Статистика знает все. И Ильф и Е. Петров, «12 Стульев»

Представьте себе, что вы строите крупный торговый центр и желаете оценить автомобильный поток въезда на территорию парковки. Нет, давайте другой пример… они все равно этого никогда не будут делать. Вам необходимо оценить вкусовые предпочтения посетителей вашего портала, для чего необходимо провести среди них опрос. Как увязать количество данных и возможную погрешность? Ничего сложного - чем больше ваша выборка, тем меньше погрешность. Однако и здесь есть нюансы.

Теоретический минимум

Не будет лишним освежить память, эти термины нам пригодятся далее.

• Популяция – Множество всех объектов, среди которых проводится исследования.
• Выборка – Подмножество, часть объектов из всей популяции, которая непосредственно участвует в исследовании.
• Ошибка первого рода - (α) Вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, в то время как она верна.
• Ошибка второго рода - (β) Вероятность не отвергнуть нулевую гипотезу, в то время как она ложна.
• 1 - β - Статистическая мощность критерия.
• μ 0 и μ 1 - Средние значения при нулевой и альтернативной гипотезе.

Уже в самих определениях ошибки первого и второго рода имеется простор для дебатов и толкований. Как с ними определиться и какую выбрать в качестве нулевой? Если вы исследуете уровень загрязнения почвы или вод, то как сформулируете нулевую гипотезу: загрязнение присутствует, или нет загрязнения? А ведь от этого зависит объем выборки из общей популяции объектов.

Исходная популяция , также как и выборка может иметь любое распределение, однако среднее значение имеет нормальное или гауссово распределение благодаря Центральной Предельной Теореме .

Относительно параметров распределения и среднего значения в частности возможно несколько типов умозаключений. Первое из них называется доверительным интервалом . Он указывает на интервал возможных значений параметра, с указанным коэффициентом доверия . Так например 100(1-α)% доверительный интервал для μ будет таким (Ур. 1).

Второе из умозаключений - проверка гипотезы . Оно может быть примерно таким.

• H 0: μ = h
• H 1: μ > h
• H 2: μ < h

С доверительным интервалом 100(1-α) для μ можно сделать выбор в пользу H 1 и H 2:

• Если нижний предел доверительного интервала 100(1-α) < h , то тогда отвергаем H 0 в пользу H 2 .
• Если верхний предел доверительного интервала 100(1-α) > h, то тогда отвергаем H 0 в пользу H 1 .
• Если доверительного интервала 100(1-α) включает в себя h, то тогда мы не может отвергнуть H 0 и такой результат считается неопределенным .

Если нам нужно проверить значение μ для одной выборки из общей совокупности, то критерий обретет вид.

Доверительный интервал, погрешность и размер выборки

Возьмем самое первое уравнение и выразим оттуда ширину доверительного интервала (Ур. 2).

В некоторых случаях мы можем заменить t-статистику Стьюдента на z стандартного нормального распределения. Еще одним упрощением заменим половину от w на погрешность измерения E. Тогда наше уравнения примет вид (Ур. 3).

Как видим погрешность действительно уменьшается вместе с ростом количества входных данных . Откуда легко вывести искомое (Ур. 4).

Практика - считаем с R

Проверим гипотезу о том, что среднее значение данной выборки количества насекомых в ловушке равно 1.

• H 0: μ = 1
• H 1: μ > 1

Насекомые	0	1	2	3	4	5	6
Ловушки	10	9	5	5	1	2	1

> x <- read.table("/tmp/tcounts.txt") > y = unlist(x, use.names="false") > mean(z);sd(z) 1.636364 1.654883

Обратите внимание, что среднее и стандартное отклонение практически равны, что естественно для распределения Пуассона. Доверительный интервал 95% для t-статистики Стьюдента и df=32 .

> qt(.975, 32) 2.036933

и наконец получаем критический интервал для среднего значения: 1.05 - 2.22 .

> μ=mean(z) > st = qt(.975, 32) > μ + st * sd(z)/sqrt(33) 2.223159 > μ - st * sd(z)/sqrt(33) 1.049568

В итоге, следует отбраковать H 0 и принять H 1 так как с вероятностью 95%, μ > 1.

В том же самом примере, если принять, что нам известно действительное стандартное отклонение - σ , а не ее оценка полученная с помощью случайной выборки, можно рассчитать необходимое n для данной погрешности. Посчитаем для E=0.5 .

> za2 = qnorm(.975) > (za2*sd(z)/.5)^2 42.08144

Поправка на ветер

На самом деле нет никаких причин, полагать, что нам будет известна σ (дисперсия), в то время как μ (среднее) нам еще только предстоит оценить. Из-за этого уравнение 4 имеет мало практической пользы, кроме особо рафинированных примеров из области комбинаторики, а реалистичное уравнение для n несколько сложнее при неизвестной σ (Ур. 5).

Обратите внимание, что σ в последнем уравнении не с шапкой (^), а тильдой (~). Это следствие того, что в самом начале у нас нет даже оценочного стандартного отклонения случайной выборки - , и вместо нее мы используем запланированное - . Откуда же мы берем последнее? Можно сказать, что с потолка: экспертная оценка, грубые прикидки, прошлый опыт и т. д.

А что на счет второго слагаемого правой стороны 5-го уравнения, откуда оно взялось? Так как , необходима поправка Гюнтера .

Помимо уравнений 4 и 5 есть еще несколько приблизительно-оценочных формул, но это уже заслуживает отдельного поста.

Приведенная ниже формула для расчета объема выборки используется в тех случаях, когда опрашиваемым (респондентам) задается только один вопрос, на который существует только два варианта ответа. Например, «Да» и «Нет»; «Пользуюсь» и «Не пользуюсь». Конечно, данную формулу можно применять только при проведении простейших исследований. Если Вам нужно определить объем выборки при проведении более масштабных исследований, например анкетирования, то следует использовать другие формулы.

Простая формула для расчета объема выборки

где: n – объем выборки;

z – нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности. Этот показатель характеризует возможность, вероятность попадания ответов в специальный - доверительный интервал. На практике уровень доверительности часто принимают за 95% или 99%. Тогда значения z будут соответственно 1,96 и 2,58;

p – вариация для выборки, в долях. По сути, p - это вероятность того, что респонденты выберут той или иной вариант ответа. Допустим, если мы считаем, что четверть опрашиваемых выберут ответ «Да», то p будет равно 25%, то есть p = 0,25;

q = (1 – p);

e – допустимая ошибка, в долях.

Пример расчета объема выборки

Компания планирует провести социологическое исследование с целью выявить долю курящих лиц в населении города. Для этого сотрудники компании будут задавать прохожим один вопрос: «Вы курите?». Возможных вариантов ответа, таким образом, только два: «Да» и «Нет».

Объем выборки в этом случае рассчитывается следующим образом. Уровень доверительности принимается за 95%, тогда нормированное отклонение z = 1,96 . Вариацию принимаем за 50%, то есть условно считаем, что половина респондентов может ответить на вопрос о том, курят ли они - «Да». Тогда p = 0,5 . Отсюда находим q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5 . Допустимую ошибку выборки принимаем за 10%, то есть e = 0,1 .

Подставляем эти данные в формулу и считаем:

Получаем объем выборки n = 96 человек .

Область применения данной формулы

При проведении простых исследований, когда нужно получить ответ всего на один простой вопрос. При этом шкала ответов, как правило, дихотомического характера. То есть предлагаются (или подразумеваются) варианты ответов по типу «Да» - «Нет», «Черное» - «Белое», и т.д.

Особенности данной формулы расчета объема выборки

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

Населения нередко проводятся среди больших групп людей. Зачастую ошибочным является представление о том, что достоверность результатов будет выше, если на вопросы ответит каждый член общества. Вследствие огромных временных, денежных затрат и трудоемкости такое обследование оказывается неприемлемым. С ростом численности респондентов не только увеличатся расходы, но и возрастет риск получения неверных данных. С практической точки зрения множество анкетеров и кодировщиков снизят вероятность достоверного контроля их действий. Такой опрос называется сплошным.

В социологии чаще всего применяется несплошное исследование, или выборочный метод. Результаты его могут распространяться на большую совокупность людей, которая именуется генеральной.

Определение и значение выборочного метода

Выборочный метод- это количественный способ отбора части исследуемых единиц из общей массы, при этом итоги обследования будут распространяться и на каждого индивида, не принявшего участия в этом.

Выборочный метод является и предметом научного исследования, и учебной дисциплиной. Он выступает средством получения достоверной информации о генеральной совокупности и помогает дать оценку всех ее параметров. Условия отбора единиц влияют в последующем на статистический анализ результатов. Если выборочные процедуры осуществлены некачественно, использование даже самых надежных методов обработки собранной информации окажется бесполезным.

Ключевые понятия теории выбора

Называют взаимосвязь единиц, относительно которых формулируются выводы выборочного исследования. В качестве нее могут выступать жители одной страны, конкретного населенного пункта, рабочий коллектив предприятия и т. д.

Выборочную совокупность (или выборку) составляет часть генеральной, которая была выделена с использованием специальных методик и критериев. Например, в процессе формирования учитываются статистические критерии.

Количество индивидов, вошедших в ту или иную совокупность, называют ее объемом. Но он может быть выражен не только числом людей, но и избирательными участками, населенными пунктами, то есть определенно крупными единицами, включающими в себя единицы наблюдения. Но это уже является многоступенчатой выборкой.

Единицей отбора являются составные части генеральной совокупности, ими могут быть как непосредственно единицы наблюдения (одноступенчатая выборка), так и более крупные формирования.

Большую роль в получении достоверных результатов исследования с применением выборочного метода является такое свойство, как репрезентативность отбора. То есть часть генеральной совокупности, ставшая респондентами, должна полностью воспроизводить все ее характеристики. Любое отклонение признается ошибкой.

Этапы применения выборочного метода

Каждое эмпирическое состоит из этапов. В случае применения выборочного метода их очередность будет выстроена следующим образом:

1. Создание проекта выборки: устанавливается генеральная совокупность, характеризуются процедуры выбора, объемы.
2. Реализация проекта: в ходе сбора социологической информации происходит выполнение анкетерами заданий с указанием способом отбора респондентов.
3. Выявление и корректировка ошибок репрезентативности.

Типы выборок в социологии

После определения генеральной совокупности исследователь переходит к выборочным процедурам. Они могут разделяться по двум видам (критериям):

1. Роль вероятностных законов в ходе осуществления выборки.
2. Количество ступеней отбора.

Если применять первый критерий, то выделяют метод случайной выборки и неслучайный отбор. На основании последнего можно утверждать, что выборка может быть одноступенчатой и многоступенчатой.

Типы выборокпрямым образом отражаются не только на этапах подготовки и проведения исследования, но и на его результатах. Прежде чем отдать предпочтение одному из них, следует разобраться в содержании понятий.

Определение «случайный» в бытовом применении получило совершенно противоположенное значение, чем в математике. Такой отбор осуществляется по строгим правилам, не допускается никакое отступление от них, так как важно обеспечить каждой единице генеральной совокупности одинаковые шансы быть включенной в выборку. При несоблюдении данных условий эта вероятность будет разной.

В свою очередь случайная выборка подразделяется на:

• простую;
• механическую (систематическую);
• гнездовую (серийную, кластерную);
• стратифицированную (типическую или районированную).

Простой выборочный метод осуществляется при помощи таблицыслучайных чисел. Первоначально определяется объем выборки; создается полный перечень пронумерованных респондентов, входящих в генеральную совокупность. Используются для отбора специальные таблицы, содержащиеся в математико-статистических изданиях. Любые отличные от них применять запрещается. Если объем выборкипредставляет трехзначное число, то номер каждой единицы отбора должен быть трехзначным, а именно: от 001 до 790. Последнее число означает общее количество человек. В исследовании примут участие те люди, которым был присвоен номер в указанном диапазоне, встречающийся в таблице.

Систематический отбор основан на вычислениях. Предварительно составляется алфавитный список всех элементов генеральной совокупности, устанавливается шаг и только потом - объем выборки. Формула для шагапредставлена следующим образом:

N: n, где N - генеральная совокупность, а n - выборка.

Например, 150 000: 5 000 = 30. Таким образом, каждый тридцатый человек будет отобран для участия в опросе.

Сущность гнездового типа

Гнездовая выборка используется в условиях, если исследуемая совокупность людей состоит из маленьких по числу естественных групп. В таком случае следует учесть, что на первом шаге определяется списочное количество таких гнезд. При помощи таблицы случайных чисел происходит отбор и проводится сплошной опрос всех респондентов, состоящих в каждом отобранном гнезде. При этом чем больше их приняло участие в исследовании, чем меньше средняя ошибка выборки. Однако использовать такую методику возможно при условии наличия схожего признака у изучаемых гнезд.

Сущность стратифицированного выбора

Стратифицированная выборка отличается от предыдущих тем, что накануне отбора генеральная совокупность разбивается на страты, то есть однородные части, имеющие общий признак. Например, уровень образования, электоральные предпочтения, уровень удовлетворенности различными сторонами жизни. Самым простым вариантом является разделение испытуемых по полу и возрасту. Принципиально необходимо провести отбор таким образом, чтобы из каждой страты было выделено число лиц, пропорциональное общему количеству.

Объем выборки в таком случае может быть меньшим, чем в ситуации со случайным отбором, но при этом репрезентативность будет выше. Следует признать, что стратифицированная выборка будет самой затратной в финансовом и информационном плане, а гнездовая - самой выгодной в этом плане.

Неслучайная квотная выборка

Существует также квотная выборка. Она - единственный вид неслучайного отбора, который имеет математическое обоснование. Квотная выборка формируется из единиц, которые должны быть представлены пропорциями и соответствовать генеральной совокупности. В таким виде осуществляется целенаправленное распределение признаков. Если в числе исследуемых признаков выступают мнения, оценки людей, то квотными являются зачастую пол, возраст, образование респондентов.

В социологическом исследовании выделяют также два способа отбора: повторный и бесповторный. При первом избранная единица после обследования возвращается в генеральную совокупность, чтобы дальше участвовать в отборе. Во втором варианте респонденты отсортировываются, что повышает шансы остальных членов генеральной совокупности быть выбранным.

Ученый-социолог Г. А. Черчилль разработал такое правило: размер выборки должен стремиться обеспечить не меньше 100 наблюдений для первостепенных и 20-50 для второстепенной классификационной составляющей. Следует иметь в виду, что часть респондентов, вошедших в выборку, по различным причинам может не принять участие в опросе или вовсе от него отказаться.

Способы определения объема выборки

В социологических исследованиях применимы такие методы:

1. Произвольный, то есть объем выборки определяется в пределах 5-10 % состава генеральной совокупности.

2. Традиционный метод расчета основывается на проведении регулярных исследований, например, один раз в год с охватом 600, 2 000 или 2 500 респондентов.

3. Статистический - заключается в установлении надежности информации. Статистика как наука не развивается изолированно. Предметы и области ее исследования активно задействуются в других смежных отраслях: технических, экономических и гуманитарных. Так, ее методы используются в социологии, при подготовке к опросам и, в частности, при определении объемов выборок. Статистика как наука обладает обширной методологической базой.

4. Затратный, при котором установлена допустимая сумма расходов на исследование.

5. Объем выборки равен может быть числу единиц генеральной совокупности, тогда исследование будет носить сплошной характер. Такой подход применим в малых группах. Например, трудовой коллектив, студенты и т. д.

Ранее удалось установить, что выборка будет считаться репрезентативной, когда ее характеристики описывают свойства генеральной совокупности с минимальной погрешностью.

Оценка объема выборки предваряет окончательные расчеты количества единиц, которые будут выделены из генеральной совокупности:

n = Npqt 2: N∆ 2 p + pqt 2 , в которой N - количество единиц генеральной совокупности, p - доля изучаемого признака (q = 1 - p), t - коэффициент соответствия доверительной вероятности Р (определяется по специальной таблице), ∆ p - допустимая ошибка.

Это только один вариант того, как вычисляется объем выборки. Формула может изменяться в зависимости от условий и выбранных критериев исследования (например, повторная или бесповторная выборка).

Ошибки выборки

Социологические опросы населения основываются на использовании одного из типов выборки, рассмотренных нами выше. Однако в любом случае задачей каждого исследователя должна стать оценка степени точности полученных показателей, то есть нужно определить, насколько они отражают характеристики генеральной совокупности.

Ошибки выборки можно разделить на случайные и неслучайные. Первый вид подразумевает отклонение выборочного показателя от генерального, которое можно выразить разностью их долей (средней) и которое вызвано только не сплошным типом обследования. И совершенно закономерно, если этот показатель снижается на фоне увеличения количества опрошенных респондентов.

Систематической ошибкой называют отклонение от генерального показателя, также найденное в результате вычитания выборочной и генеральной доли и возникшее из-за несоответствия методики формирования выборки установленным правилам.

Данные типы ошибок входят в общую ошибку выборки. В исследовании из генеральной совокупности можно извлечь только одну выборку. Расчет величины максимально возможного отклонения выборочного показателя можно выполнить по специальной формуле. Оно называется предельной ошибкой выборки. Существует также такое понятие, как средняя ошибка выборки. Это среднее квадратическое отклонение выборочных от генеральной долей.

Выделяют также апостериорный (послеопытный) вид ошибки. Под ним подразумевается отклонение показателей выборочной от генеральной доли (средней). Оно вычисляется методом сравнения генерального показателя, информация о котором поступила от надежных источников, и выборочного, который был установлен в ходе опроса. В качестве достоверных источников информации выступают нередко отделы кадров предприятий, государственные органы статистики.

Существует также априорная ошибка, также являющаяся отклонением выборочного и генерального показателей, которой можно выразить разностью их долей и рассчитать которую можно по специальной формуле.

В учебных исследованиях чаще всего совершаются следующие ошибки, связанные с проведением отбора респондентов для опроса:

1. Выборочные совокупности групп, принадлежащие к разным генеральным. При их использовании разрабатываются статистические выводы, которые относятся ко всей выборке. Совершенно очевидно, что это не может быть приемлемо.

2. В расчет не принимаются организационные и финансовые возможности исследователя, когда рассматриваются типы выборок, и одной из них отдается предпочтение.

3. Не в полном объеме используются статистические критерии структуры генеральной совокупности при предотвращении ошибок выборки.

4. Не учитываются требования репрезентативности отбора респондентов в ходе сравнительных исследований.

5. Инструкция для интервьюера должна быть адаптирована с учетом специфики принятого типа отбора.

Характер участия респондентов в исследовании может быть открытым или анонимным. Это следует учитывать про формировании выборки, так как, не согласившись с условиями, участники могут выбыть.

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:

· собственно-случайная и механическая выборки:

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

· типическая выборка:

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

· серийная выборка:

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или до­ли признака.

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример 5. В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных пу­тевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.

Решение . Рассчитаем необходимый объем выборки:

Агентств.

Пример 6. С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Об­щее число сотрудников банков составляет 12 тыс. чел., в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:

чел.

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

чел.

чел.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников банков составляет 550 чел., в т.ч. 319 мужчин и 231 женщина.

Пример 7. В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планиру­ется проведение выборочного обследования с целью определения удель­ного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рас­считайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, ес­ли ошибка выборки не должна превышать 5%.

Решение. Необходимое количество бригад рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

бригад.

3.Определение необходимого объема выборки

Очень важное значение имеет определение оптимальной численности выборки, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. При увеличении численности выборки ошибка выборки уменьшается. Но так как отобранные единицы для обследования часто разрушаются, то нормы отбора единиц в выборку должны быть оптимальными. Оптимальную численность выборки можно получить из формул ошибок выборки.

Таблица 8.4

Формулы определения оптимальной численности выборки

Способ отбора	Для средней
Собственно-случайный повторный
Случайный и механический бесповторный
Типологический бесповторный
Серийный бесповторный с равновеликими сериями

Формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объём выборки.

Для расчета объёма выборки нужно знать дисперсию. Она может быть заимствована из проводимых ранее обследований данной или аналогичной совокупности или можно провести специальное выборочное обследование небольшого объёма.

Пример 2 : На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки были опрошены 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь (табл. 8.5).

Таблица 8.5

Распределение рабочих по размеру среднего месячного дохода

Определить:

1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 19 тыс. руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954;

3) необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 200 руб.

Решение:

1) Определим среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997.

n = 100 чел. N = 1000 чел.

Решение : для определения интервала среднемесячного дохода работников данного предприятия в генеральной совокупности необходимо знать величину предельной ошибки выборки и размер среднемесячного дохода рабочих по данным выборочного обследования . t и средней ошибки выборки . Поскольку P= 0,997, то (по табл. 8.2)t = 3. Был произведен случайный бесповторный отбор, по табл. 8.3 выбираем формулу для расчета средней ошибки выборки для средней: , где – дисперсия по выборке. Размер среднемесячного дохода рабочих по данным выборочного обследования определим по формуле средней арифметической взвешенной: . Дополнительные расчеты проведем в следующей таблице: Месячный доход, Число рабочих, чел. Середина интервала тыс. руб. тыс. руб. Зная t и определим величину предельной ошибки выборки: Тыс. руб. Тогда интервал среднего месячного дохода рабочих данного предприятия будет таким: ; .

Ответ: среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия с вероятностью 0,997 находится в пределах от 18,08 тыс. руб. до 18,92 тыс. руб.

2) Определим долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 19 тыс. руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

n = 100 чел. N = 1000 чел.

Решение : для определения интервала доли рабочих, имеющих месячный доход 19 тыс. руб. и выше необходимо, знать величину предельной ошибки выборки доли и долю рабочих с таким среднемесячным доходом по данным выборкиW . Предельная ошибка выборки определяется по формуле . Она зависит от величины коэффициента доверияt и средней ошибки выборки . Поскольку P= 0,954, то (по табл. 8.2)t = 2. Был произведен случайный бесповторный отбор, по табл. 8.3 выбираем формулу для расчета средней ошибки выборки для доли: , гдеW – доля рабочих предприятия, имеющих среднемесячный доход 19 тыс. руб. и выше по выборке. Выборочная доля определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m к общему числу единиц выборочной совокупностиn , или . Тогда средняя ошибка доли равна Зная t и определим величину предельной ошибки выборки для доли: Тогда интервал доли рабочих с месячным доходом 19 тыс. руб. и выше в генеральной совокупности будет таким: .

Ответ: доля рабочих предприятия, имеющих месячный доход 19 тыс. руб. и выше, с вероятностью 0,954 находится в пределах от 19,4% до 36,6%.

Определим необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 200 руб.

N = 1000 чел.

Решение : необходимая численность выборки для определения среднего месячного дохода определяется по формуле (по табл. 8.4): По условию задачи известны: при вероятности Р = 0,954 t = 2 (см. табл. 8.2) ; 0,2 тыс. руб.; (по данным предыдущей выборки). чел.

Ответ: чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 200 руб., должны быть обследованы 189 чел.

4.5. Определение объема выборки

Процедура составления плана выборки включает последовательное решение трех следующих задач:

Определение объекта исследования;

Определение структуры выборки;

Определение объема выборки.

Как правило, объект маркетингового исследования представляет собой совокупность объектов наблюдения, в качестве которых могут выступать потребители, сотрудники компании, посредники и т.д. Если эта совокупность настолько малочисленна, что исследовательская группа располагает необходимыми трудовыми, финансовыми и временными возможностями для установления контакта с каждым из ее элементов, то вполне реально проведение сплошного исследования всей совокупности. В этом случае, определив объект исследования, можно приступать к следующей процедуре (выбору метода сбора данных, орудия исследования и способа связи с аудиторией).

Однако на практике очень часто не представляется возможным или целесообразным проведение сплошного исследования всей совокупности. Для этого могут быть следующие причины:

Невозможность установления контакта с некоторыми элементами совокупности;

Неоправданно большие расходы на проведение сплошного исследования или наличие финансовых ограничений, не позволяющих проведение сплошного исследования;

Сжатые сроки, отведенные для исследования, обусловленные утратой со временем актуальности информации или другими причинами и не позволяющие осуществить сбор, систематизацию и анализ обширных данных для всей совокупности.

Поэтому большие и разбросанные совокупности часто изучаются с помощью выборки, под которой, как известно, понимается часть совокупности, призванная олицетворять совокупность в целом.

Точность, с которой выборка отражает совокупность в целом, зависит от структуры и размера выборки .

Различают два подхода к структуре выборки - вероятностный и детерминированный.

Вероятностный подход к структуре выборки предполагает, что любой элемент совокупности может быть выбран с определенной (не нулевой) вероятностью. Существуют различные виды выборок, основанных на теории вероятностей (типическая, гнездовая и др.). Наиболее простой и распространенной на практике является простая случайная выборка, при которой каждый элемент совокупности имеет равную вероятность выбора для исследования.

Вероятностная выборка более точна, позволяет исследователю оценить степень достоверности собранных им данных, хотя она сложней и дороже, чем детерминированная.

Детерминированный подход к структуре выборки предполагает, что выбор элементов совокупности производится методами, основанными либо на соображениях удобства, либо на решении исследователя, либо на контингентных группах.

на соображениях удобства , состоит в выборе любых элементов совокупности исходя из простоты установления контакта с ними. Несовершенство этого метода обусловлено, возможно, низкой репрезентативностью полученной выборки, т.к. удобные для исследователя элементы совокупности могут быть недостаточно характерными представителями совокупности в силу неслучайного и необоснованного их отбора.

Однако, с другой стороны, простота, экономичность и оперативность исследования, проводимого этим методом, снискали ему довольно широкое распространение на практике и, прежде всего при проведении предварительных исследований, направленных на уточнение основных проблем.

Метод формирования выборки, основанный на решении исследователя , состоит в выборе элементов совокупности, которые, по его мнению, являются ее характерными представителями. Этот метод является более совершенным, чем предыдущий, поскольку в его основе лежит ориентировка на характерных представителей исследуемой совокупности, хотя и подбираемых на основе субъективных представлений исследователей о ней.

Метод формирования выборки, основанный на контингентных нормах , состоит в выборе характерных элементов совокупности в соответствии с полученными ранее характеристиками совокупности в целом. Эти характеристики могут быть получены путем проведения предварительных исследований и в отличие от предыдущего метода не носят субъективного характера. Поэтому данный метод является более совершенным, он позволяет получить выборочные совокупности не менее представительные, чем вероятностные выборки при значительно меньших затратах на проведение обследования.

Выбрав структуру выборки (подход к ее формированию, вид вероятностной или метая формирования детерминированной выборки), исследователю предстоит определить объем, т.е. количество элементов выборочной совокупности.

Объем выборки определяет достоверность информации , полученной в результате ее исследования, а также необходимые для проведения исследования затраты. Объем выборки зависит от уровня однородности или разновидности изучаемых объектов.

Чем больше объем выборки, тем выше ее точность и больше затраты на проведения ее обследования. При вероятностном подходе к структуре выборки ее объем может быть определен с помощью известных статистических формул, на основе заданных требований к ее точности.

На практике используется несколько подходов к определению объема выборки:

1. Произвольный подход основан на применении «правила большого пальца». Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна составлять 5 % от совокупности. Данный подход является простым и легким в исполнении, однако не представляется возможным установить точность полученных результатов. При достаточно большой совокупности он к тому же может быть и весьма дорогим.

Объем выборки может быть установлен исходя из неких заранее оговоренных условий. К примеру, заказчик маркетингового исследования знает, что при изучении общественного мнения выборка обычно составляет 1000-1200 человек, поэтому он рекомендует исследователю придерживаться данной цифры. В случае, если на каком-то рынке проводятся ежегодные исследования, то в каждом году используется выборка одного и того же объема. В отличие от первого подхода здесь при определении объема выборки используется известная логика, которая, однако, является весьма уязвимой.

Например, при проведении определенных исследований может потребоваться точность меньше, чем при изучении общественного мнения, да и объем совокупности может быть во много раз меньше, нежели при изучении общественного мнения. Таким образом, данный подход не принимает в расчет текущие обстоятельства и может быть достаточно дорогим.

В ряде случаев в качестве главного аргумента при определении объема выборки используется стоимость проведения обследования. Так, в бюджете маркетинговых исследований предусматриваются затраты на проведение определенных обследований, которые нельзя превышать. Очевидно, что ценность получаемой информации не принимается в расчет. Однако в ряде случаев и малая выборка может дать достаточно точные результаты.

Представляется разумным учитывать затраты не абсолютным образом, а по отношению к полезности информации, полученной в результате проведенных обследований. Заказчик и исследователь должны рассмотреть различные объемы выборки и методы сбора данных, затраты, учесть другие факторы

2. Объем выборки от уровня доверительного интервала допустимой ошибки, каковая, как уже говорилось, задается целесообразной точностью итоговых обобщений: от повышенной до ориентировочной. Однако здесь имеются в виду так называемые случайные ошибки, связанные с природой любых статистических погрешностей. Именно они и вычисляются как ошибки репрезентативности вероятностных выборок.

В. И. Паниотто приводит следующие расчеты репрезентативной выборки с допущением 5-процентной ошибки (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Расчетная таблица выборки

Для совокупности более 100000 выборка составляет 400 единиц. Если же иметь в виду генеральные совокупности численностью от 5 тыс. и больше, то, по расчетам того же автора, можно указать величины фактической ошибки выборки в зависимости от ее объема, что для нас весьма важно, памятуя, что величина допустимой ошибки зависит от цели исследования и необязательно должна приближаться к 5-процентному уровню.

Таблица 4.3

Расчетная таблица

Наряду со случайными возможны ошибки систематического характера. Они зависят от организации выборочного обследования. Это разнообразные смещения выборки в сторону одного из полюсов выборочного параметра.

3. Объем выборки на основе статистического анализа . Этот подход основан на определении минимального объема выборки исходя из определенных требований к надежности и достоверности получаемых результатов. Он также используется при анализе полученных результатов для отдельных подгрупп, формируемых в составе выборки по полу, возрасту, уровню образования и т.п. Требования к надежности и точности результатов для отдельных подгрупп диктуют определенные требования к объему выборки в целом.

Наиболее теоретически обоснованный и корректный подход к определению объема выборки основан на расчете достоверных интервалов. Понятие вариации характеризует величину несхожести (схожести) ответов респондентов на определенный вопрос. В более строгом плане вариацией значений какого-либо признака в совокупности называется различие его значений у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Результаты ответов на вопросы опроса обычно представляются в форме кривой распределения (рис. 4.1). При высокой схожести ответов говорят о малой вариации (узкая кривая распределения) и при низкой схожести ответов – о высокой вариации (широкая кривая распределения).

В качестве меры вариации обычно принимается среднее квадратическое отклонение, которое характеризует среднее расстояние от средней оценки ответов каждого респондента на определенный вопрос.

Малая вариация

Высокая вариация

Рис. 4.1. Вариация и кривые распределения

Поскольку все маркетинговые решения принимаются в условиях неопределенности, то это обстоятельство целесообразно учесть при определении объема выборки. Так как определение исследуемых величин для совокупности в узком осуществляется на основе выборочной статистики, то следует установить диапазон (доверительный интервал), в который, как ожидается, попадут оценки для совокупности в целом, и ошибку их определения.

Доверительный интервал – это диапазон, крайним точкам которого соответствует определенный процент определенных ответов на какой-то вопрос. Доверительный интервал тесно связан со средним квадратическим отклонением изучаемого признака в генеральной совокупности: чем оно больше, тем шире должен быть доверительный интервал, чтобы включить в свой состав определенный процент ответов.

Доверительный интервал, равный или 95 %, или 99 %, является стандартным при проведении маркетинговых исследований. Ни одна фирма не проводит маркетинговых исследований, формируя несколько выборок. И математическая статистика дает возможность получить некую информацию о выборочном распределении, владея только данными о вариации единственной выборки.

Индикатором степени отличия оценки, истинной для совокупности в целом, от оценки, которая ожидается для типичной выборки, является средняя квадратическая ошибка. Причем, чем больше объем выборки, тем меньше ошибка. Высокое значение вариации обусловливает высокое значение ошибки и наоборот.

Когда на заданный вопрос существует только два варианта ответа, выраженные в процентах (используется процентная мера), объем выборки определяется по следующей формуле:

где n – объем выборки; z – нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности; p – найденная вариация для выборки; g – (100-р); е – допустимая ошибка.

При определении показателя вариации для определенной совокупности прежде всего целесообразно провести предварительный качественный анализ исследуемой совокупности, в первую очередь установить схожесть единиц совокупности в демографическом, социальном и других отношениях, представляющих интерес для исследователя. Возможно проведение пилотного исследования, использование результатов подобных исследований, проведенных в прошлом. При использовании процентной меры изменчивости принимается в расчет то обстоятельство, что максимальная изменчивость достигается для р = 50 %, что является наихудшим случаем. К тому же этот показатель радикальным образом не влияет на объем выборки. Учитывается также мнение заказчика исследования об объеме выборки.

Возможно определение объема выборки на основе использования средних значений, а не процентных величин.

где s – среднее квадратическое отклонение.

На практике, если выборка формируется заново и схожие опросы не проводились, то s не известно. В этом случае целесообразно задавать погрешность е в долях от среднеквадратического отклонения. Расчетная формула преобразуется и приобретает следующий вид:

где .

Выше шел разговор о совокупностях очень больших размеров. Однако в ряде случаев совокупности не являются большими. Обычно, если выборка составляет менее пяти процентов от совокупности, то совокупность считается большой и расчеты проводятся по вышеприведенным правилам. Если объем выборки превышает 5 % от совокупности, то последняя считается малой и в вышеприведенные формулы вводится поправочный коэффициент.

Объем выборки в данном случае определяется следующим образом:

,

Практическая работа № 8. «Определение необходимого объёма выборки»

«Определение необходимого объёма выборки»

Наиболее широко распространенным видом несплошного наблюдения является выборочное наблюдение, при котором обследуются не все единицы изучаемой совокупности, а лишь определенным образом отобранная их часть.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) называется генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью или выборкой называется часть генеральной совокупности, отобранная для изучения свойств обеспечивающая репрезентативность.

Отбор из генеральной совокупности проводится таким образом, чтобы на основе выборки можно было получить достаточно точное представление об основных параметрах совокупности в целом. При этом речь идет как о точечной оценке, в качестве которой принимается соответствующее значение средней, доли и т.д., полученное в результате выборки, так и об интервальной оценке, т.е. о тех пределах, в которых с определенной вероятностью может находиться значение искомого параметра в генеральной совокупности. Главное требование, которому должна отвечать выборочная совокупность, - это требование ее репрезентативности, т.е. представительности.

В статистике результаты сплошного наблюдения иногда оцениваются как выборочные характеристики. Такая трактовка полученных данных имеет место в тех случаях, когда число обследованных единиц невелико и нет твердой уверенности в том, что изучаемые характеристики не могут принимать иных значений, кроме выявленных в результате наблюдения. При проведении экспериментов число значений может быть бесконечно большим, поэтому, формулируя выводы на основе ограниченного их числа, необходимо рассматривать полученные данные как выборочные характеристики.

Распространяя результаты выборочного обследования на генеральную совокупность, следует иметь в виду, что между характеристиками генеральной и выборочной совокупности возможно расхождение, обусловленное тем, что обследуется не, вся совокупность, а лишь ее часть.

Ошибкой статистического наблюдения считается величина отклонения между расчетным и фактическим значениями признаков изучаемых объектов.

Выборочный метод обеспечивает значительную экономию материальных и финансовых ресурсов при проведении статистического наблюдения, что позволяет расширить программу обследования и повысить его оперативность. Второе преимущество – высокая достоверность получаемых данных, так как при относительно небольшом объеме выборки можно организовать эффективный контроль за качеством собираемой информации. Таким образом, снижается вероятность появления ошибок регистрации и необнаружения их на стадии проверки первичной информации. И наконец, в ряде случаев, когда сплошное наблюдение связано с уничтожением или порчей обследуемых единиц (например, при проверке качества поступающих в продажу продуктов питания), возможно только выборочное обследование.

Точность оценок, полученных на основе выборочного метода, зависит не от доли обследованных единиц, а от их числа.

Основные этапы выборочного наблюдения ;

1) определение цели, задач и составление программы наблюдения;

2) формирование выборки;

3) сбор данных на основе разработанной программы;

4) анализ полученных результатов и расчет основных характеристик выборочной совокупности;

5) расчет ошибки выборки и распространение ее результатов на генеральную совокупность.

Различают виды выборки :

1) случайная (собственно-случайная);

2) механическая (например, каждый 10, 20 и т.д.);

3) типическая (стратифицированная ), когда генеральная совокупность разбита на группы и в каждой группе обследуются по нескольку объектов));

4) серийная (гнездовая ), когда случайным образом отбираются целые серии.

Наиболее простой способ формирования выборочной совокупности – собственно случайный отбор. Теоретические основы выборочного метода, первоначально разработанные применительно к собственно случайному отбору, используют и для определения ошибок выборки при других способах наблюдения.

Собственно случайный отбор может быть повторным и бесповторным. При повторном отборе каждая единица, отобранная в случайном порядке из генеральной совокупности, после проведения наблюдения возвращается в эту совокупность и может быть вновь подвергнута обследованию. На практике такой способ отбора встречается редко. Гораздо более распространен собственно случайный бесповторный отбор, при котором обследованные единицы в генеральную совокупность не возвращаются и не могут быть обследованы повторно. При повторном отборе вероятность попадания в выборку для каждой единицы генеральной совокупности остается неизменной. При бесповторном отборе она меняется, но для всех единиц, оставшихся в генеральной совокупности после отбора из нее нескольких единиц, вероятность попадания в выборку одинакова.

Точность -- степень ошибочности результатов обследования или размер доверительного интервала.

Абсолютная точность задается определенным интервалом, в котором должно находиться оцениваемое значение.

Относительная точность определяется относительно уровня оценки параметра.

Достоверность -- степень уверенности в том, что оценка близка к истинному значению.

При определении объема выборки следует принимать во внимание некоторые качественные факторы: важность принимаемого решения, характер исследования, количество переменных, характер анализа, объемы выборки, которые использовались в подобных исследованиях, коэффициент охвата, коэффициент завершенности, а также ограниченность ресурсов. Статистически определенный объем выборки -- это чистый, или конечный, объем выборки, т.е. единицы совокупности, остающиеся после исключения потенциальных респондентов, которые не отвечают заданным критериям или не закончили интервью. В зависимости от коэффициентов охвата и завершенности может потребоваться намного больший объем исходной выборки. В коммерческих маркетинговых исследованиях недостаток времени, денег и хороших специалистов может иметь решающее значение при определении объема выборки. В проекте исследования постоянных покупателей универсального магазина объем выборки определялся именно по этим соображениям.

Метод доверительных интервалов:

Определение объема выборки методом доверительных интервалов основано на их создании вокруг выборочного среднего или выборочной доли с использованием формулы стандартной ошибки. В качестве примера предположим, что исследователь с помощью простого случайного отбора сформировал выборку из 300 семей для того, чтобы оценить ежемесячные расходы семьи на покупки в универмаге, и определил, что средний ежемесячный расход семьи в выборке равен 182 долл. Предыдущие исследования показали, что среднеквадратичное отклонение расходов в исследуемой совокупности равно 55 долл.

Мы хотим найти интервал, в который попадал бы определенный процент выборочных средних. Предположим, мы хотим определить интервал вокруг среднего значения совокупности, который включал бы 95% выборочных средних, опираясь на выборку из 300 семей; 95% выборочных средних можно разделить на две равные части, половина меньше и половина больше среднего, как показано на рис. 1. Вычисление доверительного интервала включает определение области меньше (XL) и больше (ХU) среднего значения (X) величины расходов.

Значения коэффициента z, соответствующие XL и ХU, можно рассчитать следующим образом:

Следовательно, минимальное значение X определяется как

а максимальное значение

Теперь установим 95%-ный доверительный интервал вокруг выборочного среднего, равного 182 долл. Для начала мы вычислим стандартную ошибку среднего:

Центральные 95% нормального распределения находятся в пределах?1,96 значений коэффициента z; 95%-ный доверительный интервал определяется как

Таким образом, 95%-ный доверительный интервал простирается от 175,77 до 188,23 долл. Вероятность нахождения истинного среднего значения наблюдаемой совокупности в пределах от 175,77 до 188,23 долл. составляет 95%.

Метод среднего:

Метод, использованный для создания доверительного интервала, можно модифицировать так, чтобы определить объем выборки с учетом желательного доверительного интервала. Предположим, что вы хотите рассчитать ежемесячный расход семьи на покупки в универмаге более точно -- так, чтобы полученный результат находился в пределах 5,0 долл. от истинного среднего значения исследуемой совокупности. Каким должен быть объем выборки? В таблице приведен необходимый перечень действий, которые вы должны выполнить.

• 1. Определите степень точности. Это максимально допустимое различие (D) между выборочным средним и генеральным средним. В нашем примере D = +5,0 долл.
• 2. Укажите уровень достоверности. Предположим, желательный уровень достоверности 95%.
• 3. Определите значение нормированного отклонения z, связанное с данным уровнем достоверности. При 95%-ном уровне достоверности вероятность того, что среднее значение генеральной совокупности выйдет за пределы одностороннего интервала, равна 0,025 (0,05/2). Соответствующее значение z составляет 1,96.
• 4. Определите стандартное отклонение среднего генеральной совокупности. Его можно получить из вторичных источников или рассчитать, проведя пилотное исследование. Кроме того, стандартное отклонение можно установить на основе мнения исследователя. Например, диапазон нормально распределенной переменной примерно укладывается в шесть стандартных отклонений (по три слева и справа от среднего значения).

5. Определите объем выборки, воспользовавшись формулой стандартной ошибки среднего

В нашем примере

(округленное в большую сторону до ближайшего целого числа).

Из формулы объема выборки видно, что он растет с ростом изменчивости (дисперсии) генеральной совокупности, а также с увеличением уровня достоверности и степени точности, с которой должны проводиться расчеты. Объем выборки прямо пропорционален Q2, поэтому, чем больше показатель дисперсии генеральной совокупности, тем больше объем выборки. Аналогично, более высокий уровень достоверности предполагает большее значение z и, следовательно, больший объем выборки. Переменные Q2 и z находятся в числителе. Увеличение степени точности достигается уменьшением значения D и, следовательно, увеличивает объем выборки, поскольку D находится в знаменателе.

6. Если объем выборки составляет 10% и больше от объема генеральной совокупности, то применяется окончательная коррекция совокупности (fpc). Затем необходимый объем выборки рассчитывается по формуле

7. Если среднеквадратичное отклонение совокупности о неизвестно и используется его предположительное значение, то его следует повторно рассчитать после получения выборки. Среднеквадратичное отклонение выборки s используется в качестве предположительного значения Q. Затем следует вычислить исправленный доверительный интервал, чтобы определить фактически полученную степень точности.

Предположим, что значение 55,00 использовалось в качестве предположительного значения а, потому что истинное значение было неизвестно. Получена выборка, в которой n = 465. На основе данных исследования рассчитывается среднее X, равное 180,00, и среднеквадратичное отклонение выборки s, равное 50,00. Тогда исправленный доверительный интервал составит:

Обратите внимание, что полученный доверительный интервал уже предполагаемого. Это вызвано тем, что среднеквадратичное отклонение совокупности завышено на основании выборочных характеристик.

8. Иногда точность определена в относительных, а не в абсолютных показателях. Другими словами, может быть известно, что результат вычисления должен составить плюс-минус R% от среднего. В этом случае объем выборки можно определить как

Объем генеральной совокупности N не влияет на объем выборки напрямую, за исключением случаев, когда применяется коэффициент окончательной коррекции совокупности. Возможно, это кажется невероятным, но если подумать, в этом утверждении есть смысл. Например, если исследуемые характеристики всех элементов совокупности идентичны, то выборки, состоящей из одного элемента, вполне достаточно, чтобы рассчитать среднее. Это также правильно, если совокупность состоит из 50, 500, 5000 или 50 000 элементов. В то же время изменчивость характеристик совокупности напрямую влияет на объем выборки. Эта изменчивость учитывается при вычислении объема выборки с помощью генеральной дисперсии Q2 или выборочной дисперсии s2.

Метод доли:

Если изучаемая статистика представлена не средним, а долей, то маркетолог определяет объем выборки аналогичным образом. Предположим, что исследователя интересует установление доли семей, владеющих кредитной карточкой универмага. Порядок действий будет следующим.

1. Укажите степень точности. Предположим, желательная степень точности такова, что допустимый интервал установлен на уровне

D = р -- л = ±0,05.

• 2. Укажите уровень достоверности. Предположим, что желателен 95%-ный уровень достоверности.
• 3. Определите значение z, связанное с данным уровнем достоверности. Как объяснялось при расчете среднего, оно составит 1,96.
• 4. Определите генеральную долю п. Как мы указывали раньше, ее можно получить из вторичных источников, в ходе экспериментального исследования или на основе мнения исследователя. Предположим, что на основе вторичных данных исследователь делает предположение, что 64% семей из изучаемой генеральной совокупности обладают кредитной карточкой универмага. Следовательно, л = 0,64.
• 5. Определите объем выборки с помощью формулы стандартной ошибки доли:

В нашем примере

• (округленное в большую сторону до целого числа).
• 6. Если конечный объем выборки составляет 10% и больше от объема совокупности, применяется окончательная коррекция совокупности (fpc). Затем необходимый объем выборки рассчитывается по формуле

где n -- объем выборки до применения окончательной коррекции; nс -- объем выборки после применения окончательной коррекции.

7. Если расчет тс был неверным, то доверительный интервал будет более или менее точным по сравнению с необходимым. Предположим, что по окончании выборки рассчитывается значение доли p, равное 0,55. Затем повторно вычисляется доверительный интервал, при этом sp используется для расчета неизвестного Qp , а именно:

В нашем примере

Доверительный интервал тогда равен 0,55 ± 1,96 (0,0264) = 0,55 + 0,052, что означает, что он шире, чем было задано. Это объясняется тем, что среднеквадратичное отклонение выборки p = 0,55 оказалось большим, чем предположительное значение среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности при л = 0,64.

Если интервал, превышающий указанный, недопустим, объем выборки можно скорректировать так, чтобы отразить максимально возможное отклонение в генеральной совокупности. Такое отклонение происходит, когда произведение л (1 -- л) достигает максимального значения, для чего л должно равняться 0,5. К этому выводу можно прийти и без расчетов. Поскольку у одной половины совокупности одно значение характеристики, а у другой -- другое, потребуется больше данных, чтобы сделать правильный вывод, нежели когда ситуация более четко определена и у большинства элементов одно значение характеристики. В нашем примере это приведет к получению объема выборки, равного

• (округлено в большую сторону до целого числа).
• 8. Иногда точность определена в относительных, а не в абсолютных показателях. Другими словами, может быть известно, что результат вычисления должен составить плюс-минус R% от доли совокупности. Это означает, что D =Rл. В этом случае объем выборки можно определить как