Вектор − чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.
 Вектор − направленный отрезок прямой.
 В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин − скалярными и векторными .
 Скалярными величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l , масса − m , путь − s , время − t , температура − T , электрический заряд − q , энергия − W , координаты и т.д.
 К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.).

 Пример 1 .
 Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q 1 = 2 нКл, q 2 = −7 нКл, q 3 = 3 нКл.
Полный заряд системы
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10 −9 Кл.

 Пример 2 .
 Для квадратного уравнения вида
ax 2 + bx + с = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √{b 2 − 4ac}).

 Векторными величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v , сила F , импульс p , напряженность электрического поля E , магнитная индукция B и др.
 Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками r = |r| .
 Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1),

Длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора.
Два вектора равны, если совпадают их модули и направления.
 Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).
 Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.
 Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор
с = a + b
равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b . Модуль его
с = √{a 2 + b 2 − 2abcosα} (рис. 2).


При α = 90°, с = √{a 2 + b 2 } − теорема Пифагора.

Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора a отложить вектор b . Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a и конец вектора b ) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a и b ).
 Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3).


 Пример 3 .
 Сложить две силы F 1 = 3 Н и F 2 = 4 Н, векторы F 1 и F 2 составляют с горизонтом углы α 1 = 10° и α 2 = 40°, соответственно
 F = F 1 + F 2 (рис. 4).

 Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F 1 и F 2 , как сторонах, и по модулю равен ее длине.
 Модуль вектора F находим по теореме косинусов
F = √{F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)},
F = √{3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.
Если
(α 2 − α 1) = 90°, то F = √{F 1 2 + F 2 2 }.

Угол, который вектор F составляет с осью Ox, находим по формуле
α = arctg((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctg((3.0,17 + 4.0,64)/(3.0,98 + 4.0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора a и оси Ox (Oy). (рис. 5)


 Проекции вектора a на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)


 Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)


 Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный
a − b = a + (−b) = d (рис. 8).

 Пусть надо из вектора a вычесть вектор b , их разность − d . Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a прибавить вектор (−b ), то есть вектором d = a − b будет вектор, направленный от начала вектора a к концу вектора (−b ) (рис. 9).

 В параллелограмме, построенном на векторах a и b как сторонах, одна диагональ c имеет смысл суммы, а другая d − разности векторов a и b (рис. 9).
 Произведение вектора a на скаляр k равно вектору b = ka , модуль которого в k раз больше модуля вектора a , а направление совпадает с направлением a при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.

 Пример 4 .
 Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10)

Импульс тела p = mv ; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с и направлен в сторону скорости v .

 Пример 5 .
 Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Сила равна F = qE . Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E . (рис. 11)


 Деление вектора a на скаляр k равнозначно умножению a на 1/k.
 Скалярным произведением векторов a и b называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (рис. 12)


 Пример 6 .
 Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°.

Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.

 Векторным произведением векторов a и b называют вектор c , численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:
с = a × b = ,
с = ab × sinα.
 Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b , причем его направление связано с направлением векторов a и b правилом правого винта (рис. 13).


 Пример 7 .
 Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.

Сила Ампера
dF = I = Idl × B или F = I(l)∫{dl × B},
F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

 Рассмотрите решение задач .
 1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√{2}; д) a√{3}?

 Решение .
 а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю.

 б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a.

 в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 и α = 120°.
 г) Два вектора направлены под углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 и α = 90°.

 д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 и α = 60°.
 Ответ : Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.

2. Если a = a 1 + a 2 ориентации векторов, то, что можно сказать о взаимной ориентации векторов a 1 и a 2 , если: а) a = a 1 + a 2 ; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; в) a 1 + a 2 = a 1 − a 2 ?

 Решение .
 а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу a 1 ||a 2 .
 б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 и α = 90°.
вектора перпендикулярны друг другу a 1 ⊥ a 2 .
 в) Условие a 1 + a 2 = a 1 − a 2 может выполниться, в случае если a 2 − нулевой вектор, тогда a 1 + a 2 = a 1 .
 Ответы . а) a 1 ||a 2 ; б) a 1 ⊥ a 2 ; в) a 2 − нулевой вектор.

3. Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?

Решение.
 По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
для второй пары сил, соответственно
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Приравняв левые части уравнений
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Найдем искомый угол β между векторами
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
После вычислений,
cosβ = (2.1,422 + 2.1,422.cos60° − 2.1,752)/(2.1,752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Второй способ решения .
 Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.).

 Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2) ,
откуда
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) и β ≈ 90,7°.

4. Вектор a = 3i − 4j . Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |ca | = 7,5?
 Решение .
ca = c(3i − 4j ) = 7,5
Модуль вектора a будет равен
a 2 = 3 2 + 4 2 , и a = ±5,
тогда из
c.(±5) = 7,5,
найдем, что
c = ±1,5.

5. Векторы a 1 и a 2 выходят из начала координат и имеют декартовы координаты концов {6, 0} и {1, 4}, соответственно. Найдите вектор a 3 такой, что: а) a 1 + a 2 + a 3 = 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Решение .
 Изобразим векторы в декартовой системе координат (рис.)

 а) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
a x = 6 + 1 = 7.
Результирующий вектор вдоль оси Oy равен
a y = 4 + 0 = 4.
Чтобы сумма векторов была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось условие
a 1 + a 2 = −a 3 .
Вектор a 3 по модулю будет равен суммарному вектору a 1 + a 2 , но направлен в противоположную ему сторону. Координата конца вектора a 3 равна {−7, −4}, а модуль
a 3 = √{7 2 + 4 2 } = 8,1.

Б) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
a x = 6 − 1 = 5,
а результирующий вектор вдоль оси Oy
a y = 4 − 0 = 4.
При выполнении условия
a 1 − a 2 = −a 3 ,
вектор a 3 будет иметь координаты конца вектора a x = –5 и a y = −4, а модуль его равен
a 3 = √{5 2 + 4 2 } = 6,4.

6. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?

 Решение .
 Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.).

Конец вектора OA имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен
L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.
Модуль вектора перемещения найдем по формуле
S = √{(x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 },
где x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √{25 2 + 18 2 + 36 2 } = 47,4 (м).
 Ответ : L = 103 м, S = 47,4 м.

7. Угол α между двумя векторами a и b равен 60°. Определите длину вектора с = a + b и угол β между векторами a и c . Величины векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.

 Решение .
 Длину вектора, равного сумме векторов a и b определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).

с = √{a 2 + b 2 + 2abcosα}.
После подстановки
с = √{3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°} = 4,4.
Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
При этом следует знать, что
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
 Решая простое тригонометрическое уравнение, приходим к выражению
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
следовательно,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
 Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
откуда
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
и
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4,4)) = 23°.
 Ответ : c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Решите задачи .
 8. Для векторов a и b , определенных в примере 7, найдите длину вектора d = a − b угол γ между a и d .

9. Найдите проекцию вектора a = 4,0i + 7,0j на прямую, направление которой составляет угол α = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.

10. Вектор a составляет угол α = 30° с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор b (b = √{3}), чтобы вектор с = a + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора c .

11. Заданы три вектора: a = 3i + 2j − k ; b = 2i − j + k ; с = i + 3j . Найдите а) a + b ; б) a + c ; в) (a, b) ; г) (a, c)b − (a, b)c .

12. Угол между векторами a и b равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b − a/2 .

13. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны, если a = {2, 1, −5} и b = {5, −5, 1}.

14. Найдите угол α между векторами a и b , если a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.

15. Вектор a составляет с осью Ox угол α = 30°, проекция этого вектора на ось Oy равна a y = 2,0. Вектор b перпендикулярен вектору a и b = 3,0 (см. рис.).

Вектор с = a + b . Найдите: a) проекции вектора b на оси Ox и Oy; б) величину c и угол β между вектором c и осью Ox; в) (a, b); г) (a, c).

 Ответы :
 9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
 10. β = 300°; c = 3,5.
 11. а) 5i + j; б) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.
 12. c = 2,6; d = 1,7.
 14. α = 44,4°.
 15. а) b x = −1,5; b y = 2,6; б) с = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
 Изучая физику, Вы имеете большие возможности продолжить свое образование в техническом ВУЗе. Для этого потребуется параллельное углубление знаний по математике, химии, языку, реже другие предметы. Победитель республиканской олимпиады, Савич Егор, заканчивает один из факультетов МФТИ, на котором, большие требования предъявляются к знаниям по химии. Если требуется помощь в ГИА по химии , то обращайтесь к профессионалам, Вам точно окажут квалифицированную и своевременную помощь.

 Смотрите еще:

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений, более точно, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однородной величиной, принятой за единицу. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Ска­лярными величинами, например, являются длина, площадь, объ­ем, время, масса, температура тела, плотность, работа, электроёмкость и др. Так как скалярная величина определяется числом (положительным или отрицательным), то ее можно откладывать на соответствующей координатной оси. Так например, часто стро­ят ось времени, температуры, длины (пройденного пути) и другие.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения ко­торых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются векторными . Физиче­скими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила, напряженность электрического или магнитного поля. Век­торные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скаляр­ную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует се­верный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Для геометрического изображения векторных величин слу­жат направленные отрезки, то есть отрезки, имеющие фикси­рованное направление в пространстве. При этом длина отрез­ка равна числовому значению векторной величины, а его на­правление совпадает с направлением векторной величины. Направленный отрезок, характеризующий данную векторную величину, называют геометрическим вектором или просто вектором.

Понятие вектора играет большую роль как в математике, так и во многих областях физики и механики. Многие физические величины могут быть представлены при помощи векторов, и это представление очень часто способствует обобщению и упрощению формул и результатов. Часто векторные величины и векторы, их изображающие, отождествляются друг с другом: так, например, говорят, что сила (или скорость) есть вектор.

Элементы векторной алгебры применяются в таких дисциплинах как: 1) электрические машины; 2) автоматизированный электропривод; 3) электроосвещение и облучение; 4) неразвлетвлённые цепи переменного тока; 5) прикладная механика; 6) теоретическая механика; 7) физика; 8) гидравлика:9) детали машин; 10) сопромат; 11) управление; 12) химия; 13) кинематика; 14) статика и др.

2. Определение вектора. Отрезок прямой задается дву­мя равноправными точками -его концами. Но можно рассматривать направленный отрезок, определяемый упо­рядоченной парой точек. Про эти точки известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец).

Под направленным отрезком понимают упорядоченную пару точек, первая из которых - точка А - называется его началом, а вторая - В - его концом.

Тогда под вектором понимается в простейшем случае сам направленный отрезок, а в других случаях различные векторы - это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т.д.). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

Определение 1. Направленный отрезок (или, что то же, упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором . Направление на отрезке принято отмечать стрелкой. Над буквенным обозначением вектора при письме ста­вится стрелка, например: (при этом буква, соответст­вующая началу вектора, обязательно ставится впереди). В книгах часто буквы, обозначающие вектор, набираются полужирным шрифтом, например: а .

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым. Нулевой вектор обозначается или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называ­ется его длиной (а также модулем и абсолютной величи­ной). Длина вектора обозначается | | или | |. Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: | | = .

Векторы называются коллинеарными , если они распо­ложены на одной прямой или на параллельных прямых, короче говоря, если существует прямая, которой они параллельны.

Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны, их можно изобразить векторами, лежащими на одной плоскости. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю. Очевидно, любые два вектора компланарны; но, конечно, не каждые три вектора в пространстве компланарны. Так как векторы, параллельные друг другу, параллельны одной и той же плоскости, то коллинеарные векторы подавно компланарны. Разумеется, обратное неверно: компланарные векторы могут быть и не коллинеарными. В силу принятого выше условия нулевой вектор коллинеарен со всяким вектором и компланарен со всякой парой векторов, т.е. если среди трёх векторов хотя бы один нулевой, то они компланарны.

2) Слово «компланарные» означает в сущности: «имеющие общую плос­кость», т. е. «расположенные в одной плоскости». Но так как речь здесь идет о свободных векторах, которые можно переносить (не изменяя длины и направ­ления) произвольным образом, мы должны называть компланарными векторы, параллельные одной и той же плоскости, ибо в этом случае их можно пере­нести так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости.

Для сокращения речи условимся в одном термине: если несколько свободных векторов параллельны одной и той же плоскости, то мы будем говорить, что они компланарны. В частности, два вектора всегда компланарны; чтобы в этом убе­диться, достаточно отложить их от одной и той же точки. Ясно, далее, что направление плоскости, в которой параллельны два дан­ных вектора, вполне определено, если эти два вектора не парал­лельны между собою. Любую плоскость, которой параллельны данные компланарные векторы, мы будем называть просто пло­скостью данных векторов.

Определение 2. Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Необходимо всегда помнить, что равенство длин двух векторов ещё не означает равенства этих векторов.

По самому смыслу определения, два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Очевидно, все нулевые векторы равны между собой.

Из этого определения непосредственно вытекает, что, выбрав любую точку А", мы может построить (и притом только один) вектор А" В", равный некоторому заданному вектору , или, как говорят, перенести вектор в точку А" .

Замечание . Для векторов нет понятий «больше» или «меньше», т.е. они равны или не равны.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через е. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора и обозначается а .

3. О другом определении вектора . Заметим, что понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то же число. С векторами, как мы видим, дело обстоит по-другому: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то момент нас будет интересовать именно вектор , а не другой, равный ему вектор А"В".

Для того чтобы упростить понятие равенства векторов (и снять некоторые связанные с ним трудности), иногда идут на усложнение определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным определением, но сформулируем его. Чтобы не путать, мы будем писать «Вектор» (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия.

Определение 3 . Пусть дан направленный отрезок. Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле определения 2, называется Вектором.

Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Век­тор. Легко заметить, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны. Для Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение: два Вектора равны в том и только в том случае, когда это один и тот же Век­тор.

При параллельном переносе пространства точка и ее образ сос­тавляют упорядоченную пару точек и определяют направленный отрезок, причем все такие направленные отрезки равны в смысле определения 2. Поэтому параллельный перенос пространства можно отождествить с Вектором, составленным из всех этих направленных отрезков.

Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными нап­равленными отрезками, производят, вообще говоря, различные дейст­вия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее направленный отрезок не может быть перенесён даже вдоль той прямой, на которой он лежит.)

Это только одна из причин, по которым наряду с Векторами, т. е. множествами (или, как говорят, классами) равных направлен­ных отрезков, приходится рассматривать и отдельных представителей этих классов. При этих обстоятельствах применение определения 3 усложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться определения 1, причем по общему смыслу всегда будет ясно, идет ли речь о вполне определенном векторе, или на его место может быть подставлен любой, ему равный.

В связи с определением вектора стоит разъяснить значение не­которых слов, встречающихся в литературе.

Скалярные и векторные величины

1. Векторное исчисление (например, перемещение (s),сила (F), ускорение (a), скорость (V)энергия (Е)) .

   скалярные величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина (L), площадь (S), объм (V),время (t), масса (m) и т. д.) ;

2. Скалярные величины: температура, объм, плотность, электрический потенциал, потенциальная энергия тела (например, в поле силы тяжести) . Также модуль любого вектора (например, перечисленных ниже) .

   Векторные величины: радиус-вектор, скорость, ускорение, напряжнность электрического поля, напряжнность магнитного поля. И многие другие 🙂

3. векторная величина имеет численное выражение и направление: скорость, ускорение, сила, электромагнитная индукция, перемещение и т. п. , а скалярная только численное выражение объем, плотность, длиа, ширина, высота, масса (не путать с весом) темпереатура
4. векторные например скорость (v),сила (F),перемещение (s),импульс (р), энергия (Е). над каждой из этих букв ставится стрелочка-вектор. поэтому они векторные. а скалярные-это масса (m),объем (V),площадь (S),время (t),высота (h)
5. Векторные это прямолинейные, касательные движения.
   Скалярные это замкнутые движения, которые экранируют векторные.
   Векторные движения передаются через скалярные, как через посредников, как ток передатся от атома к атому по проводнику.
6. Скалярные величины: температура, объм, плотность, электрический потенциал, потенциальная энергия тела (например, в поле силы тяжести) . Также модуль любого вектора (например, перечисленных ниже) .

   Векторные величины: радиус-вектор, скорость, ускорение, напряжнность электрического поля, напряжнность магнитного поля. И многие другие:-

7. Скалярная величина (скаляр) это физическая величина, которая имеет только одну характеристику численное значение.

   Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

   Примеры скалярных величин: масса, температура, путь, работа, время, период, частота, плотность, энергия, объем, электроемкость, напряжение, сила тока и т. д.

   Математические действия со скалярными величинами это алгебраические действия.

   Векторная величина

   Векторная величина (вектор) это физическая величина, которая имеет две характеристики модуль и направление в пространстве.

   Примеры векторных величин: скорость, сила, ускорение, напряженность и т. д.

   Геометрически вектор изображается как направленный отрезок прямой линии, длина которого в масштабе модуль вектора.

Величины, которые характеризуются числовым значением и направлением, называются векторными или векторами. НО! Одна и та же физическая величина может иметь несколько буквенных обозначений (в разной литературе). В физике существует два вида физических величин: векторные и скалярные. Такие вектора изображают направленными отрезками, имеющими одинаковые длины и направления.

Скалярная величина (от - ступлат.matuercızylarенчатый) в физике - величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом. То есть скалярная величина определяется только своим значением, в отличие от вектора, который кроме значения имеет направление. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической.

Этот вектор может иметь в принципе любую размерность, а как правило - бесконечномерен. Всё это позволило термину «векторный» сохранить в качестве, пожалуй, основного смысла - смысл 4-вектора. Именно этот смысл вкладывается в термины векторное поле, векторная частица (векторный бозон, векторный мезон); сопряженный смысл в подобных терминах имеет и слово скалярный.

Будем исходить из обычного трехмерного «геометрического» пространства, в котором мы живем и можем перемещаться. В качестве исходного и образцового вектора возьмем вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как и вектор конечного перемещения).

Обозначение векторных величин

То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами, поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов дает новый вектор.

Масса и плотность

Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. Примеры псевдовекторов: все величины, определяемые через векторное произведение двух полярных векторов. В принципе, такая формулировка используется и для квантовых теорий, и для не-квантовых.

В курсе физике часто встречаются такие величины, для описания которых достаточно знать только числовые значения. Обозначаются векторные величины соответствующими буквами со стрелкой наверху или выделяются жирным шрифтом. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону. При изображении на одном рисунке двух и более векторов, отрезки строят в заранее выбранном масштабе.

То, какие эти предметы, что с ними происходит, или будет происходить, если что-нибудь сделать: кинуть, разогнуть, засунуть в печь. То, почему с ними происходит что-либо и как именно происходит? Перед покупкой нового холодильника можно ознакомиться еще с рядом физических величин, которые позволяют судить о том, какой он, лучше или хуже, и почему он стоит дороже.

Второй и третий законы Ньютона

Все физические величины принято обозначать буквами, чаще греческого алфавита. Несмотря на то, что с такой буквой вы могли не сталкиваться, смысл физической величины, участие ее в формулах остается прежним. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Согласно тому, как в математике обозначают вектор!

Два вектора равны, если совпадают их модули и направления. Проекции вектора a на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. Скалярными называют величины, имеющие численное значение, но не имеющие направления. Сила, действующая на материальную точку, есть векторная величина, вектор, так как она обладает направлением.

МЕЖДУ МОЛОТОМ И НАКОВАЛЬНЕЙ.

Температура тела - скалярная величина, скаляр, так как с этой величиной не связано никакое направление. Число полученное в результате измерения характеризует скалярную величину полностью, а векторную частично. Во всех учебниках и умных книжках, силу принято выражать в Ньютонах, но кроме как в моделях которыми оперируют физики ньютоны ни где не применяются.

Это означает, что как бы массивное тело ни двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал и сила зависят только от положения тела в данный момент времени. Но нельзя обозначить оба эти явления одним и тем же выражением «сделать легче».

Изображение вектора

Векторная величина (например сила, приложенная к телу), помимо значения (модуля), характеризуется также направлением. Скалярная же величина (например, длина) характеризуется только значением. Все классические законы механики сформулированы для векторных величин. Рассмотрим опору, на которой стоят грузы. На неё действуют 3 силы: ${\large \overrightarrow{N_1},\ \overrightarrow{N_2},\ \overrightarrow{N},}$ точки приложения этих сил А, В и С соответственно.

В чем сила измеряется?

Это векторное уравнение, т.е. фактически три уравнения - по одному для каждого из трех направлений. Масса - фундаментальная физическая величина. Второй закон Ньютона связывает векторы ускорения и силы. Это означает, что справедливы следующие утверждения.

Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Дело в том, что варианты эти не равноценны. И это правда. Но не вся…. И применение этого знания на практике. В рассматриваемой нами системе есть 3 объекта: тягач $(T)$, полуприцеп ${\large ({p.p.})}$ и груз ${\large (gr)}$.

Эта статья о физическом понятии. В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

Однако она не входит с последней в явное противоречие. Всё сказанное еще в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Каким образом физические «векторные величины» привязаны к пространству? Также новый вектор дает дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Лоренца напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции привязаны к векторам силы и скорости.

Масса, длина, температура — это и есть физическая величина. Основное их отличие в том, что векторные физические величины имеют направление. Рисуют стрелку только над буквами векторных физических величин. Оказывается, что все 4-векторные величины «происходят» от 4-перемещения, являясь поэтому в некотором смысле такими же векторами пространства-времени, как и само 4-перемещение. Векторные величины лучше запомнить.

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала - сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные физические величины.

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Первая величина - скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость - векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Вторая величина - сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила - векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Третья величина - перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь - векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Четвертая величина - ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Пятая величина - импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара - v1, вагона с платформой после сцепки - v, масса вагона m1, платформы - m2. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс - произведение m1 и v1.

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Задача с разделением тела на части

Условие. Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m1 и m2. Их скорости соответственно будут v1 и v2. Начальная скорость гранаты - v. В задаче нужно вычислить значение v2.

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький - против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения импульса тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда - произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v1 и собственная скорость катера v2. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая - собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй - векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v1 / v2. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v1 / v2).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v1 и v2. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v1 и v2. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

v = √(v22 – v12), тогда t = l / (√(v22 – v12)).

Ответ. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).