Понятие логарифмической функции
Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.
Определение 1
Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.
Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty)$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty)$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty)$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.
Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $0
Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.
1%24"> Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$
Рассмотрим свойства данной функции.
С осью $Oy$ пересечений нет.
Функция положительна, при $x\in (1,+\infty)$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$
$y"=\frac{1}{xlna}$;
Точки минимума и максимума:
Функция возрастает на всей области определения;
$y^{""}=-\frac{1}{x^2lna}$;
\[-\frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;
${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;
График функции (Рис. 1).
Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$
Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0
Рассмотрим свойства данной функции.
Область определения -- интервал $(0,+\infty)$;
Область значения -- все действительные числа;
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$ пересечений нет.
При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).
Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty)$
$y"=\frac{1}{xlna}$;
Точки минимума и максимума:
\[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]
Точек максимума и минимума нет.
$y^{""}=-\frac{1}{x^2lna}$;
Промежутки выпуклости и вогнутости:
\[-\frac{1}{x^2lna}>0\]
График функции (Рис. 2).
Примеры исследования и построения логарифмических функций
Пример 1
Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x\ }$
Область определения -- интервал $(0,+\infty)$;
Область значения -- все действительные числа;
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$ пересечений нет.
При $y=0$, $2-{{log}_2 x\ }=0,\ x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).
Функция положительна, при $x\in (0,4)$ и отрицательна, при $x\in (4,+\infty)$
$y"=-\frac{1}{xln2}$;
Точки минимума и максимума:
\[-\frac{1}{xln2}=0-корней\ нет\]
Точек максимума и минимума нет.
Функция убывает на всей области определения;
$y^{""}=\frac{1}{x^2ln2}$;
Промежутки выпуклости и вогнутости:
\[\frac{1}{x^2ln2} >0\]
Функция вогнута на всей области определения;
${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;
Рисунок 3.
Логарифмическая функция обозначается
её y, соответствующее значению х, называется натуральным числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
(е - ). Т. к. e y > 0 при любом действительном у, то Логарифмическая функция определена только при х > 0. В более общем смысле Логарифмическая функция называют функцию
где а > 0 (а ¹ 1) - произвольное . Однако в математическом анализе особое имеет функция InX; функция log a X приводится к ней по формуле:
где М = 1/In а. Логарифмическая функция - одна из основных ; её график (рис. 1 ) носит название . Основные Логарифмическая функция вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Логарифмическая функция удовлетворяет функциональному уравнению
Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.
Для 1 < х, 1 справедливо разложение Логарифмическая функция в степенной ряд:
ln(1 + x) = x 
Многие выражаются через Логарифмическая функция; например
,
.
Логарифмическая функция постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Логарифмическая функция была хорошо известна 17 в. Впервые зависимость между переменными , выражаемая Логарифмическая функция, рассматривалась Дж. (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2 ). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со , пропорциональной её до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = kx, откуда .
Логарифмическая функция на комплексной является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех z ¹ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
Inz = In½ z½ + i arg z,
Cтраница 1
Логарифмическая функция (80) осуществляет обратное отображение всей плоскости w с разрезом на полосу - я / /: я, бес-конечнолистную риманову поверхность на полную z - плоскость.
Логарифмическая функция: у logaх, где основание логарифмов а-положительное число, не равное единице.
Логарифмическая функция играет специальную роль в разработке и анализе алгоритмов, поэтому ее стоит рассмотреть подробнее. Поскольку мы часто имеем дело с аналитическими результатами, в которых опущен постоянный множитель, мы используем запись log TV, опуская основание. Изменение основания логарифма меняет значение логарифма лишь на постоянный множитель, однако, в определенном контексте возникают специальные значения основания логарифма.
Логарифмическая функция обратна показательной. График ее (рис. 247) получается из графика показательной функции (при том же основании) перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла. Так же получается график всякой обратной функции.
Логарифмическая функция вводится Затем как обратная показательной. Свойства обеих функций выводятся без труда из этих определений. Именно это определение получило одобрение Гаусса, который вместе с тем выразил несогласие с оценкой, данной ему в рецензии Геттинген-ских ученых известий. При этом Гаусс подошел к вопросу с более широкой точки зрения, чем да Кунья. Последний ограничился рассмотрением показательной и логарифмической функций в действительной области, между тем как Гаусс распространил их определение на комплексные переменные.
Логарифмическая функция y logax монотонна во всей области своего определения.
Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а I, При 0 а 1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
Логарифмическая функция определена только для положительных значений х и взаимно однозначно отображает интервал (0; 4 - ос.
Логарифмическая функция у loga х является обратной функцией по отношению к показательной функции уах.
Логарифмическая функция: y ogax, где основание логарифмов а - положительное число, не равное единице.
Логарифмические функции хорошо сочетаются с физическими представлениями о характере ползучести полиэтилена в условиях, когда скорость деформации невелика. В этом отношении они совпадают с уравнением Андрааде, поэтому их иногда применяют для аппроксимации экспериментальных данных.
Логарифмическая функция, или натуральный логарифм, и In z, определяется решением трансцендентного уравнения г еи относительно и. В области действительных значений х и у при условии х 0 это уравнение допускает единственное решение.
Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.
Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.
Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.
Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:
Логарифмирование
Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.
Примеры:
Функция логарифма и ее свойства
Логарифмическая функция имеет вид
Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.
Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:
- область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
- ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка (— ∞; +∞);
- если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
- если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
- логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
- кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).
Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере
Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.
Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.
Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.
Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log 2 x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.
В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log 2 (x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.
Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.
Примеры решения типовых задач ЕГЭ
Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.
Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.
F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.
Поэтому график y=-log 3 x убывает на всей области определения, а y= -log (1/3) x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.
Ответ : 3,4,5.
Ответ : 4.
Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.
Задание 3.
Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.
Y = log 0.7 (0,1x-5)
Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:
Ответ : область определения D(x) – интервал (50; + ∞).
Ответ : 3, 1, оси OX, направо.
Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.
Задание 5 . Найти область значений для функции:
Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств.
Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Определение логарифма
Логарифм с основанием a - это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .
Десятичный логарифм - это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .
Натуральный логарифм - это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .
2,718281828459045...
;
.
График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x
.
Слева изображены графики функции y(x)
= log a x
для четырех значений основания логарифма
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
На графике видно, что при a > 1
логарифм монотонно возрастает. С увеличением x
рост существенно замедляется. При 0
< a < 1
логарифм монотонно убывает.
Свойства логарифма
Область определения, множество значений, возрастание, убывание
Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.
| Область определения | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Область значений | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет | нет |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Частные значения
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом
и обозначается так:
Логарифм по основанию e
называется натуральным логарифмом
:
Основные формулы логарифмов
Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.
Доказательство основных формул логарифмов
Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.
Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.
Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b
,
имеем:
Обратная функция
Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .
Если , то
Если , то
Производная логарифма
Производная логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e
.
;
.
Интеграл
Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
.
Выразим комплексное число z
через модуль r
и аргумент φ
:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
Однако, аргумент φ
определен не однозначно. Если положить
, где n
- целое,
то будет одним и тем же числом при различных n
.
Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
