Гамма излучение представляет собой довольно серьезную опасность для человеческого организма, да и для всего живого в общем.

Это электромагнитные волны с очень маленькой длиной и высокой скоростью распространения.

Чем же они так опасны, и каким образом можно защититься от их воздействия?

О гамме излучение

Все знают, что атомы всех веществ содержат в себе ядро и электроны, которые вращаются вокруг него. Как правило, ядро – это довольно стойкое образование, которому трудно нанести повреждения.

При этом существуют вещества, ядра которых неустойчивы, и при некотором воздействии на них происходит излучение их составляющих. Такой процесс называется радиоактивным, он имеет определенные составляющие, названные по первым буквам греческого алфавита:

• гамма излучения.

Стоит отметить, что радиационный процесс подразделяется на два вида в зависимости от того, что именно в результате выделяется.

Виды:

1. Поток лучей с выделением частиц – альфа, бета и нейтронное;
2. Излучение энергии – рентгеновское и гамма.

Гамма излучение – это поток энергии в виде фотонов. Процесс разделения атомов под воздействием радиации сопровождается образованием новых веществ. При этом атомы вновь образовавшегося продукта имеют довольно нестабильное состояние. Постепенно при взаимодействии элементарных частиц возникает восстановление равновесия. В результате происходит выброс лишней энергии в виде гаммы.

Проникающая способность такого потока лучей очень высока. Оно способно проникать через кожные покровы, ткани, одежду. Более тяжелым будет проникновение через металл. Чтобы задержать такие лучи необходима довольно толстая стена из стали или бетона. Однако длина волныγ-излучения очень мала и составляет меньше 2·10 −10 м, а ее частота находится в диапазоне 3*1019 – 3*1021 Гц.

Гамма частицами являются фотоны с довольно высокой энергией. Исследователи утверждают, что энергия гаммы излучения может превышать показатель 10 5 эВ. При этом граница между рентгеновскими и γ-лучами далеко не резкая.

Источники:

• Различные процессы в космическом пространстве,
• Распад частиц в процессе опытов и исследований,
• Переход ядра элемента из состояния с большой энергией в состояние покоя или с меньшей энергией,
• Процесс торможения заряженных частиц в среде либо движение их в магнитном поле.

Открыл гамма излучение французский физик Поль Виллар в 1900 году, проводя исследование излучения радия.

Чем опасно гамма-излучение

Гамма излучение является наиболее опасным, нежели альфа и бета.

Механизм действия:

• Гамма лучи способны проникать через кожные покровы внутрь живых клеток, в результате происходит их повреждение и дальнейшее разрушение.
• Поврежденные молекулы провоцируют ионизацию новых таких же частиц.
• В результате возникает изменение в структуре вещества. Пострадавшие частицы при этом начинают разлагаться и превращаться в токсические вещества.
• В итоге происходит образование новых клеток, но они уже с определенным дефектом и поэтому не могут полноценно работать.

Гамма излучения опасно тем, что такое взаимодействие человека с лучами не ощущается им ни в коей мере. Дело в том, что каждый орган и система человеческого организма реагирует по-разному на γ-лучи. Прежде всего, страдают клетки, способные быстро делиться.

Системы:

• Лимфатическая,
• Сердечная,
• Пищеварительная,
• Кроветворная,
• Половая.

Оказывается негативное влияние и на генетическом уровне. Кроме того, такое излучение имеет свойство накапливаться в человеческом организме. При этом в первое время оно практически не проявляется.

Где применяется гамма-излучение

Несмотря на негативное влияние, ученые нашли и положительные стороны. В настоящее время такие лучи применяются в различных сферах жизни.

Гамма излучение — применение:

• В геологических исследованиях с их помощью определяют длину скважин.
• Стерилизация различных медицинских инструментов.
• Используется для контроля внутреннего состояния различных вещей.
• Точное моделирование пути космических аппаратов.
• В растениеводстве применяется для вывода новых сортов растений из тех, что мутируют под воздействием лучей.

Излучение гамма частиц нашло свое применение в медицине. Используется оно в терапии онкологических больных. Такой метод имеет название «лучевая терапия» и основывается на воздействии лучей на быстро делящиеся клетки. В результате при правильном использовании появляется возможность уменьшить развитие патологических клеток опухоли. Однако такой метод, как правило, применяется в том случае, когда другие уже бессильны.

Отдельно стоит сказать о влияние его на мозг человека

Современные исследования позволили установить, что мозг постоянно испускает электрические импульсы. Ученые считают, что гамма излучения возникает в те моменты, когда человеку приходится работать с разной информацией одновременно. При этом небольшое количество таких волн ведет к уменьшению запоминающей способности.

Как защититься от гамма-излучения

Какая же защита существует, и что сделать, чтобы уберечься от этих вредных лучей?

В современном мире человек окружен различными излучениями со всех сторон. Однако гамма частицы из космоса оказывают минимальное воздействие. А вот то, что находится вокруг представляет гораздо большую опасность. Особенно это относится к людям, работающим на различных атомных станциях. В таком случае защита от гамма излучения состоит в применении некоторых мер.

Меры:

• Не находится длительное время в местах с таким излучением. Чем дольше времени человек находится под воздействием этих лучей, тем больше разрушений возникнет в организме.
• Не стоит находиться там, где расположены источники излучения.
• Необходимо использовать защитную одежду. В ее состав входит резина, пластик с наполнителями из свинца и его соединений.

Стоит отметить, что коэффициент ослабления гамма излучения зависит от того, из какого материала сделан защитный барьер. Так, например, лучшим металлом считается свинец в виду его свойства поглощать излучение в большом количестве. Однако он плавится при довольно низких температурах, поэтому в некоторых условиях используется более дорогой металл, например, вольфрам или тантал.

Еще один способ обезопасить себя – это измерить мощность гамма излучения в Вт. Кроме того, мощность измеряется также в зивертах и рентгенах.

Норма гамма излучения не должна превышать 0,5 микрозиверта в час. Однако лучше если этот показатель не будет выше 0,2 микрозиверта в час.

Чтобы измерить гамма излучение, применяется специальное устройство – дозиметр. Таких приборов существует довольно много. Часто используется такой аппарат, как «дозиметр гамма излучения дкг 07д дрозд». Он предназначен для оперативного и качественного измерения гамма и рентгеновского излучения.

У такого устройства есть два независимых канала, которые могут измерять МЭД и Эквивалент дозировки. МЭД гамма излучения это мощность эквивалентной дозировки, то есть количество энергии, которую поглощает вещество в единицу времени с учетом того, какое воздействие лучи оказывают на человеческий организм. Для этого показателя также существуют определенные нормы, которые обязательно должны быть учтены.

Излучение способно негативно влиять на организм человека, однако даже для него нашлось применение в некоторых сферах жизни.

Видео: Гамма-излучение

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

Он представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.

Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

2.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz ) при R(z ) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t (z-1) . Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z ) - голоморфная функция при R (z ) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z ) 0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

где - голоморфная функция в окрестности z = 0 . Из формулы (2.1) следует:

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.

Также легко получить:

то есть в окрестности точки функция Г(z ) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).

Разностное уравнение для I(z ) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z ):

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки ____________________________________________________________________________

После разделения переменных получим:

Проинтегрировав получаем:

Переход к прообразу Лапласа дает:

В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.

Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

Интегральное представление

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция 1/Г(z ) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.

С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

2.5 Предельная форма Эйлера

Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (2.3) представить

Тогда интегральное представление гамма-функции:

В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при внутри интеграла. Приведем результат:

Возьмем по частям этот интеграл:

Если провести эту процедуру n раз, получим:

Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:

2.6 Формула для произведения

Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление гамма-функций.

Повторный интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:

Несобственный интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном интеграле сделаем замену переменных:

Якобиан этой замены

Пределы интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результате получим:

Перепишем опять этот интеграл как повторный, в результате получим:

где Rp > 0, Rv > 0.

2. Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем,что интеграл:

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

Очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

4. Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что ,имеем

и на основании (2.8) имеем

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая на конец,,получим

в пределе при т.е. при (см 4.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

где ,при

для достаточно больших полагают

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Вычислить интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10 -10 . Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Значения коэффициентов C k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов, М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

Реферат............................................................. ...................................3

Введение........................................................... ...................................4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция................................................. ...................................8

2.1. Определение………………………………………………...8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы…………………………..10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле………..10

2.5. Предельная форма Эйлера………………………………...12

2.6. Формула для произведения………………………………..13

Производная гамма функции........................ ..................................15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга...........................18

Примеры вычислений интегралов................... ..................................23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение....................................................... ..................................25

Список литературы……………………………………………..............26

Приложения……………………………………………………………..27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

х	g(x)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

#include

#include

#include

#include

#include

static double cof={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

double GammLn(double x) {

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

#include

#include

#include

#include

Double gam(double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

If(a==0) return fc;

For (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

}while (Y>30);

}while (X<700);

}while (X<=620);

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

If(Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

Line (30,30,30,10);

Line(620,450,640,450);

Line(30,10,25,15);

Line(30,10,25,15);

Line(640,450,635,445);

Line(640,450,635,455);

Line(170,445,170,455);

Line(320,445,320,455);

Line(470,445,470,455);

Line(620,445,620,455);

Line(25,366,35,366);

Line(25,282,35,282);

Line(25,114,35,114);

Line(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Экспериментально установлено, что -излучение (см. § 255) не является самостоятельным видом радиоактивности, а только сопровождает - и -распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т.д. -Спектр является линейчатым. -Спектр - это распределение числа -квантов по энергиям (такое же толкование -спектра дано в § 258). Дискретность -спектра имеет принципиальное значение, так как является доказательством дискретности энергетических состояний атомных ядер.

В настоящее время твердо установлено, что -излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбужденным, за время примерно 10 -13 -10 -14 с, значительно меньшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10 -8 с), переходит в основное состояние с испусканием -излучения. Возвращаясь в основное состояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, поэтому -излучение одного и того же радиоактивного изотопа может содержать несколько групп -квантов, отличающихся одна от другой своей энергией.

При -излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не описывается никакими правилами смещения. -Излучение большинства ядер является столь коротковолновым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтому -излучение рассматривают как поток частиц - -квантов. При радиоактивных распадах различных ядер -кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5 МэВ.

Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состояние не только при испускании -кванта, но и при непосредственной передаче энергии возбуждения (без предварительного испускания -кванта) одному из электронов того же атома. При этом испускается так называемый электрон конверсии . Само явление называется внутренней конверсией . Внутренняя конверсия - процесс, конкурирующий с -излучением.

Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, зависящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон вырывается, и от энергии Е , отдаваемой ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Если вся энергия Е выделяется в виде -кванта, то частота излучения определяется из известного соотношения . Если же испускаются электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е – А К , Е – A L , ... , где А К , A L , ... - работа выхода электрона из К - и L -оболочек. Моноэнергетичность электронов конверсии позволяет отличить их от { -электронов, спектр которых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона вакантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электронами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде, поэтому при прохождении -излучения сквозь вещество они либо поглощаются, либо рассеиваются им. -Кванты не несут электрического заряда и тем самым не испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка -квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослабляется интенсивность, изменение которой описывается экспоненциальным законом ( и - интенсивности -излучения на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, - коэффициент поглощения). Так как -излучение - самое проникающее излучение, то для многих веществ - очень малая величина; зависит от свойств вещества и от энергии -квантов.

Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электродинамике доказывается, что основными процессами, сопровождающими прохождение -излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.

Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение -излучения ,- это процесс, при котором атом поглощает -квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободившееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек, и фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фотоэффект является преобладающим механизмом поглощения в области малых энергий -квантов ( £ 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить -квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

По мере увеличения энергии -квантов ( » 0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия -квантов с веществом является комптоновское рассеяние (см. § 206).

При > 1,02 МэВ = 2 2 ( - масса покоя электрона) становится возможным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероятность этого процесса пропорциональна Z 2 и увеличивается с ростом . Поэтому при » 10 МэВ основным процессом взаимодействия -излучения в любом веществе является образование электронно-позитронных пар .

Если энергия -кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7 – 8 МэВ), то в результате поглощения -кванта может наблюдаться ядерный фотоэффект - выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.

Большая проникающая способность -излучения используется в гамма-дефектоскопии - методе дефектоскопии, основанном на различном поглощении -излу-чения при распространении его на одинаковое расстояние в разных средах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) определяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

Воздействие -излучения (а также других видов ионизирующего излучения) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения . Различаются:

Поглощенная доза излучения - физическая величина, равная отношению энергии излучения к массе облучаемого вещества. Единица поглощенной дозы излучения - грей (Гр) (С. Грей (1666-1736) - английский физик): 1 Гр = 1 Дж/кг - доза излучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.

Экспозиционная доза излучения - физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха. Единица экспозиционной дозы излучения - кулон на килограмм (Кл/кг); внесистемной единицей является рентген (Р): 1 Р = 2,58×10 -4 Кл/кг.

Биологическая доза - величина, определяющая воздействие излучения на организм. Единица биологической дозы - биологический эквивалент рентгена (бэр): 1 бэр - доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биологическое действие, как и доза рентгеновского или -излучения в 1 P (1 бэр = 10 -2 Дж/кг).

Мощность дозы излучения - величина, равная отношению дозы излучения к времени облучения. Различают: 1) мощность поглощенной дозы (единица - грей на секунду (Гр/с)); 2) мощность экспозиционной дозы (единица - ампер на килограмм (А/кг)).

§ 260. Резонансное поглощение -излучения (эффект Мёссбауэра)

Как уже указывалось, дискретный спектр -излучения обусловлен дискретностью энергетических уровней ядер атомов. Однако, как следует из соотношения неопределенностей (215.5), энергия возбужденных состояний ядра принимает значения в пределах , где - время жизни ядра в возбужденном состоянии. Следовательно, чем меньше , тем больше неопределенность энергии возбужденного состояния. = 0 только для основного состояния стабильного ядра (для него ). Неопределенность энергии квантово-механической системы (например, атома), обладающей дискретными уровнями энергии, определяет естественную ширину энергетического уровня (Г ). Например, при времени жизни возбужденного состояния, равного 10 -13 с, естественная ширина энергетического уровня примерно 10 -2 эВ.

Неопределенность энергии возбужденного состояния, обусловливаемая конечным временем жизни возбужденных состояний ядра, приводит к немонохроматичности -излучения, испускаемого при переходе ядра из возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной шириной линии -излучения.

При прохождении -излучения в веществе помимо описанных выше (см. § 259) процессов (фотоэффект, комптоновское рассеяние, образование электронно-позитронных пар) должны в принципе наблюдаться также резонансные эффекты. Если ядро облучить -квантами с энергией, равной разности одного из возбужденных и основного энергетических состояний ядра, то может иметь место резонансное поглощение -излучения ядрами : ядро поглощает -квант той же частоты, что и частота излучаемого ядром -кванта при переходе ядра из данного возбужденного состояния в основное.

Наблюдение резонансного поглощения -квантов ядрами считалось долгое время невозможным, так как при переходе ядра из возбужденного состояния с энергией Е в основное (его энергия принята равной нулю) излучаемый -квант имеет энергию несколько меньшую, чем Е , из-за отдачи ядра в процессе излучения:

где - кинетическая энергия отдачи ядра. При возбуждении же ядра и переходе его из основного состояния в возбужденное с энергией Е -квант должен иметь энергию несколько большую, чем Е , т. е.

где - энергия отдачи, которую -квант должен передать поглощающему ядру.

Таким образом, максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты друг относительно друга на величину 2 (рис.344). Используя закон сохранения импульса, согласно которому в рассмотренных процессах излучения и поглощения импульсы -кванта и ядра должны быть равны, получим

Например, возбужденное состояние изотопа иридия имеет энергию 129 кэВ, а время его жизни порядка 10 -10 с, так что ширина уровня Г » 4×10 -5 эВ. Энергия же отдачи при излучении с этого уровня, согласно (260.1), приблизительно равна 5×10 -2 эВ, т.е. на три порядка больше ширины уровня. Естественно, что никакое резонансное поглощение в таких условиях невозможно (для наблюдения резонансного поглощения линия поглощения должна совпадать с линией излучения). Из опытов также следовало, что на свободных ядрах резонансное поглощение не наблюдается.

Резонансное поглощение -излучения в принципе может быть получено только при компенсации потери энергии на отдачу ядра. Эту задачу решил в 1958 г. Р. Мёссбауэр (Р. Мёссбауэр (р. 1929) - немецкий физик, Нобелевская премия 1961 г.). Он исследовал излучение и поглощение -излучения в ядрах, находящихся в кристаллической решетке, т. е. в связанном состоянии (опыты проводились при низкой температуре). В данном случае импульс и энергия отдачи передаются не одному ядру, излучающему (поглощающему) -квант, a всей кристаллической решетке в целом. Так как кристалл обладает гораздо большей массой по сравнению с массой отдельного ядра, то в соответствии с формулой (260.1) потери энергии на отдачу становятся исчезающе малыми. Поэтому процессы излучения и поглощения -излучения происходят практически без потерь энергии (идеально упруго).

Явление упругого испускания (поглощения) -квантов атомными ядрами, связанными в твердом теле, не сопровождающееся изменением внутренней энергии тела, называется эффектом Мёссбауэра . При рассмотренных условиях линии излучения и поглощения -излучения практически совпадают и имеют весьма малую ширину, равную естественной ширине Г . Эффект Мёссбауэра был открыт на глубоко охлажденном (с понижением температуры колебания решетки «замораживаются»), а впоследствии обнаружен более чем на 20 стабильных изотопах (например, 57 Fe , 67 Zn и т. д.).

Мёссбауэр вооружил экспериментальную физику новым методом измерений невиданной прежде точности. Эффект Мёссбауэра позволяет измерять энергии (частоты) излучения с относительной точностью Г/Е = 10 -15 ¸ 10 -17 , поэтому во многих областях науки и техники может служить тончайшим «инструментом» различного рода измерений. Появилась возможность измерять тончайшие детали -линий, внутренние магнитные и электрические поля в твердых телах и т. д.

Внешнее воздействие (например, зеемановское расщепление ядерных уровней или смещение энергии фотонов при движении в поле тяжести) может привести к очень малому смещению либо линии поглощения, либо линии излучения, иными словами, привести к ослаблению или исчезновению эффекта Мёссбауэра. Это смещение, следовательно, может быть зафиксировано. Подобным образом в лабораторных условиях был обнаружен (1960) такой тончайший эффект, как «гравитационное красное смещение», предсказанный общей теорией относительности Эйнштейна.

Гамма-излучение и его свойства

Гамма-излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны l < 10 -10 м и вследствие этого – ярко выраженными корпускулярными свойствами, т.е. является потоком частиц – g-квантов, или фотонов, с энергией hn (n – частота излучения, h – постоянная Планка). На шкале электромагнитных волн гамма-излучение граничит с жестким рентгеновским излучением, занимая область более высоких частот.

Экспериментально установлено, что g-излучение не является самостоятельным видом радиоактивности. Оно сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т.п.

Сопровождающее распад радиоактивных ядер, гамма-излучение, испускается при переходах ядра из более возбужденного энергетического состояния в менее возбужденное или в основное. Энергия g-кванта равна разности энергий De состояний, между которыми происходит переход.

Возбужденное состояние

Основное состояние ядра Е1

Испускание ядром g-кванта не ведет к изменению атомного номера или массового числа. Ширина линий гамма-излучения очень мала (~10 -2 эВ). Поскольку расстояние между уровнями во много раз больше ширины линий, спектр гамма-излучения является линейчатым, т.е. состоит из ряда дискретных линий. При помощи исследования спектров гамма-излучения можно установить энергии возбужденных состояний ядер. Гамма-кванты больших энергий испускаются при распадах некоторых элементарных частиц. Так, при распаде покоящегося p 0 - мезона возникает гамма-излучение с энергией ~70 МэВ. Гамма-излучение при распаде элементарных частиц также обладает линейчатым спектром. Однако распадающиеся элементарные частицы очень часто движутся со скоростями, равными, примерно, скорости света, вследствие чего возникает доплеровское уширение спектральных линий и спектр гамма-излучения оказывается размытым в широком интервале энергий. Возникающее при прохождении быстрых заряженных частиц через вещество, гамма-излучение вызывается их торможением в кулоновском поле атомных ядер вещества. Тормозное гамма-излучение, также как и тормозное рентгеновское излучение, характеризуется сплошным спектром, верхняя граница которого совпадает с энергией заряженной частицы, например электрона. В ускорителях заряженных частиц получают тормозное гамма-излучение с максимальной энергией, достигающей несколько десятков ГэВ.

В межзвёздном пространстве гамма-излучение возникает в результате соударений квантов более мягкого длинноволнового электромагнитного излучения, например света, с электронами, ускоренными магнитными полями космических объектов. При этом быстрый электрон передает свою энергию электромагнитному излучению и видимый свет превращается в более жесткое гамма-излучение.

Подобное явление встречается и на Земле при столкновении электронов большой энергии, получаемых на ускорителях, с фотонами видимого света в интенсивных пучках света, создаваемых лазерами. Электрон передает энергию световому фотону, который превращается в g-квант. Можно на практике превращать отдельные фотоны света в кванты гамма-излучения высокой энергии.

Гамма-излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см). Основные процессы, происходящие при взаимодействии гамма-излучения с веществом, – фотоэлектрическое поглощение (фотоэффект), комптоновское рассеяние (комптон-эффект) и образование пар электрон-позитрон. Фотоэффект – это процесс, при котором атом поглощает гамма-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома. То освобождающееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек. И фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Вероятность фотоэффекта прямо пропорциональна пятой степени атомного номера элемента и обратно пропорциональна 3-й степени энергии гамма-излучения. Таким образом, фотоэффект преобладает в области малых энергии g-квантов (~ 100 кэВ) на тяжелых элементах (Pb, U).

При комптон-эффект происходит рассеяние g-кванта на одном из электронов, слабо связанных в атоме. В отличие от фотоэффекта, при комптон-эффекте g-квант не исчезает, а лишь изменяет энергию (длину волны) и направление распространения. Узкий пучок гамма-лучей в результате комптон-эффекта становится более широким, а само излучение – более мягким (длинноволновым). Интенсивность комптоновского рассеяния пропорциональна числу электронов в 1 см 3 вещества, и поэтому вероятность этого процесса пропорциональна атомному номеру вещества. Комптон-эффект становится заметным в веществах с малым атомным номером и при энергиях гамма-излучения, превышающих энергию связи электронов в атомах. Так, в случае Pb вероятность комптоновского рассеяния сравнима с вероятностью фотоэлектрического поглощения при энергии ~ 0,5 МэВ. В случае Al комптон-эффект преобладает при гораздо меньших энергиях.

При энергии гамма-кванта > 10 МэВ основным процессом взаимодействия гамма-излучения в любом веществе является образование электронно-позитронных пар в электрическом поле ядер. Вероятность образования пар пропорциональна квадрату атомного номера и увеличивается с ростом hn . Поэтому при hn ~10 МэВ основным процессом в любом веществе оказывается образование пар.

0,1 0,5 1 2 5 10 50

Энергия γ-лучей (МэВ)

Обратный процесс аннигиляции электрон-позитронной пары является источником гамма-излучения.

Для характеристики ослабления гамма-излучения в веществе обычно пользуются коэффициентом поглощения, показывающим, на какой толщине Х поглотителя интенсивность I 0 падающего пучка гамма-излучение ослабляется в е раз:

Здесь μ 0 – линейный коэффициент поглощения гамма-излучения. Иногда вводят массовый коэффициент поглощения, равный отношению μ 0 к плотности поглотителя.

Этот закон ослабления гамма-излучения справедлив только для узко направленного пучка гамма-лучей, при котором любой процесс, как поглощения, так и рассеяния, выводит гамма-излучение из состава первичного пучка. Пир высоких же энергиях процесс прохождения гамма-излучения через вещество несколько усложняется. Вторичные электроны и позитроны обладают большой энергией и, значит, могут, в свою очередь, создавать гамма-излучение благодаря процессам торможения и аннигиляции. Таким образом, в веществе возникает ряд чередующихся поколений вторичного гамма-излучения, электронов и позитронов, то есть происходит развитие каскадного ливня. Число вторичных частиц в таком ливне вначале возрастает с ростом толщины вещества, достигая максимума. Однако затем процессы поглощения начинают преобладать над процессами размножения частиц и ливень затухает. Способность гамма-излучения развивать ливни зависит от соотношения между его энергией и так называемой критической энергией, после которой каскадный ливень в данном веществе практически теряет способность развиваться.

В экспериментальной физике для изменения энергии гамма-излучения применяются гамма-спектрометры различных типов, которые основаны, в основном, на измерении энергии вторичных электронов. Типы спектрометров гамма-излучения: магнитные, сцинтиляционные, полупроводниковые и кристалл-дифракционные.

Изучение спектров ядерных гамма-излучений дает важную информацию о структуре ядер. Наблюдение эффектов, связанных с влиянием внешней среды на свойства ядерного гамма-излучения используется для изучения свойств твёрдых тел.

Гамма-излучение широко применяется в технике, например, для обнаружения дефектов в металлах используется гамма-дефектоскопия. Этот метод основан на различном поглощении гамма-излучения при распространении его на одинаковые расстояния в разных средах. Местоположение и размеры дефектов определяются по различию в интенсивностях излучения. Прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

В радиационной химии гамма-излучение применяется для инициирования химических превращений, например процессов полимеризации. В пищевой промышленности гамма-излучение используется для стерилизации продуктов питания. Основными источниками гамма-излучения служат естественные и искусственные радиоактивные изотопы, а также электронные ускорители.

Воздействие на организм гамма-излучения подобно действию других видов ионизирующих излучений. Гамма-излучение может вызывать лучевое поражение организма, вплоть до его гибели. Характер влияния гамма-излучения зависит от энергии g-квантов и пространственных особенностей облучения, например, он различен для случая внешнего и внутреннего облучения. Относительная биологическая эффективность гамма-излучения составляет 0,7–0,9. В производственных условиях (хроническое воздействие в малых дозах) относительная биологическая эффективность гамма-излучения принята равной 1.

Гамма-излучение используется в медицине для лечения опухолей, для стерилизации помещений, аппаратуры и лекарственных препаратов. Гамма-излучение применяют также для получения мутаций с последующим отбором хозяйственно-полезных форм. Так выводят высокопродуктивные сорта микроорганизмов (например, для получения антибиотиков) и растений.

Возможности лучевой терапии значительно расширились за счёт средств и методов дистанционной гамма-теропии. Успехи дистанционной гамма-терапии достигнуты в результате большой работы в области использования мощных искусственных радиоактивных источников гамма-излучения (кобальт-60, цезий-137), а также новых гамма-препаратов.

Большое значение дистанционной гамма-терапии объясняется также сравнительной доступностью и удобствами использования гамма-аппаратов. Гамма-аппараты, так же как и рентгеновские аппараты, конструируют для статического и подвижного облучения. С помощью подвижного облучения стремятся создать большую дозу в опухоли при рассредоточенном облучении здоровых тканей. Разработаны конструктивные усовершенствования гамма-аппаратов, направленные на уменьшение полутени, улучшение гомогенности полей, использование фильтров типа жалюзи и поиски дополнительных возможностей защиты.

В растениеводстве использование ядерных излучений дает обширные возможности для изменения обмена веществ у сельскохозяйственных растений, повышение их урожайности, ускорения развития и улучшения качества.

Уже в первых исследованиях радиобиологов было установлено, что ионизирующая радиация – мощный фактор воздействия на рост, развитие и обмен веществ в живых организмах. Под влиянием гамма-облучения у растений, животных или микроорганизмов меняется слаженный обмен веществ, ускоряется или замедляется (в зависимости от дозы) течение физиологических процессов, наблюдаются сдвиги в росте, развитии, формировании урожая.

Нужно подчеркнуть, что при гамма-облучении в семена не поступают радиоактивные вещества. Облученные семена, как и выращенный из них урожай, нерадиоактивны. Оптимальные дозы облучения только ускоряют нормальные процессы, происходящие в растении, и поэтому совершенно необоснованны какие-либо опасения и предостережения против использования в пищу урожая, полученного из семян, подвергавшихся предпосевному облучению.

Ионизирующие излучения применяются для повышения сроков хранения сельскохозяйственных продуктов и уничтожения различных насекомых-вредителей. Например, если зерно перед загрузкой в элеватор пропустить через бункер, где установлен мощный источник радиации, то возможность размножения насекомых-вредителей будет исключена и зерно сможет храниться длительное время без каких-либо потерь. Употребление его в качестве корма не вызвало никаких отклонений в росте, способности к размножению и других патологических отклонений от нормы у четырех поколений экспериментальных животных.

ГАММА-ФУНКЦИЯ, Г-функция,- трансцендентная функция T(z), распространяющая значения факториала z! на случай любого комплексного z ≠ 0, -1, -2, .... Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения

из к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интеграл второго рода)

верное для Re z > 0. Многозначность функции x z-1 устраняется формулой x z-1 = e (z-1)ln x с действительным ln х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

На всей плоскости z с выброшенными точками z = 0, -1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где s z-1 = e (z-1)ln s , причем ln s есть ветвь логарифма, для к-рой 0

Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

zГ(z) = Г(z + 1),

Г(1) = 1, Г(n + 1) = n!, если n > 0 - целое, при этом считают 0! = Г(1) = 1.

2) Формула дополнения Эйлера:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

В частности,

если n > 0 - целое, то

y - действительное.

3) Формула умножения Гаусса:

При m = 2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При Rе z ≥ δ > 0 или |Im z| ≥ δ > 0 имеет место асимптотич. разложение ln Г(z) в ряд Стирлинга:

где B 2n - Бернулли числа. Из чего следует равенство

В частности,

Более точной является формула Сонина :

5) В действительной области Г(х) > 0 для х > 0 и принимает знак (-1) k+1 на участках -k - 1

ГГ"" > Г" 2 ≥ 0,

т. е. все ветви как |Г(x)|, так и ln |Г(х)| - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения

Г(1 + х) = хГ(х)

с точностью до постоянного множителя.

Рис. 2. График функции y = Г(х).

Для положительных х Г.-ф. имеет единственный минимум при х = 1,4616321..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции |Г(х)| при х → -∞ образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

Рис. 3. График функции 1/Г(x).

6) В комплексной области, при Re z > 0, Г.-ф. быстро убывает при |Im z| → -∞

7) Функция 1/Г(z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при Г → ∞

ln М(r) ~ r ln r,

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:

абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля:

где контур С * изображен на рис. 4.

Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным .

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся к-ми производными от ln Г(z). Функция (ψ-функция Гаусса)

мероморфна, имеет простые полюсы в точках z = 0,- 1,_-2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Из представления ψ(z) при |z|

эта формула полезна для вычисления Г(z) в окрестности точки z = 1.

О других полигамма-функциях см. . Неполная гамма-функция определяется равенством

Функции Г(z), ψ(z) суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.: Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; Nielsen N.. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер. с франц., 2 изд., М., 1967.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.