховка на крыше, окно, линия, изображающая основу дома.

2. Увеличение отдельных деталей рисунка более чем в два раза при относительно правильном сохранении размера всего рисунка (3 балла за каждую увеличенную деталь).

3. Неправильно изображён элемент рисунка (3 балла). Неправильно могут быть изображены кольца дыма, забор, штриховка на крыше, окно, труба. Причём если неправильно нарисованы палочки, из которых состоит правая (левая) часть забора, то 2 балла начисляется не за каждую неправильную палочку, а за всю правую (левую) часть забора в целом. То же касается и колец дыма, выходящих из трубы, и штриховки на крыше дома: 2 балла начисляется не за каждое неправильное кольцо, а за весь неправильно скопированный дым; не за каждую неправильную линию в штриховке, а за всю штриховку крыши в целом.

Правая и левая части забора оцениваются отдельно: так, если неправильно срисована правая часть, а левая скопирована без ошибок (или наоборот), то ребёнок получает за нарисованный забор 2 балла; если же допущены ошибки и в правой, и в левой части, то 4 балла (за каждую часть по 2 балла). Если часть правого (левого) бока забора скопированы правильно, а часть неправильно, то за этот бок забора начисляется 1 балл; то же касается и колец дыма, и штриховки на крыше: если только одна часть колец дыма срисована правильно, то дым оценивается в 1 балл; если только одна часть штриховки на крыше воспроизведена правильно, то вся штриховка оценивается в 1 балл. Неправильно воспроизведенное количество элементов в детали рисунка не считается ошибкой, то есть не важно, сколько будет палочек на заборе, колец дыма или линий в штриховке крыши.

4. Неправильное расположение деталей в пространстве рисунка (1 балл). К ошибкам этого вида относятся: расположение забора не на общей с основой дома линии, а выше её, дом как будто висит в воздухе или ниже линии основы дома; смещение трубы к левому краю крыши; существенное смещение окна в любую сторону от центра; расположение дыма более чем на 30° отклонения от горизонтальной линии; основа крыши по размеру соответствует основе дома, а не превышает её (на образце крыша нависает над домом).

5. Отклонение прямых линий более чем на 30° от заданного направления (1 балл): вертикальных и горизонтальных линий, из которых состоит дом и крыша; палочек забора; изменение угла наклона боковых линий крыши (расположение их под прямым или тупым углом к основе крыши вместо острого); отклонение линии основы забора более чем на 30° от горизонтальной линии.

6. Разрывы между линиями в тех местах, где они должны быть соединены (1 балл за каждый разрыв). В том случае если линии штриховки на крыше не доходят до линии крыши, 1 балл ставится за всю штриховку в целом, а не за каждую неправильную линию штриховки.

7. Линии налезают друг на друга (1 балл за каждое налезание). В случае если линии штриховки на крыше залезают за линии крыши, 1 балл ставится за всю штриховку в целом, а не за каждую неправильную линию штриховки.

Хорошее выполнение рисунка оценивается в «0» баллов. Таким образом, чем хуже выполнено задание, тем выше суммарная оценка. Однако при интерпретации результатов эксперимента необходимо учитывать возраст ребёнка. Пятилетние дети почти не получают оценки «0» из-за недостаточной зрелости мозговых структур, отвечающих за сенсомоторную координацию.

При анализе детского рисунка необходимо обратить внимание на характер линий: очень жирные или «косматые» линии могут свидетельствовать о состоянии тревожности ребёнка. Но вывод о тревожности ни в коем случае нельзя делать лишь на основании этого рисунка. Подозрения необходимо проверить специальными методиками по определению тревожности.

Дети с зпр	Результаты в баллах	Дети в норме	результаты

Представим полученные данные в виде Гистограммы 1.

Гистограмма 1. Результаты, полученные по методике «Домик»

Постройте мне пожалуйста гистограму вот такую. Дети с задержкой психического развития имеют выше среднего (около 10%) и) средний уровень развития (около 30% и ниже среднего (60%)

В среднем дети с нормальным развитием имеют высокий уровень развития (около 60%), средний уровень развития (около 20%) и выше среднего 20%. Вы и тут тоже неправильно подписали мне преподаватель перечеркнул и сказал нечитаемо. вы должны были подписать 10 % выше среднего а не низкое как в 1-м красном столбце. Во 2 красном столбце подписать средний уровень развития (около 30%) а не низкий и в третьем красном ниже среднего 60. И вот по такой гистограмме вы должны построить измененную гистограмму. Я провела коррекционную работу и количество детей изменилось якобы: с низким уровнем ниже среднего большинство из них стало приближаться к среднему 60% детей, 40 % приближаться к высокому это дети со средним значением были. Т. Е. нужно построить экспериментальную группу и зпр: со средним 60 % и 40 высокое.

И мне нужно составить таблицу по критерию мани уитни нужно изменить данные опять таки чтобы ниже среднего уровень приближался к среднему и средний к высокому. Распишите пожалуйста таблицу количество испытуемых было 10 человек норма и 10 зпр. Просто мне не очень понятно как вы ранжировали как я понимаю вы подогнали результаты (об этом я вас просила) и проставили ранги а далее действовали по формуле… если не так то объясните. Грядёт защита курсовой. Расчёты будет проверять сам доцент кафедры психологии. Пожалуйста помогите..

Назначение U-критерия Манна-Уитни

Настоящий статистический метод был предложен Фрэнком Вилкоксоном (см. фото) в 1945 году. Однако в 1947 году метод был улучшен и расширен Х. Б. Манном и Д. Р. Уитни, посему U-критерий чаще называют их именами.

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 ,n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Описание U-критерия Манна-Уитни

Существует несколько способов использования критерия и несколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам (Гублер Е. В., 1978; Рунион Р., 1982; Захаров В. П., 1985; McCall R., 1970; Krauth J., 1988).

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. et al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы U - критерия Манна-Уитни

U -критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками (n 1 , n 2 ≥3 или n 1 =2, n 2 ≥5) по уровню количественно измеряемого признака.

Нулевая гипотеза H 0 ={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза - H 1 ={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й - другим.

2. Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.

3. Вновь разложить карточки по цвету на две группы.

5. Определить большую из двух ранговых сумм .

6. Вычислить эмпирическое значение U :

, где - количество испытуемых в - выборке (i = 1, 2), - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

7. Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение U кр (α) . Если , то H 0 на выбранном уровне значимости принимается.

Рассмотрим использование U критерия Манна-Уитни для нашего примера.

При ранжировании объединяем две выборки в одну. Ранги присваиваются в порядке возрастания значения измеряемой величины, т.е. наименьшему рангу соответствует наименьший балл. Заметим, что в случае совпадения баллов для нескольких испытуемых ранг такого балла следует считать, как среднее арифметическое тех позиций, которые занимают данные баллы при их расположении в порядке возрастания.

Используя предложенный принцип ранжирования, получим таблицу рангов. Заметим, что выбор среднего арифметического в качестве ранга применяется при любом ранжировании.

Чтобы использовать критерий Манна-Уитни, рассчитаем суммы рангов рассматриваемых выборок (см. таблицу).

Проведение исследования по методике дало следующие результаты:

Результаты расчета U-критерия Манна-Уитни по результатам исследования представлены в таблице 1 (ранжирование), на рисунке 1 (ось значимос ти):

Дети в норме Ранг 1 Дети с ЗПР Ранг 2 Суммы: 72.5 137.5 17,5 19

Сумма для первой выборки равна 72,5, для второй - 137,5. Обозначим наибольшую из этих сумм через T x (T x =137.5). Среди объёмов n 1 =10 и n 2 =10 выборок наибольший обозначим n x 17,5

Полученное эмпирическое значение U эмп (17,5) находится в зоне значимости, а, следовательно, наша гипотеза подтвердилась.

Критическое значение критерия находим по специальной таблице. Пусть уровень значимости равен 0.05.

Гипотеза H0 о незначительности различий между баллами двух выборок принимается, если < . В противном случае H0 отвергается и различие определяется как существенное.

Следовательно, различия в уровне можно считать существенными.

Схема использования критерия Манна-Уитни выглядит следующим образом

Методы математической обработки в психологии

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Возможности и ограничения параметрических и непараметрических критериев

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ	НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
1. Позволяют прямо оценить различия в средних, полученных в двух вы­борках (t - критерий Стьюдента).	Позволяют оценить лишь средние тенден­ции, например, ответить на вопрос, чаще ли в выборке А встречаются более высо­кие, а в выборке Б - более низкие значе­ния признака (критерии Q, U, φ и др.).
2. Позволяют прямо оценить различия в дисперсиях (критерий Фишера).	Позволяют оценить лишь различия в диа­пазонах вариативности признака (критерий φ).
3. Позволяют выявить тенденции изменения признака при переходе от условия к условию (дисперсионный однофакторный анализ), но лишь при условии нормального распреде­ления признака.	Позволяют выявить тенденции изменения признака при переходе от условия к усло­вию при любом распределении признака (критерии тенденций L и S).
4. Позволяют оценить взаимодействие двух и более факторов в их влиянии на изменения признака (двухфакторный дисперсионный анализ).	Эта возможность отсутствует.
5. Экспериментальные данные должны отвечать двум, а иногда трем, усло­виям: а) значения признака измерены по интервальной шкале; б) распределение признака является нормальным; в) в дисперсионном анализе должно соблюдаться требование равенства дисперсий в ячейках комплекса.	Экспериментальные данные могут не от­вечать ни одному из этих условий: а) значения признака могут быть пред­ставлены в любой шкале, начиная от шка­лы наименований; б) распределение признака может быть любым и совпадение его с каким-либо теоретическим законом распределения необязательно и не нуждается в проверке; в) требование равенства дисперсий отсут­ствует.
6. Математические расчеты довольно сложны.	Математические расчеты по большей час­ти просты и занимают мало времени (за исключением критериев χ 2 и λ).
7. Если условия, перечисленные в п.5, выполняются, параметрические кри­терии оказываются несколько более мощными, чем непараметрические.	Если условия, перечисленные в п.5, не выполняются, непараметрические критерии оказываются более мощными, чем пара­метрические, так как они менее чувстви­тельны к «засорениям».

Классификация задач и методов их решения

Задачи	Условия	Методы
1.Выявление различий в уровне исследуемого признака	а) 2 выборки испытуемых	Q- критерий Розенбаума; U - критерий Манна-Уитни; φ* - критерий (угловое преобразование Фишера)
б) 3 и более выбо­рок испытуемых	S - критерий тенденций Джонкира; Н - критерий Крускала-Уоллиса.
2. Оценка сдвига зна­чений исследуемого признака	а) 2 замера на од­ной и той же вы­борке испытуемых	Т - критерий Вилкоксона; G - критерий знаков; φ* - критерий (угловое преобразование Фишера).
б) 3 и более заме­ров на одной и той же выборке испы­туемых	χ л 2 - критерий Фридмана; L - критерий тенденций Пейджа.
3. Выявление различий в распределении	а) при сопоставлении эмпирического признака распределения с теоретическим	χ 2 - критерий Пирсона; λ - критерий Колмогорова-Смирнова; m - биномиальный критерий.
б) при сопоставле­нии двух эмпириче­ских распределений	χ 2 - критерий Пирсона; λ - критерий Колмогорова-Смирнова; φ* - критерий (угловое преобразование Фишера).
4.Выявление степени согласованности изменений	а) двух признаков
б) двух иерархий или профилей	r s - коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
5. Анализ изменений признака под влия­нием контролируе­мых условий	а) под влиянием одного фактора	S- критерий тенденций Джонкира; L - критерий тенденций Пейджа; однофакторный дисперсионный анализ Фишера.
б) под влиянием двух факторов одновременно	Двухфакторный дисперсионный анализ Фишера.

ГЛАВА II. ВЫЯВЛЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В УРОВНЕ ИССЛЕДУЕМОГО ПРИЗНАКА

Принятие решения о выборе метода математической об­работки

Если данные уже получены, то вам предлагается следующий ал­горитм определения задачи и метода.

АЛГОРИТМ 2

Принятие решения о задаче и методе обработки на стадии планирования исследования

1. Определите, какая модель вам кажется наиболее подходящей для доказательства ваших научных предположений.

2. Внимательно ознакомьтесь с описанием метода, примерами и задачами для самостоятельного решения, которые к нему прилагаются.

3. Если вы убедились, что это то, что вам нужно, вернитесь к разделу «Ограничения критерия» и решите, сможете ли вы собрать данные, которые будут отвечать этим ограничениям (большие объемы выборок, наличие не­скольких выборок, монотонно различающихся по какому-либо признаку, напри­мер, по возрасту и т.п.).

4. Проводите исследование, а затем обрабатывайте полученные данные по заранее! выбранному алгоритму, если вам удалось выполнить ограничения.

5. Если ограничения выполнить не удалось, обратитесь к алгоритму 1.

Алгоритм принятия решения о выборе критерия для сопоставлений

Q - критерий Розенбаума

Назначение критерия . Критерий используется для оценки различий между двумявы­борками по уровнюкакого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Пример.

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уро­вень вербального и невербального интеллекта с помощью методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от 18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет). 14 из них были студентами физического факультета, а 12 - студентами психологического факультета Ленинград­ского университета. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

АЛГОРИТМ 3 Подсчет критерия Q Розенбаума 1. Проверить, выполняются ли ограничения: n 1 ,n 2 ≥11, n 1 ,n 2 ≈n 2. 2. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени воз­растания признака. Считать выборкой 1 ту выборку, значения в ко­торой предположительно выше, а выборкой 2 - ту, где значения предположительно ниже. 3. Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2. 4. Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше макси­мального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S 1 . 5. Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1. 6. Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже мини­мального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S 2 . 7. Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Q=S 1 +S2 8. По Табл. I определить критические значения Q для данных n 1 и n 2 . Если Q эмп равно Q 0,05 или превышает его, уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в вы­борке 2. 9. При n 1 и n 2 >26сопоставить полученное эмпирическое значение с Q к p = 8 (р≤ 0,05) и Q к p = 10 (p≤ 0,01). Если Q эмп ≥ Q к p = 8, уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в вы­борке 2.

Таблица I. Критические значения критерия Q Розенбаума

n

p=0,05

7

p=0,01

U - критерий Манна-Уитни

Назначение критерия . Критерий предназначен для оценки различий между двумя вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n 1 ,n 2 ≥ 3 или n 1 =2, n 2 ≥5, и является более мощным, чем критерий Ро­зенбаума.

Пример

Уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше чем студентов психологического факультета Ленинградского университета. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот резуль­тат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Правила ранжирования

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количе­ству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех слу­чаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая опре­деляется по формуле:

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельст­вовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их сум­мировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

АЛГОРИТМ 4

Подсчет критерия U Манна-Уитни.

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания при­знака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему зна­чению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n 1 +п 2).

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить значение U по формуле:

где n 1 - количество испытуемых в выборке 1;

n 2 - количество испытуемых в выборке 2;

Т х - большая из двух ранговых сумм;

n х - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по Табл. II. Если U эмп ≤ U к p _ 005 , различия достоверны. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Таблица II. Критические значения критерия U Манна-Уитни

для уровней статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01.

n1

n2

p=0,05

-

-

p=0,01

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Таблица II. Продолжение

n 1

n 2

p=0,05

р=0,01

Таблица II. Продолжение