Рассмотрим плоскость p и пересекающую её прямую . Пусть А - произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую , параллельную прямой . Пусть . Точка называется проекцией точки А на плоскость p при параллельном проектировании по заданной прямой . Плоскость p , на которую проектируются точки пространства называется плоскостью проекции.
p - плоскость проекции;
- прямая проектирования; ;
; ; ;
Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. Ортогональное проектирование - это такое параллельное проектирование, при котором прямая проектирования перпендикулярна плоскости проекции. Ортогональное проектирование широко применяется в техническом черчении, где фигура проектируется на три плоскости - горизонтальную и две вертикальные.
Определение
:
Ортогональной проекцией точки М
на плоскость p
называется основание М 1
перпендикуляра ММ 1
, опущенного из точки М
на плоскость p
.
Обозначение
: , 
, .
Определение : Ортогональной проекцией фигуры F на плоскость p называется множество всех точек плоскости, являющихся ортогональными проекциями множества точек фигуры F на плоскость p .
Ортогональное проектирование, как частный случай параллельного проектирования, обладает теми же свойствами:
p - плоскость проекции;
- прямая проектирования; ;
1) ;
2) , .
- Проекции параллельных прямых параллельны.
ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Теорема : Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).
Дано
:
Доказать :
Доказательство :
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. По теореме о трёх перпендикулярах ;
ВD – высота ; В 1 D – высота ;
5. – линейный угол двугранного угла ;
6. ; ; ; 
;
2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.
Дано :
Доказать :
Доказательство :
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1 этап);
5. ; ; ;
(1 этап);
Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.
Доказательство :
Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.
Замечание : Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.
Упражнения :
1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.
2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.
3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.
4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.
5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .
6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.
7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.
8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.
11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:
Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.
2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.
3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.
4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.
5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .
6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.
Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»
1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.
2. Доказать следствия из аксиом.
3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.
4. Доказать признак скрещивающихся прямых.
5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.
6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.
7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?
8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.
9. Дать определение угла между прямыми.
10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.
12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.
13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.
14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.
15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.
16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.
17. Дать определение расстояния от точки до прямой.
18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.
19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.
20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.
21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.
23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.
24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.
25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.
Угол между наклонной AB и плоскостью DAC равен 30* - єто угол BAC Угол DAB равен 45 (треугольник DAB - прямоугольный равнобедренный), значит DA=BDBA=DA*корень(2) AC=AB*cos (BAC)=AB*сos 30=DA*корень(2)*корень(3)/2==DA*корень(6)/2 по теореме о трех перпендикулярах DC перпендикулярно АDcos (CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*корень(6)/2)=2/корень(6)=корень(2/3) угол САВ=arccos (2/3)Похожие задачи:
Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов равен 60 градусов. Через сторону AB проведена плоскость альфа на расстоянии a/2 от точки D.
а)найти расстояние от точки C до плоскости альфа.
б)покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM. M принадлежит альфа.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов равен 60 градусов. Через сторону AB проведена плоскость альфа на расстоянии a/2 от точки D. а)найти расстояние от точки C до плоскости альфа. б)покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM. M принадлежит альфа. в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Сторона АВ ромба ABCD равна a, а один из его углов равен 60гр. Через сторону АВ проведена плоскость альфа на расстоянии а2 от точки D.
а) Найти расстояние от точки С до плоскости альфа.
б) Показать на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, M принадлежит пл. альфа.
в) Найти синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Как уже было сказано выше ортогональное проецирование — это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.
Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.
Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.
Чтобы получить ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ , на плоскость П 1 , необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П 1 . При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П 1 получатся ортогональные проекции А 1 и В 1 точек А и В . Соединив ортогональные проекции А 1 и В 1 получим ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ .
Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.
Свойства ортогонального проецирования:
1. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.
Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А 1 В 1 на плоскость П 1 . Если провести прямую АС || А 1 В 1 , то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А 1 В 1 | : cos a , т. к. |А 1 В 1 | = |АС| .
2. Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:
Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Доказательство:
Дан прямой угол АВС , у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П 1 . По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ 1 . Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1) , т. к. она к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. По условию прямая В 1 С 1 || ВС , поэтому тоже к плоскости b , т. е. и прямой А 1 В 1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А 1 В 1 и В 1 С 1 равен 90°, что и требовалось доказать.
Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.
Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.
Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.
- Эпюр Монжа или ортогональные проекции. Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.
- Аксонометрический чертеж. Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ , ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY , или OXZ . Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.
- Перспективный чертеж. При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала.
- Проекции с числовыми отметками и др. Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости.
Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.
Урок геометрии в 10 классе
На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.
Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры.
Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.
Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С - произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной проекцией точки А, а отрезок АС - ортогональной проекцией наклонной AВ. Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.
Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.
