В изометрической проекции все коэффициенты равны между собой:

к = т = п;

3 к 2 = 2,

k = yj 2УЗ - 0,82.

Следовательно, при построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, умножают на 0,82. Такой перерасчет размеров неудобен. Поэтому изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям х, у, I, т.е. принимают приведенный коэффициент искажения равным единице. Получаемое при этом изображение предмета в изометрической проекции имеет несколько большие размеры, чем в действительности. Увеличение в этом случае составляет 22% (выражается числом 1,22 = 1: 0,82).

Каждый отрезок, направленный по осям х, у, z или параллельно им, сохраняет свою величину.

Расположение осей изометрической проекции показано на рис. 6.4. На рис. 6.5 и 6.6 показаны ортогональные (а) и изометрические (б) проекции точки А и отрезка Л В.

Шестигранная призма в изометрии. Построение шестигранной призмы по данному чертежу в системе ортогональных проекций (слева на рис. 6.7) приведено на рис. 6.7. На изометрической оси I откладывают высоту Н, проводят линии, параллельные осям хиу. Отмечают на линии, параллельной оси х, положение точек / и 4.

Для построения точки 2 определяют координаты этой точки на чертеже - х 2 и у 2 и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом строят точки 3, 5 и 6.

Построенные точки верхнего основания соединяют между собой, проводят ребро из точки / до пересечения с осью х, затем -

ребра из точек 2 , 3, 6. Ребра нижнего основания проводят параллельно ребрам верхнего. Построение точки Л, расположенной на боковой грани, по координатам х А (или у А) и 1 А очевидно из

Изометрия окружности. Окружности в изометрии изображаются в виде эллипсов (рис. 6.8) с указанием величин осей эллипсов для приведенных коэффициентов искажения, равных единице.

Большая ось эллипсов расположена под углом 90° для эллипсов, лежащих В ПЛОСКОСТИ хС>1 к ОСИ у, В ПЛОСКОСТИ у01 К ОСИ X, в плоскости хОу К ОСИ?.

При построении изометрического изображения от руки (как рисунка) эллипс выполняют по восьми точкам. Например, лоточкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (см. рис. 6.8). Точки 1, 2, 3 и 4 находят на соответствующих аксонометрических осях, а точки 5, 6, 7 и 8 строят по величинам соответствующих большой и малой осей элипса. При вычерчивании эллипсы в изометрической проекции можно заменять овалами и строить их следующим образом 1 . Построение показано на рис. 6.8 на примере эллипса, лежащего в плоскости xOz. Из точки / как из центра, делают засечку радиусом R = D на продолжении малой оси эллипса в точке О, (строят также аналогичным образом и симметричную ей точку, которая на чертеже не показана). Из точки О, как из центра проводят дугу CGC радиуса D, которая является одной из дуг, составляющих контур эллипса. Из точки О, как из центра проводят дугу радиуса O^G до пересечения с большой осью эллипса в точках О у Проводя через точки О р 0 3 прямую, находят в пересечении с дугой CGC точку К, которая определяет 0 3 К - величину радиуса замыкающей дуги овала. Точки К являются также точками сопряжения дуг, составляющих овал.

Изометрия цилиндра. Изометрическое изображение цилиндра определяется изометрическими изображениями окружностей его основания. Построение в изометрии цилиндра высотой Н по ортогональному чертежу (рис. 6.9, слева) и точки С на его боковой поверхности показано на рис. 6.9, справа.

Предложено Ю.Б. Ивановым.

Пример построения в изометрической проекции круглого фланца с четырьмя цилиндрическими отверстиями и одним треугольным приведен на рис. 6.10. При построении осей цилиндрических отверстий, а также ребер треугольного отверстия использованы их координаты, например координаты х 0 и у 0 .

Построение аксонометрического изображения детали, чертеж которой приведен на Рис.а.

Все аксонометрические проекции должны выполняться по ГОСТ 2.317-68.

Аксонометрические проекции получаются проецированием предмета и связанной с ним системы координат на одну плоскость проекций. Аксонометрии делятся на прямоугольные и косоугольные.

Для прямоугольных аксонометрических проекций проецирование осуществляется перпендикулярно плоскости проекций, причем предмет располагается так, чтобы были видны все три плоскости предмета. Это возможно, например, при расположении осей, как на прямоугольной изометрической проекции, для которой все оси проекций располагаются под углом 120 градусов (см. рис.1). Слово «изометрическая» проекция означает, что коэффициент искажения по всем трем осям одинаковый. Согласно стандарту коэффициент искажения по осям можно принять равным 1. Коэффициент искажения – это отношение размера отрезка проекции к истинному размеру отрезка на детали, измеренного вдоль оси.

Построим аксонометрию детали. Для начала зададим оси, как для прямоугольной изометрической проекции. Начнем с основания. Отложим по оси х величину длины детали 45, а по оси у величину ширины детали 30. Из каждой точки четырехугольника поднимем верх вертикальные отрезки на величину высоты основания детали 7 (Рис.2). НА аксонометрических изображениях при нанесении размеров выносные линии проводят параллельно аксонометрическим осям, размерные линии – параллельно измеряемому отрезку.

Далее проводим диагонали верхнего основания и находим точку, через которую будет проходить ось вращения цилиндра и отверстия. Невидимые линии нижнего основания стираем, чтобы они не мешали нашему дальнейшему построению (Рис.3)

.

Недостаток прямоугольной изометрической проекции заключается в том, что окружности во всех плоскостях будут проецироваться на аксонометрическом изображении в эллипсы. Поэтому сначала научимся строить приближенно эллипсы.

Если вписать окружность в квадрат, то у нее можно отметь 8 характерных точек: 4 точки касания окружности и середины стороны квадрата и 4 точки пересечения диагоналей квадрата с окружностью (Рис.4,а). На рис.4,в и рис.4,б показан точный способ построения точек пересечения диагонали квадрата с окружностью. На рис.4,д показан приближенный способ. При построении аксонометрические проекции половина диагонали четырехугольника, в который спроецируется квадрат, разделится в таком же соотношении.

Переносим эти свойства на нашу аксонометрию (рис.5). Строим проекцию четырехугольника, в которую проецируется квадрат. Далее строим эллипс рис.6.

Далее поднимаемся на высоту 16мм и переносим туда эллипс (Рис.7). Убираем лишние линии. Переходим к построению отверстий. Для этого строим на верху эллипс, в который спроецируется отверстие диаметром 14 (Рис.8). Далее, чтобы показать отверстие диаметром 6мм необходимо мысленно вырезать четверть детали. Для этого построим середину каждой стороны, как на рис.9. Далее строим эллипс, соответствующий окружности диаметра 6 на нижнем основании, а затем на расстоянии 14 мм от верхней части детали рисуем уже два эллипса (один соответствующий окружности диаметром 6, а другой соответствующий окружности диаметром 14) Рис.10. Далее выполняем разрез четверти детали и убираем невидимые линии (Рис.11).

Перейдем к построению ребра жесткости. Для этого на верхней плоскости основания отмеряем 3 мм от края детали и проводим отрезок длиной половине толщины ребра (1.5мм) (Рис.12), также намечаем ребро на дальней стороне детали. Угол 40 градусов нам при построении аксонометрии не подходит, поэтому рассчитываем второй катет (он будет равен 10.35мм) и по нему строим вторую точку угла по плоскости симметрии. Чтобы построить границу ребра, строим прямую на расстоянии 1.5мм от оси на верхней плоскости детали, затем проводим линии параллельно оси х до пересечения с внешним эллипсом и опускаем вертикальную прямую. Через нижнюю точку границы ребра проводим прямую параллельно ребру по плоскости разреза (Рис.13) до пересечения с вертикальной прямой. Дальше соединяем точку пересечения с точкой в плоскости разреза. Для построения дальнего ребра проводим прямую параллельную оси Х на расстоянии 1.5мм до пересечения с внешним эллипсом. Дальше находим, на каком расстоянии находится верхняя точка границы ребра (5.24мм) и такое же расстояние откладываем на вертикальной прямой с дальней стороны детали (см. Рис.14) и соединяем с дальней нижней точкой ребра.

Убираем лишние линии и штрихуем плоскости сечений. Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (Рис.15).

Для прямоугольной изометрической проекции линии штриховки будут параллельны линиям штриховки, показанным на схеме в правом верхнем углу (Рис.16). Осталось изобразить боковые отверстия. Для этого размечаем центры осей вращения отверстий, и строим эллипсы, как было указано выше. Аналогично строим радиусы скруглений (Рис.17). Итоговая аксонометрия показана на рис.18.

Для косоугольных проекций проецирование осуществляется под углом к плоскости проекций, отличным от 90 и 0 градусов. Примером косоугольной проекции может служить косоугольная фронтальная диметрическая проекция. Она хороша тем, что на плоскость заданную осями X и Z окружности, параллельные этой плоскости будут проецироваться в истинную величину (угол между осями X и Z 90 градусов, ось Y наклонена под углом 45 градусов к горизонту). «Диметрическая» проекция означает, что коэффициенты искажения по двум осям X и Z одинаковый, по оси Y коэффициент искажения меньше в два раза.

При выборе аксонометрической проекции необходимо стремиться, чтобы наибольшее количество элементов проецировалось без искажения. Поэтому при выборе положения детали в косоугольной фронтальной диметрической проекции ее надо расположить так, чтобы оси цилиндра и отверстий были перпендикулярны фронтальной плоскости проекций.

Схема расположения осей и аксонометрическое изображение детали «Стойка» в косоугольной фронтальной диметрической проекции приведена на рис.18.

Разновидностью которых являются аксонометрические и, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), с направлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, и косоугольные , с углом между направлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам (см. ) аксонометрические проекции могут быть и ортогональными, и косоугольными . По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно. В результате, по западным стандартам изометрическая проекция определяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, под изометрической проекцией будет подразумеваться только прямоугольная изометрическая проекция .

Стандартные изометрические проекции

Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция

В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось Z" направлена вертикально. Коэффициенты искажения () имеют числовое значение . Как правило, для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в раза.

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция

Ось Z" направлена вертикально, угол между осью X" и Z" равен 90°, ось Y" с углом наклона 135° (допускается 120° и 150°) от оси Z".

Фронтальная изометрическая проекция выполняется по осям X", Y" и Z" без искажения.

Кривые параллельные фронтальной плоскости проецируются без искажений.

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция

Ось Z" направлена вертикально, между осью Z" и осью Y" угол наклона равен 120° (допускается 135° и 150°), при этом сохраняется угол между осями X" и Y" равным 90°.

Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям X", Y" и Z".

Ограничения аксонометрической проекции

Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике

Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1

Примечания

1. По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
2. Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.

Инструкция

Постройте с помощью линейки и транспортира или циркуля и линейки для прямоугольной (отрогональной) изометрической проекции. В этой разновидности аксонометрической проекции все три оси - OX, OY, OZ - между собой углы в 120°, при этом ось ОZ имеет вертикальную направленность.

Для простоты чертите изометрическую проекцию без искажений по осям, так как принято изометрический коэффициент искажения приравнивать к единице. Кстати, само «изометрический» в переводе «равный размер». На самом деле при отображении трехмерного объекта на плоскость отношение длины любого спроецированного отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине этого отрезка равно для всех трех осей 0,82. Поэтому линейные размеры предмета в изометрии (при принятом коэффициенте искажения) увеличиваются в 1,22 раза. При этом изображение остается правильным.

Начните проецировать предмет на аксонометрическую плоскость с его верхней грани. Отмерьте по оси OZ от центра пересечения осей координат высоту детали. Проведите тонкими линиями оси Х и Y через эту точку. Из этой же точки отложите половину отрезка длины детали по одной оси (например, по оси Y). Проведите через найденную точку отрезок нужного размера (ширина детали) параллельно другой оси (OX).

Теперь вдоль другой оси (OX) отложите половину ширины. Через эту точку проведите отрезок нужной величины (длина детали) параллельно первой оси (OY). Два начерченных отрезка должны пересечься. Достройте оставшуюся часть верхней грани.

Если в этой грани имеется круглое отверстие, начертите его. В изометрии окружность изображается в виде эллипса, потому что мы смотрим на нее под углом. Размеры осей этого эллипса рассчитайте исходя из диаметра окружности. Они равны: a = 1,22D и b = 0,71D. Если окружность располагается на горизонтальной плоскости, ось а эллипса всегда горизонтальная, ось b - вертикальная. При этом расстояние между точками эллипса на оси Х или Y всегда равно диаметру окружности D.

Начертите из трех углов верхней грани вертикальные ребра, равные высоте детали. Соедините ребра через их нижние точки.

Если у фигуры есть прямоугольное отверстие, начертите его. Отложите из центра ребра верхней грани вертикальный (параллельно оси Z) отрезок нужной длины. Через полученную точку начертите отрезок требуемого размера параллельно верхней грани, а значит и оси X. Из крайних точек этого отрезка начертите вертикальные ребра нужной величины. Соедините их нижние точки. Проведите от нижней правой точки нарисованного ромба внутреннее ребро отверстия, которое должно быть параллельно оси Y.

Построение аксонометрических проекций начинают с проведения аксонометрических осей.

Положение осей. Оси фронтальной ди-метрической проекции располагают, как показано на рис. 85, а: ось х - горизонтально, ось z - вертикально, ось у - под углом 45° к горизонтальной линии.

Угол 45° можно построить при помощи чертежного угольника с углами 45, 45 и 90°, как показано на рис. 85, б.

Положение осей изометрической проекции показано на рис. 85, г. Оси х и у располагают под углом 30° к горизонтальной линии (угол 120° между осями). Построение осей удобно проводить при помощи угольника с углами 30, 60 и 90° (рис. 85, д).

Чтобы построить оси изометрической проекции с помощью циркуля, надо провести ось z, описать из точки О дугу произвольного радиуса; не меняя раствора циркуля, из точки пересечения дуги и оси z сделать засечки на дуге, соединить полученные точки с точкой О.

При построении фронтальной диметрической проекции по осям х и z (и параллельно им) откладывают действительные размеры; по оси у (и параллельно ей) размеры сокращают в 2 раза, отсюда и название "диметрия", что по-гречески означает "двойное измерение".

При построении изометрической проекции по осям х, у, z и параллельно им откладывают действительные размеры предмета, отсюда и название "изометрия", что по-гречески означает "равные измерения".

На рис. 85, в и е показано построение аксонометрических осей на бумаге, разлинованной в клетку. В этом случае, чтобы получить угол 45°, проводят диагонали в квадратных клетках (рис. 85, в). Наклон оси в 30° (рис. 85, г) получается при соотношении длин отрезков 3: 5 (3 и 5 клеток).

Построение фронтальной диметрической и изометрической проекций . Построить фронтальную диметрическую и изометрическую проекции детали, три вида которой приведены на рис. 86.

Порядок построения проекций следующий (рис. 87):

1. Проводят оси. Строят переднюю грань детали, откладывая действительные величины высоты - вдоль оси z, длины - вдоль оси х (рис. 87, а).

2. Из вершин полученной фигуры параллельно оси v проводят ребра, уходящие вдаль. Вдоль них откладывают толщину детали: для фронтальной ди-метрической проекции - сокращенную в 2 раза; для изометрии - действительную (рис. 87, б).

3. Через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам передней грани (рис. 87, в).

4. Удаляют лишние линии, обводят видимый контур и наносят размеры (рис. 87, г).

Сравните левую и правую колонки на рис. 87. Что общего и в чем различие данных на них построений?

Из сопоставления этих рисунков и приведенного к ним текста можно сделать вывод о том, что порядок построения фронтальной диметрической и изометрической проекций в общем одинаков. Разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси у.

В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры, расположенные горизонтально.

Построение аксонометрической проекции квадрата показано на рис. 88, а и б.

Вдоль оси х откладывают сторону квадрата а, вдоль оси у - половину стороны а/2 для фронтальной диметрической проекции и сторону а для изометрической проекции. Концы отрезков соединяют прямыми.

Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 89, а и б.

Симметрично точке О (началу осей координат) по оси х откладывают половину стороны треугольника а/2, а по оси у - его высоту h (для фронтальной диметрической проекции половину высоты h/2). Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 90.

По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника. По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2, равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n, полученных на оси у, проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Ответьте на вопросы

1. Как располагают оси фронтальной диметрической и изометрической проекций? Как их строят?